Fonksiyonlar

Fonksiyon, iki küme arasında kurulan özel bir eşleme kuralıdır. Günlük dilde fonksiyon bir "makine" gibi düşünülebilir: girdi verirsiniz (x), kural çalışır, bir çıktı alırsınız (f(x)). KPSS Genel Yetenek sınavında fonksiyonlardan her yıl bir soru garantidir ve bu soru genellikle çözülebilir işlemsel bir sorudur; dolayısıyla konu mutlaka hakim olunması gereken bir başlıktır.

Tanım: f: A → B

A ve B iki boş olmayan küme olsun. A'nın her elemanını, B'nin bir ve yalnız bir elemanına eşleyen kurala fonksiyon denir. Bu f: A → B biçiminde yazılır. A'ya tanım kümesi, B'ye değer kümesi (ortak küme) denir. A'nın elemanlarının B'de götürüldüğü elemanların oluşturduğu alt kümeye görüntü kümesi denir ve f(A) ile gösterilir. Dikkat: f(A) ⊆ B'dir ama her zaman f(A) = B değildir.

Fonksiyon Olma Şartları

Bir A'dan B'ye bağıntının fonksiyon olabilmesi için iki koşul gerekir:

• A'nın her elemanının bir görüntüsü olmalı — yani boşta kalan eleman olmamalı.
• A'nın her elemanının görüntüsü tek olmalı — aynı x'ten iki farklı ok çıkamaz.

B'de kullanılmayan eleman olması sorun değildir; önemli olan A tarafıdır.

Gösterim ve Terimler

x tanım kümesinden bir eleman, y = f(x) onun görüntüsü olsun:

• x: bağımsız değişken (girdi).
• y = f(x): bağımlı değişken (çıktı).
• Kural: girdiyle çıktıyı eşleyen matematiksel formül (ör. f(x) = 2x + 3).

Adım Adım Örnek 1 (Görüntü Bulma)

Soru: A = {1, 2, 3} ve f: A → B, f(x) = 2x + 3 olsun. f(A) görüntü kümesini bulunuz.

1. f(1) = 2 · 1 + 3 = 5.
2. f(2) = 2 · 2 + 3 = 7.
3. f(3) = 2 · 3 + 3 = 9.
4. f(A) = {5, 7, 9}.
5. Kontrol: Her girdi için tek çıktı üretildi, A'nın hiçbir elemanı boşta kalmadı. Fonksiyon şartları sağlandı.

Adım Adım Örnek 2 (Tanım Kümesi Bulma)

Soru: B = {0, 1, 4} ve f: A → B, f(x) = 2x + 3 fonksiyonu örten olarak tanımlanıyorsa A kümesini bulunuz.

1. 2x + 3 = 0 ⇒ x = −3/2.
2. 2x + 3 = 1 ⇒ x = −1.
3. 2x + 3 = 4 ⇒ x = 1/2.
4. A = {−3/2, −1, 1/2}.
5. Kontrol: f(−3/2) = 0, f(−1) = 1, f(1/2) = 4. Örten şartı sağlandı.

Hangi Bağıntı Fonksiyondur?

Şema (Venn) veya grafikle verilen bir bağıntının fonksiyon olup olmadığını kontrol için:

• Venn şemasında: A'dan çıkan ok sayısı A'nın eleman sayısına eşit olmalı ve her elemandan tek ok çıkmalı.
• Grafikte (düşey doğru testi): Grafik üzerinden çizilen her düşey doğru eğriyi en fazla bir noktada kesiyorsa fonksiyondur.

KPSS fonksiyon sorularının bir kısmı fonksiyon türlerini ayırt etmeyi gerektirir. Özellikle ters fonksiyon sorularında "birebir örtenlik" kritiktir. Bu bölümde beş temel türü somut örneklerle öğreniyoruz.

Birebir (İnjektif) Fonksiyon

Tanım kümesindeki farklı elemanların görüntüleri de farklı ise fonksiyon birebirdir. Yani:

x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂)

Örnek: f: R → R, f(x) = 2x + 3. Farklı x'ler farklı sonuç verir; birebirdir. Tersine f(x) = x² birebir değildir (f(−2) = f(2) = 4).

