Taban Aritmetiği

Günlük hayatta kullandığımız sayı sistemi onluk (desimal) sistemdir. Bu sistemde 0'dan 9'a kadar toplam 10 farklı rakam bulunur ve her basamak 10'un kuvvetlerine karşılık gelir. Ancak matematik dünyasında sayılar yalnızca onluk tabanla sınırlı değildir; herhangi bir pozitif tamsayı taban olarak kullanılabilir.

Taban Nedir?

Taban (radix), bir sayı sisteminde kullanılabilecek farklı rakam sembollerinin sayısını belirleyen değerdir. x tabanında kullanılabilecek rakamlar 0, 1, 2, ..., (x-1) şeklindedir.

• İkilik (binary) sistem (taban 2): Rakamlar 0 ve 1. Bilgisayar sistemlerinin temelini oluşturur.
• Üçlük (ternary) sistem (taban 3): Rakamlar 0, 1, 2.
• Dörtlük (quaternary) sistem (taban 4): Rakamlar 0, 1, 2, 3.
• Beşlik (quinary) sistem (taban 5): Rakamlar 0, 1, 2, 3, 4.
• Sekizlik (octal) sistem (taban 8): Rakamlar 0'dan 7'ye kadar.
• Onaltılık (hexadecimal) sistem (taban 16): Rakamlar 0-9 ve A-F (A=10, B=11, ..., F=15).

Temel Kural: Rakamlar Tabandan Küçük Olmalı

Bir sayının x tabanında yazılabilmesi için sayıyı oluşturan her rakamın x'ten küçük olması gerekir. Örneğin 5'lik tabanda "47" yazılamaz çünkü 7 rakamı 5'ten büyüktür. Bu kural, sınavda taban bulma sorularının anahtarıdır.

Örnek: Taban Belirleme

204_x ve 126_x sayıları verilmiş olsun. x tabanı en az kaçtır?

Çözüm: Birinci sayıdaki en büyük rakam 4, ikinci sayıdaki en büyük rakam 6. Dolayısıyla x en az 7 olmalıdır çünkü tüm rakamlar tabandan küçük olmak zorundadır.

Herhangi bir tabandaki sayıyı onluk (desimal) sisteme dönüştürmek için sayısal çözümleme (açılım) yöntemi kullanılır. Her rakam, bulunduğu basamağın kuvvetiyle çarpılır ve tüm sonuçlar toplanır.

Genel Formül

(abc)_n = a × n² + b × n¹ + c × n⁰

Sağdan sola doğru basamak kuvvetleri 0'dan başlayarak birer birer artar. Virgüllü sayılarda ise virgülün sağına geçildiğinde kuvvetler negatif olur (n^-1, n^-2, ...).

Örnek 1: Üçlük Tabandan Onluk Tabana

(2101)₃ sayısını onluk tabana çevirelim:

Toplam: 54 + 9 + 0 + 1 = 64. Yani (2101)₃ = 64₁₀ olur.

Örnek 2: İki Farklı Tabandan Çevirip Toplama

(204)₅ ve (125)₆ sayılarının onluk tabandaki toplamını bulalım:

(204)₅ = 2 × 25 + 0 × 5 + 4 × 1 = 50 + 0 + 4 = 54

(125)₆ = 1 × 36 + 2 × 6 + 5 × 1 = 36 + 12 + 5 = 53

Toplam: 54 + 53 = 107.

Onluk tabandaki bir sayıyı hedef tabana çevirmek için ardışık bölme yöntemi kullanılır. Sayı sürekli olarak hedeftabana bölünür; her adımda kalan not edilir. Son bölümden başlayarak kalanlar sondan başa doğru okunur.

Adım Adım Yöntem

1. Sayıyı hedef tabana böl, kalanı yaz.
2. Bölümü tekrar hedef tabana böl, kalanı yaz.
3. Bölüm 0 olana kadar bölmeye devam et.
4. Kalanları sondan başa (aşağıdan yukarı) oku — bu, sayının hedef tabandaki karşılığıdır.

Örnek 1: 21 Sayısını 4'lük Tabana Çevirme

Kalanları sondan başa okuyoruz: (111)₄. Kontrol: 1×16 + 1×4 + 1×1 = 21.

Örnek 2: 71 Sayısını 5'lik Tabana Çevirme

Kalanları sondan başa okuyoruz: (241)₅. Kontrol: 2×25 + 4×5 + 1×1 = 50 + 20 + 1 = 71.

