Türev II — Grafik, Ekstremum ve Uygulamalar

Türev, bir önceki konuda anlık değişim oranı olarak tanımlanmış ve geometrik olarak teğet eğimine bağlanmıştı. Aynı kavramın en güçlü uygulama alanlarından biri fiziktir. Hareket eden bir cismin konumu zamana bağlı olarak değiştiğinde, türev bize iki kritik bilgiyi verir: anlık hız ve anlık ivme. Bu iki kavram, hareketin her anındaki durumunu sayısal olarak ifade eder ve AYT sorularında sıkça karşımıza çıkar.

Bir hareketlinin zamana bağlı konumu s(t) (veya x(t)) fonksiyonu ile verildiğinde, hız ve ivme kavramları birer türev basamağı ile elde edilir.

v(t) = s'(t)     a(t) = v'(t) = s''(t)

Konum fonksiyonunun türevi anlık hızı; hızın türevi anlık ivmeyi verir. Ters yönde (integral konusunda göreceğimiz gibi) ivmeden hıza, hızdan konuma integral ile dönülür.

Örnek 1 — Konumdan Hız ve İvmeye

Bir hareketlinin konumu s(t) = t³ + 2t (metre, saniye) olarak verilmiştir. t = 3 s anındaki hızı ve ivmesi nedir?

Çözüm: v(t) = s'(t) = 3t² + 2. Bu durumda v(3) = 3 · 9 + 2 = 29 m/s. Hızın türeviyle ivme: a(t) = v'(t) = 6t, dolayısıyla a(3) = 6 · 3 = 18 m/s².

Örnek 2 — Hızın Belirli Bir Değere Ulaştığı An

s(t) = t³/3 - 4t² + 20t konumuyla hareket eden bir cismin hızının 4 m/s olduğu anda ivmesi kaçtır?

Çözüm: v(t) = s'(t) = t² - 8t + 20. v(t) = 4 koşulunu yazalım: t² - 8t + 20 = 4 ⇒ t² - 8t + 16 = 0 ⇒ (t - 4)² = 0 ⇒ t = 4 s. İvme: a(t) = v'(t) = 2t - 8. t = 4 için a(4) = 2 · 4 - 8 = 0 m/s². Bu anda cisim anlık olarak sabit hızlı hareket etmektedir (ne hızlanıyor ne yavaşlıyor).

Fiziksel Yorumlar Özeti

• v(t) > 0, a(t) > 0 ⇒ cisim pozitif yönde hızlanıyor.
• v(t) > 0, a(t) < 0 ⇒ cisim pozitif yönde yavaşlıyor.
• v(t) < 0, a(t) < 0 ⇒ cisim negatif yönde hızlanıyor.
• v(t) < 0, a(t) > 0 ⇒ cisim negatif yönde yavaşlıyor.
• v(t) = 0 anı hareketin yön değiştirme anıdır; cisim anlık olarak durmuştur.

Değişim Hızı Problemleri

Zamana bağlı değişen bir büyüklüğün "değişim hızı" ifadesi, o büyüklüğün zamana göre türevi demektir. Isıtıldıkça genleşen kare biçimindeki bir levhanın kenarı a(t), alanı A(t) = a(t)² olur. Kenarın değişim hızı a'(t) ve alanın değişim hızı A'(t) = 2 · a(t) · a'(t) (zincir kuralı) biçiminde ilişkilendirilir.

Örnek 3 — Genleşen Kare Levha

Başlangıçta kenarı 10 cm olan bir kare levhanın kenarının değişim hızı 2 cm/s olarak veriliyor. Bu anda alanın değişim hızı kaç cm²/s'dir?

Çözüm: Kenar a(t), alan A(t) = a(t)² olduğundan zincir kuralı: A'(t) = 2 · a(t) · a'(t). Verilenler: a(t) = 10, a'(t) = 2. A'(t) = 2 · 10 · 2 = 40 cm²/s. Aynı mantık üçgen alanı, dikdörtgen alanı, küp hacmi, kürenin yüzey alanı gibi kurgular için de kullanılır; her seferinde amaç fonksiyonu değişkenler cinsinden yazılıp zamana göre türev alınır.

Örnek 4 — Şişen Balon

Küresel bir balonun yarıçapı saniyede 0.5 cm artıyor. Yarıçap 10 cm iken hacmin değişim hızı nedir? (V = (4/3)πr³)

Çözüm: V'(t) = 4π · r(t)² · r'(t). r = 10, r' = 0.5 için: V'(t) = 4π · 100 · 0.5 = 200π cm³/s.

Limit konusunda 0/0 ve ∞/∞ belirsizlikleri genellikle çarpanlara ayırma, eşlenikle çarpma ya da özdeşlik kullanımıyla çözülür. Ancak bazı ifadelerde bu cebirsel yollar ya çok uzun ya da hiç işe yaramaz. Bu gibi durumlarda türevden yararlanan güçlü bir yöntem devreye girer: L'Hôpital kuralı. Bu kural, belirsizliği gidermek için pay ve paydanın türevlerine bakmamızı söyler.

