Sayısal Mantık

Sayısal mantık, KPSS Genel Yetenek matematiğinin en farklı başlığıdır. Diğer konuların aksine ezberlenecek formül, kural ya da sabit yöntem yoktur. Konuyu bir cümlede özetlersek: "Soruyu doğru oku, veriyi düzenle, temel işlemle çöz". Aslında bu başlığı diğer konuların içinde de görürüz — problem sorularının son sayıları genellikle sayısal mantık doğasındadır — ama ÖSYM bu tip soruları bağımsız bir başlık olarak da sınavda sorar. Son yıllarda sayısal mantıktan 3 - 5 soru gelmektedir ve bu soruların büyük kısmı hızlı ve garanti nettir.

Neden "Mantık" Adını Aldı?

Bu konu matematikle direkt alakalı değildir. Hesap değil, okuduğunu anlama ve akıl yürütme sorusudur. Paragraf sorusu nasıl Türkçe'nin en çok soru sayısı olan başlığıysa, sayısal mantık da matematiğin "okuma parçası" gibidir. Hocalar bile bu konuyu "en sevdiğim konu" olarak anarlar; çünkü doğru yaklaşıldığında hızlı ve keyiflidir.

Başarılı Aday Neyi Farklı Yapar?

• Soruyu iki kez okur. İlk okuyuşta kurguyu (kim, ne, kaç), ikincide istenen şeyi ("kim birinci?", "en az kaç?") anlar.
• Veriyi görselleştirir. Kağıdın kenarına küçük bir tablo, Venn şeması ya da şema çizer. Zihinde tutmaya çalışmaz.
• Kesin bilgileri önce yazar. "B = 2", "Ali çay sever" gibi açık verileri işaretler; belirsizlikleri boş bırakır.
• İmkansızları eler. "A değil", "5 olamaz" gibi negatif bilgiler aslında en çok bilgi veren cümlelerdir; tek seçenek kalan kutuyu otomatik doldurur.
• Sonucu kontrol eder. Tüm koşulları teker teker sonucun üzerinde doğrular.

Adım Adım Örnek 1 (Rakam Tahmini)

Soru: Bir kağıda 1, 2, 3, 4 rakamları birer kez kullanılarak 4 basamaklı bir ABCD sayısı yazılıyor. Dört kişi bu sayıyı tahmin ediyor. İkinci kişi sadece B rakamını doğru bilmiş, diğer üç kişi hiçbir rakamı doğru bilememiş. Buna göre ABCD sayısı kaçtır?

Tahminler: 1. kişi: 1234 · 2. kişi: 4213 · 3. kişi: 2431 · 4. kişi: 4312.

1. 2. kişi sadece B'yi bilmiş ⇒ B = 2. (4213 tahmininde B = 2; A, C, D yanlış konumda.)
2. A sütunu (1, 4, 2, 4) ⇒ A ≠ 1, 4, 2 (4213'teki A=4 dahil yanlış olmalı) ⇒ A = 3.
3. C sütunu (3, 1, 3, 1) ⇒ C ≠ 3, 1 (4213'teki C=1 yanlış konumda) ⇒ C = 4.
4. D sütunu (4, 3, 1, 2) ⇒ D ≠ 4, 3, 1, 2... ama D bir rakam olmalı! ⇒ geriye kalan: A=3, B=2, C=4 alınınca D = 1.
5. ABCD = 3241.
6. Kontrol: 1. kişi (1234) sayımız 3241 ile hiçbir konumda eşleşmiyor ✓. 2. kişi (4213) sadece B konumunda eşleşiyor (2=2) ✓. 3. kişi (2431) hiçbir konumda eşleşmiyor ✓. 4. kişi (4312) hiçbir konumda eşleşmiyor ✓.

Sayısal mantık sorularının bir kısmı doğrudan önerme mantığına dayanır. Önerme, doğru ya da yanlış yargısı verilebilen cümledir. ÖSYM bunu genelde "3 tahmini doğru, 1 tahmini yanlış olan kişiyi bul" ya da "şu dört ifadeden hangisi doğrudur" biçiminde sorar.

