Rasyonel Sayılar

Rasyonel sayı, a ve b birer tam sayı olmak üzere ve b ≠ 0 koşuluyla a/b şeklinde yazılabilen sayılardır. Burada a sayısına pay, b sayısına payda denir.

Temel Kavramlar

Rasyonel sayılar kümesi Q harfiyle gösterilir. Doğal sayılar, tam sayılar ve kesirli sayılar bu kümenin alt kümeleridir. Yani her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır (örneğin 5 = 5/1).

Önemli Kural: Payda Sıfır Olamaz

Paydanın sıfır olması durumunda ifade tanımsız olur. Bu, matematiğin en temel kurallarından biridir.

• 0/7 = 0 → Pay sıfırsa sonuç sıfırdır. Bu bir rasyonel sayıdır.
• 7/0 → Tanımsız. Payda sıfır olduğu için bu bir rasyonel sayı değildir.
• 1/2, 3/5, -7/5, -3/7 → Hepsi rasyonel sayıdır.

Tanımsızlık Soruları

KPSS'de sıkça "Hangi x değeri için kesir tanımsızdır?" şeklinde sorular çıkar. Burada paydayı sıfır yapan x değerini bulmak yeterlidir.

Örnek: 1/(x - 2) kesrini tanımsız yapan x değeri nedir?

x - 2 = 0 → x = 2. x = 2 olduğunda payda sıfır olur ve kesir tanımsız hale gelir.

Kesirler üç ana gruba ayrılır: basit kesir, bileşik kesir ve tam sayılı kesir. Bu sınıflandırmayı bilmek, işlemlerde doğru yöntemi seçmek için şarttır.

1. Basit Kesir

Payın mutlak değeri paydasının mutlak değerinden küçük olan kesirlerdir. Sonucu 0 ile 1 arasında (veya -1 ile 0 arasında) bir değerdir.

• 1/2 → Basit kesir (1 < 2)
• -1/7 → Basit kesir (eksiyi görmezden gel: 1 < 7)
• -3/5 → Basit kesir (3 < 5)
• 0/4 → Basit kesir (0 < 4)

2. Bileşik Kesir

Payın mutlak değeri paydasının mutlak değerinden büyük veya eşit olan kesirlerdir. Sonucu 1'den büyük veya 1'e eşittir.

• 7/3 → Bileşik kesir (7 > 3)
• -2/1 → Bileşik kesir (2 > 1)
• 5/5 → Bileşik kesir (5 = 5, sonuç 1'dir)

3. Tam Sayılı Kesir

Bileşik kesirlerin "tam kısım + basit kesir" şeklinde yazılmış halidir.

Gösterim: a tam b/c → Bileşik kesre çevirme: (a × c + b) / c

Örnek: 2 tam 3/5 = (2 × 5 + 3) / 5 = 13/5

Ters işlem: 17/4 → 17 ÷ 4 = 4 kalan 1 → 4 tam 1/4

4. Denk (Eşit) Kesirler

Pay ve payda aynı sıfırdan farklı sayıyla çarpılır veya bölünürse kesrin değeri değişmez.

1/2 = 2/4 = 3/6 = 5/10 → Hepsi denk kesirlerdir ve aynı rasyonel sayıyı gösterir.

Sabit Kesir

Payda sabitken pay arttıkça kesir büyür. Pay sabitken payda arttıkça kesir küçülür. Bu özellik karşılaştırma bölümünde çok işe yarar.

Kesirlerde toplama ve çıkarma yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir. Paydalar zaten eşitse doğrudan paylar toplanır veya çıkarılır. Farklıysa önce payda eşitleme yapılır.

Paydalar Eşitse

Paydalar aynı olduğunda sadece payları topla veya çıkar, paydayı aynen yaz.

a/c + b/c = (a + b) / c     a/c - b/c = (a - b) / c

Örnek: 3/7 + 2/7 = 5/7   |   8/11 - 3/11 = 5/11

Paydalar Farklıysa: Payda Eşitleme

Farklı paydalı kesirleri toplamak veya çıkarmak için paydaları eşitlemeniz gerekir. Bunun için paydaların EKOK'unu bulun.

