I. Dereceden Denklemler

Birinci dereceden denklem, bilinmeyenin (x) en yüksek kuvvetinin 1 olduğu eşitliktir. Genel biçimi ax + b = 0 şeklindedir; burada a sıfırdan farklı bir reel sayı, b ise herhangi bir reel sayıdır. Bu denklemin çözümüne kök denir ve kök denklemi sıfırlayan sayıdır.

Temel Tanımlar

ax + b = 0 → x = -b/a (denklemin kökü)

Çözüm Kümesinin Üç Durumu

Bir denklemi çözerken üç farklı sonuçla karşılaşabiliriz:

1. Tek elemanlı çözüm kümesi: x = -b/a gibi belirli bir değer bulunur. Örnek: 3x - 9 = 0 → x = 3, ÇK = {3}.
2. Sonsuz elemanlı çözüm kümesi: İşlem sonucunda 0 = 0 veya 5 = 5 gibi özdeş bir eşitlik çıkarsa, tüm reel sayılar denklemi sağlar. ÇK = R (reel sayılar kümesi).
3. Boş küme: İşlem sonucunda 0 = 1 veya 3 = 5 gibi çelişkili bir ifade çıkarsa, hiçbir sayı denklemi sağlamaz. ÇK = ∅ (boş küme).

Adım Adım Örnek: Dereceden Belirleme

Soru: a ve b birer tam sayı olmak üzere (a - 3)x² + (b - 2)x = 0 denklemi birinci dereceden ise a + b = ?

1. Birinci dereceden olması için x²'nin katsayısı 0 olmalı: a - 3 = 0 → a = 3
2. x'in katsayısı 0'dan farklı olmalı (birinci derece): b - 2 = 1 → b = 3
3. a + b = 3 + 3 = 6

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde amaç, bilinmeyeni (x) bir tarafa, sayıları diğer tarafa geçirerek x'in değerini bulmaktır. Temel kural: Eşitliğin her iki tarafına aynı işlem yapılır.

Çözüm Adımları

1. Parantez varsa dağıtma özelliğini uygula
2. Bilinmeyenli terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa topla
3. Benzer terimleri sadeleştir
4. x'in katsayısına bölerek sonucu bul

Temel Örnekler

Örnek 1: 3x + 5 = 14 denkleminde x = ?

1. 5'i karşıya at: 3x = 14 - 5 = 9
2. 3'e böl: x = 9/3 = 3

Örnek 2: 8x + 10 = 42 denkleminde x = ?

1. 10'u karşıya at: 8x = 42 - 10 = 32
2. 8'e böl: x = 32/8 = 4

Kök Bulma: Denklemi Sağlayan Değer

Soru: (x + a)/2 + (1 - a/3) = 3 denkleminin kökü 1 ise a = ?

1. Kök denklemi sağlar: x = 1 yerine yaz
2. (1 + a)/2 + (1 - a/3) = 3
3. Payda eşitle (6): 3(1 + a) + 2(3 - a) = 18 → 3 + 3a + 6 - 2a = 18
4. a + 9 = 18 → a = 9

Kök Arama: Verilen Kümeden Deneme

Soru: Denklemin kökü {-1, 0, 1, 2, 3} kümesinin elemanıdır. k = ?

Strateji: Paydayı sıfır yapanları ele. Sonra kalan değerleri tek tek dene.

1. x = -1 → paydayı 0 yapıyor → kök olamaz
2. x = 0 → paydayı 0 yapıyor → kök olamaz
3. x = 1 → paydayı 0 yapıyor → kök olamaz
4. x = 2 → paydayı 0 yapıyor → kök olamaz
5. x = 3 → denklemi sağlıyor → kök budur!
6. x = 3'ü yerine yazıp k'yı hesapla: k = 7/6

"Tüm x Değerleri İçin Sağlanıyorsa" Soruları

Soru: (2a - 4)x + (4b + 20) = 0 denklemi her x değeri için sağlanıyorsa a + b = ?

1. Her x için 0 = 0 olmalı → her katsayı ayrı ayrı 0'a eşit
2. 2a - 4 = 0 → a = 2
3. 4b + 20 = 0 → b = -5
4. a + b = 2 + (-5) = -3

Kesirli denklemler, bilinmeyenin kesir içinde bulunduğu denklemlerdir. Çözüm yöntemi: payda eşitleme ile kesirleri ortadan kaldır, sonra normal denklem gibi çöz.