Örnek 3: Kuvvet Kullanarak Hızlı Çevirme

2⁸ sayısını 4'lük tabana çevirelim. 4 = 2² olduğundan 2⁸ = (2²)⁴ = 4⁴. Dörtlük tabanda bu, 1 × 4⁴ demektir; yani diğer tüm basamaklar sıfırdır: (10000)₄ — 5 basamaklı bir sayıdır.

Farklı bir tabandaki sayıyı başka bir tabana çevirmek istediğinizde en güvenilir yol iki aşamalı çevirmedir: önce onluk tabana, ardından hedef tabana dönüştürme.

İki Aşamalı Yöntem

1. Kaynak taban → Onluk taban: Sayısal açılım yap, tüm basamakları topla.
2. Onluk taban → Hedef taban: Ardışık bölme uygula, kalanları sondan başa oku.

Örnek: 6'lık Tabandan 4'lük Tabana

(2025)₆ sayısını 4'lük tabana çevirelim.

Adım 1 — Onluk tabana:

2 × 6³ + 0 × 6² + 2 × 6¹ + 5 × 6⁰ = 2 × 216 + 0 + 12 + 5 = 432 + 12 + 5 = 449

Adım 2 — 4'lük tabana:

Sondan başa: (13001)₄. Kontrol: 1×256 + 3×64 + 0×16 + 0×4 + 1×1 = 256 + 192 + 1 = 449.

Özel Durum: Tabanlar Birbirinin Kuvveti

Eğer iki taban birbirinin kuvvetiyse (örn. 2 ve 8, veya 2 ve 4) doğrudan gruplama yöntemi kullanılabilir. İkilik tabandaki rakamları üçerli gruplarsan sekizlik tabana, ikişerli gruplarsan dörtlük tabana hızlıca geçersin.

Aynı tabandaki iki sayının toplama ve çıkarma işlemleri, onluk sistemdeki mantığın aynısıyla yapılır. Tek fark: eldeler ve borçlanmalar tabanın kendisine göre hesaplanır.

Toplama Kuralı

İki rakamın toplamı tabandan büyük veya eşit olursa, toplam tabana bölünür; kalan o basamağa yazılır, bölüm (elde) bir üst basamağa eklenir.

Örnek: 5'lik Tabanda Toplama

(23)₅ + (42)₅ işlemini yapalım:

• Birler: 3 + 2 = 5. Taban 5 olduğu için 5 ÷ 5 = 1, kalan 0. Birler basamağına 0 yaz, elde 1.
• Onlar: 2 + 4 + 1 (elde) = 7. 7 ÷ 5 = 1, kalan 2. Onlar basamağına 2 yaz, elde 1.
• Yüzler: Elde 1 var, başka rakam yok. 1 yaz.

Sonuç: (120)₅. Kontrol: (23)₅ = 13, (42)₅ = 22, 13 + 22 = 35. (120)₅ = 25 + 10 + 0 = 35.

Çıkarma Kuralı

Çıkarma sırasında üstteki rakam alttakinden küçükse, bir üst basamaktan taban kadar borç alınır (onluk sistemde 10 alırdık; n tabanında n alırız).

Örnek: 3'lük Tabanda Çıkarma

(210)₃ - (22)₃ işlemini yapalım:

• Birler: 0'dan 2 çıkmaz. Komşu basamaktan 3 (taban) al: 0 + 3 = 3. 3 - 2 = 1. Onlar basamağındaki 1'den 1 borç düşür → 0 kalır.
• Onlar: 0'dan 2 çıkmaz. Yüzler basamağından 3 al: 0 + 3 = 3. 3 - 2 = 1. Yüzler basamağındaki 2'den 1 düşür → 1 kalır.
• Yüzler: 1 - 0 = 1.

Sonuç: (111)₃. Kontrol: (210)₃ = 21, (22)₃ = 8, 21 - 8 = 13. (111)₃ = 9 + 3 + 1 = 13.

Farklı tabanlarda çarpma işlemi de onluk sistemdeki uzun çarpma yönteminin aynısıdır. Her kısmi çarpımda ortaya çıkan sonuç tabandan büyükse tabana bölünür; kalan yazılır, bölüm (elde) bir sonraki adıma eklenir.