Adım Adım Yöntem

1. Paydaların EKOK'unu bulun (ortak payda).
2. Her kesrin paydasını ortak paydaya tamamlamak için gereken çarpanı belirleyin.
3. Aynı çarpanla payı da çarpın.
4. Payları toplayın veya çıkarın, payda aynı kalır.
5. Gerekiyorsa sadeleştirin.

Örnek: 2/3 + 4/5

EKOK(3, 5) = 15.

• 2/3 → 15 ÷ 3 = 5, yani 2 × 5 = 10 → 10/15
• 4/5 → 15 ÷ 5 = 3, yani 4 × 3 = 12 → 12/15

2/3 + 4/5 = 10/15 + 12/15 = 22/15 = 1 tam 7/15

Örnek: 5/6 - 1/4

EKOK(6, 4) = 12.

• 5/6 → 12 ÷ 6 = 2, pay: 5 × 2 = 10 → 10/12
• 1/4 → 12 ÷ 4 = 3, pay: 1 × 3 = 3 → 3/12

5/6 - 1/4 = 10/12 - 3/12 = 7/12

Üç Kesrin Toplamı

Örnek: 1/2 + 1/3 + 1/6. EKOK(2, 3, 6) = 6.

3/6 + 2/6 + 1/6 = 6/6 = 1

Kesirlerde çarpma ve bölme, toplama-çıkarmaya göre daha kolaydır çünkü payda eşitlemeye gerek yoktur.

Kesirlerde Çarpma

İki kesri çarpmak için: pay × pay, payda × payda.

a/b × c/d = (a × c) / (b × d)

Örnek: 2/3 × 5/7 = 10/21

Örnek: 5/11 × 11/15. Çarpmadan önce sadeleştirelim: 11'ler sadeleşir, 5 ile 15 sadeleşir (5'e böl). Sonuç: 1/3

Çarpma Öncesi Sadeleştirme (Çapraz Sadeleştirme)

İşlemi kolaylaştırmak için çarpmadan önce çapraz sadeleştirme yapabilirsiniz: birinci kesrin payı ile ikinci kesrin paydasını veya tersi şekilde sadeleştirin.

Örnek: 6/35 × 7/12. 6 ile 12'yi 6'ya böl (1 ve 2). 7 ile 35'i 7'ye böl (1 ve 5). Sonuç: 1/5 × 1/2 = 1/10

Kesirlerde Bölme

Bir kesri başka bir kesre bölmek için: ikinci kesri ters çevirip çarparsınız.

a/b ÷ c/d = a/b × d/c = (a × d) / (b × c)

Örnek: 3/7 ÷ 21/5 = 3/7 × 5/21 = 15/147 = 5/49

Örnek: -3/7 ÷ ... → Ters çevir: 7/-3. Eksi varsa sonucu negatif yapar.

Tam Sayı ile Kesir Çarpma/Bölme

Tam sayıyı 1 paydası ile kesir yapıp işlem yapın.

• 4 × 3/5 = 4/1 × 3/5 = 12/5 = 2 tam 2/5
• 6 ÷ 2/3 = 6/1 × 3/2 = 18/2 = 9

Kesirleri karşılaştırma ve sıralama KPSS'de sıkça karşınıza çıkar. Üç temel yöntem vardır: paylar eşitse, paydalar eşitse ve pay-payda farkı yöntemi.

Yöntem 1: Paylar Eşitse

Pozitif kesirlerde paylar eşitse, paydası büyük olan kesir küçüktür.

Mantık: Bir pastayı 5'e bölmek mi yoksa 10'a bölmek mi daha küçük dilim verir? Tabii ki 10'a bölmek. Payda büyüdükçe dilim küçülür.

Örnek: 3/5, 3/8, 3/11 → Paylar eşit (hepsi 3). Paydası en büyük olan en küçüktür:

3/11 < 3/8 < 3/5

Yöntem 2: Paydalar Eşitse

Pozitif kesirlerde paydalar eşitse, payı büyük olan kesir büyüktür.

Örnek: 5/7, 11/7, 19/7 → Paydalar eşit (hepsi 7). Payı büyük olan büyüktür:

5/7 < 11/7 < 19/7

Yöntem 3: Pay-Payda Farkı Yöntemi

Ne paylar ne de paydalar eşitlenebiliyorsa, pay ile payda arasındaki farka bakılır. Bu yöntem, 1'e yakın kesirlerde (pay ve payda arasındaki fark küçükse) çok işe yarar.

