Sayı ve Kesir Problemleri

Sayı problemleri, KPSS Genel Yetenek sınavında en çok soru gelen konudur. Temel mantık basittir: bilinmeyen sayıyı x ile ifade et, sorudaki sözel ifadeyi matematiksel denklem olarak yaz ve denklemi çöz.

Sözel İfadeyi Matematiksel Dile Çevirme

Adım Adım Örnek

Soru: Bir sayının 2 katının 3 eksiği 15'tir. Bu sayı kaçtır?

1. Bilinmeyen sayıya x diyelim
2. Sözel ifadeyi yazalım: 2x - 3 = 15
3. 2x = 18
4. x = 9

Soru: Bir sayının yarısı ile kendisinin toplamı 150'dir. Bu sayı kaçtır?

1. Sayıya x diyelim: x/2 + x = 150
2. Ortak payda: 3x/2 = 150
3. 3x = 300
4. x = 100

Soru: Bir sayının 2 fazlasının yarısının 4 eksiği 16'dır. Bu sayı kaçtır?

1. Sayıya x diyelim: (x + 2)/2 - 4 = 16
2. (x + 2)/2 = 20
3. x + 2 = 40
4. x = 38

Ardışık sayı problemleri, KPSS'de en sık çıkan sayı problemi türlerinden biridir. Art arda gelen tam sayılar, çift sayılar veya tek sayılar ile ilgili denklem kurma soruları sorulur.

Ardışık Sayı Türleri

Toplam Kısa Yolu

n tane ardışık sayının toplamı = Ortanca sayı × n

Adım Adım Örnek

Soru: Ardışık 3 çift doğal sayının toplamı 42'dir. En büyük sayı kaçtır?

1. Sayılar: x, x+2, x+4
2. Toplam: x + (x+2) + (x+4) = 3x + 6 = 42
3. 3x = 36 → x = 12
4. Sayılar: 12, 14, 16. En büyük: 16

Soru: Ardışık 5 tam sayının toplamı 35'tir. En küçük sayı kaçtır?

1. Kısa yol: Toplam = Ortanca × 5 → 35/5 = 7 (ortanca sayı)
2. Beş ardışık sayıda ortanca 3. sayıdır: ..., 5, 6, 7, 8, 9
3. En küçük: 5

Soru: Üç sayıdan birincisi ikincinin 3 katıdır. Üçüncü sayı birincinin yarısıdır. Toplamları 99 ise 2. sayı kaçtır?

1. Neyi soruyorsa ona x de: 2. sayı = x
2. 1. sayı = 3x, 3. sayı = 3x/2
3. Toplam: 3x + x + 3x/2 = 99
4. 6x/2 + 2x/2 + 3x/2 = 11x/2 = 99
5. x = 99 × 2/11 = 18

Sayı bulma problemleri, iki veya üç sayı arasındaki toplam, fark veya çarpım ilişkisinden yola çıkarak bilinmeyenleri bulma sorularıdır. KPSS'de en temel problem tipidir.

İki Sayının Toplamı ve Farkı Verildiğinde

Büyük sayı = (Toplam + Fark) / 2   |   Küçük sayı = (Toplam - Fark) / 2

Adım Adım Örnek: Toplam ve Fark

Soru: İki sayının toplamı 52, farkı 8'dir. Büyük sayı kaçtır?

1. a + b = 52 ve a - b = 8 (a > b)
2. Toplama yöntemi: (a + b) + (a - b) = 52 + 8 → 2a = 60
3. a = 30, b = 22
4. Büyük sayı: 30

Adım Adım Örnek: Çarpım ve Toplam

Soru: İki sayının çarpımı 96, toplamı 20'dir. Bu sayılar kaçtır?

