Oran Orantı

Oran, iki niceliğin birbirine bölümüdür. a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere a'nın b'ye oranı a/b olarak yazılır ve "a bölü b" şeklinde okunur. Oran bir kesir olarak ifade edilir ve birim yoktur.

Temel Tanımlar

a'nın b'ye oranı = a/b   |   b'nin a'ya oranı = b/a

Oranın Temel Özelliği

Oranın pay ve paydası aynı sayıyla çarpılır veya bölünürse oranın değeri değişmez. Bu kural, oranları karşılaştırırken ve orantı kurarken temel araçtır.

a/b = (a × k) / (b × k) = (a ÷ m) / (b ÷ m)   (k ≠ 0, m ≠ 0)

Adım Adım Örnek

Soru: a ve b pozitif tam sayılar olmak üzere a/b = 8/9 ise a + b'nin en küçük değeri kaçtır?

1. a/b = 8/9 olduğuna göre a = 8K, b = 9K (K pozitif tam sayı)
2. En küçük değer: K = 1 ise a = 8, b = 9
3. a + b = 8 + 9 = 17

Soru: 2a + b / 3a - b = 5/3 olduğuna göre a/b = ?

1. İçler dışlar çarpımı: 3(2a + b) = 5(3a - b)
2. 6a + 3b = 15a - 5b
3. 8b = 9a → a/b = 8/9
4. Sonuç: a/b = 8/9

Orantı, iki oranın birbirine eşit olmasıdır. a/b = c/d biçimindeki eşitliğe orantı denir. Bu eşitlikte a ve d'ye dışlar, b ve c'ye içler adı verilir.

İçler Dışlar Çarpımı

a/b = c/d ⇒ a × d = b × c   (İçler × Dışlar)

Orantı Sabiti (K) Yöntemi

a/b = c/d = K olsun. O zaman a = bK ve c = dK. Bu ifadeleri sorudaki diğer denklemlere yerleştirerek K'yı buluruz.

Adım Adım Örnek

Soru: a/b = c/d = e/f = K ve 2a + 3c + e = 26 ise 2b + 3d + f = ?

1. a = bK, c = dK, e = fK yazalım
2. 2(bK) + 3(dK) + fK = 26 → K(2b + 3d + f) = 26
3. İstenen: 2b + 3d + f → bu ifade 26/K'ya eşittir
4. K değeri verilmişse veya hesaplanabiliyorsa sonucu bul

Soru: a/4 = b/9 = K ise a = 4K, b = 9K. Eğer a + b = 26 ise K = 2 ve a = 8, b = 18.

Doğru orantı, iki nicelikten biri artarken diğerinin de aynı oranda arttığı (veya biri azalırken diğerinin de aynı oranda azaldığı) ilişkidir. Formül: A/B = K (sabit oran).

Doğru Orantının Tanınması

Biri artarken diğeri de artıyorsa → Doğru Orantı → A = K × B

Adım Adım Örnek

Soru: A, B ve C sayıları sırasıyla 2, 3 ve 5 ile doğru orantılıdır. A + B + C = 240 ise en büyük sayı kaçtır?

1. Doğru orantı: A = 2K, B = 3K, C = 5K
2. Toplam: 2K + 3K + 5K = 10K = 240
3. K = 24
4. En büyük: C = 5K = 5 × 24 = 120

Soru: Yaşları 2, 3 ve 5 oranında olan 3 çocuğa 240 lira yaşlarıyla doğru orantılı olarak paylaştırılıyor. En küçük kaç lira alır?

1. Doğru orantı: 2K + 3K + 5K = 10K = 240
2. K = 24
3. En küçük pay: 2K = 2 × 24 = 48 lira

Ters orantı, iki nicelikten biri artarken diğerinin azaldığı ilişkidir. Formül: A × B = K (çarpımları sabit). Biri 2 katına çıkarsa diğeri yarısına iner.

Ters Orantının Tanınması

Biri artarken diğeri azalıyorsa → Ters Orantı → A × B = K

Ters Orantıda K Yöntemi

Ters orantıda oranlar tersine çevrilir. A, B ve C sayıları sırasıyla 2, 3 ve 5 ile ters orantılı ise:

• A = K/2, B = K/3, C = K/5
• Toplamı verilmişse paydaları eşitleyip K'yı bul

Adım Adım Örnek

Soru: Bir ifade 3 ile ters orantılı, 5 ile ters orantılıdır. K/3 + K/5 = 62 ise K = ?

1. Paydaları eşitle: EKOK(3, 5) = 15
2. 5K/15 + 3K/15 = 62 → 8K/15 = 62
3. 8K = 930 → K = 930/8

Soru: 540 koyunun bulunduğu bir çiftlikte 120 günlük yem vardır. 180 koyun satılırsa yem kaç gün yeter?

1. Koyun sayısı ile gün ters orantılı (koyun azalırsa gün artar)
2. Koyun × Gün = sabit: 540 × 120 = 360 × x
3. x = (540 × 120) / 360 = 180 gün

Soru: A × B = 8 olduğuna göre olası (A, B) pozitif tam sayı çiftleri nelerdir?

