Asal Çarpanlara Ayırma

Asal çarpanlara ayırma konusuna geçmeden önce asal sayı kavramını hatırlayalım. Asal sayı, 1 ve kendisinden başka pozitif böleni olmayan, 1'den büyük doğal sayıdır. En küçük asal sayı 2'dir. Ardından 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29... şeklinde devam eder.

Asal Çarpan Nedir?

Bir sayıyı olabildiğince asal sayıların çarpımı şeklinde yazmaya asal çarpanlara ayırma denir. Genel gösterim şu şekildedir:

N = a^x × b^y × c^z

Burada a, b, c birbirinden farklı asal sayılar; x, y, z ise pozitif tam sayılardır (kuvvetler). Örneğin 60 sayısını asal çarpanlarına ayırdığımızda:

60 = 2² × 3¹ × 5¹

Neden Asal Çarpanlara Ayırıyoruz?

Asal çarpanlara ayırma, bir sayının bölenlerini, bölen sayısını, bölenlerin toplamını ve çarpımını bulmamızı sağlar. Örneğin 500'ü hangi sayılar böler diye tek tek saymak yerine, asal çarpanlarından yola çıkarak formüllerle hızlıca bulabiliriz. KPSS'de bu formüller sayesinde 30 saniyede çözülebilecek sorular vardır.

Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırmak için en yaygın kullanılan yöntem merdiven (bölme) yöntemidir. Bu yöntemde sayı, en küçük asal sayıdan başlanarak sırasıyla asal sayılara bölünür.

Adım Adım Yöntem

1. Sayıyı soluna, bölen asal sayıyı sağına yazın.
2. En küçük asal sayı olan 2 ile başlayın. Sayı 2'ye bölünüyorsa bölün, bölünmüyorsa 3'e geçin.
3. Bölüm sonucunu bir alt satıra yazın ve aynı işlemi tekrarlayın.
4. Bölüm 1 olana kadar devam edin.
5. Sağ taraftaki tüm asal sayıları çarpım olarak yazın.

Örnek: 60 Sayısını Asal Çarpanlarına Ayırma

60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5

Örnek: 120 Sayısını Asal Çarpanlarına Ayırma

120'yi adım adım ayıralım: 120 ÷ 2 = 60, 60 ÷ 2 = 30, 30 ÷ 2 = 15, 15 ÷ 3 = 5, 5 ÷ 5 = 1.

120 = 2³ × 3 × 5

Farklı Ayırma Yolları Aynı Sonucu Verir

60'ı farklı şekillerde de yazabilirsiniz: 4 × 15, 6 × 10 gibi. Ama sonuçta asal çarpanlara indirgendiğinde her zaman 2² × 3 × 5 çıkar. Bu, aritmetiğin temel teoremidir: Her doğal sayının asal çarpanlara ayrılışı tektir.

Bir sayının kaç tane pozitif böleni olduğunu bulmak için PBS (Pozitif tam Bölen Sayısı) formülü kullanılır. Bu formül KPSS'de en sık sorulan formüllerden biridir.

Formül

N = a^x × b^y × c^z ise:

PBS = (x + 1)(y + 1)(z + 1)

Yani asal çarpanlara ayırdıktan sonra her kuvveti birer arttırıp çarpıyorsunuz. Bu kadar basit!

Örnek 1: 60'ın Pozitif Bölen Sayısı

60 = 2² × 3¹ × 5¹

PBS = (2+1)(1+1)(1+1) = 3 × 2 × 2 = 12

Yani 60'ın 12 tane pozitif böleni vardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60.

Örnek 2: 120'nin Pozitif Bölen Sayısı

120 = 2³ × 3¹ × 5¹

PBS = (3+1)(1+1)(1+1) = 4 × 2 × 2 = 16

Örnek 3: 500'ün Pozitif Bölen Sayısı

500 = 2² × 5³

PBS = (2+1)(3+1) = 3 × 4 = 12

Negatif ve Toplam Bölen Sayısı

Pozitif bölen kaç tane ise negatif bölen de o kadardır. Dolayısıyla:

• Negatif bölen sayısı (NBS) = PBS
• Toplam tam bölen sayısı = 2 × PBS

Örneğin 60'ın 12 pozitif, 12 negatif olmak üzere toplam 24 tam böleni vardır.

