Temel İşlemler

Temel işlemlere başlamadan önce hangi sayı kümeleri üzerinde çalıştığımızı bilmek gerekir.

• Doğal sayılar (N): {0, 1, 2, 3, 4, ...} — negatif yok, kesir yok
• Tam sayılar (Z): {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} — negatifler dahil, kesir yok
• Rasyonel sayılar (Q): Kesir biçiminde (a/b) yazılabilen sayılar — 1/2, −3/4, 0,75 gibi
• Gerçel sayılar (R): Tüm rasyonel ve irrasyonel sayılar (√2, π gibi)

Tek ve Çift Sayılar

• Çift sayı: 2'ye kalansız bölünen tam sayı (0, ±2, ±4, ...)
• Tek sayı: 2'ye bölündüğünde 1 kalan tam sayı (±1, ±3, ±5, ...)

Çarpım sonucu tek/çift belirlemek için: tek × tek = tek, diğer tüm çarpımlar çifttir.

Sayılarla işlem yaparken sonucun işaretini doğru belirlemek her şeyin temelidir. Çarpma ve bölme işlemlerinde işaret belirleme aynı kurala tabidir.

Akılda tutmanın kolay yolu şudur: Aynı işaretler çarpılınca ya da bölününce sonuç pozitif, zıt işaretler çarpılınca ya da bölününce sonuç negatif olur.

Bir ifadede parantezin önünde bir işaret ya da katsayı varsa, o değeri parantezin içindeki her terimin üzerine dağıtmak gerekir. Bu işleme parantez açma denir.

Temel Kural

Parantez önündeki işaret veya katsayı, parantez içindeki tüm terimlere teker teker çarpılır.

• -(x + y) ifadesini açınca: -x - y
• -(x - y) ifadesini açınca: -x + y
• 3(x - 2y + z) ifadesini açınca: 3x - 6y + 3z

Sonuçları Sadeleştirme

Parantezler açıldıktan sonra aynı cins terimler (x'ler x'lerle, y'ler y'lerle, sayılar sayılarla) bir araya getirilir ve toplanır veya çıkarılır.

Toplama ve çıkarma işlemlerinde iki temel durum vardır:

Durum 1: İşaretler Aynı

İki sayının işareti aynıysa (ikisi de pozitif ya da ikisi de negatif) mutlak değerleri toplanır ve ortak işaret sonuca yazılır.

• (+7) + (+13) = +20 (her ikisi de artı, topla, işaret artı)
• (-7) + (-13) = -20 (her ikisi de eksi, topla, işaret eksi)

Durum 2: İşaretler Farklı

İki sayının işareti farklıysa (biri pozitif, diğeri negatif) mutlak değerler çıkarılır ve sonucun işareti büyük mutlak değerin işareti olur.

• (+5) + (-3) = +2 (5 büyük, işareti artı)
• (-13) + (+7) = -6 (13 büyük, işareti eksi)

Bir ifadede birden fazla farklı işlem bulunuyorsa belirli bir sıra izlenmelidir. Bu sıraya işlem önceliği denir.

Öncelik Sırası (Yüksekten Düşüğe)

1. Parantez içi — her zaman önce parantezin içi hesaplanır
2. Kuvvet alma — üslü ifadeler hesaplanır
3. Çarpma ve Bölme — soldan sağa doğru sırayla
4. Toplama ve Çıkarma — soldan sağa doğru sırayla

Hatırlama ipucu: "Çanakkale Boğazı'ndan Top Çıkardık" — Ça (Çarpma), B (Bölme), To (Toplama), Ç (Çıkarma).

Örnek

12 + (-3) x 5 ifadesini hesaplayalım:

• Önce çarpma: (-3) x 5 = -15
• Sonra toplama: 12 + (-15) = -3

Kuvvet alma, bir sayıyı belirtilen kez kendisiyle çarpmaktır. Üslü sayılar konusunun temeli burada atılır.

