Olasılık

Olasılık, bir rastgele olayın gerçekleşme şansını sayıyla ifade etme sanatıdır. Günlük hayatta "yarın yağmur ihtimali %70", "piyango kazanma olasılığım milyonda bir", "atanma olasılığım" dediğimizde hep olasılıktan bahsederiz. Matematikte olasılık 0 ile 1 arasında bir sayıdır: 0 "asla olmaz", 1 "kesin olur" anlamına gelir.

Deney, Örnek Uzay, Olay

Olasılık konusunda üç temel kavram vardır:

• Deney: Sonucu önceden bilinmeyen, rastgele olan işlem. Örnek: para atmak, zar atmak, torbadan top çekmek.
• Örnek uzay (E): Deneyin olası tüm sonuçlarının kümesi. Bir zar için E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; eleman sayısı s(E) = 6.
• Olay (A): Örnek uzayın bir alt kümesi. "Zarda çift sayı gelmesi" olayı için A = {2, 4, 6}; s(A) = 3.

Temel Olasılık Formülü

Eş olası durumlarda (her sonucun şansı aynıysa) olasılık şöyle hesaplanır:

P(A) = s(A) / s(E) = istenen durum sayısı / tüm durum sayısı

Yani "istediğim kaç tane, toplamda kaç tane". Kombinasyon ve permütasyon becerimiz burada doğrudan işimize yarar — çünkü "istenen" ve "tüm" durumları sayarken çoğunlukla C(n, r) veya P(n, r) yazarız.

Adım Adım Örnek 1 (Zar)

Soru: Hilesiz bir zar atıldığında üst yüze gelen sayının 3'ten büyük olma olasılığı kaçtır?

1. Örnek uzay: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, s(E) = 6.
2. İstenen olay: A = {4, 5, 6}, s(A) = 3.
3. P(A) = 3 / 6 = 1/2.
4. Kontrol: Tümleyen olay "3'ten büyük değil" = {1, 2, 3}, olasılığı 3/6 = 1/2. İki olasılık toplamı 1/2 + 1/2 = 1. Tutarlı.

Adım Adım Örnek 2 (Para)

Soru: Üç hilesiz para birlikte atıldığında en az iki yazı gelme olasılığı kaçtır?

1. Örnek uzay: 2³ = 8 sonuç. E = {YYY, YYT, YTY, TYY, YTT, TYT, TTY, TTT}.
2. En az iki yazı: tam 2 yazı ya da 3 yazı. Tam 2 yazı: C(3, 2) = 3 (YYT, YTY, TYY). 3 yazı: C(3, 3) = 1 (YYY). Toplam s(A) = 4.
3. P(A) = 4 / 8 = 1/2.
4. Kontrol: Simetri: "en az iki yazı" ile "en az iki tura" simetrik olaylardır; ortak olay "tam iki yazı ve tam iki tura" imkânsızdır. Bu durumda ikisinin toplamı 1 etmeli: 1/2 + 1/2 = 1. Doğru.

Olasılık Değeri İçin Önemli Sınırlar

• P(∅) = 0: imkânsız olay (örn. zarda 7 gelmesi).
• P(E) = 1: kesin olay (örn. zarda 1-6 arası gelmesi).
• 0 ≤ P(A) ≤ 1: olasılık değeri hep bu aralıktadır.
• P(A) + P(A') = 1: bir olay ile tümleyeninin olasılıkları toplamı 1.

Olasılık formülünün kalbi sayımdır. Örnek uzayın ve olayın eleman sayısını nasıl saydığımız sonucu doğrudan belirler. Bu bölümde eş olası kabul edebileceğimiz klasik deneyleri (zar, para, kart, top) ve sayımın altın kurallarını inceleyelim.