PBS formülü kaç tane bölen olduğunu verir. Peki bu bölenlerin toplamı veya çarpımı istenirse? Bunun için de asal çarpanlardan türetilen formüller vardır.

Bölenlerin Toplamı Formülü

N = a^x × b^y × c^z ise pozitif bölenlerinin toplamı:

BT = (a⁰ + a¹ + ... + a^x) × (b⁰ + b¹ + ... + b^y) × (c⁰ + c¹ + ... + c^z)

Örnek: 12'nin Bölenlerinin Toplamı

12 = 2² × 3¹

BT = (1 + 2 + 4) × (1 + 3) = 7 × 4 = 28

Doğrulama: 12'nin bölenleri: 1, 2, 3, 4, 6, 12 → 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28. Doğru!

Örnek: 60'ın Bölenlerinin Toplamı

60 = 2² × 3 × 5

BT = (1 + 2 + 4) × (1 + 3) × (1 + 5) = 7 × 4 × 6 = 168

Bölenlerin Çarpımı Formülü

Bir sayının pozitif bölenlerinin çarpımı şu formülle bulunur:

BÇ = N^PBS/2

Yani sayının kendisini, bölen sayısının yarısı kadar kuvvete yükseltiyoruz.

Örnek: 12'nin Bölenlerinin Çarpımı

12'nin PBS'si = (2+1)(1+1) = 6. Dolayısıyla BÇ = 12^6/2 = 12³ = 1728

Doğrulama: 1 × 2 × 3 × 4 × 6 × 12 = 1728. Doğru!

Asal çarpanlara ayırma formülleriyle bağlantılı iki önemli kavram vardır: mükemmel sayı ve asal komşu. Bu kavramlar KPSS'de tanım sorusu olarak karşınıza çıkabilir.

Mükemmel (Tam) Sayı

Bir sayının kendisi hariç pozitif bölenlerinin toplamı kendisine eşitse bu sayıya mükemmel sayı denir.

Örnek: 6 Mükemmel Sayı mıdır?

6'nın kendisi hariç pozitif bölenleri: 1, 2, 3

Toplam: 1 + 2 + 3 = 6 → Kendisine eşit. Dolayısıyla 6 bir mükemmel sayıdır.

Örnek: 28 Mükemmel Sayı mıdır?

28'in kendisi hariç pozitif bölenleri: 1, 2, 4, 7, 14

Toplam: 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28 → Mükemmel sayıdır.

Bilinen Mükemmel Sayılar

İlk dört mükemmel sayı: 6, 28, 496, 8128. KPSS'de genellikle 6 veya 28 sorulur.

Asal Komşu Kavramı

Bir x pozitif tam sayısından büyük en küçük asal sayıya, x sayısının asal komşusu denir.

• 6'nın asal komşusu: 6'dan büyük en küçük asal → 7
• 7'nin asal komşusu: 7'den büyük en küçük asal → 11
• 9'un asal komşusu: 9'dan büyük en küçük asal → 11
• 10'un asal komşusu: 10'dan büyük en küçük asal → 11
• 13'ün asal komşusu: 13'ten büyük en küçük asal → 17

Dikkat: Kendisi Asal Olsa Bile

x sayısı asal olsa bile asal komşusu kendisi değil, kendisinden büyük ilk asal sayıdır. 7 asaldır ama asal komşusu 7 değil, 11'dir.

KPSS'de sadece toplam bölen sayısı değil, asal bölen sayısı, çift bölen sayısı ve asal olmayan bölen sayısı gibi özel alt kümeler de sorulur. Bunların hepsini asal çarpanlardan türetebiliriz.