• x² = x kere x (iki tane x'in çarpımı)
• x³ = x kere x kere x (üç tane x'in çarpımı)
• (-x)² = (-x) kere (-x) — iki negatif çarpıldığından sonuç pozitif
• (-x)³ = (-x) kere (-x) kere (-x) — üç negatif çarpıldığından sonuç negatif

Üs Kuralları

Aynı tabanlı üslü ifadeleri işleme sokarken aşağıdaki kuralları ezberleyin:

Negatif Üslü İfadeler

Bir sayının negatif kuvveti, o sayının tersinin pozitif kuvveti anlamına gelir. Negatif üs görünce ters çevir kuralını uygulayın:

• a^(-n) = 1/aⁿ  →  2^(-3) = 1/8
• (a/b)^(-n) = (b/a)^n  →  (2/3)^(-2) = (3/2)² = 9/4
• 3 × 3^(-2) = 3¹ × 3^(-2) = 3^(1-2) = 3^(-1) = 1/3

Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusunda sıfıra olan uzaklığıdır. |x| sembolüyle gösterilir ve her zaman negatif olmayan bir sonuç verir.

• |5| = 5
• |−5| = 5  (−(−5) = 5)
• |0| = 0

Sık Çıkan Soru Tipi 1: |x| = sabit

"|x| = 3 ise x kaçtır?" sorusunda iki durum vardır:

• x = 3 veya x = −3
• Bu iki değerin toplamı = 0, çarpımı = −9

Sık Çıkan Soru Tipi 2: Mutlak Değer İçeren Denklem

|x − 2| = 5 denklemini çözelim:

• Durum 1: x − 2 = 5 → x = 7
• Durum 2: x − 2 = −5 → x = −3

Sık Çıkan Soru Tipi 3: İşaretleri Zıt Eşit Mutlak Değer

"x < 0 < y ve |x| = |y| ise x + y = ?" — mutlak değerleri eşit, işaretleri zıt iki sayının toplamı her zaman 0'dır.

Faktöriyel, 1'den başlayarak belirtilen sayıya kadar olan tüm doğal sayıların çarpımıdır. n! biçiminde gösterilir.

Tanım

n! = 1 x 2 x 3 x ... x n

Faktöriyel Sadeleştirme

Bölme işlemlerinde faktöriyeller kolayca sadeleştirilebilir. Büyük faktöriyeli küçük faktöriyelle bölerken uzun hesap yapmak gerekmez:

Yani büyük faktöriyeli küçük faktöriyelden sonraki sayıdan başlayarak çarp:

• 10! / 8! = 10 × 9 = 90
• 7! / 5! = 7 × 6 = 42
• 6! / 3! = 6 × 5 × 4 = 120

Parantez açmanın tersi işlemidir. Birden fazla terimde ortak çarpan varsa bu çarpan paranteze alınarak ifade sadeleştirilir.

Nasıl Yapılır?

• Tüm terimlerin ortak çarpanını belirle.
• Ortak çarpanı parantez önüne yaz.
• Her terimi ortak çarpana bölerek parantez içini oluştur.

Örnekler

• 3x + 2yx = x(3 + 2y)
• 6 + 2x - 4y = 2(3 + x - 2y)
• 2a + 4ab + 6ac = 2a(1 + 2b + 3c)

Kesir ifadeleri KPSS sorularında sıkça karşımıza çıkar. Temel kuralları hızlıca uygulamak büyük avantaj sağlar.

Ana Kesir Çizgisi: Hangi Sayı Nereye Ait?

Uzun kesir çizgisi (ana çizgi) ifadeyi iki parçaya ayırır. Çizginin üstündeki her şey pay, altındaki her şey paydadır.

• 3 / (2/5): 3 ÷ (2/5) = 3 × 5/2 = 15/2 — payda kesirliyse ters çevir çarp
• (3/2) / 5: (3/2) ÷ 5 = 3/10 — pay kesirliyse paydayı çarp

Toplama ve Çıkarma: Payda Eşitleme

Paydalar aynıysa paylar doğrudan toplanır veya çıkarılır. Paydalar farklıysa ortak paydaya yükseltilerek eşitlenir.

• 1/2 + 2/3: ortak payda 6 → 3/6 + 4/6 = 7/6
• 5/3 - 4: 4 sayısının paydası 1 → 5/3 - 12/3 = -7/3

Çarpma

Paylar kendi aralarında, paydalar kendi aralarında çarpılır. İşlemden önce sadeleştirme yapın.