Örnek: 7/8, 11/12, 17/18 → Her birinde payda - pay = 1. Bu durumda paydası büyük olan 1'e daha yakındır, dolayısıyla daha büyüktür:

7/8 < 11/12 < 17/18

Yöntem 4: Çapraz Çarpım

İki kesri doğrudan karşılaştırmak için: a/b ile c/d'yi karşılaştırırken a × d ile b × c'yi karşılaştırın.

a × d > b × c ise a/b > c/d

Örnek: 3/7 ile 5/11'i karşılaştıralım. 3 × 11 = 33, 7 × 5 = 35. 33 < 35 olduğundan 3/7 < 5/11.

Negatif Kesirlerde Sıralama

Negatif kesirlerde sıralama ters çalışır. Pozitif kesirlerde büyük olan, negatif yapıldığında küçük olur. Önce pozitif gibi düşünüp sıralayın, sonra işaretleri ekleyip sıralamayı ters çevirin.

KPSS'de kesirlerle ilgili problemler genellikle günlük hayat senaryolarıyla sorulur: pasta paylaşma, su şişesi, pizza dilimi gibi. Bu problemlerde kesir kavramını somutlaştırmak önemlidir.

Parça-Bütün İlişkisi

Bir bütünün kesirle ifade edilen kısmını bulmak için: Bütün × Kesir = Parça.

Örnek: 600 gramlık bir pizzanın 2/3'ü yenmiştir. Kaç gram yenmiştir?

600 × 2/3 = 400 gram.

Eşit Paylaşım Problemleri

Örnek: Ali ve Ayşe iki pizzayı eşit olarak paylaşacaktır. Bir pizza 400 gram, diğeri 600 gram ise her biri kaç gram alır?

Toplam = 400 + 600 = 1000 gram. Her biri = 1000 / 2 = 500 gram.

Sayı Doğrusunda Kesirler

0 ile 1 arasını 4 eşit parçaya böldüğümüzde her aralık 1/4'tür. Sayı doğrusunda:

• 0, 1/4, 2/4 (=1/2), 3/4, 1 noktaları elde edilir.
• -1 ile 0 arasını 4'e bölersek: -1, -3/4, -2/4, -1/4, 0 noktaları oluşur.

Eşit Uzaklık Problemleri

Örnek: Sayı doğrusunda 1 ve 5'e eşit uzaklıkta olan sayı hangisidir?

İki sayının tam ortası = (1 + 5) / 2 = 3.

Kesirli versiyonda: 1/3 ve 5/3'e eşit uzaklıkta olan sayı = (1/3 + 5/3) / 2 = 6/3 ÷ 2 = 1.

Su Şişesi Problemi

Örnek: 2 litrelik su şişesinin önce 1/4'ü, sonra kalan kısmın 1/5'i içiliyor. Şişede kaç litre su kalır?

1. İlk içilen: 2 × 1/4 = 1/2 litre. Kalan: 2 - 1/2 = 3/2 litre.
2. İkinci içilen: 3/2 × 1/5 = 3/10 litre. Kalan: 3/2 - 3/10.
3. EKOK(2, 10) = 10. 15/10 - 3/10 = 12/10 = 6/5 litre = 1.2 litre.

Karışık işlemlerde tam sayılar, kesirler ve parantezler bir arada bulunur. İşlem önceliğini doğru uygulamak hatasız sonuca ulaşmanın anahtarıdır.

Tam Sayılı Kesirleri Dönüştürme

Karışık işlemlere başlamadan önce tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirin.

Örnek: 3 tam 2/5 + 1 tam 1/3

1. 3 tam 2/5 = (3 × 5 + 2)/5 = 17/5
2. 1 tam 1/3 = (1 × 3 + 1)/3 = 4/3
3. 17/5 + 4/3. EKOK(5, 3) = 15. 51/15 + 20/15 = 71/15 = 4 tam 11/15

İşlem Önceliği Kuralları

1. Parantez → Önce parantezin içi hesaplanır.
2. Çarpma ve Bölme → Soldan sağa doğru yapılır.
3. Toplama ve Çıkarma → En son, soldan sağa doğru yapılır.