1. 1 × 8 = 8 √
2. 2 × 4 = 8 √
3. 4 × 2 = 8 √
4. 8 × 1 = 8 √

Bileşik orantı, bir niceliğin birden fazla nicelikle aynı anda orantılı olduğu durumlarda kullanılır. Bir kısmı doğru orantılı, bir kısmı ters orantılı olabilir. KPSS'de en çok bu tarz sorular gelir.

Bileşik Orantı Kuralı

Doğru orantılı → aynen yaz   |   Ters orantılı → tersini yaz

İşçi-Gün-Saat Problemleri

İşçi sayısı × Günlük saat × Gün sayısı = Sabit (aynı iş için).

Adım Adım Örnek

Soru: 8 işçi günde 4 saat çalışarak bir işi 5 günde bitiriyor. 15 işçi günde kaç saat çalışarak aynı işi 20 günde bitirir?

1. İşçi × Saat × Gün = Sabit (aynı iş)
2. 8 × 4 × 5 = 15 × x × 20
3. 160 = 300x
4. x = 160/300 = 8/15 saat

Soru: Bir çubuk 4 parçaya 12 dakikada ayrılıyor. 6 parçaya kaç dakikada ayrılır?

1. Dikkat: 4 parçaya ayırmak = 3 kesim, 6 parçaya ayırmak = 5 kesim
2. Kesim sayısı ile zaman doğru orantılı: 3/5 = 12/x
3. 3x = 60 → x = 20 dakika

Oranla bölme, bir toplamın verilen oran doğrultusunda parçalara ayrılmasıdır. K yöntemi ile her parçayı K cinsinden yazıp toplamı verilen değere eşitleriz.

Oranla Bölme Formülü

a : b : c oranında paylaştır → aK + bK + cK = Toplam → K = Toplam / (a + b + c)

Adım Adım Örnek: Para Paylaştırma

Soru: 240 lira 2 : 3 : 5 oranında 3 kişiye paylaştırılıyor. En çok alan kaç lira alır?

1. 2K + 3K + 5K = 10K = 240
2. K = 24
3. Paylar: 48, 72, 120 lira
4. En çok alan: 120 lira

Adım Adım Örnek: Ters Oranla Bölme

Soru: 3 çocuğa para 2, 3 ve 5 ile ters orantılı olarak paylaştırılıyor. Toplam 520 lira ise en az alan kaç lira alır?

1. Ters orantı: paylar K/2, K/3, K/5
2. EKOK(2, 3, 5) = 30: paylar 15K/30, 10K/30, 6K/30
3. Toplam: (15K + 10K + 6K)/30 = 31K/30 = 520
4. 31K = 15600 → K = 15600/31
5. En az alan: 6K/30 oranındaki kişi

Oranla Bölme: Çark Dişli Problemi

Soru: 3 çarkın toplam diş sayısı 620. Çarkların diş sayıları 2, 3 ve 5 oranındadır. En küçük çarkın diş sayısı kaçtır?

1. 2K + 3K + 5K = 10K = 620
2. K = 62
3. Dişler: 124, 186, 310
4. En küçük: 124

Oran zinciri, birden fazla oranı birleştirerek yeni oranlar elde etme tekniğidir. a/b ve b/c oranları verilmişse, b'yi ortak kata getirerek a : b : c oranını buluruz.

Oran Zinciri Kuralı

a/b = m/n ve b/c = p/q ise → b'yi EKOK(n, p) yap → a : b : c oranını bul

Adım Adım Örnek

Soru: a/b = 2/3 ve b/c = 3/5 olduğuna göre a : b : c = ?

1. Birinci oranda b = 3, ikinci oranda b = 3. Zaten eşit!
2. a : b : c = 2 : 3 : 5

Soru: a/b = 2/3 ve b/c = 4/5 olduğuna göre a : b : c = ?

1. b değerlerini eşitle: EKOK(3, 4) = 12
2. Birinci oranı 4 ile genişlet: a/b = 8/12
3. İkinci oranı 3 ile genişlet: b/c = 12/15
4. a : b : c = 8 : 12 : 15

Oran Zincirinde Kısa Yol

Soru: x/y = 3/4 ve y/z = 2/5 ise x/z = ?

1. x/z = (x/y) × (y/z) = (3/4) × (2/5) = 6/20 = 3/10
2. Bu kısa yol "oran zinciri çarpımı" olarak bilinir: a/c = (a/b) × (b/c)

Üçlü Oran Zinciri

Soru: a/b = 2/5, b/c = 5/3, c/d = 3/7 ise a/d = ?

1. a/d = (a/b) × (b/c) × (c/d) = (2/5) × (5/3) × (3/7)
2. 5'ler ve 3'ler sadeleşir: a/d = 2/7

KPSS'de oran-orantı konusu saf teori olarak değil, problemler içinde sorulur. Çark-dişli, hız-mesafe-zaman, karışım ve yaş problemleri en sık çıkan türlerdir.

Çark-Dişli Problemleri

Birbirine bağlı çarklarda diş sayısı ile tur sayısı ters orantılıdır.

