Ardışık Sayılar ve Faktöriyel

Ardışık sayı, aralarındaki fark 1 olan art arda gelen sayılar demektir. KPSS'de bu tanımdan türeyen birkaç önemli alt kavram bulunmaktadır.

Tür	Ardışık Fark	Örnek	Genel Formülü
Ardışık tam sayılar	1	3, 4, 5, 6	n, n+1, n+2, n+3, ...
Ardışık çift sayılar	2	2, 4, 6, 8	2n, 2n+2, 2n+4, ...
Ardışık tek sayılar	2	1, 3, 5, 7	2n+1, 2n+3, 2n+5, ...
Ardışık çift sayılar (alternatif)	2	n, n+2, n+4 (n çift)	n+2k formunda artış

İki Sayı Ardışıksa Ne Yazılır?

Soruda "a ve b ardışık sayıdır" denildiğinde, hangisinin büyük olduğu bilinmediğinden şu eşitlik kurulur:

Benzer şekilde ardışık çift/tek sayılar için: |a - b| = 2 eşitliği kullanılır.

Soruda ardışık sayıların değerlerinin bulunması istendiğinde (toplamları, çarpımları veya bir eşitlikten), sayıları formülize etmek — yani n, n+1, n+2 gibi yazmak — en sağlıklı yoldur.

Formülize Etme Yöntemi

Örnek: x, y, z ardışık sayılar; x < y < z ve 2x · (z - x) = (x - y) koşulu veriliyor; x + y + z = ?

• x = n,  y = n+1,  z = n+2 yaz.
• z - x = 2,  x - y = -1 olduğu görülür (ardışık arası fark).
• Denklemi n ile çöz: n = -6 çıkar.
• Toplam: (-6) + (-5) + (-4) = -15

Örnek: A, B, C ardışık çift sayılar; A < B < C; ifade sadece A, B, C içeriyorsa değer atanır:

• A = 0, B = 2, C = 4 gibi basit değerler atanabilir.
• İfade hesaplanarak sonuç bulunur.

Ardışık sayıların toplamını bulmak için Alman matematikçi Gauss'un keşfettiği formül kullanılır. Gauss, 1'den 100'e kadar olan sayıları şu yöntemle topladı: diziyi tersine yazıp iki diziyi üst üste topladığında her sütun aynı değeri (101) veriyordu. 100 tane 101 var ama her sayı iki kez sayıldığından sonuç 100 × 101 / 2 = 5050 oldu.

Temel Toplam Formülleri

Dizi	Formül	Örnek
1'den n'ye ardışık doğal sayılar	n × (n + 1) / 2	1+2+...+10 = 10×11/2 = 55
1'den 2n'ye ardışık çift sayılar	n × (n + 1)	2+4+6+8 = 4×5 = 20
1'den (2n-1)'e ardışık tek sayılar	n²	1+3+5+7 = 4² = 16

Genel Toplam Formülü (Okey Formülü)

Herhangi iki sayı arasındaki ardışık sayıların toplamı için:

Örnek: 3 + 5 + 7 + 9 + 11 = ?  →  Orta: (3+11)/2 = 7,  Terim sayısı: (11-3)/2 + 1 = 5  →  7 × 5 = 35

Ardışık sayıların toplamı verilip sayılardan biri sorulduğunda en pratik yöntem şudur:

Ortadaki sayıyı bulduktan sonra kaçıncı terim olduğunu hesaplayıp istenene ulaşılır.

Örnekler

Örnek 1: Ardışık 5 doğal sayının toplamı 75'tir. En küçük sayı kaçtır?

• Orta = 75 / 5 = 15
• 5 sayının ortası 3. sayıdır (1, 2, 3, 4, 5).
• En küçük: 13, 14, 15, 16, 17 → En küçük = 13

Örnek 2: Ardışık 11 tek doğal sayının toplamı 143'tür. En büyük sayı kaçtır?

• Orta = 143 / 11 = 13
• 11 sayının ortası 6. sayıdır. Bulmak için: (11 + 1) / 2 = 6. sayı.
• Ardışık tek sayılar 2'şer artar: ..., 9, 11, 13, 15, 17, ..., 23
• En büyük = 23

Örnek 3: Ardışık 6 çift sayının toplamı 66'dır. En büyük sayı kaçtır?