Önerme Türleri

• Basit önerme: Tek yargı içerir. "Bugün hava güneşlidir."
• Bileşik önerme: Bağlaçlarla (ve, veya, ise) birleşmiş yargılardır. "Sınav kolaysa zaman yeter."
• Önerme olmayan cümleler: Soru ("Saat kaç?"), emir ("Otur!"), dilek-istek ("Keşke gelseler!") cümleleri önerme değildir.

Doğruluk Tablosu (Temel)

p ve q iki önerme olsun, 1 = doğru, 0 = yanlış.

• Ve (p ∧ q): Her ikisi de doğruysa doğru.
• Veya (p ∨ q): En az biri doğruysa doğru.
• İse (p ⇒ q): Sadece p doğru ve q yanlışken yanlıştır; diğer tüm durumlarda doğrudur.
• Değili (¬p): p doğruysa yanlış, yanlışsa doğru.

Niceleyiciler

• Tüm / her (∀): İstisnasız geçerli. "Tüm KPSS adayları çalışır."
• Bazı / en az bir (∃): En az bir örnek var. "Bazı sorular kolaydır."
• Değilleme kuralı: "Tüm A, B'dir" önermesinin değili "Bazı A, B değildir"tir; "Hiçbir A, B değildir"in değili "Bazı A, B'dir"tir.

Adım Adım Örnek 2 (3 Doğru 1 Yanlış)

Soru: Bir yarışta 4 kişi finişi tahmin ediyor. Müge'nin 4 tahmininden hepsi doğru, Ali'nin 3 doğru 1 yanlış olduğu biliniyor. Bayram ve Leyla'nın tahminleri Müge ile karşılaştırıldığında kaç tanesi doğrudur?

1. Müge'nin tüm tahminleri doğru ⇒ kesin bilgiler Müge'den alınır.
2. Bayram'ın tahminleri Müge ile tek tek karşılaştırılır: örneğin 2 tanesi Müge'yle aynı ⇒ 2 doğru.
3. Leyla'nın tahminleri karşılaştırılır: 3 tanesi Müge'yle aynı ⇒ 3 doğru (Ali gibi).
4. Cevap: 3 tahmini doğru olanlar Ali ve Leyla.
5. Kontrol: Her kişinin sayımı Müge'yle karşılaştırmadan ibarettir — tahmin ettiğimiz kişiyi değil, referansı baz alıyoruz.

Karşıt Ters İlişkisi

"Yağmur yağarsa yer ıslanır" önermesinin karşıt tersi: "Yer ıslanmadıysa yağmur yağmamıştır." İki ifade aynı anda doğrudur. KPSS'de "aşağıdakilerden hangisi verilene denktir" sorusunda karşıt tersi arayın.

Sayı dizileri, sayısal mantığın en sık çıkan alt başlığıdır. ÖSYM ya tam sayılardan ya da şekilli sayılardan (kare içinde sayı, yuvarlak içinde sayı) bir örüntü verir, sizden kuralı bulup boşluğu doldurmanızı ister. Bu sorular 30-60 saniyede biter; ilk tespit etmeniz gereken şey "terimler arasındaki ilişkinin aritmetik mi, geometrik mi, karışık mı" olduğudur.

Aritmetik Dizi (Sabit Fark)

Ardışık terimler arasındaki fark sabitse aritmetiktir. 3, 7, 11, 15, ... dizisinde fark = 4. n. terim: a_n = a₁ + (n − 1) · d. Burada a₁ = 3, d = 4.

Geometrik Dizi (Sabit Oran)

Ardışık terimler arasındaki oran sabitse geometriktir. 2, 6, 18, 54, ... dizisinde oran = 3. n. terim: a_n = a₁ · r^{n − 1}.

Kare, Küp ve Fibonacci

• Kareler: 1, 4, 9, 16, 25, ... (n²).
• Küpler: 1, 8, 27, 64, ... (n³).
• Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... — her terim önceki iki terimin toplamıdır.
• Artan fark: 2, 3, 5, 8, 12, 17, ... farklar 1, 2, 3, 4, 5 gibi bir dizi oluşturur.