Zar Deneyi

• 1 zar: E = {1,2,3,4,5,6}, s(E) = 6. Çift sayı olasılığı 3/6 = 1/2. Asal sayı (2,3,5) olasılığı 3/6 = 1/2.
• 2 zar: s(E) = 6 · 6 = 36. Üst yüzler toplamı 7 olan durum sayısı: (1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1) = 6 durum. P = 6/36 = 1/6.
• 2 zarda aynı sayı gelme olasılığı: 6 durum (1-1, 2-2, ... 6-6). P = 6/36 = 1/6.

Para Deneyi

• 1 para: E = {Y, T}, s(E) = 2.
• n para (ya da 1 para n kez): s(E) = 2ⁿ. Tam k yazı gelme durumu C(n, k) kadardır.
• 3 parada tam 2 yazı: C(3,2)/2³ = 3/8.

İskambil (Kart) Destesi

Bir desteyle ilgili ezber bilgi şart:

• Toplam 52 kart, 4 renk (kupa, karo, maça, sinek), her renk 13 kart.
• 4 as, 4 papaz (K), 4 kız (Q), 4 vale (J), 4·9 = 36 sayı kartı (A'yı sayı saymazsak).
• Kırmızı (kupa + karo) 26, siyah (maça + sinek) 26.

Desteden 1 kart çekiliyor:

• As gelme olasılığı: 4/52 = 1/13.
• Kupa gelme olasılığı: 13/52 = 1/4.
• Kırmızı gelme olasılığı: 26/52 = 1/2.

Torba Deneyi (Top Çekme)

Bir torbada n tane top var; k tanesi bir renk (ör. mavi), kalanı farklı renk. 1 top çekilirse P(mavi) = k/n. Birden fazla çekme durumunda iadeli (geri koyarak) ve iadesiz (geri koymadan) ayrımı çok önemlidir.

• İadeli: Her çekiş bağımsız; paydalar sabit (hep n). Bağımsız olayların çarpma kuralı.
• İadesiz: Her çekişte torba küçülür; bağımlı olay, şartlı olasılık veya aynı anda kombinasyon.

Adım Adım Örnek 1 (İki Zarın Toplamı)

Soru: İki hilesiz zar birlikte atıldığında üst yüzler toplamının 9 olma olasılığı kaçtır?

1. Örnek uzay: 6 · 6 = 36.
2. Toplamı 9 yapan ikililer: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3) = 4 durum.
3. P = 4 / 36 = 1/9.
4. Kontrol: (a, b) ile (b, a) zarları ayrı sayıyoruz çünkü zarlar ayırt ediliyor (ör. kırmızı-mavi zar). Doğru.

Adım Adım Örnek 2 (Torbadan Aynı Anda İki Top)

Soru: Bir torbada 5 mavi, 3 kırmızı top vardır. Torbadan aynı anda rastgele 2 top çekiliyor. İkisinin de mavi olma olasılığı kaçtır?

1. Toplam: 5 + 3 = 8 top. Toplam 2'li seçim s(E) = C(8, 2) = 28.
2. İstenen: 2'si de mavi. 5 maviden 2 seçmek: C(5, 2) = 10.
3. P = 10 / 28 = 5/14.
4. Kontrol (iadesiz sırayla): İlk mavi: 5/8; ikinci mavi (bir mavi gitti): 4/7. Çarp: 5/8 · 4/7 = 20/56 = 5/14. Aynı sonuç. Doğru.

Adım Adım Örnek 3 (Karttan As veya Kupa)

Soru: 52'lik bir desteden rastgele 1 kart çekiliyor. As veya kupa olma olasılığı kaçtır?

1. As sayısı: 4. Kupa sayısı: 13. Kesişim (kupa ası): 1 kart.
2. As veya kupa sayısı: 4 + 13 − 1 = 16.
3. P = 16 / 52 = 4/13.
4. Kontrol: Toplama kuralında kesişimi bir kez düşüyoruz; aksi hâlde kupa ası iki kez sayılırdı. Doğru.