Örten (Sürjektif) Fonksiyon

Değer kümesinin her elemanı, tanım kümesinden en az bir elemanın görüntüsü ise fonksiyon örtendir: f(A) = B. Değer kümesinde "boşta kalan" eleman yoktur.

İçine Fonksiyon

Değer kümesinde kullanılmayan eleman varsa fonksiyon içinedir: f(A) ⊂ B (öz alt küme). Her fonksiyon ya örtendir ya içine; üçüncü bir seçenek yoktur.

Birebir Örten Fonksiyon ve Ters

Hem birebir hem örten olan fonksiyona birebir örten (bijektif) denir. Yalnızca bu tip fonksiyonların tersi vardır. KPSS'de "f fonksiyonunun tersi vardır" ifadesi birebir örten olduğunu söyler.

Sabit Fonksiyon

Her x'i aynı c sabit değerine götüren fonksiyondur: f(x) = c. Görüntü kümesi tek elemanlıdır: f(A) = {c}. Grafiği x eksenine paralel yatay doğrudur. Sabit fonksiyon (c sayısı değerine göre) örten değildir (B tek elemanlı değilse) ve birebir değildir (A birden fazla elemanlı ise).

Birim (Özdeşlik) Fonksiyon

Her elemanı kendine götüren fonksiyondur: I(x) = x. Grafiği y = x doğrusudur. Hem birebir hem örtendir; kendinin tersidir: I⁻¹(x) = x. Bileşkede etkisizdir: (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x).

Doğrusal Fonksiyon

f(x) = ax + b biçimindeki fonksiyondur (a ≠ 0 ise). Grafiği bir doğrudur. a > 0 ise artan, a < 0 ise azalandır. a = 0 olursa sabit fonksiyona dönüşür. a ≠ 0 olduğunda doğrusal fonksiyon daima birebir ve örtendir.

Adım Adım Örnek 1 (Birebirlik Testi)

Soru: f: R → R, f(x) = 3x − 5 birebir midir?

1. f(x₁) = f(x₂) kabul edelim: 3x₁ − 5 = 3x₂ − 5.
2. Her iki tarafa 5 ekle: 3x₁ = 3x₂.
3. 3'e böl: x₁ = x₂.
4. Yani farklı girdiler asla aynı çıktı vermez; f birebirdir.
5. Kontrol: a = 3 ≠ 0 olduğundan doğrusal fonksiyon kuralı birebirliği doğrular.

Adım Adım Örnek 2 (Sabit Fonksiyon)

Soru: f(x) = (a − 3)x² + (b + 2)x + 7 fonksiyonu sabit fonksiyon ise a + b kaçtır?

1. Sabit fonksiyon olması için x'li tüm terimlerin katsayısı sıfır olmalı.
2. a − 3 = 0 ⇒ a = 3.
3. b + 2 = 0 ⇒ b = −2.
4. a + b = 3 + (−2) = 1.
5. Kontrol: Bu değerlerle f(x) = 7 olur, gerçekten sabit fonksiyon.

Adım Adım Örnek 3 (Birim Fonksiyon)

Soru: f(x) = (2a − 1)x + (a + b) fonksiyonu birim fonksiyon olduğuna göre a + b kaçtır?

1. Birim fonksiyon I(x) = x olduğundan x'in katsayısı 1, sabit terim 0 olmalı.
2. 2a − 1 = 1 ⇒ a = 1.
3. a + b = 0 ⇒ 1 + b = 0 ⇒ b = −1.
4. a + b = 0 (doğrudan denklemden). Cevap: 0.
5. Kontrol: f(x) = 1 · x + 0 = x. I(x)'e eşit.

İki fonksiyonu tek bir değer gibi düşünüp aralarında toplama, çıkarma, çarpma ve bölme yapabiliriz. Bu bölümde fonksiyonlar üzerindeki işlemleri tanımlayıp KPSS'de karşılaşabileceğiniz tipik uygulamaları inceliyoruz.

İşlem Tanımları

f ve g aynı A kümesi üzerinde tanımlı fonksiyonlar olsun:

• Toplam: (f + g)(x) = f(x) + g(x).
• Fark: (f − g)(x) = f(x) − g(x).
• Çarpım: (f · g)(x) = f(x) · g(x).
• Bölüm: (f / g)(x) = f(x) / g(x), g(x) ≠ 0 olmak şartıyla.