• Orta = 66 / 6 = 11
• 6 sayı için orta konum: (6 + 1) / 2 = 3,5 → 3. ve 4. sayı arasında.
• Çift sayılar: 6, 8, 10, 12, 14, 16 → Toplam kontrol: 66 ✓
• En büyük = 16

Terim Sayısı Formülü

Bir ardışık dizide kaç eleman olduğunu bulmak için:

Örnek: 3, 6, 9, ..., 300 dizisinde kaç terim var?  →  (300 − 3) / 3 + 1 = 100 terim

Bir Dizinin Genel (n. Eleman) Formülü

Belirli bir kuralla büyüyen dizide n. elemanı bulmak için genel formül üretilir:

1. Artış miktarını bul (aradaki fark).
2. Formülün başına artış miktarı × n yaz.
3. n = 1 için ilk eleman değerini veren sabiti bul.

Örnek: 7, 11, 15, 19, ... dizisinin n. elemanı nedir?

• Artış = 4, bu yüzden 4n ile başla.
• n = 1 için: 4 × 1 = 4, ama ilk eleman 7. Fark: 7 − 4 = 3.
• Genel formül: 4n + 3
• 20. eleman: 4 × 20 + 3 = 83

Bazen ardışık sayılar artı-eksi dönüşümlü sıralanmıştır:

2027 − 2026 + 2025 − 2024 + ... + 1003 − 1002 + 1001

Bu tür ifadelerde ikili gruplandırma yapılır:

Kaç tane 1 var? 2027'den 1002'ye kadar terim sayısı: (2027 − 1002) / 1 + 1 = 1026 terim. İkili gruplanınca 1026 / 2 = 513 tane 1. Sonuç: 513 + 1001 = 1514.

Bir kitap 1'den n'ye kadar numaralandırılırken kaç rakam kullanıldığını bulmak KPSS'de sıkça çıkan bir uygulama sorusudur.

Adım Adım Yöntem

Sayıları basamak sayısına göre grupla:

• 1 basamaklı: 1−9 arası → 9 sayı → 9 × 1 = 9 rakam
• 2 basamaklı: 10−99 arası → 90 sayı → 90 × 2 = 180 rakam
• 3 basamaklı: 100−n arası → (n − 100 + 1) sayı → her biri × 3 rakam

Örnek: 1'den 120'ye kadar numaralandırılan kitapta kaç rakam kullanılır?

• 1−9: 9 rakam
• 10−99: 90 × 2 = 180 rakam
• 100−120: 21 × 3 = 63 rakam
• Toplam: 9 + 180 + 63 = 252 rakam

Kısa Formüller (Özel Çözüm)

Kitap (n sayfaya kadar)	Formül
2 basamaklı son sayfa (10 ≤ n ≤ 99)	2n − 9
3 basamaklı son sayfa (100 ≤ n ≤ 999)	3n − 108

Doğrulama: n = 120 için → 3 × 120 − 108 = 360 − 108 = 252 ✓

Belirli Bir Basamakta Hangi Rakam Var?

Örnek: "1'den 80'e kadar yan yana yazılan sayının soldan 92. basamağındaki rakam nedir?"

1. 1-9 arası tek basamaklı: 9 sayı × 1 rakam = 9 rakam. 92 − 9 = 83 rakam kaldı.
2. 10'dan itibaren sayılar 2 basamaklı. 83 ÷ 2 = 41 tam, 1 kalan → 41 tam 2-basamaklı sayı tüketilir (10–50), kalan 1 rakam 51'in ilk rakamına denk gelir.
3. Kontrol: 9 + 41 × 2 = 9 + 82 = 91. basamak "50"nun son rakamı. 92. basamak → 51'in birinci rakamı = 5.

Faktöriyel, 1'den o sayıya kadar olan tüm doğal sayıların çarpımıdır. n faktöriyel → n! biçiminde gösterilir.