Payda Eşitleme Yöntemi

Tüm kesirlerin paydalarını EKOK ile eşitle → paylarla işlem yap → paydayı yok say

Adım Adım Örnek

Soru: 4x/3 - (4x - 3)/4 = (3x + 12)/12 denkleminde x = ?

1. Payda EKOK'u: 3, 4 ve 12 → EKOK = 12
2. Her kesri 12 paydalı yap: 3 → ×4, 4 → ×3, 12 → olduğu gibi
3. Paylar: 4 × 4x = 16x, −3(4x - 3) = -12x + 9, 3x + 12
4. Paydayı yok say: 16x - 12x + 9 = 3x + 12
5. 4x + 9 = 3x + 12 → x = 3

Kesirli Denklemde Dikkat Noktası

Soru: 6x/(3x - 1) - (4x - 3)/(4x + 1) = (3x + 12)/12 → x = ?

Paydaları eşitlerken parantezi mutlaka yazın. Eksi ile dağıtırken her terimin işareti değişir. Parantez unutmak KPSS'de en sık yapılan hatadır.

İçler Dışlar Çarpımı

a/b = c/d biçimindeki eşitliklerde içler dışlar çarpımı kullanılır:

a/b = c/d → a × d = b × c

Örnek: 2/(x + 2) = (2x + 5 - (x + 2)×2/2)/4 → sadeleştirme sonrası 2/(x + 2) = 1/4

1. İçler dışlar: (x + 2) × 1 = 2 × 4 = 8
2. x + 2 = 8 → x = 6

Y'yi x Cinsinden İfade Etme

Soru: x'in hangi değeri için y bulunamaz?

İçler dışlar çarpımıyla y'yi yalnız bırak. Paydayı sıfır yapan x değeri için y bulunamaz.

1. Verilen: (x - 3)/(y + 4) = ... → y = f(x) biçimine getir
2. Paydayı sıfır yapan x'i bul: örneğin x - 4 = 0 → x = 4

İki bilinmeyenli denklem sistemi, iki bilinmeyen (x ve y) içeren en az iki denklemden oluşur. Genel biçim: ax + by + c = 0 ve dx + ey + f = 0. Çözüm için iki temel yöntem kullanılır: yok etme (toplama-çıkarma) ve yerine koyma.

Çözüm Kümesinin Durumları

Yöntem 1: Yok Etme (Toplama-Çıkarma)

Soru: (a + 3)/2 = (b + 1)/3 ve (3a - 3)/(b - 2) = 1 ise a × b = ?

1. İçler dışlar çarpımıyla denklemleri düzenle:
2. 3(a + 3) = 2(b + 1) → 3a + 9 = 2b + 2 → 3a - 2b = -7 ... (I)
3. 3a - 3 = b - 2 → 3a - b = 1 ... (II)
4. (I) - (II): (3a - 2b) - (3a - b) = -7 - 1 → -b = -8 → b = 8... (hata düzeltme: -2b + b = -b, -7 - 1 = -8)
5. Düzeltme: 3a - 2b - 3a + b = -7 - 1 → -b = -8 → b = 8? Kontrol edelim farklı yoldan.
6. II'den: 3a - b = 1 → b = 3a - 1. I'e koy: 3a - 2(3a - 1) = -7 → 3a - 6a + 2 = -7 → -3a = -9 → a = 3
7. b = 3(3) - 1 = 8. Fakat kontrol: a × b = 3 × 8 = 24... Doğrulayalım: (3+3)/2 = 3, (8+1)/3 = 3 ✓

Yöntem 2: Yerine Koyma

Soru: 2x + y = 6 ve 3x - y = 14 ise x × y = ?

1. Taraf tarafa topla: (2x + y) + (3x - y) = 6 + 14 → 5x = 20 → x = 4
2. x = 4'ü birinci denkleme yaz: 8 + y = 6 → y = -2
3. x × y = 4 × (-2) = -8

Sonsuz Elemanlı Çözüm Kümesi Örneği

Soru: (a-1)/3 = 2/(-b) = 4/2 oranları eşitse a + b = ?