Tanım Kümesi Sorunu

İşlem sonucu fonksiyonun tanım kümesi, f ve g'nin tanım kümelerinin kesişimidir. Bölme durumunda paydayı sıfır yapan x değerleri dışlanır. Örneğin f(x) = x + 2, g(x) = x − 3 ise (f/g)(x)'te x = 3 tanımsızdır.

Adım Adım Örnek 1 (Toplam)

Soru: f(x) = x² + 1 ve g(x) = 2x − 3 ise (f + g)(2) kaçtır?

1. f(2) = 2² + 1 = 5.
2. g(2) = 2 · 2 − 3 = 1.
3. (f + g)(2) = f(2) + g(2) = 5 + 1 = 6.
4. Kontrol: Alternatif olarak (f + g)(x) = x² + 2x − 2 yazıp x = 2 koyalım: 4 + 4 − 2 = 6. Aynı sonuç.

Adım Adım Örnek 2 (Çarpım)

Soru: f(x) = x + 1, g(x) = x − 1 ise (f · g)(x)'in açık ifadesi nedir? (f · g)(3) kaçtır?

1. (f · g)(x) = (x + 1)(x − 1) = x² − 1.
2. (f · g)(3) = 3² − 1 = 8.
3. Kontrol: f(3) · g(3) = 4 · 2 = 8. Doğru.

Adım Adım Örnek 3 (Bölüm)

Soru: f(x) = x² − 4, g(x) = x − 2 ise (f/g)(x)'in sadeleşmiş hâli nedir ve (f/g)(5) kaçtır?

1. f(x) = (x − 2)(x + 2) [iki kare farkı].
2. (f/g)(x) = [(x − 2)(x + 2)] / (x − 2) = x + 2 (x ≠ 2 şartıyla).
3. (f/g)(5) = 5 + 2 = 7.
4. Kontrol: f(5) = 25 − 4 = 21; g(5) = 3; 21 / 3 = 7. Doğru.

Adım Adım Örnek 4 (Bilinmeyen)

Soru: f(x) = 3x + a, g(x) = 2x − 1 ve (f + g)(2) = 15 ise a kaçtır?

1. f(2) = 6 + a.
2. g(2) = 2 · 2 − 1 = 3.
3. (f + g)(2) = (6 + a) + 3 = 9 + a.
4. 9 + a = 15 ⇒ a = 6.
5. Kontrol: f(2) = 12, g(2) = 3, toplam 15. Doğru.

Bileşke fonksiyon, iki fonksiyonu seri bağlamaktır. Önce iç fonksiyon (g) çalışır, onun ürettiği değeri dış fonksiyon (f) alır. KPSS'de fonksiyon sorusu en sık bileşke olarak gelir; tanımı doğru uygulamak çözümün tamamıdır.

Tanım ve Gösterim

f: A → B ve g: B → C iki fonksiyon olsun. Bileşkeleri şöyle tanımlanır:

(gof)(x) = g(f(x))

Dikkat: (gof) okunuşu "g bileşke f"tir. Uygulamada sağdan sola çalışır: önce f çalışır, onun çıktısı g'ye girer. Bu nedenle f'in görüntü kümesi, g'nin tanım kümesinin alt kümesi olmalıdır.

Değişme Özelliği Yoktur

Genelde (fog)(x) ≠ (gof)(x)'tir. Örnek: f(x) = x + 1, g(x) = 2x olsun.

• (fog)(x) = f(g(x)) = f(2x) = 2x + 1.
• (gof)(x) = g(f(x)) = g(x + 1) = 2(x + 1) = 2x + 2.
• Aynı sonuç değil; sıra önemli.

Birleşme Özelliği Vardır

Üç fonksiyon f, g, h için (fog)oh = fo(goh)'dir. Parantezin yeri sonucu değiştirmez.

Birim Fonksiyon Bileşkede Etkisizdir

(foI)(x) = (Iof)(x) = f(x). Yani herhangi bir f fonksiyonunun birim fonksiyonla bileşkesi kendisidir.

Adım Adım Örnek 1 (Basit Bileşke)

Soru: f(x) = 2x + 3, g(x) = x² olsun. (fog)(2) kaçtır?