Limit hesabında 0/0 veya ∞/∞ belirsizliği ortaya çıktığında, pay ve payda türevlenebiliyorsa L'Hôpital kuralı işe koşulur:

lim_{x→a} f(x)/g(x) = lim_{x→a} f'(x)/g'(x)

Kuralın geçerli olması için iki koşul vardır: (1) ilk limit bir belirsizlik (0/0 veya ∞/∞) doğurmalı, (2) f ve g, a'nın bir komşuluğunda türevlenebilir olmalı ve g'(x) ≠ 0 olmalı. İlk uygulamada limit hâlâ belirsizlik veriyorsa kural art arda tekrar uygulanır.

Örnek 4 — 0/0 Belirsizliği

lim_{x→0} sin(3x)/x değerini hesaplayalım.

Çözüm: Yerine koyma 0/0 verir. Pay türevi (sin(3x))' = 3cos(3x); payda türevi (x)' = 1. Dolayısıyla limit = lim_{x→0} 3cos(3x)/1 = 3 · cos 0 = 3.

Örnek 5 — Polinomlu Belirsizlik

lim_{x→2} (x³ - 8)/(x² - 4) limitini hesaplayalım.

Çözüm: Yerine koyma 0/0 verir. Pay türevi 3x², payda türevi 2x. Yeni limit: lim_{x→2} 3x²/(2x) = 3 · 4 / 4 = 3. (Aynı sonuç çarpanlara ayırma ile x³ - 8 = (x - 2)(x² + 2x + 4), x² - 4 = (x - 2)(x + 2) sadeleştirmesinden de çıkar: 12/4 = 3.)

Örnek 6 — Ardışık Uygulama

lim_{x→0} (1 - cos x)/x² limitini hesaplayalım.

Çözüm: Yerine koyma 0/0. Pay türevi sin x, payda türevi 2x. Yeni limit: lim_{x→0} sin x/(2x) yine 0/0 verir. Tekrar uygulayalım: pay türevi cos x, payda türevi 2. Limit = cos 0 / 2 = 1/2.

Türevin geometrik yorumu, bir noktaya ait teğet doğrusunun eğimidir. Bu tanım, eğri üzerinde belli bir noktada teğetin denklemini yazmayı doğrudan mümkün kılar. AYT Matematikte teğet–normal soruları hemen hemen her sınavda yer alır; ya bir polinoma belirli bir noktada teğet yazma ya da grafikle verilen teğetten fonksiyon hakkında bilgi okuma biçiminde gelir.

y = f(x) eğrisine (a, f(a)) noktasında çizilen teğet doğrusunun eğimi f'(a)'dır. Denklemi:

y - f(a) = f'(a) · (x - a)

Teğete dik olan doğruya normal denir. İki dik doğrunun eğim çarpımı -1 olduğundan normalin eğimi -1/f'(a) olur (f'(a) ≠ 0):

y - f(a) = -1/f'(a) · (x - a)

Teğet Doğrusu Yazmanın Akış Şeması

1. Teğet noktasının apsisi a verilir; f(a)'yı hesapla.
2. f'(x) türevini al; x = a yazıp m = f'(a)'yı bul.
3. Noktayı ve eğimi, y - f(a) = m · (x - a) formülüne yerleştir.
4. Gerekiyorsa y = mx + n biçimine düzenle.

Örnek 7 — Belirli Noktada Teğet

f(x) = x² - 2x eğrisinin x = 3 noktasındaki teğet doğrusunun denklemini bulalım.

Çözüm: f(3) = 9 - 6 = 3. f'(x) = 2x - 2, f'(3) = 4. Denklem: y - 3 = 4(x - 3) ⇒ y = 4x - 9.

Örnek 8 — Normal Doğrusu

f(x) = x² - 2x eğrisinin x = 3 noktasındaki normalinin denklemi nedir?

Çözüm: f(3) = 3, f'(3) = 4, normal eğimi -1/4. Denklem: y - 3 = -1/4 (x - 3) ⇒ y = -x/4 + 15/4.

Teğet Grafikten Verildiğinde

Soruda eğri ile birlikte (a, f(a)) noktasında çizilmiş teğet doğrusunun kendisi gösterilmiş olabilir. O durumda iki bilgi aynı anda okunur: (1) a apsisi belliyse f(a) = eğrinin o x'teki değeri = teğetin o x'teki değeri; (2) doğru üzerindeki iki nokta ile Δy/Δx oranından eğim = f'(a) hesaplanır.

Örnek 9 — Grafikten Eğim Okuma

(2, 3) noktasındaki teğet y = 3x - 3 olsun. f(2) ve f'(2) nedir?

Çözüm: x = 2 doğruya yerleştirilir: y = 3 · 2 - 3 = 3, yani f(2) = 3. Teğetin eğimi 3 olduğundan f'(2) = 3.

Bir fonksiyonun hangi aralıkta arttığını, hangi aralıkta azaldığını öğrenmek, eğrinin davranışını anlamanın ilk ve en temel adımıdır. Artanlık–azalanlık bilgisi olmadan ekstremumlar, ortalama değer teoremi, optimizasyon ve grafik çizimi gibi uygulamaların hiçbiri yürümez. İşte bu noktada türevin işareti devreye girer: pozitif ise artıyor, negatif ise azalıyor. Bu basit kural, fonksiyon ne kadar karmaşık olursa olsun güvenle çalışan bir araçtır.