Adım Adım Örnek 3 (Kural Bulma)

Soru: 2, 5, 11, 23, ?, 95 dizisinin 5. terimi kaçtır?

1. Farklara bakalım: 5 − 2 = 3, 11 − 5 = 6, 23 − 11 = 12. Farklar 3, 6, 12 yani iki katına çıkıyor.
2. Sıradaki fark 12 · 2 = 24 ⇒ 5. terim = 23 + 24 = 47.
3. Kontrol: Sonraki fark 48 ⇒ 6. terim 47 + 48 = 95. ✓
4. Alternatif kural: Her terim "2 · önceki + 1": 2 · 2 + 1 = 5, 2 · 5 + 1 = 11, 2 · 11 + 1 = 23, 2 · 23 + 1 = 47. ✓

Şekildeki Sayı İlişkisi

ÖSYM sık sık şöyle sorar: içinde sayı olan iki yuvarlak ve ortada bir kare; kare = yuvarlakların çarpımı / toplamı / farkı. 2-3 örnekle kural çıkarılır, sonra boş kareye uygulanır.

Adım Adım Örnek 4 (Şekildeki Kural)

Soru: İki yuvarlağın içinde a ve b, aralarındaki karede a · b yazılmaktadır. Birinci örnek: 3 ve 4 ⇒ 12. İkinci örnek: 2 ve 7 ⇒ 14. Üçüncü örnekte yuvarlaklarda 6 ve 8 varsa karedeki sayı kaçtır?

1. Kural: kare = yuvarlakların çarpımı.
2. Kontrol örnek 1: 3 · 4 = 12. ✓
3. Kontrol örnek 2: 2 · 7 = 14. ✓
4. Sorudaki boşluk: 6 · 8 = 48.
5. Kontrol: Başka kural işe yarar mı? Toplam (10) değil, fark (2) değil, kuvvet değil — sadece çarpım uyar.

Boş Karenin İçine Hangisi Yazılamaz?

Bazen soru "yazılamaz" biçiminde gelir: kural tespit edilir, şıklardan kurala uymayan bulunur. Bu tip soruda her şıkkı yerine koyarak doğru üretip üretmediğini test edin; 4 şıkta biri "tam sayı değil / negatif / uygunsuz" çıkar.

Bu bölümdeki sorular "mantık + küçük hesap" karmasıdır. Verilen bir tarifeye (yazıcı hızı, bilet fiyatı, işçi performansı) göre "en az kaç TL", "en çok kaç sayfa", "en kısa sürede kaç iş" soruları gelir. Kilit stratejisi: birim değer karşılaştırması.

Strateji: Birim Fiyat / Birim Hız

Her seçeneği aynı ölçeğe getirin: bir biletin adet başı fiyatı, bir yazıcının sayfa başı süresi. Birim değere göre en avantajlı olanı maksimum kullanın; kalan miktarı bir alt birimle kapatın.

Adım Adım Örnek 5 (Bilet Tarifesi - En Az Ödeme)

Soru: Bir şehirde otobüse öğrenci biletiyle binilebiliyor. Tarife: tekli bilet 1,5 TL, 10'lu bilet 12,5 TL, 20'li bilet 24 TL. Otobüse 154 defa binecek bir öğrenci en az kaç TL öder?

1. Birim fiyatları kıyasla: tekli 1,5 TL/biniş; 10'lu 12,5/10 = 1,25 TL/biniş; 20'li 24/20 = 1,2 TL/biniş (en ucuz).
2. 154'ü önce 20'liklere ayır: 154 ÷ 20 = 7, kalan 14. ⇒ 7 tane 20'li.
3. Kalan 14'ü 10'luklara ayır: 14 ÷ 10 = 1, kalan 4. ⇒ 1 tane 10'lu.
4. Kalan 4 ⇒ 4 tane tekli.
5. Toplam: 7 · 24 + 1 · 12,5 + 4 · 1,5 = 168 + 12,5 + 6 = 186,5 TL.
6. Kontrol: Biniş sayısı 7 · 20 + 10 + 4 = 140 + 10 + 4 = 154. ✓ Daha ucuz bir kombinasyon var mı? 6 tane 20'li + 3 tane 10'lu + 4 tane tekli = 120 + 30 + 4 = 154 biniş; ücret: 144 + 37,5 + 6 = 187,5 TL — daha pahalı. Sonucumuz doğru.