• 3/5 × 10/9 = 30/45 = 2/3

Bölme

Bölünen aynen kalır, bölen ters çevrilerek çarpma işlemine dönüştürülür.

• 15/7 ÷ 1/7 = 15/7 × 7/1 = 15

Tam Sayılı Kesirden Bileşik Kesre Çevirme

2 tam 1/3 gibi karma sayıları kesre çevirmek için: a tam b/c = (a×c + b)/c

• 2 tam 1/3 = (2×3 + 1)/3 = 7/3
• 3 tam 2/5 = (3×5 + 2)/5 = 17/5

Karma sayılar toplanırken önce bileşik kesre çevirin:

• 2 tam 1/2 + 1 tam 1/3 = 5/2 + 4/3 = 15/6 + 8/6 = 23/6

Ondalık Sayı — Kesir Dönüşümü

Temel dönüşümleri ezberleyin:

• 0,5 = 1/2  |  0,25 = 1/4  |  0,75 = 3/4
• 0,2 = 1/5  |  0,1 = 1/10

Merdivenli (İç İçe) Kesirler

1 + 1/(1 + 1/2) gibi iç içe ifadelerde en içten dışa hesaplayın:

• 1 + 1/2 = 3/2 → 1 + 1/(3/2) = 1 + 2/3 = 5/3

Teleskopik Kesir Çarpımı

Ardışık kesirlerin çarpımında ara terimler sadeleşir:

• 1/2 × 2/3 × 3/4 = 1/4 (ilk pay / son payda)
• (1−1/2)(1−1/3)(1−1/4) = 1/2 × 2/3 × 3/4 = 1/4

Sadeleştirme, bir kesirde pay ve paydanın ortak bir sayıya bölünerek ifadenin basitleştirilmesidir. Oranlama ise iki ifadenin birbirine bölümünü ifade eder.

Sadeleştirme

18/10 ifadesini 2 ile sadeleştirirsek 9/5 elde ederiz. İşlem yapmadan önce sadeleştirme her zaman önceliklidir; büyük sayılarla uğraşmak yerine önce basitleştirin.

Oranlama

A'nın B'ye oranı, A/B biçiminde yazılır.

• 2'nin 3'e oranı = 2/3
• 8'in 5'e oranı = 8/5

Bir eşitlik verildiğinde oranlama hızlıca bulunabilir: 5a = 4b ise a/b = 4/5 olur. Eşitliği bir tarafa çekip oranlamak yerine doğrudan katsayıları ters atamanız yeterlidir.

Bir denklemde bilinmeyeni yalnız bırakmak temel hedeftir. Bunun için aynı cins ifadeler aynı tarafa toplanır: x'ler bir tarafa, sayılar diğer tarafa.

Temel Kural

• Eşitliğin bir tarafındaki terim karşıya geçtiğinde işareti değişir: artı ise eksi olarak, eksi ise artı olarak geçer.
• Sayılar bir tarafa, bilinmeyenli ifadeler diğer tarafa toplanır.
• Son adımda bilinmeyenin katsayısına bölünerek x yalnız bırakılır.

Örnekler

Örnek 1: 2x + 3 = x + 11 denklemini çözelim:

• x'leri sol tarafa, sayıları sağa: 2x - x = 11 - 3
• Sonuç: x = 8

Örnek 2: Kesirli denklem — 4x/3 - x/4 = 1 denklemini çözelim:

• Her iki tarafı 12 ile çarp: 16x - 3x = 12
• 13x = 12, yani x = 12/13

Denklem çözümünde x tam sayı çıkmak zorunda değildir; kesirli sonuç geçerlidir.

Harfli Kesir Denklemleri

1/a + 1/b gibi ifadeleri tek kesre toplarken: 1/a + 1/b = (a + b) / (a × b)

• Örnek: 1/x + 1/y = 3 ve x·y = 2 ise x + y = ?
• (x + y) / (x·y) = 3 → x + y = 3 × x·y = 3 × 2 = 6

Eşitsizlikler, denklemlere çok benzer biçimde çözülür. Tek kritik fark: her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpar veya bölerseniz eşitsizlik işareti tersine döner.

