Bölünebilme Kuralları

Bölme işlemi, bir sayının başka bir sayı içinde kaç kere olduğunu ve artanın ne kadar olduğunu bulmamızı sağlar. Bu işlemde dört temel kavram vardır: bölünen, bölen, bölüm ve kalan.

Temel Kavramlar

A, B, C ve K birer doğal sayı olmak üzere A sayısını B sayısına böldüğümüzde:

• A: Bölünen — bölme işlemine tabi tutulan sayıdır.
• B: Bölen — bölme işlemini yapan sayıdır (B ≠ 0 olmalıdır).
• C: Bölüm — bölme sonucunda elde edilen tam sayı değerdir.
• K: Kalan — bölme işleminden artan kısımdır.

Temel Formül (Bölme Algoritması)

A = B × C + K     (0 ≤ K < B)

Bu formül bölmenin sağlamasıdır. Kalan her zaman sıfıra eşit veya sıfırdan büyük, bölenden küçüktür. Eğer kalan sıfırsa bölme kalansız (tam) bölme olarak adlandırılır.

Bölme İşlemini Adım Adım Yapmak

Uzun bölme işleminde yukarıdan aşağıya doğru basamaklar sırayla indirilir. Her adımda indirilen sayının bölen içinde kaç kere olduğu bulunur; yoksa sıfır yazılıp bir sonraki basamağa geçilir.

Örnek: 1234 ÷ 123

123 sayısını 1234'e bölmeye başlayalım:

• 1'i indirdim — 123 içinde yok → 0 yaz.
• 12'yi indirdim — 123 içinde yok → 0 yaz.
• 123'ü indirdim — 123 içinde 1 kere var → 1 yaz, kalan 0.
• 4'ü indirdim — 4 sayısı 123'ten küçük, bölen içinde yok → 0 yaz.

Bölüm: 10, Kalan: 4. Sağlama: 123 × 10 + 4 = 1234.

Bölen ve Bölüm Yer Değiştirebilir

Eğer kalan bölümden küçükse, bölen ile bölüm yer değiştirebilir. Örneğin A = B × C + K ifadesinde K < C ise A = C × B + K de geçerlidir. Bu özellik bazı KPSS sorularında işe yarar.

Bu üç bölünebilme kuralının ortak noktası, hepsinin sadece sayının son rakamına bakılarak uygulanmasıdır. Dolayısıyla kaç basamaklı olursa olsun, sayının son hanesini incelemek yeterlidir.

2 ile Bölünebilme

Bir sayının 2 ile tam bölünebilmesi için çift sayı olması gerekir. Yani son rakamı 0, 2, 4, 6 veya 8 olmalıdır.

• 24 → Son rakam 4 (çift) → 2 ile tam bölünür.
• 137 → Son rakam 7 (tek) → 2 ile tam bölünmez.

5 ile Bölünebilme

Bir sayının 5 ile tam bölünebilmesi için son rakamının 0 veya 5 olması gerekir.

• 125 → Son rakam 5 → 5 ile tam bölünür.
• 130 → Son rakam 0 → 5 ile tam bölünür.
• 121 → Son rakam 1 → 5 ile bölümünden kalan nedir? Son rakam 1'i 5'e böl: kalan 1.
• 137 → Son rakam 7 → 7 ÷ 5 = 1, kalan 2.

10 ile Bölünebilme

Bir sayının 10 ile tam bölünebilmesi için son rakamının 0 olması yeterlidir. En basit bölünebilme kuralıdır.

• 250 → Son rakam 0 → 10 ile tam bölünür.
• 253 → Son rakam 3 → 10 ile tam bölünmez, kalan 3.

5 ile Bölümden Kalan Bulma Kısa Yolu

Bir sayının 5 ile bölümünden kalanı bulmak için sadece son rakamı 5'e bölmeniz yeterlidir. Sayının tamamını bölmeye gerek yoktur.

Bu iki bölünebilme kuralı rakamlar toplamına dayanır ve KPSS'de en sık sorulan kurallar arasındadır. Mantıkları birbirine çok benzer.