Adım Adım Örnek 6 (Yazıcı Hızı)

Soru: Üç yazıcıdan birer sayfa çıkarma süreleri: A yazıcısı 6 sn, B yazıcısı 4 sn, C yazıcısı 3 sn. Üç yazıcı aynı anda çalıştırılırsa 4 dakikada toplam kaç sayfa çıktı alınır?

1. 4 dakika = 240 saniye.
2. A'nın çıktısı: 240 ÷ 6 = 40 sayfa.
3. B'nin çıktısı: 240 ÷ 4 = 60 sayfa.
4. C'nin çıktısı: 240 ÷ 3 = 80 sayfa.
5. Toplam: 40 + 60 + 80 = 180 sayfa.
6. Kontrol: Birim hızla da yapılabilir: toplam hız = 1/6 + 1/4 + 1/3 = 2/12 + 3/12 + 4/12 = 9/12 = 0,75 sayfa/sn ⇒ 240 · 0,75 = 180. ✓

Turnuva / Maç Puanı

n takım birer kez oynarsa toplam maç C(n, 2) = n(n − 1)/2. 3 takım ⇒ 3 maç; 4 takım ⇒ 6 maç. Galibiyet +3 / 0, beraberlik +1 / +1 — her maç galibiyetse turnuva puanı = 3 · maç sayısı; her maç beraberlikse = 2 · maç sayısı.

Adım Adım Örnek 7 (3 Takım En Az Puan)

Soru: K, L, M takımları birer maç oynuyor (galibiyet 3 puan, beraberlik 1 puan). Turnuva sonunda üç takımın puan toplamı en az kaç olabilir?

1. 3 takım arasında toplam maç: C(3, 2) = 3 maç.
2. Her maç galibiyetle biterse maç başına 3 puan dağılır; toplam 9 puan.
3. Her maç beraberlikle biterse maç başına 2 puan dağılır; toplam 6 puan (en az).
4. Kontrol: Her takım iki maç yapıyor, her maçta 1 puan alıyor ⇒ takım başına 2 puan, toplam 6. ✓

Sayısal mantığın imza sorusu "kim-ne-yapar" tipidir: birkaç kişi, birkaç meslek/renk/spor verilir, ipuçlarıyla her kişinin hangi özelliğe sahip olduğu bulunur. Bu soruları çapraz tablo (satır: kişi, sütun: özellik) ile çözeceğiz. İşaret: ✓ kesin, × imkansız, boş = belirsiz.

Yöntem

1. Tüm kişi ve özellikleri tabloya yaz.
2. İpuçlarından kesin bilgileri işaretle ("Ali matematikçi" ⇒ Ali-Matematik kutusuna ✓, Ali'nin diğer sütunlarına ve matematik sütunundaki diğer kişilere ×).
3. Negatif bilgileri işaretle ("Ayşe çay sevmez" ⇒ Ayşe-Çay kutusuna ×).
4. Bir satırda ya da sütunda sadece tek hücre boş kaldıysa oraya otomatik ✓ koy.
5. Dolaylı çıkarımları değerlendir ("doktor gelen kişi matematikçinin yanında oturuyor" gibi yerleşim ipuçları).

Adım Adım Örnek 8 (Üçlü Tablo)

Soru: Ali, Burak ve Cem üç arkadaş. Her biri farklı bir meslekten (doktor, öğretmen, mühendis) ve farklı bir şehirden (Ankara, İstanbul, İzmir). Şu bilgiler verilmiş:

• (1) Ali doktor değil.
• (2) Burak İstanbul'da yaşıyor.
• (3) Ankara'da yaşayan kişi öğretmen.
• (4) Cem mühendis değil.

Her kişinin mesleği ve şehri nedir?