Olasılıkta bazı sorular doğrudan "istenen"i saymak yerine "istenmeyen"i sayıp 1'den çıkararak çok daha hızlı çözülür. Bu, tümleyen olay yaklaşımıdır ve KPSS'nin "en az" sorularında reflekstir.

Tümleyen Olay

A olayının tümleyeni A' (A-tümleyen), "A gerçekleşmez" olayıdır.

P(A') = 1 − P(A)

Tümleyen ne zaman kullanılır? Aşağıdaki anahtar kelimelerden birini gördüğünüzde:

• "En az 1" → tümleyeni "hiç olmama"dır; "hiç olmama"yı hesapla, 1'den çıkar.
• "En fazla k−1" → tümleyeni "k veya daha fazla".
• "En az bir kere" → tümleyeni "hiç olmama".

Adım Adım Örnek 1 (En Az 1 Yazı)

Soru: Bir para 4 kez atılıyor. En az bir kez yazı gelme olasılığı kaçtır?

1. Örnek uzay: 2⁴ = 16.
2. Doğrudan saymak zor: "en az 1 yazı" = 1, 2, 3 veya 4 yazı. Uzun.
3. Tümleyen: "hiç yazı gelmez" = TTTT, 1 durum. P(hiç yazı) = 1/16.
4. P(en az 1 yazı) = 1 − 1/16 = 15/16.
5. Kontrol: Uzun yoldan: C(4,1)+C(4,2)+C(4,3)+C(4,4) = 4+6+4+1 = 15. 15/16. Doğru.

Ayrık Olaylarda Toplama Kuralı

İki olay ayrık (karşılıklı dışarlayan) demek, aynı anda gerçekleşemez demektir. Yani A ∩ B = ∅. Bu durumda:

Ayrık ise: P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Ayrık Olmayan Olaylar (Genel Toplama Kuralı)

İki olay ayrık değilse (aynı anda gerçekleşebilirler) kesişimi iki kez saymamak için bir kez çıkarmalıyız:

Genel: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Adım Adım Örnek 2 (Ayrık Olay)

Soru: Bir zar atılıyor. Gelen sayının 1 veya 2 olma olasılığı kaçtır?

1. A = {1}, B = {2}. A ∩ B = ∅ (ayrık).
2. P(A) = 1/6, P(B) = 1/6.
3. P(A ∪ B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
4. Kontrol: Doğrudan: istenen 2 durum / toplam 6 durum = 1/3. Doğru.

Adım Adım Örnek 3 (Ayrık Olmayan Olay)

Soru: Bir zar atılıyor. Gelen sayının çift veya 3'ten büyük olma olasılığı kaçtır?

1. A (çift) = {2, 4, 6}, s(A) = 3.
2. B (3'ten büyük) = {4, 5, 6}, s(B) = 3.
3. A ∩ B = {4, 6}, s(A ∩ B) = 2.
4. s(A ∪ B) = 3 + 3 − 2 = 4. Bu durumda küme: {2, 4, 5, 6}.
5. P(A ∪ B) = 4/6 = 2/3.
6. Kontrol: Doğrudan sayım: {2, 4, 5, 6} 4 eleman. 4/6 = 2/3. Doğru.

Adım Adım Örnek 4 (En Az 1 Kız)

Soru: 5 kız ve 4 erkekten oluşan bir gruptan rastgele 3 kişi seçiliyor. Seçilenler arasında en az 1 kız bulunma olasılığı kaçtır?

1. Toplam seçim: C(9, 3) = 84.
2. Tümleyen: "hiç kız yok" = 3'ü de erkek = C(4, 3) = 4.
3. P(hiç kız yok) = 4/84 = 1/21.
4. P(en az 1 kız) = 1 − 1/21 = 20/21.
5. Kontrol: Uzun yoldan: 1K+2E: C(5,1)·C(4,2)=5·6=30; 2K+1E: C(5,2)·C(4,1)=10·4=40; 3K: C(5,3)=10. Toplam 30+40+10=80. 80/84=20/21. Doğru.