Türevin işareti, fonksiyonun artanlık–azalanlığını belirler. Bir aralıkta:

• f'(x) > 0 ⇒ f o aralıkta artan,
• f'(x) < 0 ⇒ f o aralıkta azalan,
• f'(x) = 0 veya f'(x) tanımsız ⇒ kritik nokta; artanlık/azalanlık değişebilir.

İnceleme Adımları

1. f'(x) türevini al.
2. f'(x) = 0 denklemini çöz, kökleri işaret tablosuna koy.
3. En büyük dereceli terimin işaretinden başlayarak sağdan sola (ya da soldan sağa) işaretleri yerleştir; tek katlı kök işareti değiştirir, çift katlı kök değiştirmez.
4. f' pozitif olan aralıklarda f artan; negatif olan aralıklarda f azalan yazılır.

Örnek 10 — Üç Terimli Polinom

f(x) = x³ - 3x fonksiyonunun artan ve azalan aralıklarını bulalım.

Çözüm: f'(x) = 3x² - 3 = 3(x - 1)(x + 1). Kökler x = -1 ve x = 1 (her ikisi tek katlı). İşaret tablosu (baş katsayı pozitif):

• x < -1 için f'(x) > 0 ⇒ artan,
• -1 < x < 1 için f'(x) < 0 ⇒ azalan,
• x > 1 için f'(x) > 0 ⇒ artan.

Kontrol: f(-1) = -1 + 3 = 2 (yerel max), f(1) = 1 - 3 = -2 (yerel min).

Fonksiyonun Daima Artan/Azalan Olması

f(x) tüm reel sayılarda daima artan ise f'(x) ≥ 0 her x için sağlanmalıdır. f'(x) ikinci dereceden bir ifade olduğunda bu koşul Δ ≤ 0 (baş katsayı pozitif) ile yakalanır. Benzer biçimde daima azalan için f'(x) ≤ 0 ve baş katsayı negatif + Δ ≤ 0.

Örnek 11 — "Daima Artan" Parametre Aralığı

f(x) = x³ + ax² + 12x fonksiyonunun reel sayılarda daima artan olması için a'nın alabileceği değerlerin kümesi nedir?

Çözüm: f'(x) = 3x² + 2ax + 12. Daima artan ⇔ f'(x) ≥ 0, her x ∈ ℝ için (baş katsayı 3 > 0 olduğundan) Δ ≤ 0. Δ = (2a)² - 4 · 3 · 12 = 4a² - 144. 4a² - 144 ≤ 0 ⇒ a² ≤ 36 ⇒ -6 ≤ a ≤ 6.

Bir eğri üzerinde "en yüksek tepe" ve "en derin çukur" gibi yerel uç noktalar, türevin işaret değiştirdiği yerlerde ortaya çıkar. Bu noktaları sistematik biçimde bulmak için önce kritik nokta kavramını netleştirmek gerekir. Kritik nokta, türevin sıfır olduğu ya da türevin var olmadığı apsistir. Her kritik nokta ekstremum olmayabilir; ama her yerel ekstremum mutlaka bir kritik noktadır.

f'(c) = 0 veya f'(c) tanımsız ise c bir kritik noktadır. Yerel maksimum ve yerel minimumlar yalnızca kritik noktalarda ortaya çıkar. Kritik olmak, ekstremum olmak için gerek şarttır; yeter değildir.

Birinci Türev Testi

Kritik nokta c etrafında f'(x) işareti şu biçimlerde olabilir:

• (-) → (+): f, c'de yerel minimum yapar.
• (+) → (-): f, c'de yerel maksimum yapar.
• (-) → (-) veya (+) → (+): c'de ekstremum yoktur.

Örnek 12 — Yerel Maks ve Yerel Min

f(x) = x³ - 3x için yerel ekstremum noktalarını bulalım.

Çözüm: f'(x) = 3x² - 3 = 3(x - 1)(x + 1). Kökler -1 ve 1, her ikisi tek katlı. İşaret tablosu (+, -, +). x = -1'de (+) → (-) ⇒ yerel maksimum; f(-1) = -1 + 3 = 2. x = 1'de (-) → (+) ⇒ yerel minimum; f(1) = 1 - 3 = -2. Yerel max (-1, 2); yerel min (1, -2).

Mutlak Değerli Fonksiyonlarda Ekstremum

f(x) = |u(x)| biçimindeki fonksiyonlarda u(a) = 0 olan noktalar sivrilik üretir ve yerel ekstremum verir. u(x) tek katlı kökünde sivrilik, çift katlı kökünde ise eğri x eksenine teğet olur (sivrilik yok, türev 0).

Örnek 13 — Mutlak Değer Grafiği

f(x) = |2x - 6| fonksiyonunun ekstremum noktasını bulalım.

Çözüm: 2x - 6 = 0 ⇒ x = 3. Bu noktada fonksiyon değeri f(3) = 0. x < 3 için f(x) = 6 - 2x azalan, x > 3 için f(x) = 2x - 6 artan. (-) → (+) olduğundan (3, 0) yerel minimum (ve bu örnekte aynı zamanda mutlak minimum).