Örnek: 5'lik Tabanda Çarpma

(123)₅ × (42)₅ işlemini adım adım çözelim:

1. Adım: Birler rakamıyla çarp (2 ile)

• 2 × 3 = 6. 6 ÷ 5 = 1, kalan 1. Elde 1.
• 2 × 2 = 4. 4 + 1 (elde) = 5. 5 ÷ 5 = 1, kalan 0. Elde 1.
• 2 × 1 = 2. 2 + 1 (elde) = 3.

Birinci kısmi çarpım: (301)₅

2. Adım: Onlar rakamıyla çarp (4 ile), bir basamak sola kaydır

• 4 × 3 = 12. 12 ÷ 5 = 2, kalan 2. Elde 2.
• 4 × 2 = 8. 8 + 2 (elde) = 10. 10 ÷ 5 = 2, kalan 0. Elde 2.
• 4 × 1 = 4. 4 + 2 (elde) = 6. 6 ÷ 5 = 1, kalan 1. Elde 1.

İkinci kısmi çarpım: (1102)₅ — bir basamak sola kaydırılmış hali: (11020)₅

3. Adım: Kısmi çarpımları topla

(301)₅ + (11020)₅ = (11321)₅

Kontrol: (123)₅ = 38, (42)₅ = 22, 38 × 22 = 836. (11321)₅ = 625 + 125 + 75 + 10 + 1 = 836.

Bir sayının tek mi çift mi olduğunu belirlemek için onluk tabana çevirmek gerekmez. Tabanın kendisine göre kestirme bir yöntem vardır.

Kural 1: Taban Çift İse

Taban çift olduğunda (2, 4, 6, 8, ...) sayının teklik-çiftliğini belirlemek için yalnızca birler basamağına bakmak yeterlidir. Birler basamağı tek ise sayı tektir; çift ise sayı çifttir.

Neden? Çift tabanın tüm kuvvetleri çifttir (4¹=4, 4²=16, ...). Dolayısıyla birler dışındaki basamakların çarpımı her zaman çift olur; sonucu belirleyen tek etken birler basamağıdır.

Kural 2: Taban Tek İse

Taban tek olduğunda (3, 5, 7, 9, ...) sayının teklik-çiftliği, tüm rakamların toplamına bakılarak belirlenir. Toplam tek ise sayı tektir; çift ise sayı çifttir.

Neden? Tek tabanın tüm kuvvetleri tektir (3¹=3, 3²=9, ...). Tek×tek=tek, tek×çift=çift olduğundan her basamağın katkısının paritesi rakamın kendisiyle aynıdır. Bu yüzden rakamlar toplamının paritesi, sayının paritesini verir.

Örnek Uygulamalar

Taban aritmetiği KPSS Genel Yetenek'te doğrudan sık çıkmasa da alan sınavlarında ve diğer kamu sınavlarında karşınıza çıkabilir. Aşağıda en yaygın soru tipleri ve çözüm stratejileri derlenmiştir.

Sık Görülen Soru Tipleri

Örnek: Numaralandırma Sorusu

Taner, bir kitabın sayfalarını 0, 1, 2, 3, 4, 5 rakamlarını kullanarak numaralandırıyor. Kitabın son sayfasına 2025 yazılmıştır. Bu kitap gerçekte kaç sayfadır?

Çözüm: 6 farklı rakam (0-5) kullanıldığına göre 6'lık tabanda numaralandırma yapılmıştır.

(2025)₆ = 2 × 216 + 0 × 36 + 2 × 6 + 5 × 1 = 432 + 0 + 12 + 5 = 449.

Kitap gerçekte 449 sayfadır.

Örnek: İfadeyi Tabana Göre Yazma

x > 4 olmak üzere 3x² + 2x + 3 ifadesinin x tabanındaki yazılışı nedir?

Çözüm: x²'nin katsayısı 3, x¹'in katsayısı 2, x⁰'ın katsayısı 3. Tüm katsayılar x'ten küçük olduğundan doğrudan yazılabilir: (323)_x.

Sınav Günü Stratejileri

• Tabanı hemen belirle: Sayıdaki en büyük rakama bak; taban bundan büyük olmalıdır.
• Kontrol et: Çevirme işleminden sonra sonucu ters yönde çevirerek doğrula. 30 saniyelik kontrol büyük hata önler.
• Kuvvet ilişkisi ara: Tabanlar birbirinin kuvvetiyse gruplama yöntemini tercih et — çok daha hızlı.
• Teklik-çiftlikte taban tipini belirle: Çift mi tek mi? Doğru kuralı uygula.