3 ile Bölünebilme

Bir sayının 3 ile tam bölünebilmesi için rakamlarının toplamının 3 veya 3'ün katı olması gerekir.

Örnekler

9 ile Bölünebilme

Bir sayının 9 ile tam bölünebilmesi için rakamlarının toplamının 9 veya 9'un katı olması gerekir. Bu kural, 3 ile bölünebilmenin güçlendirilmiş halidir.

• 171 → 1 + 7 + 1 = 9 → 9 ile tam bölünür.
• 81 → 8 + 1 = 9 → 9 ile tam bölünür.
• 123 → 1 + 2 + 3 = 6 → 9 ile bölünmez (kalan bulunur).

3 ve 9 ile Bölümden Kalan Kısa Yolu

Bir sayının 3 (veya 9) ile bölümünden kalanını bulmak için rakamlar toplamını 3'e (veya 9'a) bölmek yeterlidir. Sayının tamamını bölmeye gerek kalmaz.

4 ve 8 ile bölünebilme kuralları, sayının son birkaç basamağına bakılarak uygulanır. 4 için son iki basamak, 8 için son üç basamak incelenir.

4 ile Bölünebilme

Bir sayının 4 ile tam bölünebilmesi için son iki basamağının oluşturduğu sayının 4'e tam bölünmesi gerekir.

Örnekler

8 ile Bölünebilme

Bir sayının 8 ile tam bölünebilmesi için son üç basamağının oluşturduğu sayının 8'e tam bölünmesi gerekir. Sınavda 4 ile bölünebilmeye kıyasla daha az sorulur ama bilinmesi gerekir.

• 1008 → Son üç basamak: 008 → 8 ÷ 8 = 1 → 8 ile tam bölünür.
• 1007 → Son üç basamak: 007 → 7 ÷ 8 = 0, kalan 7 → 8 ile bölümünden kalan 7.
• 5120 → Son üç basamak: 120 → 120 ÷ 8 = 15 → 8 ile tam bölünür.

Neden Son Basamaklara Bakıyoruz?

100 sayısı 4'ün katıdır (100 = 4 × 25). Bu nedenle yüzler ve üst basamaklar zaten 4'e tam bölünür; belirleyici olan son iki basamaktır. Benzer şekilde 1000 sayısı 8'in katıdır (1000 = 8 × 125), bu yüzden 8 ile bölünebilme için son üç basamak yeterlidir.

6 sayısı, 2 ve 3'ün çarpımıdır ve bu iki sayı aralarında asaldır. Bu nedenle bir sayının 6 ile tam bölünebilmesi için hem 2'ye hem 3'e tam bölünmesi gerekir.

6 ile Bölünebilme Koşulları

1. 2 ile bölünebilme: Sayı çift olmalıdır (son rakam 0, 2, 4, 6 veya 8).
2. 3 ile bölünebilme: Sayının rakamlar toplamı 3'ün katı olmalıdır.

Her iki koşul da aynı anda sağlanmalıdır. Birini sağlayıp diğerini sağlamayan bir sayı 6'ya bölünmez.

Örnekler

Bileşik Sayılarla Bölünebilme Stratejisi

6 ile bölünebilme kuralındaki mantık, tüm bileşik sayılara uygulanabilir. Böleni aralarında asal çarpanlara ayırıp her birine ayrı bölünebilme kuralı uygularsınız:

• 12 ile bölünebilme: 4 ve 3 ile bölünmelidir (3 × 4 = 12, aralarında asal).
• 15 ile bölünebilme: 3 ve 5 ile bölünmelidir.
• 18 ile bölünebilme: 2 ve 9 ile bölünmelidir.
• 45 ile bölünebilme: 5 ve 9 ile bölünmelidir.

7 ile bölünebilme kuralı diğerlerine göre daha az sıklıkla sorulur ancak bilinmesi faydalıdır. Doğrudan bir "son rakam" veya "rakamlar toplamı" kuralı yoktur; bunun yerine pratik bir yöntem uygulanır.

7 ile Bölünebilme Yöntemi

1. Sayının son rakamını ikiye katla.
2. Kalan kısımdan (son rakam hariç) bu sonucu çıkar.
3. Elde edilen sayı 7'ye bölünüyorsa, orijinal sayı da 7'ye bölünür.
4. Sonuç büyükse işlemi tekrarla.