Parçalı Fonksiyonlarda Kritik Nokta

Tanım aralıkları değişen noktalarda f'(c) tanımsız olabilir. Önce süreklilik kontrol edilir (f(c⁻) = f(c⁺) = f(c) mi?), sonra sağ ve sol türev karşılaştırılır. Sürekli olduğu hâlde sağ türev sol türevden farklıysa o nokta sivriliktir ve ekstremum olabilir. Örneğin f(x) = x² + 2x (x ≤ 1) ve f(x) = 3x - 2 (x > 1) parçalı fonksiyonunda x = 1 için f(1⁻) = 3, f(1⁺) = 1; eşit olmadığından fonksiyon x = 1'de süreksizdir ve bu noktada ekstremum aranmaz. Parçalı fonksiyon soruları için önce süreklilik koşulu mutlaka incelenmelidir.

Birinci türev artanlık–azalanlığı; ikinci türev ise eğrinin iç bükeylik yönünü (konveks/konkav) anlatır. Bükülme (dönüm) noktaları, grafiğin U biçiminden ∩ biçimine (veya tersi) geçtiği yerlerdir. Ayrıca ikinci türev, kritik noktanın yerel max mı min mi olduğunu tek adımda söyleyen pratik bir alternatif test sağlar.

İkinci türev, f''(x) = [f'(x)]', hem ekstremum tipini kesinleştirmek hem de grafiğin bükülme bilgisini vermek için kullanılır.

İkinci Türev Testi (Ekstremum)

f'(c) = 0 olan bir kritik noktada:

• f''(c) > 0: c yerel minimumdur (eğri c çevresinde U şeklinde).
• f''(c) < 0: c yerel maksimumdur (eğri c çevresinde ∩ şeklinde).
• f''(c) = 0: Test sonuçsuz; birinci türev testine dönülür.

Örnek 14 — İkinci Türev Testi ile Ekstremum

f(x) = 2x³ - 3x² - 12x için ekstremumları ikinci türev testiyle sınıflandıralım.

Çözüm: f'(x) = 6x² - 6x - 12 = 6(x² - x - 2) = 6(x - 2)(x + 1). Kritik noktalar x = -1 ve x = 2. İkinci türev f''(x) = 12x - 6. f''(-1) = -18 < 0 ⇒ x = -1 yerel maksimum; f(-1) = 2(-1)³ - 3(-1)² - 12(-1) = -2 - 3 + 12 = 7. f''(2) = 18 > 0 ⇒ x = 2 yerel minimum; f(2) = 2(8) - 3(4) - 12(2) = 16 - 12 - 24 = -20.

Konkavlık ve Bükülme Noktası

İkinci türevin işareti, fonksiyonun grafikte yukarı mı aşağı mı "büküldüğünü" söyler:

• f''(x) > 0 ⇒ eğri konkav yukarı (U biçimi),
• f''(x) < 0 ⇒ eğri konkav aşağı (∩ biçimi),
• f''(c) = 0 olup f'' c'de işaret değiştiriyorsa c bükülme (dönüm) noktasıdır.

Örnek 15 — Bükülme Noktası

f(x) = x³ - 3x² + 2 fonksiyonunun bükülme noktasını bulalım.

Çözüm: f'(x) = 3x² - 6x, f''(x) = 6x - 6. f''(x) = 0 ⇒ x = 1. İşaret testi: x < 1 için f''(x) < 0 (konkav aşağı), x > 1 için f''(x) > 0 (konkav yukarı). İşaret değiştiği için x = 1 bükülme noktasıdır. y koordinatı: f(1) = 1 - 3 + 2 = 0, yani bükülme noktası (1, 0).

Fiziksel ve Grafiksel Anlam

Fiziksel yorumda f'' ivmeye karşılık gelir; grafiksel yorumda eğrinin "iç bükeyliğini" ifade eder. Bükülme noktası, eğrinin iç bükeylik yönünü değiştirdiği apsistir.

AYT Matematik'te en çok tuzak bulunduran soru tiplerinden biri, f(x) yerine f'(x)'in grafiğinin verilmesidir. Bu tarz sorularda "grafikteki şeklin f mi yoksa f''nin mi" olduğuna dikkat etmek şarttır. f'(x) grafiği verildiyse, f'(x)'in değeri = f'nin türevi = f'nin eğim bilgisidir. O yüzden grafikteki pozitif/negatif bölgeler f'nin artan/azalan olma bölgelerini söyler.

Bazı sorularda f'nin kendisi değil y = f'(x) grafiği verilir ve f ile ilgili bilgiler istenir. Bu tarz soruların omurgası dört temel eşdeğerliktir:

1. f'(x) > 0 aralıklarında f artan; f'(x) < 0 aralıklarında f azalan.
2. f'(x) = 0 yapıp işaret değiştiren noktalar, f için yerel ekstremum.
3. f'(x) artansa f konkav yukarı; f'(x) azalansa f konkav aşağı.
4. f'(x) grafiğinin ekstremum noktaları, f için bükülme noktaları.