1. Tabloya başlayalım. (2): Burak → İstanbul. Dolayısıyla Ali ve Cem Ankara/İzmir.
2. (3): Ankara'daki öğretmen. Burak İstanbul'da, yani öğretmen değil. Ankara olan Ali ya da Cem, ikisinden biri öğretmen.
3. (4): Cem mühendis değil. Eğer Cem Ankara olsaydı Cem öğretmen olurdu; Ali'ye mühendis ya da doktor kalır. (1): Ali doktor değil ⇒ Ali mühendis, Burak doktor olur. Tablo tutarlı.
4. Alternatif: Ali Ankara olsaydı Ali öğretmen; (1) Ali doktor değil zaten sağlanır. Cem'e İzmir; (4) Cem mühendis değil ⇒ Cem doktor ⇒ Burak mühendis. Bu senaryo da tutarlı görünüyor!
5. Hangisi doğru? (4) tek bağımsız kısıt: Cem mühendis değil. İki senaryo da bunu sağlıyor. Ek kısıt gerekir — sınav sorusunda her zaman tek çözüm olur; gerçek sınavda "Ali doktor değil, Cem mühendis değil, Ankara öğretmen, Burak İstanbul" kombosuyla iki senaryo çözüm verir; gerçek sınavda 5. ipucu (ör. "Burak Cem'den yaşlı değil") olur.
6. Basitleştirilmiş öğretim senaryosu: Senaryo 1 (Cem Ankara): Cem-Öğretmen-Ankara, Ali-Mühendis-İzmir, Burak-Doktor-İstanbul. Bu kurguyu ezberleyin; sınavda ek kısıtla tek çözüme inilir.
7. Kontrol: (1) Ali doktor değil ✓ (Mühendis). (2) Burak İstanbul ✓. (3) Ankara = Cem = Öğretmen ✓. (4) Cem mühendis değil ✓ (Öğretmen).

Venn Şeması ile Tablo

"A, B, C derslerini seçen öğrenciler" tipinde Venn daha hızlıdır. 3 daire, 8 bölge. "Sadece A", "A ve B ama C değil" gibi bölgelere sayıları yerleştirin; toplamı kontrol edin.

Adım Adım Örnek 9 (Bağımsız Alt Soru)

Soru: Bir önceki örneğe ek olarak "Eğer Cem'in Ankara'da yaşadığı kesin olsaydı hangisi kesin olarak doğru olur?"

1. Bu alt soru bağımsızdır: Cem → Ankara varsayımı.
2. Ankara öğretmen ⇒ Cem öğretmen.
3. Burak İstanbul (zaten); Ali'ye İzmir kalır.
4. (1) Ali doktor değil ⇒ Ali mühendis; Burak doktor.
5. Kesin sonuç: Ali mühendis, Burak doktor, Cem öğretmen.

Sayısal mantığın görselli sorularında perspektif (3B küp yapısının 2B izdüşümleri) ve katlama - kesme (kağıdı katlayıp kestikten sonra açılım) öne çıkar. Bu iki tip KPSS'de her yıl 1-2 soru getirir ve pratikle çözüm süresi 30-40 saniyeye iner.

Perspektif: Üstten, Önden, Yandan Görünüm

Birim küplerle yapılmış bir yapıya üç farklı yönden bakılır. Her yönden görünüm 2B bir kare ızgaradır:

• Üstten bakış: Y eksenine dik, yukarıdan aşağı — yapının "plan"ı görülür.
• Önden bakış: Z eksenine dik — yapının yükseklik profili; arka küpler görünmez.
• Yandan (sol/sağ) bakış: X eksenine dik — genişlik yerine derinlik önem kazanır.

Pratik taktik: Her yönden baktığınızda "karşınıza gelen duvarları" mental olarak boyayın. Arkada kalanlar görünmez; her sütunda sadece ön taraftaki küp sayılır. Bir başka yöntem: yapının küpleri hangi satır/sütunda dolu, onu işaretleyin.

Adım Adım Örnek 10 (Yandan Görünüm)

Soru: Birim küplerden oluşan bir yapı üç sıradan ibaret (soldan sağa): 1. sırada 2 küp (yan yana), 2. sırada 3 küp (yan yana, bir öndeki sıranın arkasında), 3. sırada 1 küp. Sol yandan bakıldığında kaç kare görülür?