Örnek 1: 364 Sayısı

364'ün 7'ye bölünüp bölünmediğini kontrol edelim:

• Son rakam: 4. İki katı: 4 × 2 = 8.
• Kalan kısım: 36. Fark: 36 - 8 = 28.
• 28 ÷ 7 = 4 → 28 sayısı 7'ye tam bölünür.

Dolayısıyla 364 sayısı 7'ye tam bölünür. (Kontrol: 364 ÷ 7 = 52.)

Örnek 2: 905 Sayısı

• Son rakam: 5. İki katı: 10.
• Kalan kısım: 90. Fark: 90 - 10 = 80.
• 80 ÷ 7 = 11, kalan 3 → 7'ye tam bölünmez.

905 sayısı 7'ye tam bölünmez.

Alternatif: Doğrudan Bölme

Sınavda zaman kısıtlıysa ve sayı çok büyük değilse, doğrudan bölme işlemi yapmak da hızlı olabilir. 7'nin katlarını bilmek (7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70...) bu işlemi kolaylaştırır.

11 ile bölünebilme kuralı, KPSS'de zaman zaman karşımıza çıkan özel bir yöntemdir. Sağdan başlayarak rakamlar sırayla artı ve eksi işaretiyle toplanır.

Kural

Sayının rakamlarını sağdan sola doğru sırayla +, -, +, -, ... şeklinde topla. Sonuç 0 veya 11'in katı çıkarsa sayı 11'e tam bölünür.

Örnek 1: 9174 Sayısı

Sağdan başlayarak: 4 - 7 + 1 - 9 = 4 - 7 + 1 - 9 = -11

-11 sayısı 11'in katıdır, dolayısıyla 9174 sayısı 11'e tam bölünür.

Örnek 2: X234Y Sayısı ve KPSS Tarzı Soru

X234Y sayısının hem 5 ile bölümünden kalanı 2, hem de 11 ile tam bölünmesi isteniyor. X'in en büyük değerini bulalım:

Adım 1 — 5 ile bölümden kalan: 5 ile bölümden kalan yalnızca son rakama bağlıdır. Bu nedenle Y'nin 5 ile bölümünden kalan 2 olmalıdır; yani Y = 2 veya Y = 7 olabilir.

Adım 2 — 11 ile bölünebilme: Sağdan başla: Y - 4 + 3 - 2 + X = X + Y - 3. Bu ifade 0 veya 11'in katı olmalıdır.

Y = 2 için: X + 2 - 3 = X - 1. Sonuç 0 olursa X = 1; sonuç 11 olursa X = 12 (geçersiz). X = 1.

Y = 7 için: X + 7 - 3 = X + 4. Sonuç 11 olursa X = 7. X = 7 daha büyüktür.

En büyük X değeri: 7.

Kısa Yol: Tek ve Çift Basamak Toplamı Farkı

Alternatif olarak sayının tek sıradaki basamaklarının toplamı ile çift sıradaki basamaklarının toplamı arasındaki farkın 0 veya 11'in katı olması gerekir. Sonuç aynıdır ama bazı öğrenciler bu şekilde düşünmeyi tercih eder.

KPSS'de bölünebilme kuralları sadece "bölünür mü?" şeklinde sorulmaz; sıklıkla kalan değerini bulmayı veya kalandan yola çıkarak bilinmeyen rakamı belirlemeyi ister. Bu tür sorularda bölünebilme kurallarını kalanla birlikte kullanmak gerekir.

Kalan Bulma Kısa Yolları

Örnek 1: Bölünen Sayıyı Bulma

Bir sayı 7'ye bölündüğünde bölüm 4, kalan 3 oluyor. Bölünen sayı kaçtır?

Çözüm: A = B × C + K formülünü kullan: A = 7 × 4 + 3 = 28 + 3 = 31.

