Türev I — Tanım ve Kurallar

Türev, bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim oranını veren sayıdır. Biçimsel olarak, f fonksiyonunun x = a noktasındaki türevi bir limit ile tanımlanır:

f'(a) = lim_{h→0} [f(a + h) - f(a)] / h

Aynı kavramın eşdeğer bir yazımı daha vardır:

f'(a) = lim_{x→a} [f(x) - f(a)] / (x - a)

Her iki ifade de yerine koymayla 0/0 belirsizliği verir; bu limiti hesaplamak, türevin sayısal değerini bulmak anlamına gelir. Türev işlemi için kullanılan yazım biçimleri hepsi aynı şeyi anlatır:

• f'(x) — en çok kullanılan biçim
• y' — y = f(x) yazıldığında kısa yazım
• dy/dx — Leibniz yazımı
• df/dx — aynı Leibniz yazımının başka hâli
• d/dx [f(x)] — türev operatörü yazımı

Ortalama Değişim Oranından Türeve

Bir önceki konuda "fonksiyonun [a, b] aralığındaki ortalama değişim oranı" kavramı ele alınmıştı: [f(b) - f(a)] / (b - a). Bu oran, y = f(x) grafiği üzerinde (a, f(a)) ve (b, f(b)) noktalarını birleştiren kirişin eğimine eşittir. Şimdi b değerini a'ya yaklaştırdığımızı düşünelim. Aralık küçüldükçe kiriş, eğriye daha çok yapışır; b, a'ya istenildiği kadar yakın olduğunda kiriş teğete dönüşür. İşte bu limit süreci türevin kendisidir.

Biçimsel olarak, b = a + h yazılırsa aralık uzunluğu h olur ve ortalama değişim oranı [f(a + h) - f(a)] / h biçimine gelir. h → 0 limiti alındığında bu oran f'(a)'ya, yani teğet doğrusunun eğimine yaklaşır.

Neden 0/0 Belirsizliği?

f'(a) tanımında h → 0 iken pay ve payda birlikte 0'a gider. Pay 0'a gider çünkü f(a + h), h → 0 iken f(a)'ya yaklaşır. Payda zaten h'dır, 0'a gider. Bu 0/0 belirsizliği "çöz beni" demektir: cebirsel manipülasyon (çarpanlara ayırma, eşlenik, özdeşlik) ile sadeleşme sağlanır ve limit hesaplanır.

Örnek 1 — Türev Tanımından Hesap

f(x) = x² fonksiyonunun x = 3 noktasındaki türevini, tanımdan hesaplayalım.

Çözüm: f'(3) = lim_{x→3} [f(x) - f(3)] / (x - 3) = lim_{x→3} [x² - 9] / (x - 3). Çarpanlara ayırma: x² - 9 = (x - 3)(x + 3). Sadeleştirme: lim_{x→3} (x - 3)(x + 3) / (x - 3) = lim_{x→3} (x + 3) = 3 + 3 = 6. İleride göreceğimiz kuralla da: f'(x) = 2x, f'(3) = 6. Aynı cevap.

Türevin soyut limit tanımı ne anlama gelir? İki güçlü yorumu vardır: geometrik ve fiziksel. Bu yorumlar AYT'deki çoğu soruyu sezgisel çözmenize yarar.

Geometrik Yorum — Teğet Eğimi

y = f(x) eğrisi üzerinde bir nokta seçelim: (a, f(a)). Bu noktadan eğriye teğet bir doğru çizilebilir. Teğet, eğriye o noktada "dokunan" ve en yakın biçimde yaslanan doğrudur. f'(a) sayısı, bu teğet doğrusunun eğimidir.

Teğet doğrusunun denklemi, bir noktasını (x₀, y₀) = (a, f(a)) ve eğimini m = f'(a) bildiğimizden:

y - f(a) = f'(a) · (x - a)

Bu denklem AYT'de "eğriye (a, ?) noktasından çizilen teğetin denklemi nedir?" biçimindeki soruların doğrudan çözüm formülüdür.

