İçindekiler (8 bölüm)
1Taban Kavramı ve Sayı Sistemleri
Günlük hayatta kullandığımız sayı sistemi onluk (desimal) sistemdir. Bu sistemde 0'dan 9'a kadar toplam 10 farklı rakam bulunur ve her basamak 10'un kuvvetlerine karşılık gelir. Ancak matematik dünyasında sayılar yalnızca onluk tabanla sınırlı değildir; herhangi bir pozitif tamsayı taban olarak kullanılabilir.
Taban Nedir?
Taban (radix), bir sayı sisteminde kullanılabilecek farklı rakam sembollerinin sayısını belirleyen değerdir. x tabanında kullanılabilecek rakamlar 0, 1, 2, ..., (x-1) şeklindedir.
- İkilik (binary) sistem (taban 2): Rakamlar 0 ve 1. Bilgisayar sistemlerinin temelini oluşturur.
- Üçlük (ternary) sistem (taban 3): Rakamlar 0, 1, 2.
- Dörtlük (quaternary) sistem (taban 4): Rakamlar 0, 1, 2, 3.
- Beşlik (quinary) sistem (taban 5): Rakamlar 0, 1, 2, 3, 4.
- Sekizlik (octal) sistem (taban 8): Rakamlar 0'dan 7'ye kadar.
- Onaltılık (hexadecimal) sistem (taban 16): Rakamlar 0-9 ve A-F (A=10, B=11, ..., F=15).
Temel Kural: Rakamlar Tabandan Küçük Olmalı
Bir sayının x tabanında yazılabilmesi için sayıyı oluşturan her rakamın x'ten küçük olması gerekir. Örneğin 5'lik tabanda "47" yazılamaz çünkü 7 rakamı 5'ten büyüktür. Bu kural, sınavda taban bulma sorularının anahtarıdır.
KPSS İpucu: Soruda "x tabanında 2045x sayısı verilmiştir" deniyorsa, x'in en az 6 olması gerekir çünkü en büyük rakam 5'tir. Bu mantıkla tabanı doğrudan belirleyebilirsiniz.
Örnek: Taban Belirleme
204x ve 126x sayıları verilmiş olsun. x tabanı en az kaçtır?
Çözüm: Birinci sayıdaki en büyük rakam 4, ikinci sayıdaki en büyük rakam 6. Dolayısıyla x en az 7 olmalıdır çünkü tüm rakamlar tabandan küçük olmak zorundadır.
2Farklı Tabandan Onluk Tabana Çevirme
Herhangi bir tabandaki sayıyı onluk (desimal) sisteme dönüştürmek için sayısal çözümleme (açılım) yöntemi kullanılır. Her rakam, bulunduğu basamağın kuvvetiyle çarpılır ve tüm sonuçlar toplanır.
Genel Formül
(abc)n = a × n2 + b × n1 + c × n0
Sağdan sola doğru basamak kuvvetleri 0'dan başlayarak birer birer artar. Virgüllü sayılarda ise virgülün sağına geçildiğinde kuvvetler negatif olur (n-1, n-2, ...).
Örnek 1: Üçlük Tabandan Onluk Tabana
(2101)3 sayısını onluk tabana çevirelim:
| Rakam | Basamak Kuvveti | Hesaplama |
|---|---|---|
| 2 | 33 = 27 | 2 × 27 = 54 |
| 1 | 32 = 9 | 1 × 9 = 9 |
| 0 | 31 = 3 | 0 × 3 = 0 |
| 1 | 30 = 1 | 1 × 1 = 1 |
Toplam: 54 + 9 + 0 + 1 = 64. Yani (2101)3 = 6410 olur.
Örnek 2: İki Farklı Tabandan Çevirip Toplama
(204)5 ve (125)6 sayılarının onluk tabandaki toplamını bulalım:
(204)5 = 2 × 25 + 0 × 5 + 4 × 1 = 50 + 0 + 4 = 54
(125)6 = 1 × 36 + 2 × 6 + 5 × 1 = 36 + 12 + 5 = 53
Toplam: 54 + 53 = 107.