Okuma Adımları

1. f' grafiğinde x eksenini kestiği noktaları bul (f'(x) = 0'ın kökleri).
2. Her kökte işaret değişimi var mı, kontrol et.
3. Pozitif/negatif aralıklarını belirle → f'nin artanlık/azalanlığını yaz.
4. f''nün işaretinin f'nin artanlığından okunduğunu unutma: f' artan ise f'' pozitif → f konkav yukarı.

Örnek 16 — f' Grafiğinden Ekstremum Sayısı

y = f'(x) grafiği x eksenini -3, 0 ve 2 noktalarında kesip bu üç noktada da işaret değiştiriyor olsun. f'nin yerel ekstremum noktaları ve türleri nelerdir?

Çözüm: Üç işaret değişimi üç ekstremum verir. Grafiğin ilk bölgesinde f'(x)'in pozitif olduğunu varsayalım: -∞ → -3 arasında (+), -3 → 0 arasında (-), 0 → 2 arasında (+), 2 → +∞ arasında (-). O zaman x = -3'te (+) → (-) değişimi ⇒ yerel max; x = 0'da (-) → (+) değişimi ⇒ yerel min; x = 2'de (+) → (-) değişimi ⇒ yerel max. İşaretler grafikte x ekseninin üstünde mi altında mı olduğuna göre okunur.

Örnek 17 — Türev Grafiğinden Bükülme Sayısı

Yukarıdaki aynı f' grafiği düzgün dalgalı bir eğri olsun: -3 ile 0 arasında bir minimum, 0 ile 2 arasında bir maksimum yapıyor. f fonksiyonunun kaç tane bükülme noktası vardır?

Çözüm: f için bükülme = f''nün işaret değişimi = f'nün artandan azalana (veya tersi) döndüğü yer. f', -3 ile 0 arasında bir minimum, 0 ile 2 arasında bir maksimum yapıyorsa f'' iki kez işaret değiştirir → 2 bükülme noktası. Ayrıca f' grafiğinin x eksenini kestiği noktalar f için ekstremum, f''nün ise (grafikteki "tepe/çukur"lar) f için bükülme noktası verir — iki bilgi aynı grafikten ayrı ayrı okunur.

Polinom fonksiyonların grafik davranışı tamamen iki bilgiyle yönetilir: uç davranış (baş katsayı ve derece) ve kök yapısı (tek/çift katlılık). Ekstremum ve bükülme noktalarını netleştirmek için türev ve ikinci türev devreye girer. AYT sorularında hem "grafiği verilmiş polinomun denklemi nedir" hem de "denklemi verilmiş polinomun grafiği nasıldır" soruları sorulur — iki yön de aynı araçlarla çözülür.

Bir polinomun grafiğini çizerken türev bilgileri ile baş katsayı–derece yorumu bir araya getirilir. Adımlar:

1. Derece ve baş katsayı: uç davranışı belirler. Tek derece + pozitif baş katsayı: sol uç -∞, sağ uç +∞. Tek derece + negatif: tersi. Çift derece + pozitif: iki uç da +∞. Çift derece + negatif: iki uç da -∞.
2. Kökler: f(x) = 0 çözümleri x eksenini kestiği noktalardır. Tek katlı kökte eğri eksen çizgisini kesip geçer; çift katlı kökte eğri eksenine teğet olup geri döner.
3. f(0): y eksenini kestiği nokta.
4. f'(x) = 0: yerel ekstremum apsisleri.
5. f''(x) = 0: bükülme noktaları.

Örnek 17 — Çarpanlara Ayrılmış Polinom

f(x) = (x - 1)(x + 4)² fonksiyonunun grafiği hakkında neler söylenir?

Çözüm: Derece 3, baş katsayı 1 (pozitif). Tek katlı kök x = 1 (eksen kesilir), çift katlı kök x = -4 (eksen teğet). Uç davranış: x → -∞ ise f → -∞, x → +∞ ise f → +∞. f(0) = (-1)(16) = -16. Eğri sol alttan gelip x = -4'te eksene teğet olur (yerel maks), sonra inip yerel minimumunu yapar, ardından x = 1'de ekseni kesip sağ üste gider.

Grafik Çizimi Sırasında Türevle Netleştirme

Kaba grafik çizildikten sonra f'(x) = 0 denklemi çözülerek yerel ekstremum apsisleri bulunur; f(x)'te yerine yazılarak y değerleri hesaplanır. Böylece grafik noktasal olarak netleştirilir.

Örnek 18 — Polinomun Grafik Denklemi

x eksenini x = -1'de kesen ve x = 4'te teğet olan 3. dereceden polinom fonksiyonunun grafiği, y eksenini (0, -16)'da kesmektedir. Bu fonksiyon nedir?

Çözüm: Tek katlı kök x = -1 ⇒ (x + 1); çift katlı kök x = 4 ⇒ (x - 4)². Fonksiyon: f(x) = a(x + 1)(x - 4)². Derece kontrolü: (x + 1)(x - 4)² ⇒ derece 1 + 2 = 3 ✓. f(0) = a · 1 · 16 = -16 ⇒ a = -1. Sonuç: f(x) = -(x + 1)(x - 4)².