Olasılıkta iki olay birlikte veya art arda gerçekleştiğinde çarpma kuralı devreye girer. Ancak çarpma kuralının biçimi olayların birbirini etkileyip etkilememesine göre değişir. Bu yüzden ilk ayrım: olaylar bağımsız mı, bağımlı mı?

Bağımsız Olaylar

Bir olayın sonucu diğerinin olasılığını değiştirmiyorsa olaylar bağımsızdır. Tipik örnekler:

• Para attıktan sonra zar atmak.
• Torbadan top çekip geri atıp tekrar çekmek (iadeli).
• İki ayrı deste kart.

Bağımsız: P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

Bağımlı Olaylar

İlk olayın sonucu ikinci olayın örnek uzayını değiştiriyorsa olaylar bağımlıdır. Tipik örnekler:

• Torbadan geri koymadan (iadesiz) top çekmek.
• Desteden arka arkaya geri koymadan kart çekmek.
• Bir sınıftan sırayla isim çekmek.

Bağımlı: P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A)

Burada P(B|A), "A gerçekleştikten sonra B'nin olasılığı"dır; örnek uzay güncellenmiştir.

Adım Adım Örnek 1 (Bağımsız Olay: Para + Zar)

Soru: Bir hilesiz para ve bir hilesiz zar aynı anda atılıyor. Paranın yazı, zarın çift sayı gelmesi olasılığı kaçtır?

1. Olaylar bağımsız: para atışı zar sonucunu etkilemez.
2. P(yazı) = 1/2. P(çift zar) = 3/6 = 1/2.
3. P(A ∩ B) = 1/2 · 1/2 = 1/4.
4. Kontrol: Toplam örnek uzay 2 · 6 = 12. İstenen (Y, 2), (Y, 4), (Y, 6) = 3 durum. 3/12 = 1/4. Doğru.

Adım Adım Örnek 2 (Bağımlı Olay: İadesiz Top)

Soru: 4 kırmızı ve 6 mavi top bulunan torbadan geri atmadan sırayla 2 top çekiliyor. İlkinin kırmızı, ikincinin mavi olma olasılığı kaçtır?

1. İlk çekiş: P(kırmızı) = 4/10 = 2/5.
2. Kırmızı çıktıktan sonra torbada 9 top var (3 kırmızı, 6 mavi).
3. İkinci çekiş: P(mavi | kırmızı) = 6/9 = 2/3.
4. Çarp: 2/5 · 2/3 = 4/15.
5. Kontrol: Kombinasyon düşüncesiyle: "ilk kırmızı ve ikinci mavi" sıralı bir olay, P'lerle. Alternatif: toplam 2'li sıralı seçim 10 · 9 = 90; istenen 4 · 6 = 24. 24/90 = 4/15. Doğru.

Adım Adım Örnek 3 (Hem Bağımlı Hem Sıra Önemsiz)

Soru: 3 kırmızı, 5 mavi top bulunan torbadan aynı anda 2 top çekiliyor. Biri kırmızı biri mavi olma olasılığı kaçtır?

1. Toplam 2'li seçim: C(8, 2) = 28.
2. İstenen: 1 kırmızı + 1 mavi = C(3, 1) · C(5, 1) = 3 · 5 = 15.
3. P = 15 / 28.
4. Kontrol (sıralı): (K, M) + (M, K) = (3/8)(5/7) + (5/8)(3/7) = 15/56 + 15/56 = 30/56 = 15/28. Doğru.

Adım Adım Örnek 4 (Üç Olay Çarpması)

Soru: Bir zar 3 kez atılıyor. Üçünde de 6 gelme olasılığı kaçtır?

1. Her atış bağımsız: P(6) = 1/6.
2. Üç bağımsız olay çarpılır: 1/6 · 1/6 · 1/6 = 1/216.
3. Kontrol: Toplam örnek uzay 6³ = 216; istenen tek durum (6, 6, 6). 1/216. Doğru.