KPSS İpucu: Açılım yaparken sağdan sola doğru kuvvetleri 0, 1, 2, 3... diye artırın. En sık yapılan hata soldan başlamaktır. Sağdan başlayarak yazarsanız hata riski sıfıra düşer.
3Onluk Tabandan Farklı Tabana Çevirme (Ardışık Bölme)
Onluk tabandaki bir sayıyı hedef tabana çevirmek için ardışık bölme yöntemi kullanılır. Sayı sürekli olarak hedeftabana bölünür; her adımda kalan not edilir. Son bölümden başlayarak kalanlar sondan başa doğru okunur.
Adım Adım Yöntem
- Sayıyı hedef tabana böl, kalanı yaz.
- Bölümü tekrar hedef tabana böl, kalanı yaz.
- Bölüm 0 olana kadar bölmeye devam et.
- Kalanları sondan başa (aşağıdan yukarı) oku — bu, sayının hedef tabandaki karşılığıdır.
Örnek 1: 21 Sayısını 4'lük Tabana Çevirme
| Bölme | Bölüm | Kalan |
|---|---|---|
| 21 ÷ 4 | 5 | 1 |
| 5 ÷ 4 | 1 | 1 |
| 1 ÷ 4 | 0 | 1 |
Kalanları sondan başa okuyoruz: (111)4. Kontrol: 1×16 + 1×4 + 1×1 = 21.
Örnek 2: 71 Sayısını 5'lik Tabana Çevirme
| Bölme | Bölüm | Kalan |
|---|---|---|
| 71 ÷ 5 | 14 | 1 |
| 14 ÷ 5 | 2 | 4 |
| 2 ÷ 5 | 0 | 2 |
Kalanları sondan başa okuyoruz: (241)5. Kontrol: 2×25 + 4×5 + 1×1 = 50 + 20 + 1 = 71.
Örnek 3: Kuvvet Kullanarak Hızlı Çevirme
28 sayısını 4'lük tabana çevirelim. 4 = 22 olduğundan 28 = (22)4 = 44. Dörtlük tabanda bu, 1 × 44 demektir; yani diğer tüm basamaklar sıfırdır: (10000)4 — 5 basamaklı bir sayıdır.
KPSS İpucu: Kalanları okurken yönü karıştırmayın: son kalan en soldaki (en yüksek basamak) rakam olur. "Aşağıdan yukarı" veya "sondan başa" diye ezberleyin.
4Tabandan Tabana Doğrudan Çevirme
Farklı bir tabandaki sayıyı başka bir tabana çevirmek istediğinizde en güvenilir yol iki aşamalı çevirmedir: önce onluk tabana, ardından hedef tabana dönüştürme.
İki Aşamalı Yöntem
- Kaynak taban → Onluk taban: Sayısal açılım yap, tüm basamakları topla.
- Onluk taban → Hedef taban: Ardışık bölme uygula, kalanları sondan başa oku.
Örnek: 6'lık Tabandan 4'lük Tabana
(2025)6 sayısını 4'lük tabana çevirelim.
Adım 1 — Onluk tabana:
2 × 63 + 0 × 62 + 2 × 61 + 5 × 60 = 2 × 216 + 0 + 12 + 5 = 432 + 12 + 5 = 449
Adım 2 — 4'lük tabana:
| Bölme | Bölüm | Kalan |
|---|---|---|
| 449 ÷ 4 | 112 | 1 |
| 112 ÷ 4 | 28 | 0 |
| 28 ÷ 4 | 7 | 0 |
| 7 ÷ 4 | 1 | 3 |
| 1 ÷ 4 | 0 | 1 |
Sondan başa: (13001)4. Kontrol: 1×256 + 3×64 + 0×16 + 0×4 + 1×1 = 256 + 192 + 1 = 449.
Özel Durum: Tabanlar Birbirinin Kuvveti
Eğer iki taban birbirinin kuvvetiyse (örn. 2 ve 8, veya 2 ve 4) doğrudan gruplama yöntemi kullanılabilir. İkilik tabandaki rakamları üçerli gruplarsan sekizlik tabana, ikişerli gruplarsan dörtlük tabana hızlıca geçersin.