1. 4/2 = 2, tüm oranlar 2'ye eşit
2. (a-1)/3 = 2 → a - 1 = 6 → a = 7
3. 2/(-b) = 2 → -b = 1 → b = -1
4. a + b = 7 + (-1) = 6

KPSS'de üç bilinmeyenli denklem sistemi soruları genellikle doğrudan toplamı veya çarpımı sorar. Tek tek x, y, z bulmak yerine istenen ifadeyi direkt elde etmeye çalışmak en hızlı yoldur.

Strateji: Direkt İstenen İfadeyi Bul

Soru: x + 2y + 3z = 11, 2x + y + 3z = 14, x + y + z = ? (pozitif tam sayılar)

1. x + y + z'yi direkt bulmaya çalış: Denklemleri topla veya bir tanesini eksiyle çarp
2. İkinci denklemi eksiyle çarp ve birinciye topla: (x + 2y + 3z) - (2x + y + 3z) = 11 - 14
3. -x + y = -3 → y - x = -3
4. y - x parantezine al, z'yi bulmak için asal çarpan stratejisi kullan
5. z = 4, x + y = 5 bulunur → x + y + z = 9

Neyi Soruyorsa Onu Yok Et

Soru: 1/a + 1/b + 1/c = ... üç denklem verilmiş, a = ?

A'yı soruyorsa b ve c'yi yok etmen lazım. Nasıl?

1. b ve c içeren iki denklemi al, birini eksiyle çarp
2. Topladığında b ve c gider, sadece 2/a kalır
3. Hemen a'yı bul: 2/a = 3/12 → 3a = 24 → a = 8

Pozitif Tam Sayı Kısıtı ile Çözüm

Soru: xy = 11, yz = 14, xz = ? (x, y, z birbirinden farklı pozitif tam sayılar)

1. Çıkarma: İkinci denklemden birinciyi çıkar → asal sayı avantajı kullan
2. Çarpım asal ise çarpanlar bellidir (1 ve kendisi)
3. Deneme yanılma ile x, y, z'yi bul

5a = 2(b + c) Tarzı Paranteze Alma

Soru: 5a - 2b - 2c = 0, 5ab + 5ac = 8 ise a + b + c = ?

1. İkinci denklemde 5a ortak: 5a(b + c) = 8
2. Birinci denklemden: 5a = 2(b + c)
3. Yerine koy: 2(b + c)² = 8 → (b + c)² = 4 → b + c = 2 (pozitif)
4. 5a = 2 × 2 = 4 → a = 4/5
5. a + b + c = 4/5 + 2 = 14/5

KPSS'de birinci dereceden denklem soruları bazen köklü ifadeler veya kare ve mutlak değer ile birlikte gelir. Bu tür sorularda cebirsel özdeşlikler ve işaret kuralları devreye girer.

Köklü Denklem Çözümü

Soru: (√x - 1)(√x + 1) / (√x + 1) = x / (√x - 1) denkleminde x = ?

1. Sol taraf: (√x - 1)(√x + 1) = x - 1 (iki kare farkı). Paydayla sadeleştir: √x - 1
2. Sağ taraf: x / (√x - 1)
3. √x - 1 = x / (√x - 1) → içler dışlar: (√x - 1)² = x
4. x - 2√x + 1 = x → -2√x + 1 = 0 → √x = 1/2
5. Karesini al: x = 1/4

İki Kare Farkı ile Köklü İfade Sadeleştirme

x - 1 = (√x - 1)(√x + 1) olduğunu hatırlayın. Bu özdeşlik köklü denklemlerde en çok kullanılan araçtır.

• √x × √x = x (kökün karesi kendisini verir)
• -√x ifadesini dağıtırken işaret kuralına dikkat
• Sonuçta x'ler genellikle birbirini götürür, geriye kök terimi kalır

Kare ve Mutlak Değerle Denklem

Soru: (2x + y - 6)² + |3x - y - 14| = 0 ise x × y = ?