Normal Doğrusu

(a, f(a)) noktasından eğriye çizilen teğete dik olan doğruya normal denir. İki doğru dik ise eğimlerinin çarpımı -1'dir, dolayısıyla normalin eğimi -1/f'(a) olur (f'(a) ≠ 0 olmak kaydıyla). Normal denklemi: y - f(a) = [-1/f'(a)] · (x - a).

Doğrusal Fonksiyonun Türevi

f(x) = mx + n biçimindeki bir doğrunun her x noktasındaki türevi m'dir. Çünkü doğrunun kendisi her noktada teğeti olur. Bu nedenle doğrusal fonksiyonun f'(a)'sı, a'dan bağımsız olarak doğrunun eğimine eşittir. Örn. y = -2x + 5 için f'(x) = -2, her a için f'(a) = -2.

Fiziksel Yorum — Anlık Hız ve İvme

Bir hareketlinin zamana bağlı konumu x(t) fonksiyonu ile verilsin. İki zaman anı t₁ ve t₂ arasındaki ortalama hız:

v_ort = [x(t₂) - x(t₁)] / (t₂ - t₁)

Zaman aralığı sıfıra indirildiğinde (t₂ → t₁), ortalama hız anlık hıza dönüşür ki bu da konum fonksiyonunun türevidir:

v(t) = x'(t) = dx/dt

Hızın türevi ise ivmeyi verir:

a(t) = v'(t) = x''(t) = d²x/dt²

Örnek 2 — Anlık Hız

Bir hareketlinin konumu x(t) = t² + 2t + 4 (metre, saniye cinsinden). t = 2. saniyedeki anlık hızı bulun.

Çözüm: v(t) = x'(t) = 2t + 2. t = 2 için v(2) = 2 · 2 + 2 = 6 m/s. Tanımdan da çözülebilir: lim_{t→2} [x(t) - x(2)] / (t - 2) = lim_{t→2} [(t² + 2t + 4) - 12] / (t - 2) = lim_{t→2} [t² + 2t - 8] / (t - 2) = lim_{t→2} (t + 4)(t - 2)/(t - 2) = lim_{t→2} (t + 4) = 6. Aynı cevap.

Türev tanımından her seferinde limit hesaplamak uzun ve gereksizdir. Bunun yerine birkaç temel kural ile polinom ve cebirsel ifadelerin türevleri hızlı biçimde alınır.

Sabit Fonksiyonun Türevi

c bir sabit sayı olmak üzere f(x) = c için:

(c)' = 0

Sebebi: sabit fonksiyon değişmiyor, değişim oranı 0'dır. Örnek: (5)' = 0, (-3)' = 0, (π)' = 0.

Kuvvet Kuralı

Herhangi bir reel sayı n için:

(xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹

"Üssü başa indir, üssü bir azalt" biçiminde ezberlenir. Örnekler:

• (x)' = 1 (çünkü x = x¹, 1 · x⁰ = 1)
• (x²)' = 2x
• (x³)' = 3x²
• (x⁵)' = 5x⁴
• (x⁻¹)' = -x⁻² = -1/x²
• (x^(1/2))' = (1/2) · x^(-1/2) = 1/(2√x)

Sabitle Çarpım Kuralı

c sabit ve f(x) türevlenebilir ise:

(c · f(x))' = c · f'(x)

Sabit, türev işareti dışına çıkar. Örn. (3x²)' = 3 · 2x = 6x, (-7x⁴)' = -7 · 4x³ = -28x³. Özel olarak doğrusal terimin türevi doğrudan katsayıdır: (5x)' = 5, (-2x)' = -2.

Toplam ve Fark Kuralı

İki türevlenebilir fonksiyonun toplamının/farkının türevi, türevlerinin toplamı/farkıdır:

(f ± g)' = f' ± g'

Dolayısıyla bir polinomun türevini alırken her terimin türevini ayrı alıp toplarız.

Örnek 3 — Polinomun Türevi

f(x) = 3x⁴ - 5x³ + 2x² - 7x + 11 fonksiyonunun türevini bulun.

Çözüm: Her terim ayrı ayrı:

• (3x⁴)' = 12x³
• (-5x³)' = -15x²
• (2x²)' = 4x
• (-7x)' = -7
• (11)' = 0

Toplam: f'(x) = 12x³ - 15x² + 4x - 7.