Temel Eşitsizlik Sembolleri

• > — büyüktür
• < — küçüktür
• ≥ — büyük eşittir
• ≤ — küçük eşittir

Altın Kural: Negatifle Çarpmada İşaret Değişir

Örnek

−2x > 8 eşitsizliğini çözelim:

• Her iki tarafı −2'ye bölelim → işaret değişir
• x < −4

Pozitifle Çarpmada İşaret Değişmez

Her iki tarafı pozitif bir sayıyla çarpar ya da bölerseniz işaret değişmez.

• 2x > 8 → her iki tarafı 2'ye böl → x > 4 ✓ (işaret aynı)
• −2x > 8 → her iki tarafı −2'ye böl → x < −4 ✓ (işaret değişti)

KPSS'de sıkça karşılaşılan "bölünen, bölen, bölüm, kalan" soruları tek bir formüle dayanır.

Kalan her zaman 0 ile (bölen - 1) arasındadır. Kalan ≥ bölen olursa bölüm 1 artar, kalan bölen kadar azalır.

Örnek

• Soru: Bölen 12, bölüm 5, kalan 7 ise bölünen kaçtır?
• 1. Adım: Bölünen = 12 × 5 + 7
• 2. Adım: 60 + 7 = 67

Bu yöntem en çok oran-orantı ve problem sorularında karşınıza çıkar. Bir orantıda içler dışlar çarpımı yöntemi kullanılarak denklem kurulabilir. Bu yöntem kesirli denklemleri daha hızlı çözmenizi sağlar.

Kural

a/b = c/d biçimindeki bir ifadede: a x d = b x c

Yani dışlar (a ve d) kendi aralarında, içler (b ve c) kendi aralarında çarpılır ve bu iki çarpım birbirine eşitlenir.

Örnek

2/3 = x/1 denklemini çözelim:

• İçler dışlar: 2 x 1 = 3 x x
• 2 = 3x
• x = 2/3

Son yıllarda KPSS'de klasik hesap soruları yerine mantıksal uygulama gerektiren sorular artmaktadır.

Sık Karşılaşılan Soru Tipleri

• İşlem sembolleri yerleştirme: Boşluklara +, -, ×, ÷ sembollerinden hangilerinin gireceği sorulur. Örnek: 3 ☐ 4 ☐ 2 = 10 ifadesinde ☐ sembolleri nedir? → 3 × 4 - 2 = 10 ✓
• X'in alabileceği değerler toplamı: Örnek: |x| = 3 ise x = 3 veya x = -3 → değerler toplamı 3 + (−3) = 0. Her olası durumu ayrı ayrı çözün, sonuçları toplayın.
• İç içe parantezli ifadeler: İşlem önceliği ve parantez açma birlikte test edilir. Örnek: 2 × [3 + (4 - 1)] = 2 × [3 + 3] = 2 × 6 = 12
• Tam sayılı kesir işlemleri: Negatif tam sayılı kesirlerin toplandığı işlemler. Önce bileşik kesre çevir.

Bu konuda her yıl aynı hatalar tekrarlanır. Listeleyin, ezberleyin, sınavda kaçının.

• Parantezi açarken bir terimi atlamak — kaç terim varsa o kadar çarpma yapılır
• Negatif tam sayılı kesirlerde eksiyi yalnızca tam sayıya uygulamak — eksi tüm ifadeye aittir
• İşlem önceliğini atlamak — soldan sağa düz hesap yapmak
• Negatif üslü ifadelerde tersine çevirmeyi unutmak
• 0! ve 1! sonuçlarını karıştırmak — ikisi de 1'e eşittir, birbirinden farklı değil
• (-3)² ile -3² farkını karıştırmak: (-3)² = 9, ama -3² = -(3²) = -9
• Bölme işleminde paydayı sıfıra eşitleyen x değerini geçerli çözüm saymak
• Sıfırla bölme: 5/0 tanımsızdır ve kullanılamaz; ama 0/5 = 0'dır. Bu ikisini karıştırmayın.