Temel Değerler Tablosu

Faktöriyel	Değer	Not
0!	1	Özel tanım — ezberle!
1!	1	0! = 1! = 1 (tek eşit çift)
2!	2
3!	6
4!	24
5!	120	5!'den itibaren tüm faktöriyeller 0 ile biter

Faktöriyellerin toplanması, çıkarılması veya bölünmesini içeren ifadelerde temel strateji: en küçük faktöriyeli parantez dışına çek (benzet ve yok et).

Toplama / Çıkarma İçeren Faktöriyeller

Örnek 1: (8! + 7!) / 6! = ?

• 8! = 8 × 7 × 6!,  7! = 7 × 6! → ortak parantez: 6!(8 × 7 + 7)
• (6! × (56 + 7)) / 6! = 56 + 7 = 63

Örnek 2: (10! + 9!) / (10! − 9!) = ?

• 9!(10 + 1) / 9!(10 − 1) = 11 / 9

Örnek 3: (4!² − 3!²) / (4!² + 3!²) = ?

• Önce faktöriyelleri hesapla: 4! = 24, 3! = 6
• 4!² = 24² = 576,  3!² = 6² = 36
• Pay: 576 − 36 = 540
• Payda: 576 + 36 = 612
• 540 / 612 → her ikisini 36'ya böl: 15/17

Kısa yol: 4! = 4 × 3! olduğundan ortak çarpan 3!² çıkar → üst: 3!²(4² − 1) = 3!² × 15, alt: 3!²(4² + 1) = 3!² × 17 → sadeleşir: 15/17

Bilinmeyenli Faktöriyel Denklemleri

Örnek: n! / (n−2)! = 30 ise n = ?

• n! = n × (n−1) × (n−2)! → sadeleştirince: n × (n−1) = 30
• 30 = 6 × 5 → n = 6

Örnek 2: (n+1)! / (n−1)! = 56 ise n = ?

• (n+1)! = (n+1) × n × (n−1)! → sadeleştirince: (n+1) × n = 56
• 56 = 8 × 7 → n+1 = 8, n = 7

n! ifadesinin sonundaki ardışık sıfır sayısını bulmak için içinde kaç tane 5 çarpanı bulunduğuna bakılır. Bunun nedeni: sondaki her 0 için hem bir 5 hem bir 2 gereklidir; 2'ler daima fazla olduğundan belirleyici olan 5'lerin sayısıdır.

Sondaki 9 Sayısı

n! − 1 ifadesinin sondaki 9 sayısı, n!'ın sondaki 0 sayısına eşittir. Çünkü n!'ın sonundaki 0'lardan 1 çıkartılınca 0 → 9 olur ve zincirleme bütün 0'lar 9'a döner.

Örnek: 40! − 1'in sondan kaç basamağı 9'dur? → 40!'ın sıfır sayısı: ⌊40/5⌋ + ⌊40/25⌋ = 8 + 1 = 9 → sondaki 9 sayısı da 9'dur.

Toplam İçeren İfadeler

Durum	Yöntem
a! + b! (ardışık değil)	Küçük olan (a veya b)'yi 5'e böl
a! + b! (ardışık, örn. 23! + 24!)	Düzenle: 23!(1 + 24) = 23! × 25 → her iki kısımdaki 5'leri topla

Örnek: 23! + 24! ifadesinin sonunda kaç 0 var?

• 23! + 24! = 23!(1 + 24) = 23! × 25
• 23!'taki 5 sayısı: ⌊23/5⌋ + ⌊23/25⌋ = 4 + 0 = 4
• 25 = 5² → 2 tane 5
• Toplam: 4 + 2 = 6 sıfır

n! içinde belirli bir asal sayının kaç tane olduğunu bulmak için sürekli bölme yapılır. Bu bilgi özellikle "kaç farklı değer alır", "en büyük değer nedir" gibi KPSS sorularında kullanılır.

Asal Olmayan Sayılar İçin

n! = k^x × a ifadesinde k asal değilse:

1. k'yı asal çarpanlarına ayır.
2. Her asal çarpan için adet hesapla.
3. Belirleyici olan (az olan) asal çarpanın adedine bak.