1. a × b = 96 ve a + b = 20
2. a ve b, t² - 20t + 96 = 0 denkleminin kökleridir
3. (t - 12)(t - 8) = 0 → t = 12 veya t = 8
4. Sayılar: 12 ve 8

Adım Adım Örnek: Kat İlişkisi

Soru: Bir sayının 3 katı ile 5 katının toplamı 120'dir. Bu sayı kaçtır?

1. 3x + 5x = 120
2. 8x = 120
3. x = 15

Soru: İki sayıdan birinin diğerinin 5 fazlası olduğu bilinmektedir. Toplamları 35 ise küçük sayı kaçtır?

1. Küçük sayı = x, büyük sayı = x + 5
2. x + (x + 5) = 35 → 2x + 5 = 35
3. 2x = 30 → x = 15

Kesir problemleri, bir bütünün belirli bir kesrini bulma veya verilen kesirden bütünü hesaplama sorularıdır. "Bir sayının kaçta kaçı" ifadesi kesirlerin temel kullanım alanıdır.

Temel Kesir İfadeleri

Adım Adım Örnek

Soru: 99 kilogramlık pirinçin x tanesi 2 kilogramlık, geri kalanı 5 kilogramlık torbalara konuluyor. Toplam 30 torba ise 2 kilogramlık kaç torba vardır?

1. 2 kg'lık torba sayısı = x, 5 kg'lık torba sayısı = 30 - x
2. Toplam ağırlık: 2x + 5(30 - x) = 99
3. 2x + 150 - 5x = 99 → -3x = -51
4. x = 17 torba

Soru: Bir depodaki mazotun 1/4'ü kullanılıyor. Kalanın 1/3'ü başka bir araca veriliyor. Geriye 150 litre kalıyor ise başlangıçta kaç litre mazot vardır?

1. Başlangıç: x litre
2. 1/4'ü kullanıldı → kalan: (3/4)x
3. Kalanın 1/3'ü verildi → kalan: (2/3) × (3/4)x = (1/2)x
4. (1/2)x = 150 → x = 300 litre

Soru: Bir sınıftaki öğrencilerin 2/5'i kız, geri kalanı erkektir. Erkek öğrenci sayısı 18 ise toplam öğrenci sayısı kaçtır?

1. Kızlar: 2/5, erkekler: 3/5 (1 - 2/5 = 3/5)
2. (3/5) × x = 18
3. x = 18 × 5/3 = 30

Kalan kesir problemleri, bir miktarın adım adım harcanması veya tüketilmesi sonucunda kalan miktarı bulmayı gerektirir. Her adımda bir kesri harcanır, kalan bir sonraki adıma taşınır. KPSS'de sıkça karşılaşılan bir türdür.

Kalan Kesir Mantığı

Bir miktarın a/b'si harcanırsa kalan = (1 - a/b) × miktar = (b-a)/b × miktar

Adım Adım Örnek: Sıralı Tüketim

Soru: Bir deponun 1/3'ü birinci gün, kalanın 1/4'ü ikinci gün tüketiliyor. Geriye 600 litre kalıyorsa başlangıçta kaç litre vardır?

1. Başlangıç: x litre
2. 1. gün: 1/3'ü tüketildi → kalan: (2/3)x
3. 2. gün: kalanın 1/4'ü tüketildi → kalan: (3/4) × (2/3)x = (1/2)x
4. (1/2)x = 600 → x = 1200 litre

Adım Adım Örnek: Üç Aşamalı Problem

Soru: Bir meyve suyu şişesinin 1/4'ü içiliyor. Kalanın 1/3'ü dökülüyor. Kalanın 1/2'si ikram ediliyor. Geriye 150 ml kalıyorsa başlangıçta kaç ml meyve suyu vardır?

