İçindekiler (9 bölüm)
1Asal Sayı ve Asal Çarpan Kavramı
Asal çarpanlara ayırma konusuna geçmeden önce asal sayı kavramını hatırlayalım. Asal sayı, 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan, 1'den büyük doğal sayıdır. En küçük asal sayı 2'dir. Ardından 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29... şeklinde devam eder.
Asal Çarpan Nedir?
Bir sayıyı olabildiğince asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlara ayırma denir. Genel gösterim şu şekildedir:
N = ax × by × cz
Burada a, b, c birbirinden farklı asal sayılar; x, y, z ise pozitif tam sayılardır (kuvvetler). Örneğin 60 sayısını asal çarpanlarına ayırdığımızda:
60 = 22 × 31 × 51
Neden Asal Çarpanlara Ayırıyoruz?
Asal çarpanlara ayırma, bir sayının bölenlerini, bölen sayısını, bölenlerin toplamını ve çarpımını bulmamızı sağlar. Örneğin 500'ü hangi sayılar böler diye tek tek saymak yerine, asal çarpanlarından yola çıkarak formüllerle hızlıca bulabiliriz. KPSS'de bu formüller sayesinde 30 saniyede çözülebilecek sorular vardır.
KPSS İpucu: Asal çarpanlara ayırma, sadece bu konunun değil; EBOB-EKOK, bölen sayısı, bölenlerin toplamı ve karesel ifade sorularının da temelidir. Bu yüzden hızlı ve doğru ayırabilmek çok önemlidir.
2Asal Çarpanlara Ayırma Yöntemi (Merdiven Yöntemi)
Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için en yaygın kullanılan yöntem merdiven (bölme) yöntemidir. Bu yöntemde sayı, en küçük asal sayıdan başlanarak sırasıyla asal sayılara bölünür.
Adım Adım Yöntem
- Sayıyı soluna, bölen asal sayıyı sağına yazın.
- En küçük asal sayı olan 2 ile başlayın. Sayı 2'ye bölünüyorsa bölün, bölünmüyorsa 3'e geçin.
- Bölüm sonucunu bir alt satıra yazın ve aynı işlemi tekrarlayın.
- Bölüm 1 olana kadar devam edin.
- Sağ taraftaki tüm asal sayıları çarpım olarak yazın.
Örnek: 60 Sayısını Asal Çarpanlarına Ayırma
| Sayı | Bölen |
|---|---|
| 60 | 2 |
| 30 | 2 |
| 15 | 3 |
| 5 | 5 |
| 1 | - |
60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 22 × 3 × 5
Örnek: 120 Sayısını Asal Çarpanlarına Ayırma
120'yi adım adım ayıralım: 120 ÷ 2 = 60, 60 ÷ 2 = 30, 30 ÷ 2 = 15, 15 ÷ 3 = 5, 5 ÷ 5 = 1.
120 = 23 × 3 × 5
Farklı Ayırma Yolları Aynı Sonucu Verir
60'ı farklı şekillerde de yazabilirsiniz: 4 × 15, 6 × 10 gibi. Ama sonuçta asal çarpanlara indirgendiğinde her zaman 22 × 3 × 5 çıkar. Bu, aritmetiğin temel teoremidir: Her doğal sayının asal çarpanlara ayrılışı tektir.
KPSS İpucu: Asal çarpanlara ayırırken küçük asallardan başlayın (2, 3, 5, 7...). Yazarken aynı asalların kuvvetini birleştirin: 2 × 2 × 2 yerine 23 yazın. Bu hem düzenli hem de formül uygulamasında hata yapmanızı engeller.
3Pozitif Tam Bölen Sayısı (PBS) Formülü
Bir sayının kaç tane pozitif böleni olduğunu bulmak için PBS (Pozitif tam Bölen Sayısı) formülü kullanılır. Bu formül KPSS'de en sık sorulan formüllerden biridir.
Formül
N = ax × by × cz ise:
PBS = (x + 1)(y + 1)(z + 1)
Yani asal çarpanlara ayırdıktan sonra her kuvveti birer arttırıp çarpıyorsunuz. Bu kadar basit!
Örnek 1: 60'ın Pozitif Bölen Sayısı
60 = 22 × 31 × 51
PBS = (2+1)(1+1)(1+1) = 3 × 2 × 2 = 12
Yani 60'ın 12 tane pozitif böleni vardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.