1. Önce iç fonksiyon: g(2) = 2² = 4.
2. Sonra dış fonksiyon: f(4) = 2 · 4 + 3 = 11.
3. (fog)(2) = 11.
4. Kontrol: Genel ifade yazalım: (fog)(x) = f(x²) = 2x² + 3. x = 2 koyalım: 2 · 4 + 3 = 11. Aynı sonuç.

Adım Adım Örnek 2 (İki Yönlü Bileşke)

Soru: f(x) = 3x − 1 ve g(x) = x + 5 olsun. (gof)(x) nedir, (fog)(x) nedir?

1. (gof)(x) = g(f(x)) = g(3x − 1) = (3x − 1) + 5 = 3x + 4.
2. (fog)(x) = f(g(x)) = f(x + 5) = 3(x + 5) − 1 = 3x + 14.
3. (gof)(x) ≠ (fog)(x). Sıra önemli.
4. Kontrol: x = 0 koyalım: (gof)(0) = 4; g(f(0)) = g(−1) = 4. (fog)(0) = 14; f(g(0)) = f(5) = 14. Tutarlı.

Adım Adım Örnek 3 (Tersten Soru)

Soru: f(x) = x + 2 ve (fog)(x) = 2x + 7 ise g(x) nedir?

1. (fog)(x) = f(g(x)) = g(x) + 2.
2. g(x) + 2 = 2x + 7.
3. g(x) = 2x + 5.
4. Kontrol: f(g(x)) = f(2x + 5) = (2x + 5) + 2 = 2x + 7. Doğru.

Adım Adım Örnek 4 (g Bilinmeyen)

Soru: g(x) = 2x − 1 ve (fog)(x) = 4x − 3 ise f(x) nedir?

1. (fog)(x) = f(g(x)) = f(2x − 1) = 4x − 3.
2. 2x − 1 = t dönüşümü yapalım: x = (t + 1)/2.
3. f(t) = 4 · (t + 1)/2 − 3 = 2(t + 1) − 3 = 2t − 1.
4. f(x) = 2x − 1.
5. Kontrol: f(g(x)) = f(2x − 1) = 2(2x − 1) − 1 = 4x − 3. Doğru.

Bir fonksiyonun tersi, onun yaptığı işlemi geri alan fonksiyondur. f: A → B birebir ve örten ise tersi f⁻¹: B → A mevcuttur. Ters fonksiyon KPSS'de 2-3 yılda bir doğrudan, diğer yıllarda bileşkenin tersi şeklinde karşımıza çıkar.

Ters Fonksiyon Ne Zaman Vardır?

Sadece birebir örten fonksiyonların tersi vardır. Birebir değilse (f(−2) = f(2) gibi) tersi belirsiz kalır; örten değilse B'deki bazı elemanların karşılığı yoktur. Doğrusal fonksiyon f(x) = ax + b (a ≠ 0) her zaman birebir örtendir, yani her zaman tersi vardır.

Temel Özellikler

• f(a) = b ⇔ f⁻¹(b) = a. Noktaların yeri değişir.
• (f o f⁻¹)(x) = (f⁻¹ o f)(x) = x. Yani ters fonksiyon bileşkede birim fonksiyon üretir.
• f ve f⁻¹ grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir.
• (fog)⁻¹ = g⁻¹ o f⁻¹. Çorap-ayakkabı kuralı: dış tersin için içe, iç için dışa gider.

Ters Fonksiyon Nasıl Bulunur?

Üç adımlı kolay yöntem:

1. y = f(x) yazın.
2. x ve y'nin yerlerini değiştirin: x = f(y).
3. Yeni denklemi y için çözün. Sonuç f⁻¹(x)'dir.

Doğrusal Fonksiyonun Tersi (Kalıp)

f(x) = ax + b ise:

f⁻¹(x) = (x − b) / a

Bu KPSS'de en sık sorulan ters fonksiyon tipidir; ezberleyip doğrudan uygulayın.

Adım Adım Örnek 1 (Doğrusal Ters)

Soru: f(x) = 3x + 5 ise f⁻¹(x) nedir?