Örnek: 2 + 1/3 × 6 - 4/5

1. Önce çarpma: 1/3 × 6 = 6/3 = 2
2. Sonra toplama ve çıkarma: 2 + 2 - 4/5 = 4 - 4/5
3. 4 = 20/5. Sonuç: 20/5 - 4/5 = 16/5 = 3 tam 1/5

Parantezli İşlem Örneği

Örnek: (3/4 + 1/2) × (2/3 - 1/6)

1. Birinci parantez: 3/4 + 2/4 = 5/4
2. İkinci parantez: 4/6 - 1/6 = 3/6 = 1/2
3. Çarpma: 5/4 × 1/2 = 5/8

Negatif Sayılarla Kesir İşlemleri

Eksi işareti paya, paydaya veya kesir çizgisinin önüne yazılabilir; hepsi aynı anlama gelir:

-a/b = a/(-b) = -(a/b)

Dikkat: -2 + 8/3 ifadesinde işlem önceliğine göre -2 ile 8/3'ü toplamanız gerekir: -6/3 + 8/3 = 2/3.

Aşağıda KPSS'de çıkabilecek tarz ve zorlukta örnekler adım adım çözülmüştür.

Örnek 1: Değişken İçeren Kesir

5 - x / (x + 2) = 0 ise x kaçtır?

Çözüm: Kesrin sıfır olması için pay sıfır olmalıdır (payda sıfır değilken).

5 - x = 0 → x = 5. Kontrol: x + 2 = 7 ≠ 0 ✓

Örnek 2: Oran Problemi

2'nin -6'ya oranı = -k/3 ise k kaçtır?

Çözüm: 2/(-6) = -k/3. Sadeleştir: -1/3 = -k/3. O halde k = 1.

Örnek 3: Tam Sayılı Kesir İşlemi

2 tam 3/5 + 1 tam 1/4 = ?

Çözüm:

1. 2 tam 3/5 = 13/5,   1 tam 1/4 = 5/4
2. EKOK(5, 4) = 20. 52/20 + 25/20 = 77/20 = 3 tam 17/20

Örnek 4: Çok Adımlı İşlem

1/(1 + 1/(1 + 1/2)) = ?

Çözüm: Alttan başlayarak çözelim.

1. En iç: 1 + 1/2 = 3/2
2. Bir üst: 1 + 1/(3/2) = 1 + 2/3 = 5/3
3. En dış: 1/(5/3) = 3/5

Örnek 5: A ve B'yi Bulma

İki kesrin toplamı 11/13 ve farkı 5/13 ise A × B kaçtır?

Çözüm:

• A + B = 11/13, A - B = 5/13
• Taraf tarafa topla: 2A = 16/13 → A = 8/13
• A - B = 5/13 → B = 8/13 - 5/13 = 3/13
• A × B = 8/13 × 3/13 = 24/169

Örnek 6: Büyük Kesir Çizgisi

(3 + 4/12) / (2 + 1/6) = ?

Çözüm:

1. Üst: 3 + 4/12 = 3 + 1/3 = 10/3
2. Alt: 2 + 1/6 = 13/6
3. Bölme: 10/3 ÷ 13/6 = 10/3 × 6/13 = 60/39 = 20/13

Rasyonel sayılar konusu KPSS Genel Yetenek'te her yıl en az 2 soru olarak karşınıza çıkar. Aşağıda sınavda en sık rastlanan soru tipleri ve bunlara yaklaşım stratejileri özetlenmiştir.

Sık Görülen Soru Tipleri

Sınav Günü Stratejileri

• İlk adım: Tam sayılı kesirleri bileşik kesre çevirin. Karışık işlem yaparken tam sayılı kesirlerle uğraşmak hata kaynağıdır.
• Sadeleştirmeyi unutmayın. Çarpmadan önce çapraz sadeleştirme, toplamadan sonra sonuç sadeleştirmesi yapın.
• İşaret hatalarına dikkat. Eksi işaretini parantez dışına çıkarırken işaretlerin değiştiğini unutmayın.
• Karşılaştırmada çapraz çarpım kullanın. Payda eşitleme uzun sürüyorsa çapraz çarpım daha hızlıdır.
• Sağlama yapın. Bulduğunuz sonucu soruya geri koyup doğrulayın. 10 saniye sürer, 1 net kurtarabilir.

Özet Formül Tablosu