Örnek 4 — Belirli Noktada Türev

f(x) = x³ - 2x² + 5x - 1 için f'(2) = ?

Çözüm: f'(x) = 3x² - 4x + 5. x = 2 yazılırsa f'(2) = 3 · 4 - 4 · 2 + 5 = 12 - 8 + 5 = 9.

İki fonksiyonun çarpımının türevi, dağılım yasasına benzemez. "Türev işlemi çarpma üzerine dağılmaz"; yani (f · g)' ≠ f' · g' olduğuna dikkat edin. Doğrusu şudur:

(f · g)' = f' · g + f · g'

Sözel Hafıza

"Birincinin türevi çarpı ikinci, artı ikincinin türevi çarpı birinci." Bu cümleyi ezberleyin; AYT'de refleks kuralıdır. Sıra önemli değil (toplama olduğu için) ama yazım sırasını koruyun ki adım adım takip edin.

Ne Zaman Kullanılır?

Çarpım kuralı özellikle kolay dağıtılamayan çarpım yapılarında değerlidir. (2x - 1)(x² + 3) gibi basit bir çarpım doğrudan dağıtılıp polinom olarak türev alınabilir. Ama (√x + 3)(x⁵ - 2x + 1) gibi bir ifade için çarpım kuralı çok daha hızlıdır.

Örnek 5 — Çarpım Kuralı

f(x) = (2x - 1)(x² + 3) için f'(x) = ?

Çözüm — çarpım kuralıyla: Birinci = (2x - 1), birincinin türevi = 2. İkinci = (x² + 3), ikincinin türevi = 2x. Kuralı uygularsak:

f'(x) = 2 · (x² + 3) + (2x - 1) · 2x = 2x² + 6 + 4x² - 2x = 6x² - 2x + 6.

Doğrulama — dağıtarak: f(x) = 2x³ + 6x - x² - 3 = 2x³ - x² + 6x - 3. Türev: f'(x) = 6x² - 2x + 6. Aynı cevap.

Örnek 6 — Belirli Noktada

f(x) = (x² - 3x)(4 - 3x²) için f'(0) = ?

Çözüm: Birinci' = 2x - 3, ikinci = 4 - 3x²; ikinci' = -6x, birinci = x² - 3x. Çarpım:

f'(x) = (2x - 3)(4 - 3x²) + (-6x)(x² - 3x). x = 0 yazılır:

f'(0) = (-3)(4) + 0 · 0 = -12.

Üçlü Çarpım

Üç fonksiyonun çarpımı için çarpım kuralı genelleştirilir:

(f · g · h)' = f' · g · h + f · g' · h + f · g · h'

Desen: "her birinin türevi çarpı diğerleri, topla". n fonksiyonun çarpımı için de aynı desen genişler. Her terimde sadece bir fonksiyon türev alınır, kalan ikisi aynen yazılır.

Örnek 7 — Üçlü Çarpımda Nokta Değeri

f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) için f'(4) = ?

Çözüm: Dörtlü çarpım kuralı uygulanır. Dört terim oluşur ve her birinde sadece bir çarpan türevlenir. x = 4 yazıldığında (x - 4) çarpanı içeren terimlerin hepsi 0 olur — sadece dördüncü terimde (x - 4)' = 1 olduğu ve (x - 4) çarpanı kalmadığı için bu terim sağ kalır. Yani:

f'(4) = 0 + 0 + 0 + 1 · (4 - 1)(4 - 2)(4 - 3) = 3 · 2 · 1 = 6.

İki fonksiyonun bölümünün türevi için ayrı bir kural vardır. Çarpım kuralına benzer ama iki önemli farkı vardır: (1) arada eksi işareti, (2) paydada g'nin karesi.

(f / g)' = (f' · g - f · g') / g², g(x) ≠ 0 koşuluyla.

Sözel Hafıza

"Payın türevi çarpı payda, eksi paydanın türevi çarpı pay, bölü paydanın karesi." AYT'de refleks olmalı.

Örnek 8 — Bölüm Kuralı

f(x) = (3x - 1) / (x + 2) fonksiyonunun türevi nedir?