Örnek: 23! = 6^x × a ifadesinde x'in alabileceği en büyük değer nedir?

• 6 = 2 × 3 → 3 daha az çıkar, bu yüzden 3'e bak.
• 23!'taki 3 sayısı: ⌊23/3⌋ + ⌊23/9⌋ + ⌊23/27⌋ = 7 + 2 + 0 = 9
• En büyük x = 9 (x doğal sayı olduğundan 0, 1, 2, ..., 9 → 10 farklı değer)

Örnek: 17! = 8^n × a'da n'nin en büyük değeri nedir?

• 8 = 2³ → 17!'ın içinde 2 adedi: ⌊17/2⌋ + ⌊17/4⌋ + ⌊17/8⌋ + ⌊17/16⌋ = 8 + 4 + 2 + 1 = 15
• 8 = 2³ olduğundan 3n ≤ 15 → n ≤ 5 → en büyük n = 5

Bir Faktöriyeli Kare Yapmak

n! sayısının en küçük hangi pozitif tam sayıyla çarpılırsa sonuç tam kare olur?

• n!'ın tüm asal çarpanlarının adetlerini bul.
• Tek sayıda olan kuvvetler kare oluşturmaz; bunları 1 artır (bir kez çarp).
• Çarpılacak sayı: tek adette kalan her asal sayının çarpımı.

Örnek: 11!'ın tam kare olması için çarpılacak en küçük sayı nedir?

• 11! içindeki asaller: 2^8, 3^4, 5^2, 7^1, 11^1
• Çift üslüler (8, 4, 2) tamam; tek üslüler: 7^1 ve 11^1.
• Çarpılacak sayı = 7 × 11 = 77

Bir sayıyı faktöriyel biçiminde yazmak için ardışık sayıların çarpımına dönüştür, sonra en küçük kısmı faktöriyel ile tamamla.

Nasıl Yapılır?

Örnek: 8 × 7 ifadesini faktöriyel olarak yaz.

• 8 × 7 × 6! / 6! = 8! / 6!

Örnek: 72 × 7 ifadesini faktöriyel olarak yaz.

• Önce 72'yi çarpanlarına ayır: 72 = 9 × 8
• Yerine yaz: 72 × 7 = 9 × 8 × 7 → ardışık üç sayı (9, 8, 7)
• Alttan 6! ile tamamla: 9 × 8 × 7 × 6! / 6! = 9! / 6!

Faktöriyel Bölümünden AB İkilisi Bulma

Örnek: A! = 6 × B! eşitliğini sağlayan kaç farklı (A, B) ikilisi var?

• 6 = 6 × 1 × 5! / 5! = 6!/5! → A=6, B=5 ✓
• 6 = 3 × 2 × 1! / 1! = 3!/1! → A=3, B=1 ✓
• 3!/0! = 6/1 = 6 → A=3, B=0 ✓ (çünkü 0!=1)
• Toplam: 3 farklı ikili

Ardışık Sayılar — Sık Çıkan Tipler

Soru Tipi	Çözüm Stratejisi
A, B, C ardışık + ifade sonucu	Değer ata (0, 2, 4 gibi)
A, B, C ardışık + eşitlik	n, n+1, n+2 yaz, denklemi çöz
n sayının toplamı verilmiş, en küçük/büyük sor	Orta = toplam ÷ terim sayısı
Kitap numaralandırma (kaç rakam)	Basamak grupları; formül: 3n−108
Belirli basamaktaki rakamı bul	Basamak adedini grup grup tüket

Faktöriyel — Sık Çıkan Tipler

Soru Tipi	Çözüm Stratejisi
a! ± b! işlemi	Küçük olanı dışarı çek (benzet yok et)
n!'ın sonunda kaç 0 var?	n'yi sürekli 5'e böl, topla
n! = k^x × a'da x'in max değeri	k'yı asal çarpanla, belirleyiciyi 5'e böl
x! sondan kaç basamağı 0 ise x kaç değer alır?	Sınır değerleri dene (25→6 sıfır, 30→7 sıfır)
n! × m içindeki 0 sayısı (ardışık)	Düzenle → her iki kısımdaki 5'leri topla