Temel Kavramlar

Matematiğin alfabesi rakamlardır. Sayıları ifade etmek için kullandığımız sembollere rakam denir.

• Rakamlar Kümesi: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (Toplam 10 tanedir).
• Sayma Sayıları (S): {1, 2, 3, ...} (Sıfır bir sayma sayısı değildir).
• Doğal Sayılar (N): {0, 1, 2, 3, ...} (En küçük doğal sayı 0'dır).
• Tam Sayılar (Z): {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}

Örnek Soru

a ve b birbirinden farklı birer rakam olmak üzere, 3a + 2b ifadesinin alabileceği en büyük değer kaçtır?

A) 45   B) 43   C) 41   D) 39   E) 37

Çözüm: İfadenin büyük olması için katsayısı büyük olana (3a) en büyük rakamı (9), diğerine (2b) ise ondan sonraki en büyük rakamı (8) veririz. 3(9) + 2(8) = 27 + 16 = 43. Cevap B.

Tam sayılar kümesi üç ana parçadan oluşur. KPSS'de "pozitif olmayan" veya "negatif olmayan" ifadeleri sıklıkla karşımıza çıkar.

• 0 (Sıfır): Bir tam sayıdır, bir çift sayıdır ama işareti yoktur (ne pozitif ne negatiftir).
• Pozitif olmayan en büyük tam sayı: 0
• Negatif olmayan en küçük tam sayı: 0

Örnek Soru

a, b ve c negatif tam sayılar olmak üzere, a · b · c ifadesinin işareti nedir?

A) Pozitif   B) Negatif   C) Sıfır   D) Belirsiz   E) +1

Çözüm: (-) · (-) = (+) olur. (+) · (-) = (-) olur. Üç negatif sayının çarpımı negatiftir. Cevap B.

KPSS'de en çok sorulan "en büyük/en küçük değer" sorularında şu iki kuralı asla unutma:

Örnek Soru

a ve b birer doğal sayı ve a + b = 12 olduğuna göre, a · b çarpımının alabileceği en büyük ve en küçük değerlerin toplamı kaçtır?

A) 36   B) 42   C) 47   D) 30   E) 12

Çözüm: En büyük için yakın seç (6, 6) → 6·6 = 36. En küçük için uzak seç (0, 12) → 0·12 = 0. Toplam: 36 + 0 = 36. Cevap A.

KPSS'nin her yıl sorduğu "Her zaman tektir/çifttir" sorularının temel mantığı şudur:

• Tek Sayılar (T): {..., -3, -1, 1, 3, ...}
• Çift Sayılar (Ç): {..., -2, 0, 2, 4, ...}

Örnek Soru

a bir tam sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima çift sayıdır?

A) a + 2   B) 2a + 1   C) a² + a   D) a³   E) 5a - 2

Çözüm: a² + a ifadesi a(a+1) şeklinde yazılır. Ardışık iki tam sayının çarpımı daima çifttir (Biri mutlaka çifttir). Cevap C.

İşaret inceleme sorularında çift kuvvetler can kurtarır.

• Bir sayının çift kuvveti (sayı sıfır değilse) daima pozitiftir (a² > 0). Bu yüzden a² gibi terimleri gördüğünde üzerini çizip yandaki harfin işaretine bakabilirsin.
• Bir sayının tek kuvveti sayının kendi işaretini korur.

Örnek Soru

a² · b < 0 ve b · c > 0 olduğuna göre; a, b ve c'nin işaretleri sırasıyla aşağıdakilerden hangisi olabilir?

A) +, -, -   B) -, +, +   C) -, -, -   D) +, +, -   E) +, -, +

Çözüm: a² daima (+) olduğundan b mutlaka (-) olmalıdır (çarpım < 0 olsun diye). b · c > 0 olduğundan c de (-) olmalıdır (negatif × negatif = pozitif). a'nın işareti önemli değildir (çift kuvvet pozitif yapar). Cevap A.

Rasyonel sayılar (ℚ): p/q biçiminde (p, q ∈ ℤ, q ≠ 0) yazılabilen sayılardır. Sonlu ondalıklı ve periyodik ondalıklı tüm sayılar rasyoneldir.

İrrasyonel sayılar: Kesir biçiminde yazılamayan, ondalık açılımı ne sona eren ne de periyodik olan sayılardır. Örnekler: √2, √3, π, e.