1. y = 3x + 5 yazalım.
2. x ile y yer değiştirsin: x = 3y + 5.
3. y için çözelim: 3y = x − 5 ⇒ y = (x − 5)/3.
4. f⁻¹(x) = (x − 5)/3.
5. Kontrol: (f o f⁻¹)(x) = f((x − 5)/3) = 3 · (x − 5)/3 + 5 = x − 5 + 5 = x. Birim fonksiyon çıktı. Doğru.

Adım Adım Örnek 2 (Belli Noktada Ters)

Soru: f(x) = 2x − 4 ise f⁻¹(6) kaçtır?

1. Kısa yol: f⁻¹(6) = k ise f(k) = 6.
2. 2k − 4 = 6 ⇒ 2k = 10 ⇒ k = 5.
3. f⁻¹(6) = 5.
4. Kontrol: Genel ters: f⁻¹(x) = (x + 4)/2. x = 6 koyalım: (6 + 4)/2 = 5. Aynı sonuç.

Adım Adım Örnek 3 (Bileşkenin Tersi)

Soru: f(x) = x + 3 ve g(x) = 2x olsun. (fog)⁻¹(8) kaçtır?

1. Önce (fog)(x)'i bulalım: (fog)(x) = f(2x) = 2x + 3.
2. (fog)⁻¹(8) = k ise 2k + 3 = 8 ⇒ k = 5/2.
3. (fog)⁻¹(8) = 5/2.
4. Kontrol: Çorap-ayakkabı: (fog)⁻¹ = g⁻¹ o f⁻¹. f⁻¹(8) = 5, g⁻¹(5) = 5/2. Aynı sonuç.

Adım Adım Örnek 4 (Kesirli Fonksiyon)

Soru: f(x) = (2x + 1)/(x − 3) ise f⁻¹(x) nedir?

1. y = (2x + 1)/(x − 3). x ↔ y: x = (2y + 1)/(y − 3).
2. x(y − 3) = 2y + 1 ⇒ xy − 3x = 2y + 1.
3. xy − 2y = 3x + 1 ⇒ y(x − 2) = 3x + 1.
4. y = (3x + 1)/(x − 2). f⁻¹(x) = (3x + 1)/(x − 2).
5. Kontrol: f(f⁻¹(x)) = x olmalı. x = 3 koyalım: f⁻¹(3) = 10/1 = 10. f(10) = 21/7 = 3. Doğru.

KPSS'de sık gelen bir başka kalıp, fonksiyonun içine sayı yerine bir ifade yazılmasıdır: f(2x + 1), f(x − 3), f(x²) gibi. Bu bölümde hem "f katsayıları bilinmeyen, değerler biliniyor" hem de "f(ax + b) biliniyor, f(x) isteniyor" tiplerini çözüyoruz.

f(x) = ax + b ve İki Noktadan Fonksiyon Bulma

Doğrusal fonksiyonun iki noktadaki değeri biliniyorsa iki denklem iki bilinmeyenle a ve b bulunur. Bu tip her yıl gelmese de 3-4 yılda bir karşımıza çıkar.

Adım Adım Örnek 1 (İki Değerden f Bul)

Soru: f(x) = ax + b doğrusal fonksiyonu için f(1) = 5 ve f(3) = 11 ise f(x) nedir?

1. f(1) = a + b = 5. (1)
2. f(3) = 3a + b = 11. (2)
3. (2) − (1): 2a = 6 ⇒ a = 3.
4. a + b = 5 ⇒ b = 2.
5. f(x) = 3x + 2.
6. Kontrol: f(1) = 3 + 2 = 5. f(3) = 9 + 2 = 11. Doğru.

f(ax + b) Tipi: t Dönüşümü

"f(2x + 1) = 4x + 7 ise f(x) nedir?" sorusunda klasik yöntem:

1. Parantez içine t deyin: 2x + 1 = t.
2. x'i t cinsinden çözün: x = (t − 1)/2.
3. Bu ifadeyi eşitliğin sağ tarafında x yerine yazın.
4. Sadeleştirip f(t) elde edin, sonunda t'yi x ile değiştirin.

Adım Adım Örnek 2 (t Dönüşümü)

Soru: f(2x + 1) = 4x + 7 ise f(x) nedir? f(5) kaçtır?