Çözüm: Pay = 3x - 1, payın türevi = 3. Payda = x + 2, paydanın türevi = 1.

f'(x) = [3 · (x + 2) - (3x - 1) · 1] / (x + 2)² = [3x + 6 - 3x + 1] / (x + 2)² = 7 / (x + 2)².

Örnek 9 — Belirli Noktada

Yukarıdaki f için f'(1) = ?

Çözüm: f'(1) = 7 / (1 + 2)² = 7 / 9. Cevap: 7/9.

Örnek 10 — Karışık Pay ve Payda

f(x) = (2x - 3) / (x + 5) için f'(-6) = ?

Çözüm: Pay' = 2, payda' = 1. f'(x) = [2(x + 5) - (2x - 3)(1)] / (x + 5)² = [2x + 10 - 2x + 3] / (x + 5)² = 13 / (x + 5)². x = -6 yazılır: f'(-6) = 13 / (-1)² = 13.

Sabit Pay — Kısa Yol

Pay bir sabit sayı ise (c / g(x)) biçimindeki kesir için bölüm kuralı sadeleşir: (c/g)' = -c · g' / g². Örn. (6 / (x² - 3))' = -6 · 2x / (x² - 3)² = -12x / (x² - 3)².

Bölüm mü Kuvvet Zinciri mi?

(c / g(x))' biçimindeki bölümü kuvvet zinciri ile de alabilirsiniz: c / g(x) = c · g(x)⁻¹, türevi c · (-1) · g(x)⁻² · g'(x) = -c · g'(x) / g(x)². Aynı sonuç. Hangisini tercih edeceğiniz alışkanlığa bağlı; AYT'de her ikisi de hızlıdır.

Parametre Bulma Soruları

AYT'de sık kalıp: "f(x) = (ax + 3)/(x - 2), f'(3) = 9 ise a kaçtır?" Çözüm: Bölüm kuralı uygulanır, f'(x) ifadesi bulunur, x = 3 yazılır, a için denklem kurulur. Bu tür sorular türev kurallarını + cebirsel çözümü birleştirir.

Örnek 11 — Parametre Bulma

f(x) = (ax + 3)/(x - 2) fonksiyonu için f'(3) = -9 ise a kaçtır?

Çözüm: Pay' = a, payda' = 1. f'(x) = [a(x - 2) - (ax + 3) · 1] / (x - 2)² = [ax - 2a - ax - 3] / (x - 2)² = (-2a - 3) / (x - 2)². x = 3 yazılır: f'(3) = (-2a - 3) / 1 = -2a - 3. Bu -9'a eşit: -2a - 3 = -9, -2a = -6, a = 3.

Bir fonksiyonun içinde başka bir fonksiyon varsa (bileşke fonksiyon), türev almak için zincir kuralı kullanılır:

(f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x)

Leibniz yazımıyla: y = f(u), u = g(x) ise dy/dx = (dy/du) · (du/dx). Türev "zincir gibi" birbirine bağlanır; her halka bir türev.

Sözel Hafıza

"Dış fonksiyonun türevi (iç aynen kalır) çarpı iç fonksiyonun türevi." Dış ile işimiz bitince iç gelir.

Örnek 12 — Basit Bileşke

y = sin(3x) için dy/dx = ?

Çözüm: Dış: sin(u), dışın türevi cos(u). İç: u = 3x, için türevi 3. Zincir: dy/dx = cos(3x) · 3 = 3 cos(3x).

Üç Katmanlı Bileşke

y = f(g(h(x))) biçiminde üç katman varsa türev: dy/dx = f'(g(h(x))) · g'(h(x)) · h'(x). Yani her katmanın türevi yan yana çarpılır. Kılçık kılçık çözmek için önce en dış katmandan başlayıp içeri doğru gidin.

Parametrik Fonksiyon ve Zincir Kuralı

y'nin x'e doğrudan değil, ara bir değişkene bağlı verildiği durumlar vardır. Örn. y = u² + 1, u = x² + 4. Bu durumda dy/dx bulmak için iki seçenek:

1. Doğrudan birleştirme: u yerine x² + 4 yazılır, y = (x² + 4)² + 1 olur, türev doğrudan alınır.
2. Zincir kuralı: dy/du = 2u, du/dx = 2x; dy/dx = 2u · 2x = 4ux = 4(x² + 4) · x = 4x³ + 16x.