Örnek 2: 120'nin Pozitif Bölen Sayısı
120 = 23 × 31 × 51
PBS = (3+1)(1+1)(1+1) = 4 × 2 × 2 = 16
Örnek 3: 500'ün Pozitif Bölen Sayısı
500 = 22 × 53
PBS = (2+1)(3+1) = 3 × 4 = 12
Negatif ve Toplam Bölen Sayısı
Pozitif bölen kaç tane ise negatif bölen de o kadardır. Dolayısıyla:
- Negatif bölen sayısı (NBS) = PBS
- Toplam tam bölen sayısı = 2 × PBS
Örneğin 60'ın 12 pozitif, 12 negatif olmak üzere toplam 24 tam böleni vardır.
KPSS İpucu: PBS formülünde üstleri birer arttırıp çarp diye ezberleyin. Soruda "pozitif bölen" deniyorsa PBS, "tam bölen" deniyorsa 2 × PBS kullanın. Bu ayrım KPSS'de sıkça karıştırılır ve yanlış cevaba götürür.
4Bölenlerin Toplamı ve Çarpımı Formülleri
PBS formülü kaç tane bölen olduğunu verir. Peki bu bölenlerin toplamı veya çarpımı istenirse? Bunun için de asal çarpanlardan türetilen formüller vardır.
Bölenlerin Toplamı Formülü
N = ax × by × cz ise pozitif bölenlerinin toplamı:
BT = (a0 + a1 + ... + ax) × (b0 + b1 + ... + by) × (c0 + c1 + ... + cz)
Örnek: 12'nin Bölenlerinin Toplamı
12 = 22 × 31
BT = (1 + 2 + 4) × (1 + 3) = 7 × 4 = 28
Doğrulama: 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12 → 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28. Doğru!
Örnek: 60'ın Bölenlerinin Toplamı
60 = 22 × 3 × 5
BT = (1 + 2 + 4) × (1 + 3) × (1 + 5) = 7 × 4 × 6 = 168
Bölenlerin Çarpımı Formülü
Bir sayının pozitif bölenlerinin çarpımı şu formülle bulunur:
BÇ = NPBS/2
Yani sayının kendisini, bölen sayısının yarısı kadar kuvvete yükseltiyoruz.
Örnek: 12'nin Bölenlerinin Çarpımı
12'nin PBS'si = (2+1)(1+1) = 6. Dolayısıyla BÇ = 126/2 = 123 = 1728
Doğrulama: 1 × 2 × 3 × 4 × 6 × 12 = 1728. Doğru!
KPSS İpucu: Bölenlerin toplamı formülünde her asal çarpan için 0'ıncı kuvvetten (yani 1'den) başlayarak tüm kuvvetleri toplarsınız. Sınavda genellikle küçük sayılar sorulur, bu yüzden formülü bilmek büyük avantaj sağlar.
5Mükemmel Sayı ve Asal Komşu Kavramları
Asal çarpanlara ayırma formülleriyle bağlantılı iki önemli kavram vardır: mükemmel sayı ve asal komşu. Bu kavramlar KPSS'de tanım sorusu olarak karşınıza çıkabilir.
Mükemmel (Tam) Sayı
Bir sayının kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı kendisine eşitse bu sayıya mükemmel sayı denir.
Örnek: 6 Mükemmel Sayı mıdır?
6'nın kendisi hariç pozitif bölenleri: 1, 2, 3
Toplam: 1 + 2 + 3 = 6 → Kendisine eşit. Dolayısıyla 6 bir mükemmel sayıdır.
Örnek: 28 Mükemmel Sayı mıdır?
28'in kendisi hariç pozitif bölenleri: 1, 2, 4, 7, 14
Toplam: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 → Mükemmel sayıdır.
Bilinen Mükemmel Sayılar
İlk dört mükemmel sayı: 6, 28, 496, 8128. KPSS'de genellikle 6 veya 28 sorulur.
Asal Komşu Kavramı
Bir x pozitif tam sayısından büyük en küçük asal sayıya, x sayısının asal komşusu denir.
- 6'nın asal komşusu: 6'dan büyük en küçük asal → 7
- 7'nin asal komşusu: 7'den büyük en küçük asal → 11
- 9'un asal komşusu: 9'dan büyük en küçük asal → 11
- 10'un asal komşusu: 10'dan büyük en küçük asal → 11
- 13'ün asal komşusu: 13'ten büyük en küçük asal → 17
Dikkat: Kendisi Asal Olsa Bile
x sayısı asal olsa bile asal komşusu kendisi değil, kendisinden büyük ilk asal sayıdır. 7 asaldır ama asal komşusu 7 değil, 11'dir.