1. Başlangıç: x ml
2. 1. adım: 1/4 içildi → kalan: (3/4)x
3. 2. adım: kalanın 1/3'ü döküldü → kalan: (2/3)(3/4)x = (1/2)x
4. 3. adım: kalanın 1/2'si ikram edildi → kalan: (1/2)(1/2)x = (1/4)x
5. (1/4)x = 150 → x = 600 ml

Geriye Dönük Çözüm

Bazı sorularda sondaki miktar verilir, başlangıca ulaşmak için ters işlem yapılır:

1. Son kalan → o adımdaki kesri ters çevir → çarp
2. Bir önceki kalan → o adımdaki kesri ters çevir → çarp
3. Başlangıca ulaşana kadar tekrarla

Yukarıdaki örnekte geriye doğru: 150 × 2 = 300 → 300 × 3/2 = 450 → 450 × 4/3 = 600

İki veya daha fazla sayı arasındaki kat, fark, toplam gibi ilişkilerin verildiği problemlerdir. KPSS'de genellikle "birincisi ikincinin kaç katı", "aralarındaki fark" veya "çarpımları" gibi bilgiler verilir.

Temel Yaklaşım

Sorunun sorduğu sayıya x de → diğer sayıları x cinsinden yaz → denklem kur

Adım Adım Örnek: Sınıf Problemi

Soru: Bir sınıfta 2 kişilik ve 3 kişilik oturma sıraları vardır. Toplam 20 sıra olduğuna göre 16 öğrenci 2 kişilik sıralarda oturursa 3 kişilik sıra sayısı kaçtır?

1. 2 kişilik sıra sayısı: 16/2 = 8 sıra
2. 3 kişilik sıra sayısı: 20 - 8 = 12 sıra

Soru: Sıralara 5’er kişi oturunca 3 kişi ayakta kalıyor. 6’şar kişi oturunca 2 sıra boş kalıyor. Sıra ve öğrenci sayısı kaçtır?

1. x = sıra sayısı, y = öğrenci sayısı
2. 5’er oturunca 3 kişi ayakta: y = 5x + 3
3. 6’şar oturunca 2 sıra boş: y = 6(x − 2) = 6x − 12
4. Eşitle: 5x + 3 = 6x − 12 → x = 15
5. y = 5 × 15 + 3 = 78

Kontrol: 15 sıraya 5’er: 75 oturur, 3 ayakta (78 ✓). 6’şar: 78/6 = 13 sıra dolar, 15 − 13 = 2 sıra boş ✓

Adım Adım Örnek: Yaş İlişkisi

Soru: Anne ile kızının yaşları toplamı 50'dir. Annenin yaşı kızının yaşının 4 katıdır. Kızın yaşı kaçtır?

1. Kız = x, Anne = 4x
2. x + 4x = 50 → 5x = 50
3. x = 10

Adım Adım Örnek: Kilometre Problemi

Soru: Bir aracın yakıt deposunda 52 litre benzin vardır. Şehir içinde her km'de 0,2 litre, şehirler arası her km'de 0,15 litre yakıt harcar. 300 km şehirler arası gittikten sonra depoda kaç litre kalır?

1. Harcanan: 300 × 0,15 = 45 litre
2. Kalan: 52 - 45 = 7 litre

Basamak değeri problemleri, bir sayının rakamları ile sayının kendisi arasındaki ilişkiyi kullanır. İki basamaklı sayı 10a + b, üç basamaklı sayı 100a + 10b + c olarak ifade edilir.

Temel Formüller

Adım Adım Örnek

Soru: İki basamaklı bir sayının rakamları toplamı 7'dir. Rakamları yer değiştirince sayı 27 azalıyor. Bu sayı kaçtır?

1. Onlar basamağı a, birler basamağı b olsun
2. a + b = 7 (rakamlar toplamı)
3. (10a + b) - (10b + a) = 27 → 9(a - b) = 27 → a - b = 3
4. a + b = 7 ve a - b = 3 → a = 5, b = 2
5. Sayı: 52

Soru: İki basamaklı bir sayının birler basamağı onlar basamağının 2 katıdır. Rakamları toplamı 9'dur. Sayı kaçtır?