İki yol aynı sonucu verir. Ara değişken çok (u, v, t gibi birkaç bağlantı) olduğunda zincir kuralı daha hızlıdır.

Örnek 13 — Parametrik

y = u² + 1, u = x² + 4 için dy/dx = ?

Çözüm: dy/du = 2u, du/dx = 2x. Zincir: dy/dx = (2u)(2x) = 4ux. u = x² + 4 yerine yazılırsa dy/dx = 4x(x² + 4) = 4x³ + 16x. Doğrulama: y = (x² + 4)² + 1 = x⁴ + 8x² + 16 + 1, türev = 4x³ + 16x. Aynı.

Zincir Kuralının Ana Uygulaması: Kuvvet Zinciri

Zincir kuralının en sık görünümü bir iç fonksiyonun n. kuvvetinin türevidir. Bu o kadar yaygındır ki ayrı bir bölüm ayıracağız. Ancak temel formül şudur:

[u(x)ⁿ]' = n · u(x)ⁿ⁻¹ · u'(x)

Zincir kuralının en sık başvurulan özel hâli, bir fonksiyonun kuvvetinin türevidir. Bu formül AYT'de neredeyse her türev sorusunda kullanılır.

[u(x)ⁿ]' = n · u(x)ⁿ⁻¹ · u'(x)

Üç Adımlı Uygulama

1. Üssü başa indir — n çarpan olarak öne gelir.
2. Üssü bir azalt — içerideki fonksiyon aynı kalır, sadece üssü n - 1 olur.
3. İçin türeviyle çarp — u'(x) ile çarparak bitir.

İki işlem aynı anda yapılmaz: önce kuvvet indirilip azaltılır, sonra iç türev çarpılır.

Örnek 14 — Kuvvet Zinciri

f(x) = (3x² - 4x + 2)⁴ için f'(x) = ?

Çözüm: Üssü (4) başa indir, üssü bir azalt (3 olur):

f'(x) = 4 · (3x² - 4x + 2)³ · (3x² - 4x + 2)' = 4 · (3x² - 4x + 2)³ · (6x - 4).

Sonuç: f'(x) = 4(6x - 4)(3x² - 4x + 2)³.

Örnek 15 — Belirli Noktada Kuvvet Zinciri

f(x) = (2x + 3)² için f'(-2) = ?

Çözüm: f'(x) = 2 · (2x + 3)¹ · 2 = 4(2x + 3). x = -2 yazılır: f'(-2) = 4 · (-4 + 3) = 4 · (-1) = -4.

Negatif Kuvvet — Bölümü Kuvvete Çevirme

1 / u(x) = u(x)⁻¹ yazılır, sonra kuvvet zinciri:

[1/u(x)]' = -u'(x) / u(x)²

Örn. [1 / (x² + 1)]' = -2x / (x² + 1)². Bu yöntem bölüm kuralı yerine daha kısa yoldur.

Kareköklü Fonksiyonun Türevi — Hızlı Kural

√u(x) = u(x)^(1/2) olduğundan kuvvet zinciri uygulanır: (1/2) · u(x)^(-1/2) · u'(x) = u'(x) / (2√u(x)). AYT'de çok geldiği için doğrudan ezberleyin:

[√u(x)]' = u'(x) / (2√u(x))

Hafıza: "Aşağıya 2 koy, sorunun aynısını yaz; yukarıya içerideki fonksiyonun türevini yaz."

Özel Değer

(√x)' = 1 / (2√x). Bu formülü ayrı ezberleyin, çok geçer.

Örnek 16 — Kareköklü Türev

f(x) = √(x² + 5) için f'(2) = ?

Çözüm: f'(x) = 2x / (2√(x² + 5)) = x / √(x² + 5). x = 2 yazılır: f'(2) = 2 / √(4 + 5) = 2 / √9 = 2/3.

Örnek 17 — Daha Karmaşık Karekök

f(x) = √(5x + 1) için f'(x) = ?

Çözüm: İç = 5x + 1, iç türevi = 5. f'(x) = 5 / (2√(5x + 1)). x = 3 için: f'(3) = 5 / (2√16) = 5/8.