Diş₁ × Tur₁ = Diş₂ × Tur₂

Örnek: Birinci çark 2 tur atarken ikinci çark 5 tur atıyor. Birinci çarkta 15, ikinci çarkta 6 diş varsa toplam diş sayısı kaçtır?

1. Kontrol: 15 × 2 = 30, 6 × 5 = 30 √ (ters orantı sağlanıyor)
2. Toplam diş: 15 + 6 = 21

Hız-Mesafe-Zaman Problemleri

Hız ile zaman ters orantılıdır (mesafe sabitken). Hız arttıkça aynı mesafe daha kısa sürede gidilir.

Mesafe = Hız × Zaman   |   Hız sabitken: Mesafe ile Zaman doğru orantılı

Örnek: Duruş mesafesi hızın karesiyle doğru orantılıdır. 60 km/s hızla duruş mesafesi 20 m ise 90 km/s hızla duruş mesafesi kaç m'dir?

1. d = K × v² → 20 = K × 60² = K × 3600 → K = 20/3600 = 1/180
2. d = (1/180) × 90² = 8100/180 = 45 m

Banknot ve Para Dağıtım Problemleri

Örnek: Bir yarışmacı para ödülünün 650 lirasını 50 TL'lik banknotlarla alıyor. 50'lik kaç banknottur?

1. 650 / 50 = 13 banknot

Yaş Orantısı Problemi

Örnek: Baba ve oğlunun yaş oranı 4/1'dir. Babanın yaşı oğlunun yaşının 4 katı ise 10 yıl sonra oranları 3/1 olur. Şu anki yaşları nedir?

1. Baba = 4K, Oğul = K
2. 10 yıl sonra: (4K + 10) / (K + 10) = 3/1
3. 4K + 10 = 3K + 30 → K = 20
4. Baba: 80, Oğul: 20

Ortalama kavramları oran-orantı konusunun doğal uzantısıdır ve KPSS'de sıklıkla birlikte sorulur. Üç temel ortalama türü vardır: aritmetik, geometrik ve harmonik ortalama.

Ortalama Türleri

Aritmetik Ortalama Detayı

Aritmetik Ortalama = Toplam / Eleman Sayısı   ⇒   Toplam = Ortalama × Eleman Sayısı

Soru: 10 öğrencinin not ortalaması 45'tir. 75 alan bir öğrenci sınıftan ayrılırsa kalan 9 öğrencinin ortalaması kaçtır?

1. Toplam: 10 × 45 = 450
2. Ayrılan sonrası: 450 - 75 = 375
3. Yeni ortalama: 375 / 9 ≅ 41,67

Geometrik Ortalama Detayı

Soru: A sayısının 2 ile geometrik ortası 2√3, B sayısının geometrik ortası 3√2 ise A + B = ?

1. √(2A) = 2√3 → 2A = 12 → A = 6
2. √(2B) = 3√2 → 2B = 18 → B = 9
3. A + B = 15

Sıcaklık Dönüşümü ve Ortalama

Soru: Fahrenheit - Celsius dönüşümü: F = (9/5)C + 32. Ortalama sıcaklık 26,4°C ise Fahrenheit cinsinden kaçtır?

1. F = (9/5) × 26,4 + 32 = 47,52 + 32 = 79,52°F

KPSS Genel Yetenek'te oran-orantı konusundan her yıl en az 2-3 soru gelir. Bu bölümde sınavda en çok karşılaşılan soru tipleri, çözüm stratejileri ve sık yapılan hatalar özetlenmiştir.

En Çok Çıkan Soru Tipleri

Sınav Günü Stratejileri

• Adım 1 — Orantı türünü belirle: Doğru mu, ters mi, bileşik mi?
• Adım 2 — K yöntemini uygula: Doğru orantıda çarpım, ters orantıda bölüm şeklinde K'yı yaz
• Adım 3 — Toplamı/farkı eşitle: Verilen sayısal değere eşitleyerek K'yı bul
• Adım 4 — Sonucu doğrula: Bulduğun değerleri orana geri koy, oranın doğruluğunu kontrol et

Sık Yapılan Hatalar

• Hata 1: Doğru orantı ile ters orantıyı karıştırmak. "Biri artarken diğeri azalıyorsa" ters orantıdır, doğru değil. Orantı türünü belirlemeden çözüme başlamayın.
• Hata 2: Parçaya ayırma problemlerinde parça sayısını kullanmak. 4 parçaya ayırma = 3 kesim yapma. Her zaman (parça - 1) kesim gerekir.
• Hata 3: Oran zincirinde ortak harfin katlarını eşitlememek. a/b ve b/c verilmişse b değerlerini EKOK ile eşitlemeyi unutmayın.
• Hata 4: Bileşik orantıda ters orantılı niceliği aynen yazmak. Ters orantılı olanın tersini yazmalısınız.
• Hata 5: Çark-dişli problemlerinde diş sayısı ile tur sayısını doğru orantılı sanmak. Diş ve tur ters orantılıdır: çok dişli az tur atar.

Özet Formül Kartı