Şartlı olasılık, "A'nın gerçekleştiği bilindiğinde B'nin olasılığı nedir?" sorusuna cevap verir. Bu tür sorularda örnek uzay daralır: artık tüm uzayı değil, yalnızca A'nın gerçekleştiği kısmı esas alırız.

Şartlı Olasılık Formülü

P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A)

Sayma açısından eş değer ifade:

P(B | A) = s(A ∩ B) / s(A)

Yani payda artık s(E) değil, s(A)'dır.

Soru Cümlesinde Şart İşareti

Şartlı olasılık sorusunu tanımak için şu kalıplara dikkat:

• "... olduğuna göre ... olma olasılığı"
• "... bilindiğine göre ..."
• "... seçilen kişinin ... olduğu biliniyor, bu durumda ..."

"... olduğuna göre" kalıbı KPSS'de şartlı olasılık için hemen hemen standart sinyal kelimesidir.

Adım Adım Örnek 1 (Zar Şartı)

Soru: Bir zar atılıyor; gelen sayının 3'ten büyük olduğu biliniyor. Bu sayının çift olma olasılığı kaçtır?

1. Şart olayı: A = {4, 5, 6}, s(A) = 3.
2. Şart altında istenen: A ∩ B (çift ve 3'ten büyük) = {4, 6}, s = 2.
3. P(çift | 3'ten büyük) = 2 / 3.
4. Kontrol: Örnek uzay 6 değil, 3. İstenen 2. Direkt 2/3. Doğru.

Adım Adım Örnek 2 (İki Zar Şartı)

Soru: İki hilesiz zar atılıyor; üst yüzler toplamının 8 olduğu biliniyor. Zarlardan birinin 5 gelme olasılığı kaçtır?

1. Toplamı 8 yapan ikililer: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2) = 5 durum. s(A) = 5.
2. Bu 5 durumun içinde 5 geçenler: (3,5), (5,3) = 2 durum. s(A ∩ B) = 2.
3. P(5 var | toplam 8) = 2 / 5.
4. Kontrol: Örnek uzay tüm 36 değil, yalnızca toplam 8 olan 5 durum. İstenen 2 durum. 2/5. Doğru.

Adım Adım Örnek 3 (İki Çocuk Problemi — Klasik)

Soru: Bir ailenin 2 çocuğu vardır. Çocuklardan en az birinin erkek olduğu biliniyor. Her iki çocuğun da erkek olma olasılığı kaçtır? (Kız/erkek doğumları eşit olasılıklı kabul edilsin.)

1. Örnek uzay (büyükten küçüğe sıralı): EE, EK, KE, KK. 4 eş olası durum.
2. Şart: "en az bir erkek" = {EE, EK, KE}. s(A) = 3.
3. Şart altında istenen: ikisi de erkek = {EE}. s(A ∩ B) = 1.
4. P(ikisi erkek | en az bir erkek) = 1 / 3.
5. Kontrol: İlk bakışta "1/2" diye cevap vermek yaygın hatadır; şart uzay KK'yi eler. 4 durumdan 3'ü kalır; EE 1 durum. 1/3 doğrudur.

Adım Adım Örnek 4 (Tablolu Şart)

Soru: Bir sınıfta 18 kız, 12 erkek öğrenci vardır. Kızların 9'u, erkeklerin 8'i gözlük takıyor. Sınıftan rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olduğu biliniyor. Bu öğrencinin erkek olma olasılığı kaçtır?

1. Toplam gözlüklü: 9 + 8 = 17. Şart uzay s(A) = 17.
2. Gözlüklü ve erkek: 8.
3. P(erkek | gözlüklü) = 8 / 17.
4. Kontrol: Toplam öğrenci 30. P(gözlüklü) = 17/30. P(gözlüklü ve erkek) = 8/30. Bölüm: (8/30) / (17/30) = 8/17. Doğru.