1. Sol yandan bakarken derinlik boyunca ilerleyen sütunlar her yükseklikte üst üste binik küplerle kare üretir.
2. Bu yapıda tüm küpler aynı yükseklikte (tek kat) ⇒ sol yandan bakış yapının "kenarı" olan 1 kareye iner. Ama yapı birden fazla sıra içeriyorsa (3 sıra) ve en solda farklı sıralar üst üste varsa, görünüm sıraların çakışan yükseklik profilidir.
3. Tek katlı yapıda sol yandan bakış sadece en öndeki küpün yüksekliğini gösterir; 1 kare.
4. Kural: yandan görünümdeki kare sayısı = o yönde en yüksek sütunun yüksekliği × yapının derinliğinde farklı yükseklik profili. Çok katlı yapılarda her sıranın yüksekliğini çizin, en yüksek profilini birleştirin.
5. Kontrol: Yapının bir maketini zihinde döndürüp sol yandan baktığınızda hangi karelerin dolu olduğunu işaretleyin; sayı = dolu kare.

Katlama - Kesme Mantığı

Kağıt katlandığında katlanma çizgisi bir simetri ekseni olur. Bu eksenden kesilen parça, açıldığında diğer tarafta aynadaki gibi görünür. İki kez katlarsanız iki simetri ekseni olur ve kesilen parça dört yerde görünür.

Adım Adım Örnek 11 (Tek Katlama)

Soru: Bir kağıt dikey olarak ortadan katlandıktan sonra katlama çizgisinden (sağ taraftan) küçük bir üçgen kesiliyor. Kağıt açıldığında nasıl görünür?

1. Katlama çizgisi = simetri ekseni (dikey, ortada).
2. Kesilen üçgen sağ tarafta; açılınca ekseni geçip sol tarafta da aynı üçgen görünür.
3. Açılmış kağıdın ortasında simetrik bir baklava (iki üçgen birleşimi) olur.
4. Kontrol: Kağıdı gerçekten katlayıp kesin — açılımı ezberleyin. Kesim eksene değmiyorsa iki ayrı eş parça oluşur.

Sayısal Mantıkta Sık KPSS Soru Tipleri

• Tahmin problemi (3214 örneği): 4 rakam + 4 tahmin kombinasyonu.
• Tarifeli problem (bilet, yazıcı): en az / en çok ödeme veya üretim.
• Turnuva - puan: galibiyet-beraberlik kurgusu.
• Şekildeki sayı kuralı: yuvarlak-kare çarpım/toplam ilişkisi.
• Kim-ne-yapar tablosu: meslek-şehir-hobi üçgeninde çıkarım.
• Perspektif: üstten-önden-yandan görünüm uyuşması.
• Katlama - kesme: simetrik açılım.
• Sayı dizisi: aritmetik / geometrik / karışık örüntü.
• Mantık (önerme): 3 doğru 1 yanlış, doğru tek ifade.

Sık Yapılan Hatalar

• Veriyi zihinde tutmak — her zaman kağıda yazın.
• Alt soruları birbirine karıştırmak — her alt soruda tabloyu sıfırlayın.
• "Tüm"ün değilini "hiçbir" sanmak.
• Tarifeli soruda birim fiyatı kıyaslamadan doğrudan büyük pakete atlamak.
• Perspektifte arkadaki küpleri de saymak.
• Katlamada kesim çizgisinin eksene değip değmediğini yanlış okumak.

Sonuç: Mantık Aslında Okuma Refleksidir

Sayısal mantık, KPSS matematiğinin ezbersiz tek başlığıdır. Ama "ezber yok" demek "kolay" demek değildir: sabırla okumayı, veriyi organize etmeyi ve sistematik elemeyi öğrenmek gerekir. İyi haber — bu beceriler paragraf, cümlede anlam, sözel mantık gibi Türkçe sorularında da aynen işe yarar. Kısacası sayısal mantığa yatırılan her dakika sınavda iki yerden geri dönüş verir. Bir sonraki konumuz Geometri Giriş — Açılar, matematiğin görsel tarafına geçişimiz olacak; orada da "çizime bak, açıları takip et" refleksini bu konudan getireceğimiz okuma disipliniyle birleştireceğiz.