Örnek 19 — Grafiğin Kaba Çizimi

f(x) = (x + 4)(x - 1)² · (x - 5)² fonksiyonunun grafiğini kaba çizelim.

Çözüm: Derece 1 + 2 + 2 = 5 (tek). Baş katsayı pozitif. Uç davranış: x → -∞ ⇒ f → -∞; x → +∞ ⇒ f → +∞. Kökler: tek katlı -4 (eksen kesilir), çift katlı 1 ve 5 (eksen teğet). y ekseni kesen nokta: f(0) = 4 · 1 · 25 = 100. Grafik: sol alttan gelip x = -4'te ekseni keser, yükselir, x = 1'de eksene teğet olur (yerel min), tekrar yükselip bir yerel max yapar, x = 5'te yine eksene teğet olur (yerel min), sağ üste gider.

Yerel ekstremum (yerel max/yerel min) ile mutlak ekstremum (global max/global min) birbirinden farklı kavramlardır. Yerel ekstremum yalnızca komşuluğunda geçerliyken mutlak ekstremum fonksiyonun tanım kümesi içindeki en büyük veya en küçük değeri verir. Kapalı aralık tanımlı sürekli fonksiyonlarda bu iki uç değer mutlaka vardır.

Bir f fonksiyonu kapalı bir [a, b] aralığında sürekli ise bu aralıkta mutlaka bir mutlak maksimum ve bir mutlak minimum değeri vardır (Weierstrass teoremi).

Bulma Yolu (3 Adım)

1. (a, b) açık aralığındaki kritik noktaları bul: f'(x) = 0 köklerini ve f' tanımsız olduğu noktaları.
2. Kritik noktaların ve uç noktalar x = a, x = b'nin f değerlerini hesapla.
3. En büyük değer mutlak max; en küçük değer mutlak min.

Örnek 20 — Kapalı Aralıkta Mutlak Ekstremum

f(x) = x³ - 3x fonksiyonunun [-2, 3] kapalı aralığındaki mutlak ekstremumlarını bulalım.

Çözüm: f'(x) = 3x² - 3 = 0 ⇒ x = ±1 (ikisi de aralık içi). Değer tablosu: f(-2) = -8 + 6 = -2; f(-1) = -1 + 3 = 2; f(1) = 1 - 3 = -2; f(3) = 27 - 9 = 18. Mutlak maksimum değeri 18 (x = 3'te); mutlak minimum değeri -2 (x = -2'de ve x = 1'de).

Açık Aralıkta Ekstremum — "Yoktur" Durumu

Tanım aralığı açık ise uç noktalara ait değerler fonksiyonda alınmaz. Eğer fonksiyon uçlara doğru istenen aşırı değeri yalnız yaklaşarak elde ediyorsa ilgili mutlak ekstremum yoktur.

Grafikten Mutlak Ekstremum Okuma

Grafikte eğrinin en yüksek/en düşük noktasına bakarken önemli ayrıntı nokta dolu mu boş mu sorusudur. İçi dolu en yüksek nokta ⇒ mutlak max vardır ve o değerdir. İçi boş ise "mutlak max yoktur" denir (çünkü daha büyük bir değer yoktur ama tam olarak da o sayı alınmaz).

Türevin en güzel uygulama alanlarından biri günlük hayat ve mühendislik problemleridir. Bir çitin kapsayabileceği en büyük alan, bir kutunun taşıyabileceği en yüksek hacim, bir firmanın elde edebileceği en yüksek kâr — tüm bu sorular matematiksel olarak "bir fonksiyonun en büyük ya da en küçük değerini bulma" problemine dönüşür. Türev bu problemleri standart bir şablonla çözer.

Pratik problemlerde "en büyük alan", "en az maliyet", "en fazla kâr" gibi sorular türev yardımıyla çözülür. Çözüm şablonu 8 adımdır:

1. Problemin değişkenlerini tanımla (x, y, a, r gibi).
2. Kısıt denklemini yaz (çevre, alan, hacim, bütçe gibi).
3. Optimize edilecek amaç fonksiyonunu (alan, hacim, kâr) yaz.
4. Kısıttan bir değişkeni diğeri cinsinden çek; amaç fonksiyonunu tek değişkene indir.
5. Türevi al.
6. Türevi sıfıra eşitle; kritik nokta(ları) bul.
7. Kritik noktanın max mı min mi olduğunu birinci veya ikinci türev testiyle kanıtla.
8. Soruya göre ya x değeri ya da fonksiyon değeri yaz.

Örnek 21 — Sabit Çevreli Dikdörtgenin Maksimum Alanı

Çevresi 20 cm olan dikdörtgenlerin alanı en çok kaçtır?

Çözüm: Kenarlar x ve y. Kısıt: 2x + 2y = 20 ⇒ y = 10 - x. Amaç: A = x · y = x(10 - x) = 10x - x². Türev: A'(x) = 10 - 2x = 0 ⇒ x = 5. A''(x) = -2 < 0 ⇒ maksimum. y = 10 - 5 = 5. A_maks = 5 · 5 = 25 cm². Bu sonuç "sabit çevreli dikdörtgenler arasında alan en fazla karede oluşur" kuralını doğrular.