1. Onlar = a, birler = 2a
2. a + 2a = 9 → 3a = 9 → a = 3
3. Sayı = 10 × 3 + 6 = 36

Soru: Üç basamaklı bir sayının yüzler basamağı ile birler basamağı yer değiştirince sayı 198 azalıyor. Birler ve yüzler basamağı arasındaki fark kaçtır?

1. Fark: 99(a - c) = 198
2. a - c = 2

Sayı dizisi ve örüntü problemleri, belirli bir kurala göre ilerleyen sayı dizilerini tanıma ve kuralı uygulama becerisi gerektirir. Adım problemleri ise "ileri-geri" veya "tekrarlayan hareket" mantığıyla çözülür.

Örüntü Türleri

Merdiven ve Adım Problemi

Net ilerleme = İleri adım - Geri adım   |   Tekrar sayısı = Toplam ilerleme / Net ilerleme

Soru: Kamil merdivende çıkarken 5 basamak çıkıp 1 basamak iniyor. 27 basamaklık merdiveni kaç adımda çıkar?

1. Net ilerleme = 5 - 1 = 4 basamak (her döngüde)
2. Her döngüde toplam adım sayısı: 5 + 1 = 6 adım
3. 27 basamağa ulaşmak için: 24 basamak 4'erli döngülerle = 6 döngü (6 × 6 = 36 adım ile 24. basamakta)
4. Kalan 3 basamak için 3 adım daha → Toplam: 36 + 3 = 39 adım

Soru: Bir salyangoz her saat 3 metre tırmanıp 1 metre kayıyor. 44 metrelik bir direği kaç saatte çıkar?

1. Her döngüde net ilerleme: 3 − 1 = 2 m
2. Tepeye (44 m) son tırmanışta geri kaymadan ulaşır → 44 − 3 = 41 m’ye kadar döngü gerekir
3. 41 m için kaç döngü? Her döngüde +3 −1 = net +2 m. 20 döngü sonunda: 20 × 2 = 40 m
4. 21. döngü: 40 + 3 = 43 m (43 < 44, tepeye ulaşamadı), geri kayar: 43 − 1 = 42 m
5. 22. döngü: 42 + 3 = 45 m ≥ 44 → tepeye ulaştı!
6. Toplam: 22 saat (22. saatin tırmanış kısmında tepeye varır)

Sıra/Kuyruk Problemleri

Soru: Bir kuyrukta önden 10'uncu, sondan 20'nci olan kişi vardır. Kuyrukta kaç kişi vardır?

1. Toplam = Önden sıra + Sondan sıra - 1
2. Toplam = 10 + 20 - 1 = 29 kişi

Soru: Emre önden 8., Ali sondan 12. sıradadır. Aralarında 5 kişi vardır. Toplam kaç kişi vardır?

1. Toplam = Önden + Sondan + Aradakiler - 1
2. Toplam = 8 + 12 + 5 - 1 = ... Dikkat: aralarında 5 kişi varsa Emre + 5 + Ali + kalanlar
3. Doğru formül: 8 - 1 (Emre öncesi) + 1 (Emre) + 5 (arada) + 1 (Ali) + 12 - 1 (Ali sonrası) = 7 + 1 + 5 + 1 + 11 = 25

KPSS'de sınav puanlama ve oturma düzeni problemleri sıkça karşımıza çıkar. Bu problemler günlük hayattan alınmış senaryolara denklem kurma becerisi gerektirir.

Sınav Puanlama Problemleri

Toplam puan = (Doğru sayısı × Doğru puanı) - (Yanlış sayısı × Yanlış puanı)

Soru: 80 soruluk bir sınavda her doğru 5 puan, her yanlış 1 doğruyu götürüyor. Boş yok. Toplam puan 160 ise kaç doğru vardır?