Sayı kümeleri hiyerarşisi:

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Örnek soru: Aşağıdakilerden hangisi irrasyonel sayıdır?
A) √9   B) √16   C) √25   D) √36   E) √7

Çözüm: √9=3, √16=4, √25=5, √36=6 tam sayıdır (rasyonel). Yalnızca √7 tam sayı çıkmadığından irrasyoneldir. Cevap: E

Bir sayının başka bir sayıya tam olarak bölünüp bölünmediğini kalan hesaplamadan anlamanın kısa yollarıdır.

⚡ 6 ile bölünme: Hem 2 hem 3 kuralını sağlamalı.  |  12 ile bölünme: Hem 4 hem 3 kuralını sağlamalı.

Örnek soru: 7A4 üç basamaklı sayısı hem 3'e hem 4'e tam bölünüyorsa A rakamı kaçtır?

Çözüm: 4 kuralı: son iki basamak A4 → A4 ÷ 4 tam bölünmeli. A=0: 04÷4=1 ✓, A=4: 44÷4=11 ✓, A=8: 84÷4=21 ✓.
3 kuralı: 7+A+4 = 11+A, 3'e bölünmeli → A=1 (12), A=4 (15✓), A=7 (18✓).
Her iki kuralı da sağlayan: A=4. Cevap: 4

Tanım: Bir a gerçel sayısının mutlak değeri, sayının sayı doğrusunda sıfırdan uzaklığıdır ve her zaman negatif olmayan bir değer verir.

|a| = a,  eğer a ≥ 0   |   |a| = −a,  eğer a < 0

• |−3| = 3  (−3 → −(−3) = 3)
• |5| = 5
• |0| = 0
• |a| ≥ 0 her zaman
• |a · b| = |a| · |b|
• |a + b| ≤ |a| + |b|  (üçgen eşitsizliği)

Mutlak değer eşitsizlikleri:

• |x| < k  ⟹  −k < x < k
• |x| > k  ⟹  x < −k  veya  x > k
• |x − a| < r  ⟹  a − r < x < a + r  (a merkezli, r yarıçaplı aralık)

Örnek soru: |2x − 4| = 6 denkleminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm:
Durum 1: 2x − 4 = 6 → 2x = 10 → x = 5
Durum 2: 2x − 4 = −6 → 2x = −2 → x = −1
Çözüm kümesi: {−1, 5}. Cevap: −1 ve 5

Bir sayının basamakları, sağdan sola birler, onlar, yüzler, binler, … şeklinde isimlendirilir.

İki basamaklı sayı gösterimi: A ve B rakamlarından oluşan AB sayısı → 10A + B

Üç basamaklı sayı: ABC → 100A + 10B + C

Basamak değerlerinin toplamı sayının kendisine eşittir: 4000 + 300 + 70 + 8 = 4378.

Örnek soru: İki basamaklı bir sayının rakamları toplamı 11, rakamlarının yerleri değiştirilince oluşan yeni sayı eskisinden 27 fazladır. Bu sayı kaçtır?

Çözüm: A + B = 11 ve (10B + A) − (10A + B) = 27 → 9(B − A) = 27 → B − A = 3.
A + B = 11, B − A = 3 → B = 7, A = 4. Sayı = 47. Cevap: 47

Tanım: Yalnızca 1 ve kendisine tam bölünebilen, 1'den büyük doğal sayılara asal sayı denir.

• 1 asal sayı değildir (sadece bir böleni var: 1).
• En küçük asal sayı 2'dir.
• 2, tek çift asal sayıdır. Diğer tüm asal sayılar tektir.
• İlk 10 asal sayı: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

Asal mı değil mi? — Hızlı kontrol: n sayısı için √n'ye kadar olan asal sayılara (2, 3, 5, 7, …) bölünüp bölünmediğini deneyin. Hiçbirine bölünmüyorsa asaldır.

Örnek: 97 asal mı? √97 ≈ 9.8 → 2, 3, 5, 7'ye bak. 97÷2=✗, 97÷3=✗, 97÷5=✗, 97÷7=✗ → 97 asaldır.

Örnek soru: p ve p+2 sayılarının ikisi de asal ise p kaç olabilir? (p > 2)

Çözüm: p > 2 ise p tektir. p, p+1, p+2 üç ardışık sayıdan biri 3'ün katıdır. p+1 çift olduğundan 3'ün katı değil. O hâlde ya p ya p+2, 3'ün katıdır. p = 3 → p+2 = 5 (her ikisi asal ✓). p = 5 → p+2 = 7 ✓. Her iki değer de geçerlidir; en küçüğü p = 3. Cevap: 3