Asal Bölen Sayısı

Bir sayının asal bölen sayısı, asal çarpanlarındaki farklı asal sayıların adedidir.

• 60 = 2² × 3 × 5 → Asal bölenleri: 2, 3, 5 → 3 tane asal bölen
• 18 = 2 × 3² → Asal bölenleri: 2, 3 → 2 tane asal bölen
• 500 = 2² × 5³ → Asal bölenleri: 2, 5 → 2 tane asal bölen

Asal Olmayan Pozitif Bölen Sayısı

PBS'den asal bölen sayısını çıkartırsanız bulursunuz. Ama dikkat: 1 sayısı ne asal ne de bileşiktir, onu da hesaba katmak gerekir.

Asal olmayan pozitif bölen sayısı = PBS - asal bölen sayısı

Örnek: 60'ın PBS'si 12, asal bölen sayısı 3 → Asal olmayan bölen sayısı = 12 - 3 = 9

Çift Bölen Sayısı

Bir sayının çift bölenleri, o sayının 2 içeren bölenlerdir. Çift bölen sayısını bulmak için:

1. Asal çarpanlardaki 2'yi çıkarın ve kalan kısmın PBS'sini bulun (tek bölenler).
2. Toplam PBS'den tek bölen sayısını çıkarın.

Örnek: 60 = 2² × 3 × 5. Tek bölenleri bulmak için 2'yi kaldırıyoruz: 3 × 5 → PBS = (1+1)(1+1) = 4 tek bölen. Çift bölen = 12 - 4 = 8.

3 ile Tam Bölünen Bölen Sayısı

Benzer mantıkla, bölenlerin kaç tanesinin belirli bir asal sayıya bölündüğünü bulabiliriz. 60'ın bölenlerinden 3'e bölünenleri bulmak için: 3'ü zorunlu kılarak PBS hesaplarsınız.

KPSS'de sıkça karşılaşılan bir soru tipi: "N sayısını en az kaçla çarparsak tam kare olur?" veya "PBS'si belirli bir değer olan en küçük sayıyı bulun." Bu soruları asal çarpanlarla kolayca çözeriz.

Tam Kare Sayı ve PBS İlişkisi

Bir sayı tam kare ise asal çarpanlarındaki tüm kuvvetler çift sayıdır. Bu durumda PBS tek sayı olur (çift + 1 = tek).

• 36 = 2² × 3² → PBS = (2+1)(2+1) = 9 (tek) → Tam kare
• 60 = 2² × 3 × 5 → PBS = 12 (çift) → Tam kare değil

Örnek: 60'ı En Az Kaçla Çarparsak Tam Kare Olur?

60 = 2² × 3¹ × 5¹. Tam kare olması için tüm kuvvetler çift olmalı. 3'ün kuvveti 1 (tek) → bir 3 daha lazım. 5'in kuvveti 1 (tek) → bir 5 daha lazım.

60 × 15 = 900 = 2² × 3² × 5² = 30². Cevap: 15

Örnek: 24 × A = B² Eşitliğini Sağlayan En Küçük A

24 = 2³ × 3. Kare olması için 2'nin kuvveti çift olmalı (4 lazım, bir 2 daha), 3'ün kuvveti çift olmalı (bir 3 daha lazım).

A = 2 × 3 = 6. Kontrol: 24 × 6 = 144 = 12².

PBS'si Verilen En Küçük Sayıyı Bulma

PBS'si 18 olan en küçük doğal sayı nedir? 18 = (x+1)(y+1)(z+1). En küçük sayıyı bulmak için büyük kuvvetleri küçük asal sayılara verin:

• 18 = 18 × 1 → 2¹⁷ (çok büyük)
• 18 = 9 × 2 → 2⁸ × 3 = 768
• 18 = 6 × 3 → 2⁵ × 3² = 288
• 18 = 3 × 3 × 2 → 2² × 3² × 5 = 180

En küçüğü: 180 (2² × 3² × 5 ile PBS = 3 × 3 × 2 = 18).