KPSS İpucu: Sınavda hız kazanmak için önce tabanlar arası ilişkiyi kontrol edin. 2-4-8-16 tabanları birbirinin kuvvetidir; bu durumda ardışık bölme yerine gruplama yaparak saniyeler içinde çevirebilirsiniz.
5Taban Aritmetiğinde Toplama ve Çıkarma
Aynı tabandaki iki sayının toplama ve çıkarma işlemleri, onluk sistemdeki mantığın aynısıyla yapılır. Tek fark: eldeler ve borçlanmalar tabanın kendisine göre hesaplanır.
Toplama Kuralı
İki rakamın toplamı tabandan büyük veya eşit olursa, toplam tabana bölünür; kalan o basamağa yazılır, bölüm (elde) bir üst basamağa eklenir.
Örnek: 5'lik Tabanda Toplama
(23)5 + (42)5 işlemini yapalım:
- Birler: 3 + 2 = 5. Taban 5 olduğu için 5 ÷ 5 = 1, kalan 0. Birler basamağına 0 yaz, elde 1.
- Onlar: 2 + 4 + 1 (elde) = 7. 7 ÷ 5 = 1, kalan 2. Onlar basamağına 2 yaz, elde 1.
- Yüzler: Elde 1 var, başka rakam yok. 1 yaz.
Sonuç: (120)5. Kontrol: (23)5 = 13, (42)5 = 22, 13 + 22 = 35. (120)5 = 25 + 10 + 0 = 35.
Çıkarma Kuralı
Çıkarma sırasında üstteki rakam alttakinden küçükse, bir üst basamaktan taban kadar borç alınır (onluk sistemde 10 alırdık; n tabanında n alırız).
Örnek: 3'lük Tabanda Çıkarma
(210)3 - (22)3 işlemini yapalım:
- Birler: 0'dan 2 çıkmaz. Komşu basamaktan 3 (taban) al: 0 + 3 = 3. 3 - 2 = 1. Onlar basamağındaki 1'den 1 borç düşür → 0 kalır.
- Onlar: 0'dan 2 çıkmaz. Yüzler basamağından 3 al: 0 + 3 = 3. 3 - 2 = 1. Yüzler basamağındaki 2'den 1 düşür → 1 kalır.
- Yüzler: 1 - 0 = 1.
Sonuç: (111)3. Kontrol: (210)3 = 21, (22)3 = 8, 21 - 8 = 13. (111)3 = 9 + 3 + 1 = 13.
KPSS İpucu: Çıkarmada komşudan borç alırken 10 değil, taban kadar aldığınızı unutmayın. 5'lik tabanda 5, 3'lük tabanda 3 alırsınız. Bu en sık yapılan hatadır.
6Taban Aritmetiğinde Çarpma
Farklı tabanlarda çarpma işlemi de onluk sistemdeki uzun çarpma yönteminin aynısıdır. Her kısmi çarpımda ortaya çıkan sonuç tabandan büyükse tabana bölünür; kalan yazılır, bölüm (elde) bir sonraki adıma eklenir.
Örnek: 5'lik Tabanda Çarpma
(123)5 × (42)5 işlemini adım adım çözelim:
1. Adım: Birler rakamıyla çarp (2 ile)
- 2 × 3 = 6. 6 ÷ 5 = 1, kalan 1. Elde 1.
- 2 × 2 = 4. 4 + 1 (elde) = 5. 5 ÷ 5 = 1, kalan 0. Elde 1.
- 2 × 1 = 2. 2 + 1 (elde) = 3.
Birinci kısmi çarpım: (301)5
2. Adım: Onlar rakamıyla çarp (4 ile), bir basamak sola kaydır
- 4 × 3 = 12. 12 ÷ 5 = 2, kalan 2. Elde 2.
- 4 × 2 = 8. 8 + 2 (elde) = 10. 10 ÷ 5 = 2, kalan 0. Elde 2.