1. Kare ≥ 0 ve mutlak değer ≥ 0. Toplamları 0 ise her ikisi de 0 olmalı.
2. 2x + y - 6 = 0 → 2x + y = 6 ... (I)
3. 3x - y - 14 = 0 → 3x - y = 14 ... (II)
4. Topla: 5x = 20 → x = 4
5. I'den: 8 + y = 6 → y = -2
6. x × y = 4 × (-2) = -8

Önemli Kural: Toplamı Sıfır

A² + |B| = 0 → A = 0 ve B = 0 (ikisi de ayrı ayrı sıfır olmalı)

Çünkü kare ve mutlak değer negatif olamaz. İkisinin toplamının sıfır olması için her birinin sıfır olması zorunludur.

KPSS matematik sorularının önemli bir bölümü sözel problem olarak karşımıza çıkar. Bu tür sorularda yapılması gereken: bilinmeyeni belirle, sözel ifadeyi denkleme çevir, çöz ve sonucu yorumla.

Denklem Kurma Adımları

1. Bilinmeyeni belirle: Sorulan şeyi x olarak al (bazen y, z de eklenebilir)
2. Sözel ifadeyi matematiğe çevir: "fazla" = toplama, "eksik" = çıkarma, "katı" = çarpma, "oranı" = bölme
3. Denklemi kur ve çöz: Eşitliği yaz, x'i bul
4. Sonucu yorumla: Neyi soruyorsa ona göre cevapla

Sözel İfade → Matematiksel İfade

Örnek: Boy Cetveli Problemi

Soru: Enes'in boyu 143,6 cm. Kardeşi Burak bir kutunun üzerine çıktığında 122,8 cm'dir. Enes, Burak'tan 28,2 cm uzundur. Kutunun yüksekliği kaç cm'dir?

1. Burak'ın boyunu x diyelim. Enes Burak'tan 28,2 fazla: x + 28,2 = 143,6
2. x = 143,6 - 28,2 = 115,4 (Burak'ın boyu)
3. Kutu + Burak = 122,8 → y + 115,4 = 122,8
4. y = 122,8 - 115,4 = 7,4 cm

Örnek: Tablo-Hücre Problemi

Soru: Dairesel hücredeki sayı ok yönündeki hücrelerin toplamına eşittir. 8x + 10 = 42, 6y = 42 ve xy + a = 42 ise a = ?

1. 8x + 10 = 42 → 8x = 32 → x = 4
2. 6y = 42 → y = 7
3. 4 × 7 + a = 42 → 28 + a = 42 → a = 14

Ondalıklı Sayılarla Problem

Ondalıklı sayı işlemlerinde virgülü alt alta hizala. Çıkarmada üstteki sayı küçükse bir onluk ödünç al (kırma). KPSS'de ondalıklı problem genellikle boy, ağırlık veya uzunluk ölçümlerinde gelir.

Birinci dereceden denklemler KPSS Genel Yetenek'te her yıl 2-3 soru olarak gelir. Tek başına sorulduğu gibi çarpanlara ayırma, köklü sayılar, oran-orantı ve problemlerle birleşik sorularda da denklem bilgisi gerekir.

Sık Görülen Soru Tipleri

Sınav Günü Stratejileri

• Adım 1 — Denklem tipini belirle: Kesirli mi, köklü mü, sistem mi, problem mi?
• Adım 2 — Uygun yöntemi seç: Payda eşitleme, içler dışlar, taraf tarafa toplama, yerine koyma
• Adım 3 — İşlem hatası yapma: Eksi dağıtımında, payda eşitlemede ve karşıya geçirmede dikkatli ol
• Adım 4 — Sonucu doğrula: Bulduğun değeri asıl denkleme geri koy, sağlıyor mu kontrol et

Sık Yapılan Hatalar

• Hata 1: Parantezli eksi dağıtımında sadece ilk terimin işaretini değiştirmek. -(a + b) = -a - b, her iki terimin de işareti değişir.
• Hata 2: Paydayı sıfır yapan değeri kök kabul etmek. Payda 0 olursa ifade tanımsızdır, kök olamaz.
• Hata 3: "Her x için sağlanıyorsa" sorusunda sadece bir katsayıyı sıfıra eşitlemek. Tüm katsayılar ayrı ayrı 0 olmalıdır.
• Hata 4: Taraf değiştirirken işaret değiştirmeyi unutmak. Sağdan sola geçen +5, -5 olur.
• Hata 5: Denklem sistemi çözerken denklemleri yanlış eşleştirmek. x'lerin x'lerle, y'lerin y'lerle alt alta gelmesine dikkat et.

Özet Formül Kartı