Aşağıda KPSS'de çıkabilecek tarz ve zorlukta örnekler adım adım çözülmüştür. Bu örnekleri çözerken formülleri uygulama pratiği yapın.

Örnek 1: 111'in Asal Çarpanları

111 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

• 111 ÷ 3 = 37 (rakamlar toplamı: 1+1+1 = 3, 3'e bölünür)
• 37 asal sayıdır.

111 = 3 × 37. En küçük asal çarpanı 3, en büyük asal çarpanı 37.

Örnek 2: 6^x Sayısının PBS'si

6^x = (2 × 3)^x = 2^x × 3^x. PBS = (x+1)(x+1) = (x+1)².

Eğer PBS = 9 isteniyorsa: (x+1)² = 9 → x+1 = 3 → x = 2.

Örnek 3: A × 13 Eşitliğini Sağlayan (x, y) İkilileri

x × y = 13 eşitliğinde x ve y pozitif doğal sayı ise: 13 asal sayı olduğundan çarpan çiftleri (1, 13) ve (13, 1)'dir. Toplamda 2 tane (x, y) ikilisi vardır.

Eğer x ve y tam sayı olsaydı: (1, 13), (13, 1), (-1, -13), (-13, -1) → 4 tane ikili.

Örnek 4: 120'nin Pozitif Bölenlerinden Kaç Tanesi 3 ile Tam Bölünür?

120 = 2³ × 3 × 5. Toplam PBS = 4 × 2 × 2 = 16.

3'e bölünmeyen bölenler: 3'ü hiç almayız → 2³ × 5 → PBS = 4 × 2 = 8.

3'e bölünen bölenler: 16 - 8 = 8.

Örnek 5: 120'nin Pozitif Bölenlerinden Kaç Tanesi 15'in Katıdır?

15 = 3 × 5. 120'nin bölenlerinden 15'in katı olanlar hem 3'ü hem 5'i içermelidir.

120 = 2³ × 3 × 5. 3'ü ve 5'i zorunlu kılalım: geriye 2³ kalır → 2 için 0 ile 3 arası seçim = 4 seçenek. 3 ve 5 sabit → PBS = 4.

Örnek 6: 2^x+3 × 3^x Sayısının PBS'si 18 ise x Kaçtır?

PBS = (x+3+1)(x+1) = (x+4)(x+1) = 18.

x+4 ve x+1'in farkı 3'tür. 18 = 6 × 3 → x+4 = 6, x+1 = 3 → x = 2.

Kontrol: (2+4)(2+1) = 6 × 3 = 18. Doğru!

Asal çarpanlara ayırma konusu KPSS Genel Yetenek'te her yıl en az bir soruyla karşınıza çıkar. Aşağıda sınavda en sık rastlanan soru tipleri ve bunlara yaklaşım stratejileri özetlenmiştir.

Sık Görülen Soru Tipleri

Sınav Günü Stratejileri

• Önce asal çarpanlara ayır: Her soruda ilk adım sayıyı asal çarpanlarına ayırmaktır. Bu adım doğru yapılırsa gerisi formül uygulamasıdır.
• Formülleri sırayla hatırla: PBS → üstleri birer arttırıp çarp. BT → her asal için kuvvet serisini topla ve çarp. BÇ → N^PBS/2.
• Soruda ne istendiğini iyi oku: "Pozitif bölen" mi, "tam bölen" mi, "asal bölen" mi? Her birinin formülü farklıdır.
• PBS tek mi çift mi kontrol et: PBS tek ise sayı tam karedir. Bu bilgi karesel yapma sorularında yol göstericidir.
• En küçük/en büyük sorularında: Büyük kuvvetleri küçük asal sayılara vererek en küçük sayıyı, tersini yaparak en büyük sayıyı bulun.
• Sağlama yapın: Bulduğunuz sonucu formüle geri koyarak kontrol edin. 5 saniye sürer ama hata riski sıfırlanır.

Özet Formül Tablosu