Bu bölümde ÖSYM'nin yıllardır dönüşümlü olarak sorduğu klasik olasılık kurgularını bitmiş örneklerle inceliyoruz. Amaç her bir deney türünde refleks kazanmaktır.

Zar Örnekleri

Örnek 1: İki zar atıldığında üst yüzlerin toplamının asal sayı olma olasılığı kaçtır?

1. Örnek uzay: 36. Toplam 2 ile 12 arasında değerler alır. Asal toplamlar: 2, 3, 5, 7, 11.
2. Toplam 2: (1,1) = 1. Toplam 3: (1,2),(2,1) = 2. Toplam 5: 4. Toplam 7: 6. Toplam 11: (5,6),(6,5) = 2.
3. İstenen toplam: 1+2+4+6+2 = 15.
4. P = 15 / 36 = 5/12.
5. Kontrol: Toplam olasılık 15 + (asal olmayan 21) = 36. Doğru.

Örnek 2: Üç zar atıldığında üçünde de aynı sayının gelme olasılığı kaçtır?

1. Örnek uzay: 6³ = 216. Aynı sayı durumları: (1,1,1), (2,2,2), ..., (6,6,6) = 6.
2. P = 6/216 = 1/36.
3. Kontrol: İlk zar serbest (6/6 = 1), ikincinin ilkiyle aynı olma olasılığı 1/6, üçüncünün de 1/6. Çarp: 1 · 1/6 · 1/6 = 1/36. Doğru.

Para Örnekleri

Örnek 3: Bir para 5 kez atılıyor. Tam olarak 3 yazı gelme olasılığı kaçtır?

1. Örnek uzay: 2⁵ = 32.
2. 5 atıştan 3'ü yazı: C(5, 3) = 10.
3. P = 10 / 32 = 5/16.
4. Kontrol: Simetri: tam 2 tura = C(5, 2) = 10; "tam 3 yazı" ile "tam 2 tura" aynı olay. Doğru.

Kart (İskambil) Örnekleri

Örnek 4: 52'lik desteden aynı anda 2 kart çekiliyor. İkisinin de papaz (K) olma olasılığı kaçtır?

1. Toplam 2'li çekim: C(52, 2) = 1326.
2. Papaz sayısı 4. 2'sinin seçimi: C(4, 2) = 6.
3. P = 6 / 1326 = 1/221.
4. Kontrol (sıralı): İlk papaz 4/52, ikinci papaz 3/51. Çarp: 12/2652 = 1/221. Doğru.

Örnek 5: Desteden 1 kart çekiliyor. Kupa ya da as olmama olasılığı kaçtır?

1. Kupa ya da as sayısı: 13 + 4 − 1 = 16 (kupa ası ortak).
2. P(kupa ya da as) = 16/52 = 4/13.
3. Tümleyen: P = 1 − 4/13 = 9/13.
4. Kontrol: Doğrudan: kupa olmayan ve as olmayan = 52 − 16 = 36; 36/52 = 9/13. Doğru.

Top Örnekleri

Örnek 6: 6 beyaz, 4 siyah top bulunan torbadan iadesiz 3 top çekiliyor. Üçünün de beyaz olma olasılığı kaçtır?

1. Toplam 3'lü seçim: C(10, 3) = 120.
2. 3 beyaz seçim: C(6, 3) = 20.
3. P = 20 / 120 = 1/6.
4. Kontrol (sıralı): (6/10)(5/9)(4/8) = 120/720 = 1/6. Doğru.

Örnek 7 (İki Renkli Karma): 5 kırmızı, 3 sarı, 2 yeşil top olan torbadan aynı anda 2 top çekiliyor. İkisinin de aynı renk olma olasılığı kaçtır?