Kesirli Üs

Kök ile kuvvetin birlikte olduğu ifadeler rasyonel üs biçiminde yazılır. Örn. ∛u⁵ = u^(5/3). Türev: (5/3) · u^(2/3) · u'. Genelleşmiş formül: [u^(p/q)]' = (p/q) · u^((p-q)/q) · u'.

Gerçek AYT soruları çoğu zaman tek kuralla çözülmez. Çarpım, bölüm, zincir kuralları iç içe kullanılır. Sistematik yaklaşım şudur: önce ifadenin en dış yapısına bakın (çarpım mı, bölüm mü, kuvvet mi?), ona göre dış kuralı belirleyin; iç kısımların türevini daha sonra hesaplayın.

Örnek 18 — Çarpım + Zincir

f(x) = x² · (2x + 1)³ için f'(x) = ?

Çözüm: Dış yapı çarpım. Birinci = x², birinci' = 2x. İkinci = (2x + 1)³, ikinci' — bu kuvvet zinciridir: 3(2x + 1)² · 2 = 6(2x + 1)². Çarpım kuralı:

f'(x) = 2x · (2x + 1)³ + x² · 6(2x + 1)² = 2x(2x + 1)²[(2x + 1) + 3x] = 2x(2x + 1)²(5x + 1).

Örnek 19 — Bölüm + Zincir

f(x) = (x - 1)⁴ / (x + 2) için f'(x) = ?

Çözüm: Dış yapı bölüm. Pay = (x - 1)⁴, pay' = 4(x - 1)³ · 1 = 4(x - 1)³ (kuvvet zinciri). Payda = x + 2, payda' = 1. Bölüm kuralı:

f'(x) = [4(x - 1)³ · (x + 2) - (x - 1)⁴ · 1] / (x + 2)² = (x - 1)³ [4(x + 2) - (x - 1)] / (x + 2)² = (x - 1)³ (3x + 9) / (x + 2)² = 3(x - 1)³(x + 3) / (x + 2)².

Örnek 20 — Bileşke ve Nokta Değeri

f(x) ve g(x) için f'(2) = 3, g(2) = 2, g'(2) = 5 verilmişse (f ∘ g)'(2) = ?

Çözüm: Zincir kuralı: (f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x). x = 2 yazılır: (f ∘ g)'(2) = f'(g(2)) · g'(2) = f'(2) · 5 = 3 · 5 = 15.

Örnek 21 — f · g'nin Türevinde Nokta

f(1) = 2, f'(1) = 3, g(1) = -1, g'(1) = 4 verilmişse (f · g)'(1) = ?

Çözüm: Çarpım kuralı: (f · g)'(1) = f'(1) · g(1) + f(1) · g'(1) = 3 · (-1) + 2 · 4 = -3 + 8 = 5.

Temel fonksiyonların türevleri ezber listesi biçiminde verilir. Bu formüller güncel AYT müfredatında ağırlıkla polinom ve cebirsel ifadelerin gerisinde kalsa da karşımıza çıkabilir; bileşke sorularda iç fonksiyon olarak görebilirsiniz.

Trigonometrik Türevler

• (sin x)' = cos x
• (cos x)' = -sin x
• (tan x)' = sec²x = 1 / cos²x
• (cot x)' = -csc²x = -1 / sin²x
• (sec x)' = sec x · tan x
• (csc x)' = -csc x · cot x

Zincirli Trigonometri

• [sin u(x)]' = cos u(x) · u'(x)
• [cos u(x)]' = -sin u(x) · u'(x)
• [tan u(x)]' = sec²u(x) · u'(x)

Örnek: [sin(3x²)]' = cos(3x²) · 6x = 6x cos(3x²).

Üstel Türevler

• (eˣ)' = eˣ (kendisi)
• (aˣ)' = aˣ · ln a (a > 0, a ≠ 1)
• [e^u(x)]' = e^u(x) · u'(x)

Örnek: [e^(x² + 1)]' = e^(x² + 1) · 2x.

Logaritmik Türevler

• (ln x)' = 1/x (x > 0)
• (log_a x)' = 1 / (x · ln a)
• [ln u(x)]' = u'(x) / u(x)

Örnek: [ln(x² + 1)]' = 2x / (x² + 1).