1. 2x + 1 = t ⇒ x = (t − 1)/2.
2. f(t) = 4 · (t − 1)/2 + 7 = 2(t − 1) + 7 = 2t + 5.
3. f(x) = 2x + 5.
4. f(5) = 2 · 5 + 5 = 15.
5. Kontrol: x = 2 alırsak 2x + 1 = 5, sol taraf f(5) = 15; sağ taraf 4 · 2 + 7 = 15. Eşit. Doğru.

Alternatif: Katsayı Eşleme

f'in doğrusal olduğunu varsayıp f(x) = ax + b yazın. f(2x + 1) = a(2x + 1) + b = 2ax + (a + b). Verilen 4x + 7 ile eşlersiniz: 2a = 4 ⇒ a = 2; a + b = 7 ⇒ b = 5. f(x) = 2x + 5. Aynı sonuç, genellikle daha kısa.

Adım Adım Örnek 3 (Katsayı Eşleme)

Soru: f(x − 2) = 3x − 1 ise f(x) nedir?

1. f(x) = ax + b varsayalım.
2. f(x − 2) = a(x − 2) + b = ax − 2a + b.
3. 3x − 1 ile eşle: a = 3 ve −2a + b = −1 ⇒ −6 + b = −1 ⇒ b = 5.
4. f(x) = 3x + 5.
5. Kontrol: f(x − 2) = 3(x − 2) + 5 = 3x − 6 + 5 = 3x − 1. Doğru.

Karesel (Quadratik) Dönüşüm

f(x + 1) = x² + 2x − 1 gibi sorularda x gördüğünüz her yere "x + 1 yerine x" yazmak için t = x + 1, yani x = t − 1 konur. f(t) = (t − 1)² + 2(t − 1) − 1 = t² − 2t + 1 + 2t − 2 − 1 = t² − 2. Yani f(x) = x² − 2.

Adım Adım Örnek 4 (Karesel)

Soru: f(x + 1) = x² + 2x + 3 ise f(4) kaçtır?

1. Kısa yol: x + 1 = 4 ⇒ x = 3.
2. f(4) = 3² + 2 · 3 + 3 = 9 + 6 + 3 = 18.
3. Kontrol: Genel f'i bulalım: t = x + 1, x = t − 1. f(t) = (t − 1)² + 2(t − 1) + 3 = t² − 2t + 1 + 2t − 2 + 3 = t² + 2. f(4) = 16 + 2 = 18. Doğru.

Bu bölümde KPSS fonksiyon sorularının tipolojisini ve her tipte kullanacağınız hızlı karar akışını derliyoruz. Fonksiyon sorusu "garanti bir nettir"; ön yargılı bakmazsanız 45-60 saniyede biten bir sorudur.

KPSS Fonksiyon Soru Tipleri

1. Değer bulma (f(a) = ?): Verilen fonksiyonda x yerine a yazın. En kolay tip.
2. Bilinmeyen bulma: f(a) = k verilmiş, a veya f'in katsayısı istenmiş. Denklem kurarak çözün.
3. Bileşke değer: (fog)(a) — içerden dışarı hesaplayın.
4. Bileşkeden fonksiyon bulma: (fog) biliniyor, g veya f istenmiş. t dönüşümü veya katsayı eşleme.
5. Ters fonksiyon değeri: f⁻¹(k) = ? — f(?) = k denklemini çözün.
6. Ters fonksiyon ifadesi: f⁻¹(x) = ? — y = f(x), sonra x ↔ y, y'yi çöz.
7. f(ax + b) tipi: Parantez içini istenen değere eşle veya katsayı eşle.
8. Doğrusal fonksiyon bulma: İki değerden f(x) = ax + b'yi belirle.
9. Grafikten okuma: Verilen doğruda iki noktadan a ve b'yi bul.

Stratejik Kontrol Listesi (Her Soruda)

1. Ne isteniyor? Değer mi, ifade mi, katsayı mı, ters mi? İlk 5 saniyede netleştirin.
2. Verilen ne? f(x) açık mı, yoksa f(ax + b) mi? f birebir örten mi?
3. Uygun formül: Bileşke ise f(g(x)), ters ise y = f(x) döndür, f(ax + b) ise t dönüşümü.
4. Değer sorusu ise doğrudan yerine koy, genel formüle girme.
5. Kontrol: Bulduğunuz sonucu orijinal eşitlikte doğrulayın.