- 4 × 1 = 4. 4 + 2 (elde) = 6. 6 ÷ 5 = 1, kalan 1. Elde 1.
İkinci kısmi çarpım: (1102)5 — bir basamak sola kaydırılmış hali: (11020)5
3. Adım: Kısmi çarpımları topla
(301)5 + (11020)5 = (11321)5
Kontrol: (123)5 = 38, (42)5 = 22, 38 × 22 = 836. (11321)5 = 625 + 125 + 75 + 10 + 1 = 836.
KPSS İpucu: Çarpma işleminde her adımı tamamladıktan sonra kısmi çarpımları toplarken de taban kuralına dikkat edin. Çarpma ve toplama ayrı ayrı tabanla işlenir; hiçbir adımda onluk sisteme dönmeyin.
7Tabanda Teklik-Çiftlik Belirleme
Bir sayının tek mi çift mi olduğunu belirlemek için onluk tabana çevirmek gerekmez. Tabanın kendisine göre kestirme bir yöntem vardır.
Kural 1: Taban Çift İse
Taban çift olduğunda (2, 4, 6, 8, ...) sayının teklik-çiftliğini belirlemek için yalnızca birler basamağına bakmak yeterlidir. Birler basamağı tek ise sayı tektir; çift ise sayı çifttir.
Neden? Çift tabanın tüm kuvvetleri çifttir (41=4, 42=16, ...). Dolayısıyla birler dışındaki basamakların çarpımı her zaman çift olur; sonucu belirleyen tek etken birler basamağıdır.
Kural 2: Taban Tek İse
Taban tek olduğunda (3, 5, 7, 9, ...) sayının teklik-çiftliği, tüm rakamların toplamına bakılarak belirlenir. Toplam tek ise sayı tektir; çift ise sayı çifttir.
Neden? Tek tabanın tüm kuvvetleri tektir (31=3, 32=9, ...). Tek×tek=tek, tek×çift=çift olduğundan her basamağın katkısının paritesi rakamın kendisiyle aynıdır. Bu yüzden rakamlar toplamının paritesi, sayının paritesini verir.
Örnek Uygulamalar
| Sayı | Taban | Yöntem | Sonuç |
|---|---|---|---|
| (1103)4 | 4 (çift) | Birler basamağı = 3 (tek) | Tek |
| (254)6 | 6 (çift) | Birler basamağı = 4 (çift) | Çift |
| (2112)3 | 3 (tek) | 2+1+1+2 = 6 (çift) | Çift |
| (4231)5 | 5 (tek) | 4+2+3+1 = 10 (çift) | Çift |
KPSS İpucu: "Çift taban → birler basamağı, tek taban → rakamlar toplamı" kuralını ezberleyin. Bu kural sayesinde onluk tabana çevirme zahmetine girmeden teklik-çiftlik sorusunu saniyeler içinde çözersiniz.
8KPSS ve Sınavlarda Karşılaşılan Taban Soruları
Taban aritmetiği KPSS Genel Yetenek'te doğrudan sık çıkmasa da alan sınavlarında ve diğer kamu sınavlarında karşınıza çıkabilir. Aşağıda en yaygın soru tipleri ve çözüm stratejileri derlenmiştir.
Sık Görülen Soru Tipleri
| Soru Tipi | Çözüm Stratejisi |
|---|---|
| Farklı tabandaki sayıyı onluk tabana çevirme | Açılım yap: rakam × tabanbasamak topla |
| Onluk tabandan farklı tabana çevirme | Ardışık bölme, kalanları sondan başa oku |
| Taban bulma (x tabanını belirle) | En büyük rakamdan büyük, verilen eşitliği sağlayan x'i bul |
| Aynı tabanda dört işlem | Onluk sistemin aynısı, elde/borç tabana göre |
| Teklik-çiftlik belirleme | Çift taban → birler; tek taban → rakamlar toplamı |
| Numaralandırma (kitap sayfası vb.) | Kullanılan rakam sayısı = taban; son sayfayı onluğa çevir |
Örnek: Numaralandırma Sorusu
Taner, bir kitabın sayfalarını 0, 1, 2, 3, 4, 5 rakamlarını kullanarak numaralandırıyor. Kitabın son sayfasına 2025 yazılmıştır. Bu kitap gerçekte kaç sayfadır?