1. Doğru = x, yanlış = 80 - x (boş yok)
2. Puan: 5x - (80 - x) = 160
3. 5x - 80 + x = 160 → 6x = 240
4. x = 40 doğru

Soru: Bir sınavda 39 puan alınmıştır. Her doğru 5 puan, her yanlış −2 puan ve 55 soru boş bırakılmıştır. Toplam 80 soru ise kaç doğru, kaç yanlış vardır?

1. Doğru + Yanlış = 80 − 55 = 25
2. 5D − 2Y = 39 ve D + Y = 25
3. Y = 25 − D: 5D − 2(25 − D) = 39 → 7D = 89 → D = 13 − hayır, 89/7 tam değil. Düzelt: 5D − 50 + 2D = 39 → 7D = 89... Verileri düzeltelim:

Doğru veri ile: 80 soru, 55 boş, D + Y = 25. Puan = 5D − 2Y = 5D − 2(25 − D) = 7D − 50. 7D − 50 = puan → D tam sayı çıkması için puan 7’nin katı + 50 olmalı. Puan = 41 ise: 7D = 91, D = 13, Y = 12.

1. D = 13, Y = 12. Kontrol: 5 × 13 − 2 × 12 = 65 − 24 = 41 ✓

Vagon-Koltuk Problemleri

Soru: İki vagondan oluşan bir trenin 1. vagonunda her sırada 4 koltuk, 2. vagonunda her sırada 6 koltuk vardır. 1. vagonda 19 sıra, 2. vagonda y sıra vardır. Toplam koltuk sayısı 130 ise y kaçtır?

1. 1. vagon koltuk: 4 × 19 = 76
2. 2. vagon koltuk: 6y
3. Toplam: 76 + 6y = 130
4. 6y = 54 → y = 9

Soru: Bir otobüste tekli ve çiftli koltuklar vardır. Toplam 17 sıra, 13 sıra dolu ise dolu tekli koltuk sayısı kaçtır?

1. Dolu sıralar = 13, her sırada tekli veya çiftli koltuk
2. Tekli koltuklu sıra = x, çiftli koltuklu sıra = 13 - x
3. Ek bilgiyle denklem kurulur

Şeker Dağıtım Problemi

Soru: Bir grup çocuğa eşit şeker dağıtılacaktır. Kişi başına 8 şeker verilirse 3 çocuğa şeker kalmıyor. Kişi başına 5 şeker verilirse 21 şeker artıyor. Kaç çocuk ve kaç şeker vardır?

1. Çocuk sayısı = n, şeker sayısı = S
2. 8(n − 3) = S (3 kişiye yetmiyor) → S = 8n − 24
3. 5n + 21 = S (21 artıyor) → S = 5n + 21
4. 8n − 24 = 5n + 21 → 3n = 45 → n = 15
5. S = 5 × 15 + 21 = 96

Kontrol: 8’er dağıtınca: 8 × 12 = 96 (3 çocuğa kalmıyor ✓). 5’er: 5 × 15 = 75, artan 96 − 75 = 21 ✓

KPSS Genel Yetenek'te sayı ve kesir problemlerinden her yıl en az 3-4 soru gelir. Bu bölümde sınavda en çok karşılaşılan soru tipleri, çözüm stratejileri ve sık yapılan hatalar özetlenmiştir.

En Çok Çıkan Soru Tipleri

Sınav Stratejileri

1. Sözel ifadeyi matematiksel dile çevir: "katı" = çarpma, "eksiği" = çıkarma, "fazlası" = toplama, "yarısı" = 1/2 ile çarpma
2. Neyi soruyorsa ona x de: Böylece denklemi çözünce direkt cevap gelir
3. Ardışık sayılarda ortanca kısa yolunu kullan: Toplam = ortanca × n
4. Kalan kesir problemlerinde adım adım ilerle: Her adımda kalanı hesapla
5. Basamak problemlerinde 9 kuralını hatırla: Yer değiştirme farkı = 9(a-b)
6. Adım problemlerinde son adıma dikkat: Hedefe ulaşınca geri dönüş olmaz

Sık Yapılan Hatalar