1. Toplam 2'li seçim: C(10, 2) = 45.
2. 2 kırmızı: C(5, 2) = 10. 2 sarı: C(3, 2) = 3. 2 yeşil: C(2, 2) = 1. Toplam aynı renk: 10 + 3 + 1 = 14.
3. P = 14 / 45.
4. Kontrol: Farklı renk olasılığı: (5·3 + 5·2 + 3·2) / 45 = (15+10+6)/45 = 31/45. 14/45 + 31/45 = 45/45 = 1. Tutarlı.

Parçalı Olay Örneği (Piyango / Çekiliş)

Örnek 8: 1'den 20'ye kadar numaralı toplar içeren torbadan 1 top çekiliyor. Çekilen topun 4 ile ya da 6 ile bölünebilme olasılığı kaçtır?

1. Örnek uzay: 20.
2. 4'ün katları (1-20): 4, 8, 12, 16, 20 → 5 sayı.
3. 6'nın katları (1-20): 6, 12, 18 → 3 sayı.
4. Kesişim (hem 4 hem 6 = 12 katları): 12 → 1 sayı.
5. 4 veya 6'nın katı: 5 + 3 − 1 = 7 sayı.
6. P = 7 / 20.
7. Kontrol: İstenenleri listele: {4, 6, 8, 12, 16, 18, 20} → 7 eleman. Doğru.

Olasılık sorusunda formüller kadar önemli olan başka bir şey var: soruyu doğru yorumlama ve sistematik bir strateji. KPSS'nin olasılıktan çıkan sorularını kategorize eder ve her kategori için hızlı karar akışlarını bu bölümde topluyoruz.

KPSS Olasılık Soru Tipleri

1. Tek deney, eş olası: Zar / para / kart / top. Doğrudan s(A)/s(E). En basit tip.
2. Birlikte seçim: "Aynı anda 2 top". Kombinasyon/kombinasyon oranı.
3. İadeli / iadesiz ayrımı: Bağımsız çarpma veya şartlı olasılık.
4. "En az / en çok" problemleri: Tümleyen olay kullanımı.
5. "Ya da / veya" problemleri: Toplama kuralı; ayrık ise direkt toplam, değilse kesişimi çıkar.
6. Şartlı olasılık: "olduğuna göre" kalıbı. Örnek uzay daralır.
7. Karma (kombinasyon + olasılık): 2 kız + 1 erkek gibi gruplu problemler.

Stratejik Kontrol Listesi

Her olasılık sorusunda baştan sona uygulayacağınız 6 soruluk akış:

1. Deney nedir? Zar mı, para mı, top mu? Kaç kez tekrarlanıyor?
2. Örnek uzay kaçtır? İlk iş paydayı yaz.
3. Olaylar bağımsız mı bağımlı mı? İadeli/iadesiz kararı.
4. Anahtar kelime ne? "En az" → tümleyen; "ya da" → toplama; "ve" → çarpma; "olduğuna göre" → şartlı.
5. İstenen durum sayısı kaçtır? Kombinasyon / permütasyon yaz.
6. Kontrol: Cevap 0-1 aralığında mı? Sadeleştir. Alternatif yolla doğrula.

KPSS Tarzı Karma Örnek 1

Soru: Bir torbada 4 kırmızı ve 5 mavi top vardır. Torbadan aynı anda 3 top çekildiğinde çekilenler arasında en az 1 kırmızı top bulunma olasılığı kaçtır?

1. Örnek uzay: C(9, 3) = 84.
2. Tümleyen: "hiç kırmızı yok" = 3'ü de mavi = C(5, 3) = 10.
3. P(hiç kırmızı yok) = 10/84 = 5/42.
4. P(en az 1 kırmızı) = 1 − 5/42 = 37/42.
5. Kontrol: Uzun yol: 1K+2M: C(4,1)C(5,2)=4·10=40; 2K+1M: C(4,2)C(5,1)=6·5=30; 3K: C(4,3)=4. Toplam 40+30+4=74. 74/84 = 37/42. Doğru.