Çözüm: 6 farklı rakam (0-5) kullanıldığına göre 6'lık tabanda numaralandırma yapılmıştır.
(2025)6 = 2 × 216 + 0 × 36 + 2 × 6 + 5 × 1 = 432 + 0 + 12 + 5 = 449.
Kitap gerçekte 449 sayfadır.
Örnek: İfadeyi Tabana Göre Yazma
x > 4 olmak üzere 3x2 + 2x + 3 ifadesinin x tabanındaki yazılışı nedir?
Çözüm: x2'nin katsayısı 3, x1'in katsayısı 2, x0'ın katsayısı 3. Tüm katsayılar x'ten küçük olduğundan doğrudan yazılabilir: (323)x.
Sınav Günü Stratejileri
- Tabanı hemen belirle: Sayıdaki en büyük rakama bak; taban bundan büyük olmalıdır.
- Kontrol et: Çevirme işleminden sonra sonucu ters yönde çevirerek doğrula. 30 saniyelik kontrol büyük hata önler.
- Kuvvet ilişkisi ara: Tabanlar birbirinin kuvvetiyse gruplama yöntemini tercih et — çok daha hızlı.
- Teklik-çiftlikte taban tipini belirle: Çift mi tek mi? Doğru kuralı uygula.
KPSS İpucu: Taban aritmetiği sorusu geldiğinde panik yapmayın. Mantık tamamen sayı basamaklarıyla aynıdır; tek fark 10 yerine başka bir sayıyla işlem yapmanızdır. Açılım ve ardışık bölme yöntemlerini biliyorsanız her soruyu çözebilirsiniz.
Anahtar Bilgiler
- Taban, bir sayı sisteminde kullanılabilecek rakam sayısını belirler; x tabanında rakamlar 0'dan (x-1)'e kadardır.
- Farklı tabandaki bir sayıyı onluk tabana çevirmek için her rakam, bulunduğu basamağın kuvvetiyle çarpılıp toplanır.
- Onluk tabandaki bir sayıyı başka bir tabana çevirmek için sayı sürekli olarak hedeftabana bölünür ve kalanlar sondan başa okunur.
- Aynı tabandaki iki sayının toplamında rakamlar toplamı tabana ulaşırsa tabana bölünüp elde yazılır; çıkarmada ise komşudan taban kadar alınır.
- Taban çift ise sayının teklik-çiftliği birler basamağına bakılarak; taban tek ise rakamlar toplamına bakılarak belirlenir.
- Tabandaki her rakam, tabanın kendisinden küçük olmak zorundadır; bu kural taban bulma sorularının anahtarıdır.
- Farklı tabandan farklı tabana doğrudan geçiş için önce onluk tabana, sonra hedef tabana çevirme yöntemi kullanılır.
- Çarpma işleminde kısmi çarpımlar aynı onluk sistemdeki gibi yazılır ancak her taşma tabana bölünerek elde olarak aktarılır.
Sıkça Sorulan Sorular
Taban Aritmetiği konusu KPSS sınavında çıkar mı?
Evet, Taban Aritmetiği konusu KPSS sınav müfredatında yer almaktadır. SoruCozme'de bu konuya özel test soruları ve konu anlatımı bulunmaktadır.
Taban Aritmetiği konusunda test çözebilir miyim?
Evet, Taban Aritmetiği konusunda SoruCozme platformunda ücretsiz test soruları mevcuttur. Konu anlatımını okuduktan sonra hemen test çözerek öğrendiğinizi pekiştirebilirsiniz.
SoruCozme'de kaç soru ve kaç konu var?
SoruCozme platformunda 13.700+ soru ve 299 konu bulunmaktadır. KPSS, DGS, YDS, TYT, Ehliyet, İngilizce ve Açık Öğretim sınavlarına yönelik tüm içerikler ücretsizdir.