KPSS İpucu: Mükemmel sayı sorusunda bölenlerin toplamı formülünü kullanıp sonuçtan sayının kendisini çıkartın. Eğer kalan değer sayının kendisine eşitse mükemmeldir. KPSS'de genellikle 6 ve 28 sorulur, bu iki sayıyı aklınızda tutun.
6Asal Bölen Sayısı ve Özel Bölen Türleri
KPSS'de sadece toplam bölen sayısı değil, asal bölen sayısı, çift bölen sayısı ve asal olmayan bölen sayısı gibi özel alt kümeler de sorulur. Bunların hepsini asal çarpanlardan türetebiliriz.
Asal Bölen Sayısı
Bir sayının asal bölen sayısı, asal çarpanlarındaki farklı asal sayıların adedidir.
- 60 = 22 × 3 × 5 → Asal bölenleri: 2, 3, 5 → 3 tane asal bölen
- 18 = 2 × 32 → Asal bölenleri: 2, 3 → 2 tane asal bölen
- 500 = 22 × 53 → Asal bölenleri: 2, 5 → 2 tane asal bölen
Asal Olmayan Pozitif Bölen Sayısı
PBS'den asal bölen sayısını çıkartırsanız bulursunuz. Ama dikkat: 1 sayısı ne asal ne de bileşiktir, onu da hesaba katmak gerekir.
Asal olmayan pozitif bölen sayısı = PBS - asal bölen sayısı
Örnek: 60'ın PBS'si 12, asal bölen sayısı 3 → Asal olmayan bölen sayısı = 12 - 3 = 9
Çift Bölen Sayısı
Bir sayının çift bölenleri, o sayının 2 içeren bölenlerdir. Çift bölen sayısını bulmak için:
- Asal çarpanlardaki 2'yi çıkarın ve kalan kısmın PBS'sini bulun (tek bölenler).
- Toplam PBS'den tek bölen sayısını çıkarın.
Örnek: 60 = 22 × 3 × 5. Tek bölenleri bulmak için 2'yi kaldırıyoruz: 3 × 5 → PBS = (1+1)(1+1) = 4 tek bölen. Çift bölen = 12 - 4 = 8.
3 ile Tam Bölünen Bölen Sayısı
Benzer mantıkla, bölenlerin kaç tanesinin belirli bir asal sayıya bölündüğünü bulabiliriz. 60'ın bölenlerinden 3'e bölünenleri bulmak için: 3'ü zorunlu kılarak PBS hesaplarsınız.
KPSS İpucu: "Asal bölen sayısı" ile "pozitif bölen sayısı" çok farklı kavramlardır. KPSS'de soru kökünü dikkatli okuyun. Asal bölen sayısı = farklı asal çarpan adedi, PBS ise tüm pozitif bölenlerin sayısıdır.
7Karesel Yapma ve PBS ile İlgili Özel Sorular
KPSS'de sıkça karşılaşılan bir soru tipi: "N sayısını en az kaçla çarparsak tam kare olur?" veya "PBS'si belirli bir değer olan en küçük sayıyı bulun." Bu soruları asal çarpanlarla kolayca çözeriz.
Tam Kare Sayı ve PBS İlişkisi
Bir sayı tam kare ise asal çarpanlarındaki tüm kuvvetler çift sayıdır. Bu durumda PBS tek sayı olur (çift + 1 = tek).
- 36 = 22 × 32 → PBS = (2+1)(2+1) = 9 (tek) → Tam kare
- 60 = 22 × 3 × 5 → PBS = 12 (çift) → Tam kare değil
Örnek: 60'ı En Az Kaçla Çarparsak Tam Kare Olur?
60 = 22 × 31 × 51. Tam kare olması için tüm kuvvetler çift olmalı. 3'ün kuvveti 1 (tek) → bir 3 daha lazım. 5'in kuvveti 1 (tek) → bir 5 daha lazım.
60 × 15 = 900 = 22 × 32 × 52 = 302. Cevap: 15
Örnek: 24 × A = B2 Eşitliğini Sağlayan En Küçük A
24 = 23 × 3. Kare olması için 2'nin kuvveti çift olmalı (4 lazım, bir 2 daha), 3'ün kuvveti çift olmalı (bir 3 daha lazım).
A = 2 × 3 = 6. Kontrol: 24 × 6 = 144 = 122.
PBS'si Verilen En Küçük Sayıyı Bulma
PBS'si 18 olan en küçük doğal sayı nedir? 18 = (x+1)(y+1)(z+1). En küçük sayıyı bulmak için büyük kuvvetleri küçük asal sayılara verin:
- 18 = 18 × 1 → 217 (çok büyük)
- 18 = 9 × 2 → 28 × 3 = 768
- 18 = 6 × 3 → 25 × 32 = 288
- 18 = 3 × 3 × 2 → 22 × 32 × 5 = 180
En küçüğü: 180 (22 × 32 × 5 ile PBS = 3 × 3 × 2 = 18).