Örnek 22 — Zincirli Üstel

f(x) = e^(3x + 2) için f'(0) = ?

Çözüm: f'(x) = e^(3x + 2) · 3 = 3 · e^(3x + 2). x = 0 yazılır: f'(0) = 3 · e² (≈ 3 · 7.389 ≈ 22.17). Sayısal değer AYT'de genelde sembolik bırakılır: 3e².

Örnek 23 — Logaritmik İçeride

f(x) = ln(2x + 5) için f'(3) = ?

Çözüm: f'(x) = 2 / (2x + 5). x = 3 yazılır: f'(3) = 2 / 11.

Mutlak değerli ve parçalı tanımlı fonksiyonlar türev sorularında özel dikkat ister. Bölünme (veya sivrilik) noktalarında sağ-sol türev karşılaştırması yapılır.

|x|'in Türevi

|x| fonksiyonu x < 0 için -x, x > 0 için x'tir. Türev:

• x > 0 için |x| = x, türev = 1.
• x < 0 için |x| = -x, türev = -1.
• x = 0 için sol türev = -1, sağ türev = 1. Eşit değiller → x = 0'da türev tanımsız.

Grafiksel yorum: y = |x| grafiği x = 0'da "V" şeklinde sivrilik yapar; sivrilik noktasında teğet tanımlanamaz.

|x - a|'nın Türevi

|x - a|'nın x = a'daki türevi yoktur (aynı mantık). x ≠ a'da türev (x - a)/|x - a| = ±1'dir.

|u(x)ⁿ|'nin Kritik Noktada Türevi — Kritik Kural

Mutlak değerli bir fonksiyonun sivrilik yapıp yapmaması, içerdeki fonksiyonun kökünün katlılığına bağlıdır:

• n = 1 (tek katlı kök): y = |x - a| gibi. Sivrilik vardır, x = a'da türev yoktur.
• n ≥ 2 (çok katlı kök): y = |(x - a)²| = (x - a)² gibi (kare hep pozitif). Sivrilik yoktur, x = a'da türev vardır ve değeri 0'dır (teğet x eksenine paralel).

Daha genel: |P(x)| fonksiyonunda P(x)'in basit (tek katlı) köklerinde türev yoktur; çift katlı veya daha yüksek katlı köklerinde türev vardır ve o noktada 0'dır.

Örnek 24 — Mutlak Değer Türev

f(x) = |x² - 4| için f'(3) = ? ve f'(1) = ?

Çözüm:

• x = 3 için: x² - 4 = 5 > 0. Mutlak değer açık: f = x² - 4. Türev: f'(x) = 2x. f'(3) = 6.
• x = 1 için: x² - 4 = -3 < 0. Mutlak değer negatif ise eksiyle açılır: f = -(x² - 4) = -x² + 4. Türev: f'(x) = -2x. f'(1) = -2.

Örnek 25 — Kritik Nokta

f(x) = |x² - 4| fonksiyonunun kritik noktalarındaki türev durumu nedir?

Çözüm: İçteki x² - 4 = (x - 2)(x + 2), kökleri x = ±2. Her iki kök de tek katlı. Kural gereği: x = 2'de ve x = -2'de türev yoktur (sivrilik noktaları).

Örnek 26 — Çift Katlı Kök

g(x) = |(x - 3)²| için g'(3) = ?

Çözüm: (x - 3)² her zaman ≥ 0 olduğundan mutlak değer aslında etkisiz: g(x) = (x - 3)². Türev: g'(x) = 2(x - 3). g'(3) = 0. Kural gereği de: kök x = 3'te çift katlı olduğundan türev vardır ve g'(3) = 0.

Parçalı Fonksiyonda Türev — İki Aşama

Parçalı tanımlı fonksiyonlarda bölünme noktasında türev araştırması şu sırayla yapılır:

1. Süreklilik kontrolü: İki parçanın bölünme noktasındaki değeri eşit mi? Değilse (süreklilik yok) türev yoktur.
2. Sağ-sol türev eşitliği: Her parçanın türevi ayrı alınır, bölünme noktası yazılır. Eşitse türev vardır ve o ortak değerdir; eşit değilse türev yoktur (kırılma noktası).