KPSS Tarzı Karma Örnek 2

Soru: Bir sınıftaki 20 öğrencinin 8'i matematikten, 6'sı Türkçeden sınava girmiştir. 3 öğrenci her iki sınava da girmiştir. Rastgele seçilen bir öğrencinin sınava girmemiş olma olasılığı kaçtır?

1. Sınava giren sayısı (en az birine): 8 + 6 − 3 = 11.
2. Sınava girmeyen sayısı: 20 − 11 = 9.
3. P = 9 / 20.
4. Kontrol: P(en az birine girdi) = 11/20. 9/20 + 11/20 = 1. Doğru.

KPSS Tarzı Karma Örnek 3

Soru: Bir torbada 3 beyaz ve 5 siyah top vardır. Bir top çekilip geri atılmadan ikinci bir top çekiliyor. İkinci topun siyah olma olasılığı kaçtır?

1. Durum 1: İlk beyaz (3/8), sonra siyah (5/7). Çarp: 15/56.
2. Durum 2: İlk siyah (5/8), sonra siyah (4/7). Çarp: 20/56.
3. Toplam (ikinci siyah): 15/56 + 20/56 = 35/56 = 5/8.
4. Kontrol: Bu sorunun kısa yolu: ikinci topun siyah olma olasılığı, ilk topu hiç bilmediğimizde başlangıç dağılımına eşittir — 5/8. Şaşırtıcı gelse de iadesiz çekişte bile "ikinci top rengi" marjinal olasılığı başlangıçla aynıdır. Doğru.

KPSS Tarzı Karma Örnek 4

Soru: 5 kız ve 4 erkekten oluşan bir gruptan rastgele 3 kişi seçiliyor. Seçilenlerin 2'sinin kız ve 1'inin erkek olma olasılığı kaçtır?

1. Örnek uzay: C(9, 3) = 84.
2. İstenen: 2 kız C(5, 2) = 10; 1 erkek C(4, 1) = 4. Çarp: 40.
3. P = 40 / 84 = 10/21.
4. Kontrol: Diğer durumlar (3K, 1K2E, 3E) olasılıkları ile toplam 1 etmeli. 3K: C(5,3)/84=10/84; 1K2E: 5·6/84=30/84; 2K1E: 40/84; 3E: 4/84. Toplam 84/84=1. Doğru.

Sık Yapılan Hatalar

• Pay ve paydayı farklı yöntemle saymak: Biri kombinasyon, diğeri sıralı olursa orantı bozulur. İkisi de kombinasyon ya da ikisi de sıralı olmalı.
• "En az 1" sorusunda direkt sayıma çalışmak: Tümleyeni unutmayın.
• Ayrık olmayan olaylarda kesişimi iki kez saymak: Venn diyagramı çizin.
• Bağımsız zannederek iadesiz çarpmak: "Geri koymadan" ifadesine dikkat.
• "İki çocuk" tipinde örnek uzayı eksik yazmak: EE, EK, KE, KK dörtlüsünü atlamayın.

Sonuç: Olasılık, Sayma Becerisinin Zirvesidir

Olasılık, permütasyon ve kombinasyon konularındaki sayma becerisinin doğal bir üst basamağıdır. "İstenen / tüm" formülü sadeliğiyle yanıltıcıdır; asıl beceri örnek uzayı doğru kurmak, olayları doğru sınıflandırmak (bağımsız / bağımlı, ayrık / ayrık değil, şartlı / şartsız) ve anahtar kelimelere göre doğru kuralı çağırmaktır. KPSS'de olasılık sorusu Genel Yetenek netinizi doğrudan etkileyecek bir fırsattır: permütasyon-kombinasyon refleksi olan bir aday olasılıkta da 45-60 saniyede cevap üretir. Bir sonraki konumuz fonksiyonlar, cebir tarafına geçişimizi işaret edecek; ancak olasılık bize kazandırdığı "önce örnek uzayı kur, sonra istenen kısmı yaz" disiplini orada da, tüm matematikte de işinize yarayacak.