Örnek 2: AB Sayısı ve İki Farklı Bölme

AB iki basamaklı sayısı 17'ye bölündüğünde bölüm X, kalan 13; aynı sayı 17'ye farklı bir şekilde bölündüğünde bölüm Y, kalan 13 oluyor. AB sayısını bulmak için:

AB = 17X + 13 ve BA = 17Y + 13. Bu iki denklemden AB - BA = 17(X - Y) olur. İki basamaklı sayı koşullarıyla deneme yapılarak çözüme ulaşılır.

Örnek 3: Pazarcı Problemi (Bileşik Bölünebilme)

Tanesi 45 liradan çift sayıda gömlek alınıyor. Faturada X17Y sayısının iki rakamı silik çıkmıştır. X - Y farkı kaçtır?

Çözüm:

• 45 = 5 × 9 olduğundan sayı hem 5'e hem 9'a tam bölünmelidir.
• Çift sayıda alınıyor ve 45 ile çarpılıyor: 45 × 2 = 90, 45 × 4 = 180... Sonuç hep 0 ile biter. Dolayısıyla Y = 0.
• 9 ile bölünebilme: X + 1 + 7 + 0 = X + 8. Bu toplam 9'un katı olmalı → X = 1 (toplam 9) veya X = 10 (geçersiz).
• X - Y = 1 - 0 = 1.

Bölünebilme kurallarıyla yakından ilişkili bir konu da bir sayının tüm bölenlerini (pozitif tam bölenlerini) bulmaktır. Bu bilgi, KPSS'de özellikle "kaç farklı bölen vardır?" veya "bölenlerin toplamı kaçtır?" gibi sorularda karşınıza çıkar.

Bölen Bulma Yöntemi

Bir sayının bölenlerini bulmak için 1'den başlayarak sayının kareköküne kadar olan tüm sayılarla bölünüp bölünmediği kontrol edilir. Her tam bölen, bir de eşlenik bölen verir.

Örnek: 60'ın Bölenleri

60 sayısının tüm pozitif bölenlerini bulalım:

60'ın bölenleri: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 → toplam 12 bölen.

Bölen Sayısı Formülü

Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali a^p × b^q × c^r ise bölen sayısı (p+1)(q+1)(r+1) ile bulunur. 60 = 2² × 3¹ × 5¹ → (2+1)(1+1)(1+1) = 3 × 2 × 2 = 12.

Bölen ve Bölünebilme Bağlantısı

Bölünebilme kuralları, bölen bulmayı hızlandırır. Örneğin 60'ın 3'e bölünüp bölünmediğini kontrol ederken rakamlar toplamına (6 + 0 = 6, 3'ün katı) bakmanız yeterlidir.

Bölünebilme kuralları KPSS Genel Yetenek'te her yıl karşınıza çıkan konulardandır. Aşağıda sınavda en sık rastlanan soru tipleri ve çözüm stratejileri derlenmiştir.

Sık Görülen Soru Tipleri

En Sık Çıkan Kurallar (Öncelik Sırası)

1. 3 ile bölünebilme — Rakamlar toplamı kuralı, neredeyse her yıl soruluyor.
2. 4 ile bölünebilme — Son iki basamak kuralı, sıkça çıkıyor.
3. 5 ile bölünebilme — Son rakam kuralı, genellikle bileşik sorularda.
4. 9 ile bölünebilme — Rakamlar toplamı, 3 ile birlikte verilir.
5. 6 ile bölünebilme — 2 ve 3 birlikte, bileşik kural sorularında.

Sınav Günü Stratejileri

• Kuralı hızlıca belirle: Hangi sayıyla bölünebilme soruluyorsa o kuralı uygula; gereksiz hesap yapma.
• Bileşik bölünebilmede aralarında asal çarpanlara ayır: 12 = 3 × 4, 45 = 5 × 9 gibi.
• Kalan sorularında kısa yolları kullan: Tam bölme yapmadan rakamlar toplamı veya son rakamla çöz.
• Sağlama yap: Bulduğun değeri yerine koyarak bölünebilme koşulunu kontrol et.
• Tek-çift analizi: 6 ile bölünebilmede önce çift olup olmadığını kontrol et; çift değilse zaten 6'ya bölünmez, 3'e bakmana gerek kalmaz.