Örnek 22 — Bir Kenarı Duvar, Üç Kenarı Çitli Bahçe

Dikdörtgen biçimindeki bir bahçenin bir kenarı duvar, diğer üç kenarına üçer sıra tel çekilmiştir. Toplam kullanılan tel 120 metre olduğuna göre bahçenin alanı en fazla kaç m² olabilir?

Çözüm: Duvara paralel kenar y, duvara dik iki kenar x. Üç kenara üç sıra tel demek 3(2x + y) = 120 ⇒ 2x + y = 40 ⇒ y = 40 - 2x. Amaç alan: A(x) = x · y = x(40 - 2x) = 40x - 2x². A'(x) = 40 - 4x = 0 ⇒ x = 10. A''(x) = -4 < 0 ⇒ maks. y = 40 - 20 = 20. A_maks = 10 · 20 = 200 m².

Örnek 23 — Maksimum Kâr Problemi

Bir firmanın x adet ürün için maliyet fonksiyonu M(x) = 2x² + x - 1 ve satış geliri S(x) = -x² + 19x + 1 (birim: lira) verilmiştir. Kârın en çok olması için kaç adet ürün satılmalı ve bu kâr nedir?

Çözüm: Kâr K(x) = S(x) - M(x) = (-x² + 19x + 1) - (2x² + x - 1) = -3x² + 18x + 2. K'(x) = -6x + 18 = 0 ⇒ x = 3. K''(x) = -6 < 0 ⇒ maks. K(3) = -27 + 54 + 2 = 29 lira. Satılacak ürün sayısı 3 adet.

Örnek 24 — Parabolün Altına Yerleştirilen Dikdörtgen

f(x) = 3 - x² parabolü ile x ve y eksenlerinin oluşturduğu bölgeye, bir köşesi orijinde ve diğer köşelerinden biri parabol üzerinde olan dikdörtgen yerleştiriliyor. Bu dikdörtgenin alanı en çok kaçtır?

Çözüm: Parabol üzerindeki köşenin apsisi a ⇒ yüksekliği f(a) = 3 - a², tabanı a. Alan: A(a) = a · (3 - a²) = 3a - a³. A'(a) = 3 - 3a² = 0 ⇒ a² = 1 ⇒ a = 1 (pozitif seçilir). A''(a) = -6a, A''(1) = -6 < 0 ⇒ maks. A(1) = 3 - 1 = 2 birim kare.

Optimizasyon problemlerinin bir alt türü, doğrudan bir geometrik/ekonomik kurgu yerine "bir denklemin kökleri arasındaki ilişkinin ekstremumu" üzerine kuruludur. Bu soruları çözmenin anahtarı Vieta formülleri (toplam ve çarpım bağıntıları) ile istenen ifadeyi önceden sadeleştirip tek parametreli bir fonksiyona dönüştürmektir.

Bazı optimizasyon kurguları "ikinci dereceden bir denklemin kökleri x₁, x₂" formunda başlar. Burada Vieta bağıntıları (x₁ + x₂ = -b/a, x₁ · x₂ = c/a) ile elde edilen ifade, amaç fonksiyonunu tek parametreye indirgemeyi sağlar.

Örnek 25 — Kareler Toplamının Minimumu

x² - (a - 1)x - 8 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olduğuna göre x₁² + x₂² toplamının minimum değeri için a kaç olmalıdır?

Çözüm: Vieta: x₁ + x₂ = a - 1 (çünkü -(a-1)·(-1) = a - 1... yine de baş katsayı 1, b = -(a-1), x₁+x₂ = -b/a = a-1); x₁ · x₂ = -8. Özdeşlik: x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ = (a - 1)² - 2 · (-8) = (a - 1)² + 16. Bu ifadeyi F(a) = (a - 1)² + 16 olarak isimlendirelim. F'(a) = 2(a - 1) = 0 ⇒ a = 1. F''(a) = 2 > 0 ⇒ minimum. F(1) = 0 + 16 = 16. Yani a = 1 için x₁² + x₂² toplamı en küçük değeri 16'yı alır.

Bu başlık altında türev uygulamalarının farklı kurgularını bir arada çalıştıran örnekler inceliyoruz. Her örneğin çözümünde aşağıdaki refleksleri görmeye çalışın: (1) "Artan/azalan" ifadesi türevin işaret bilgisi mi istiyor? (2) Bir noktada teğet bilgisi verildiğinde f(a) ve f'(a) aynı anda okunur mu? (3) Bileşke fonksiyonun türevinde zincir kuralı atlandı mı? (4) Parabol ve doğrulara teğet olma şartları Δ = 0 ile mi yoksa türev ile mi çözülür?

Örnek 26 — Türev Grafiğinden Artan Aralık

f(x) = -x⁴ + 12x² - 1 fonksiyonu için f'(x)'in artan olduğu en geniş aralığı bulalım.

Çözüm: f'(x) = -4x³ + 24x. "f'(x) artan" demek "f''(x) > 0" demek. f''(x) = -12x² + 24 = -12(x² - 2). İşaret: x² - 2 < 0 ⇒ -√2 < x < √2. Bu aralıkta f'' pozitif, dolayısıyla f' artandır. Sonuç: x ∈ (-√2, √2).