KPSS İpucu: "En küçük sayıyı bul" sorularında büyük kuvvetleri küçük asal sayılara verin. 25 her zaman 52'den küçüktür. Kuvvetleri azalan sırayla asal sayılara dağıtın: en büyük kuvvet 2'ye, sonraki 3'e, sonraki 5'e...
8KPSS Tarzı Çözümlü Örnekler
Aşağıda KPSS'de çıkabilecek tarz ve zorlukta örnekler adım adım çözülmüştür. Bu örnekleri çözerken formülleri uygulama pratiği yapın.
Örnek 1: 111'in Asal Çarpanları
111 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:
- 111 ÷ 3 = 37 (rakamlar toplamı: 1+1+1 = 3, 3'e bölünür)
- 37 asal sayıdır.
111 = 3 × 37. En küçük asal çarpanı 3, en büyük asal çarpanı 37.
Örnek 2: 6x Sayısının PBS'si
6x = (2 × 3)x = 2x × 3x. PBS = (x+1)(x+1) = (x+1)2.
Eğer PBS = 9 isteniyorsa: (x+1)2 = 9 → x+1 = 3 → x = 2.
Örnek 3: A × 13 Eşitliğini Sağlayan (x, y) İkilileri
x × y = 13 eşitliğinde x ve y pozitif doğal sayı ise: 13 asal sayı olduğundan çarpan çiftleri (1, 13) ve (13, 1)'dir. Toplamda 2 tane (x, y) ikilisi vardır.
Eğer x ve y tam sayı olsaydı: (1, 13), (13, 1), (-1, -13), (-13, -1) → 4 tane ikili.
Örnek 4: 120'nin Pozitif Bölenlerinden Kaç Tanesi 3 ile Tam Bölünür?
120 = 23 × 3 × 5. Toplam PBS = 4 × 2 × 2 = 16.
3'e bölünmeyen bölenler: 3'ü hiç almayız → 23 × 5 → PBS = 4 × 2 = 8.
3'e bölünen bölenler: 16 - 8 = 8.
Örnek 5: 120'nin Pozitif Bölenlerinden Kaç Tanesi 15'in Katıdır?
15 = 3 × 5. 120'nin bölenlerinden 15'in katı olanlar hem 3'ü hem 5'i içermelidir.
120 = 23 × 3 × 5. 3'ü ve 5'i zorunlu kılalım: geriye 23 kalır → 2 için 0 ile 3 arası seçim = 4 seçenek. 3 ve 5 sabit → PBS = 4.
Örnek 6: 2x+3 × 3x Sayısının PBS'si 18 ise x Kaçtır?
PBS = (x+3+1)(x+1) = (x+4)(x+1) = 18.
x+4 ve x+1'in farkı 3'tür. 18 = 6 × 3 → x+4 = 6, x+1 = 3 → x = 2.
Kontrol: (2+4)(2+1) = 6 × 3 = 18. Doğru!
KPSS İpucu: PBS formülünde parantez içi değerler arasındaki fark sabittir (kuvvet farkı kadar). Bu özelliği kullanarak denklemi çarpanlara ayırıp hızlıca çözebilirsiniz. Örneğin (x+4)(x+1) = 18'de fark 3, bu yüzden 6 × 3 ayrışımını deneyin.
9KPSS'de Asal Çarpanlar: Soru Tipleri ve Stratejiler
Asal çarpanlara ayırma konusu KPSS Genel Yetenek'te her yıl en az bir soruyla karşınıza çıkar. Aşağıda sınavda en sık rastlanan soru tipleri ve bunlara yaklaşım stratejileri özetlenmiştir.
Sık Görülen Soru Tipleri
| Soru Tipi | Çözüm Stratejisi |
|---|---|
| PBS bulma (doğrudan) | Asal çarpanlara ayır, üstleri birer arttırıp çarp |
| PBS'den bilinmeyen kuvvet bulma | PBS denklemini kur, çarpanlara ayırarak çöz |
| Bölenlerin toplamı / çarpımı | İlgili formülü uygula, sonucu doğrula |
| Asal bölen sayısı | Farklı asal çarpan sayısını say |
| Çift / tek / belirli sayıya bölünen bölen sayısı | Koşulu zorunlu kıl veya toplam - koşula uymayan |
| Karesel yapma (N × A = B2) | Tek kuvvetleri çifte tamamla, eksik faktörleri bul |
| Asal komşu soruları | Verilen sayıdan büyük en küçük asal sayıyı bul |
| Mükemmel sayı soruları | BT formülüyle toplamı bul, sayının kendisini çıkar |
Sınav Günü Stratejileri
- Önce asal çarpanlara ayır: Her soruda ilk adım sayıyı asal çarpanlarına ayırmaktır. Bu adım doğru yapılırsa gerisi formül uygulamasıdır.