KPSS Tarzı Karma Örnek 1

Soru: f(x) = 2x + a, g(x) = x − 3 ve (fog)(5) = 9 ise a kaçtır?

1. g(5) = 5 − 3 = 2.
2. (fog)(5) = f(g(5)) = f(2) = 2 · 2 + a = 4 + a.
3. 4 + a = 9 ⇒ a = 5.
4. Kontrol: f(x) = 2x + 5, f(2) = 9, (fog)(5) = 9. Doğru.

KPSS Tarzı Karma Örnek 2

Soru: f(x) = 3x − 2 olduğuna göre f⁻¹(10) + f(4) kaçtır?

1. f⁻¹(10) = k ⇒ f(k) = 10 ⇒ 3k − 2 = 10 ⇒ k = 4.
2. f(4) = 3 · 4 − 2 = 10.
3. Toplam: 4 + 10 = 14.
4. Kontrol: Genel ters f⁻¹(x) = (x + 2)/3; f⁻¹(10) = 12/3 = 4. Doğru.

KPSS Tarzı Karma Örnek 3

Soru: f(x − 1) = 2x + 5 olduğuna göre f(3) kaçtır?

1. Parantez içini 3'e eşle: x − 1 = 3 ⇒ x = 4.
2. f(3) = 2 · 4 + 5 = 13.
3. Kontrol: Genel f: t = x − 1 ⇒ x = t + 1. f(t) = 2(t + 1) + 5 = 2t + 7. f(3) = 6 + 7 = 13. Doğru.

KPSS Tarzı Karma Örnek 4

Soru: f(x) = ax + b, f(2) = 9 ve f(−1) = 0 ise f(5) kaçtır?

1. 2a + b = 9 (1); −a + b = 0 (2).
2. (1) − (2): 3a = 9 ⇒ a = 3. Sonra b = 3.
3. f(x) = 3x + 3. f(5) = 15 + 3 = 18.
4. Kontrol: f(2) = 9 ✓, f(−1) = 0 ✓. Doğru.

KPSS Tarzı Karma Örnek 5

Soru: f(x) = 2x + 1 ve g(x) = x² − 3 ise (gof)(2) − (fog)(2) kaçtır?

1. (gof)(2) = g(f(2)) = g(5) = 25 − 3 = 22.
2. (fog)(2) = f(g(2)) = f(1) = 2 · 1 + 1 = 3.
3. Fark: 22 − 3 = 19.
4. Kontrol: (gof)(x) = (2x + 1)² − 3; x = 2: 25 − 3 = 22. (fog)(x) = 2(x² − 3) + 1 = 2x² − 5; x = 2: 8 − 5 = 3. Aynı sonuç.

Sık Yapılan Hatalar

• (fog) ile (gof) karışıklığı: Okunuşu sağdan sola; (fog) önce g sonra f. Altını çizin.
• Ters fonksiyonda x ↔ y yapmayı unutmak: Sadece y'yi çözmek yanlış sonuç verir.
• Katsayı eşlemede f'i doğrusal varsaymak ama soru karesel olmak: İfade derecesine bakın.
• f(ax + b) sorusunda t dönüşümünde x'i yanlış çözmek: Bir kere daha kontrol edin.
• Sabit ve birim fonksiyon kurallarını karıştırmak: Sabit: x'li katsayılar sıfır. Birim: x'in katsayısı 1, sabit 0.

Sonuç: Fonksiyon, Cebirin Kapısıdır

Fonksiyonlar, KPSS Genel Yetenek matematiğinin cebirsel soğuruluğa geçiş konusudur. Kavramlar sadedir: tanım kümesinden değer kümesine eşleme, sıralı işlem (bileşke), geri alma (ters). Fakat sınav sorusunda bu kavramları hızlı ve doğru birleştirmek netinizi belirler. Bileşke ve ters fonksiyon, ÖSYM'nin en sevdiği iki konu; f(ax + b) tipi parçalı dönüşüm de yılın klasik sorusu olarak dönüp duruyor. Bir sonraki konumuz sayısal mantık, bu cebir refleksini örüntü ve çıkarım tarafına taşıyacak; fonksiyonda kazandığınız "parantezi aç, sadeleştir, kontrol et" disiplini sayısal mantıkta da, geometride de, hayatın geri kalanında da size hizmet edecektir.