Örnek 27 — Şekilsel Teğet Bilgisi

y = f(x) eğrisine (3, 2) noktasında çizilen teğetin denklemi y = -x + 5'tir. g(x) = [f(x)]⁴ fonksiyonu için g'(3) kaçtır?

Çözüm: Teğet bilgisinden f(3) = 2 ve f'(3) = -1. Zincir kuralı: g'(x) = 4[f(x)]³ · f'(x). g'(3) = 4 · 2³ · (-1) = 4 · 8 · (-1) = -32.

Örnek 28 — İki Eğri Arasında Türev Bilgisi

y = f(x) eğrisine (2, 5) noktasında çizilen teğet y = 3x - 1 ve (5, 14) noktasında çizilen teğet y = 2x + 4 doğrularıdır. g(x) = x² · f(f(x)) ise g'(2) kaçtır?

Çözüm: Teğetlerden: f(2) = 5, f'(2) = 3, f(5) = 14, f'(5) = 2. Çarpım kuralı ile: g'(x) = 2x · f(f(x)) + x² · f'(f(x)) · f'(x). x = 2 için: g'(2) = 4 · f(f(2)) + 4 · f'(f(2)) · f'(2) = 4 · f(5) + 4 · f'(5) · 3 = 4 · 14 + 4 · 2 · 3 = 56 + 24 = 80.

Örnek 29 — x Eksenine Teğet Parabol ile Optimizasyon

y = x² - ax + b parabolü hem x eksenine hem y = x doğrusuna teğet ise a · b çarpımı kaçtır?

Çözüm: x eksenine teğet ⇒ Δ = a² - 4b = 0 ⇒ b = a²/4. y = x doğrusuna teğet ⇒ x² - ax + b = x ⇒ x² - (a + 1)x + b = 0, Δ = (a + 1)² - 4b = 0. İki koşul yerine: (a + 1)² = 4b = a². (a + 1)² - a² = 0 ⇒ 2a + 1 = 0 ⇒ a = -1/2. b = (1/4)/4 = 1/16. Çarpım: a · b = (-1/2) · (1/16) = -1/32.

Örnek 30 — Kürenin Değişim Hızı

Bir kürenin yarıçapı r(t) = t + 1 (cm, s) olarak değişmektedir. t = 2 s anında hacmin değişim hızı kaç cm³/s'dir? (V = (4/3)πr³)

Çözüm: V(t) = (4/3)π · r(t)³. Zincir kuralı: V'(t) = (4/3)π · 3r(t)² · r'(t) = 4π · r(t)² · r'(t). r(2) = 3, r'(t) = 1. V'(2) = 4π · 9 · 1 = 36π cm³/s.

Örnek 31 — Maksimum Hacimli Kutu

Bir kenarı 24 cm olan kare biçimindeki kartonun dört köşesinden eşit kareler kesilerek kenarlar yukarı katlanıyor ve dikdörtgenler prizması biçimindeki bir kutu elde ediliyor. Kutunun hacmi en çok kaç cm³ olabilir?

Çözüm: Kesilen karenin kenar uzunluğu x olsun (0 < x < 12). Kutunun taban kenarı 24 - 2x; yüksekliği x. Hacim: V(x) = x · (24 - 2x)² = x · (24 - 2x)². Zincir + çarpım: V'(x) = (24 - 2x)² + x · 2(24 - 2x)(-2) = (24 - 2x)[(24 - 2x) - 4x] = (24 - 2x)(24 - 6x). V'(x) = 0 kökleri: x = 12 (geçersiz, kenar kalmaz) ve x = 4. V''(x)'i hesaplayabiliriz ya da işaret tablosu: 0 < x < 4 için V'(x) > 0 (artan), 4 < x < 12 için V'(x) < 0 (azalan) ⇒ x = 4'te maksimum. V(4) = 4 · (24 - 8)² = 4 · 256 = 1024 cm³.

Örnek 32 — Parçalı Fonksiyonda Ekstremum

f(x) = x³ - 12x + 5 fonksiyonunun yerel maksimum değeri ile yerel minimum değerinin toplamı kaçtır?

Çözüm: f'(x) = 3x² - 12 = 3(x - 2)(x + 2). Kritik noktalar x = -2 ve x = 2. f''(x) = 6x. f''(-2) = -12 < 0 ⇒ x = -2 yerel max; f(-2) = -8 + 24 + 5 = 21. f''(2) = 12 > 0 ⇒ x = 2 yerel min; f(2) = 8 - 24 + 5 = -11. Toplam: 21 + (-11) = 10.

Örnek 33 — Teğet Doğrusunun x Eksenini Kestiği Nokta

f(x) = x² + 2 eğrisine x = 1 noktasında çizilen teğet doğrusu x eksenini hangi noktada keser?

Çözüm: f(1) = 3, f'(x) = 2x, f'(1) = 2. Teğet: y - 3 = 2(x - 1) ⇒ y = 2x + 1. x eksenini kestiği nokta için y = 0: 2x + 1 = 0 ⇒ x = -1/2. Dolayısıyla teğet x eksenini (-1/2, 0) noktasında keser.