- Formülleri sırayla hatırla: PBS → üstleri birer arttırıp çarp. BT → her asal için kuvvet serisini topla ve çarp. BÇ → NPBS/2.
- Soruda ne istendiğini iyi oku: "Pozitif bölen" mi, "tam bölen" mi, "asal bölen" mi? Her birinin formülü farklıdır.
- PBS tek mi çift mi kontrol et: PBS tek ise sayı tam karedir. Bu bilgi karesel yapma sorularında yol göstericidir.
- En küçük/en büyük sorularında: Büyük kuvvetleri küçük asal sayılara vererek en küçük sayıyı, tersini yaparak en büyük sayıyı bulun.
- Sağlama yapın: Bulduğunuz sonucu formüle geri koyarak kontrol edin. 5 saniye sürer ama hata riski sıfırlanır.
Özet Formül Tablosu
| Ne Bulunacak? | Formül |
|---|---|
| Pozitif bölen sayısı (PBS) | (x+1)(y+1)(z+1) |
| Toplam tam bölen sayısı | 2 × PBS |
| Bölenlerin toplamı (BT) | (1+a+a²+...+ax) × (1+b+...+by) × ... |
| Bölenlerin çarpımı (BÇ) | NPBS/2 |
| Asal bölen sayısı | Farklı asal çarpan adedi |
| Tam kare testi | Tüm kuvvetler çift ⇔ PBS tek |
KPSS İpucu: Bu konuyu öğrendikten sonra mutlaka en az 15-20 soru çözün. Formülleri bilmek yetmez, hızlıca uygulayabilmek gerekir. Özellikle PBS bulma ve karesel yapma sorularında bol pratik yapın. Sınavda bu sorular genellikle 1 dakikada çözülebilir.
Anahtar Bilgiler
- Asal çarpanlara ayırma: Bir sayı, birbirinden farklı asal sayıların kuvvetlerinin çarpımı şeklinde yazılır — N = a^x × b^y × c^z.
- Pozitif tam bölen sayısı (PBS) formülü: N = a^x × b^y × c^z ise PBS = (x+1)(y+1)(z+1). Üstleri birer arttırıp çarp.
- Negatif bölen sayısı, pozitif bölen sayısına eşittir; toplam tam bölen sayısı = 2 × PBS.
- Bölenlerin toplamı formülü: Her asal çarpan için (a^0 + a^1 + ... + a^x) ifadelerini çarp.
- Bölenlerin çarpımı formülü: N^(PBS/2) — sayının kendisinin, bölen sayısının yarısı kadar kuvveti.
- Mükemmel sayı: Kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı kendisine eşit olan sayıdır (6, 28, 496, 8128).
- Asal komşu: x sayısından büyük en küçük asal sayıya x'in asal komşusu denir.
- PBS tek ise sayı tam kare sayıdır; PBS çift ise tam kare değildir.
- Bir sayının asal bölen sayısı = asal çarpanlarındaki farklı asal sayıların adedidir.
- KPSS'de en sık çıkan soru tipleri: PBS bulma, bölenlerin toplamı, karesel yapma, asal bölen sayısı ve asal komşu sorularıdır.
Sıkça Sorulan Sorular
Asal Çarpanlara Ayırma konusu KPSS sınavında çıkar mı?
Evet, Asal Çarpanlara Ayırma konusu KPSS sınav müfredatında yer almaktadır. SoruCozme'de bu konuya özel test soruları ve konu anlatımı bulunmaktadır.
Asal Çarpanlara Ayırma konusunda test çözebilir miyim?
Evet, Asal Çarpanlara Ayırma konusunda SoruCozme platformunda ücretsiz test soruları mevcuttur. Konu anlatımını okuduktan sonra hemen test çözerek öğrendiğinizi pekiştirebilirsiniz.
SoruCozme'de kaç soru ve kaç konu var?
SoruCozme platformunda 13.700+ soru ve 299 konu bulunmaktadır. KPSS, DGS, YDS, TYT, Ehliyet, İngilizce ve Açık Öğretim sınavlarına yönelik tüm içerikler ücretsizdir.