Örnek 27 — Parçalı Fonksiyonda Türev

f(x) = { x² , x ≤ 1; 2x - 1 , x > 1 } fonksiyonu için f'(1) var mıdır?

Çözüm:

1. Süreklilik: Sol parça x = 1'de: 1² = 1. Sağ parça x = 1'de: 2 · 1 - 1 = 1. Eşit → sürekli.
2. Sol türev: f(x) = x² için f'(x) = 2x, x = 1 için 2. Sağ türev: f(x) = 2x - 1 için f'(x) = 2, x = 1 için 2. Eşit → f'(1) = 2, türev vardır.

Örnek 28 — Sivrilik (Kırılma)

g(x) = { x² , x ≤ 0; x , x > 0 } fonksiyonunda g'(0) var mı?

Çözüm:

1. Süreklilik: Sol: 0² = 0. Sağ: 0. Eşit → sürekli.
2. Sol türev: (x²)' = 2x, x = 0 için 0. Sağ türev: (x)' = 1, x = 0 için 1. Eşit değil (0 ≠ 1) → g'(0) yoktur, sivrilik (kırılma) noktasıdır.

Bir fonksiyonun türevi alınabiliyorsa, türev fonksiyonunun da (yine bir fonksiyon olduğu için) türevi alınabilir. Bu şekilde elde edilen türevlere yüksek dereceden türev denir.

İkinci Türev

f(x)'in türevinin türevi, ikinci türevdir. Gösterim:

• f''(x) — en yaygın
• y''
• d²y/dx²
• d²f/dx²

Örn. f(x) = x³: f'(x) = 3x², f''(x) = 6x.

n. Türev

f⁽ⁿ⁾(x) ile gösterilir. Ardışık türev alma ile elde edilir. n. dereceden bir polinomun (n + 1). türevi 0'dır, çünkü her türevde derece 1 azalır.

Örnek 29 — Polinomun Yüksek Türevleri

f(x) = 2x³ - x² + 5x - 4 için f'(x), f''(x), f'''(x), f⁽⁴⁾(x) bulunuz.

Çözüm:

• f'(x) = 6x² - 2x + 5 (derece 2)
• f''(x) = 12x - 2 (derece 1)
• f'''(x) = 12 (derece 0, sabit)
• f⁽⁴⁾(x) = 0 (sabit türevi)

Örnek 30 — İkinci Türev Değeri

f(x) = (2x + 3)⁵ için f''(-1) = ?

Çözüm: f'(x) = 5(2x + 3)⁴ · 2 = 10(2x + 3)⁴. f''(x) = 10 · 4(2x + 3)³ · 2 = 80(2x + 3)³. x = -1: f''(-1) = 80 · (1)³ = 80.

İkinci Türev — Fiziksel Yorum

Konum x(t)'nin birinci türevi hız v(t), ikinci türevi ivme a(t). Bir cismin anlık ivmesi, konum fonksiyonunun ikinci türevidir: a(t) = x''(t).

İkinci Türev — Grafiksel Yorum

İkinci türevin işareti fonksiyonun bükülme (konvekslik/konkavlık) durumunu gösterir:

• f''(x) > 0 ise grafiğin o bölgede kolları yukarı bakan ("konveks", çanak) biçimde olduğu söylenir.
• f''(x) < 0 ise grafiğin o bölgede kolları aşağı bakan ("konkav", şapka) biçimde olduğu söylenir.
• f''(a) = 0 ve işaret değişiyorsa (a, f(a)) büküm noktası'dır.

Bu yorum sonraki konularda (türevin uygulamaları: ekstremum, bükülme noktası) detaylı ele alınır.

Türevlenebilirlik ve süreklilik birbirine bağlı ama özdeş olmayan iki kavramdır. Aralarındaki tek yönlü ilişki AYT'nin klasik çeldiricisidir.

Temel Teorem

f fonksiyonu x = a noktasında türevlenebiliyorsa, x = a noktasında süreklidir.

Yani: türevlenebilirlik ⇒ süreklilik.

Tersi Doğru Mudur?

Hayır. Bir fonksiyon bir noktada sürekli olduğu hâlde türevlenebilir olmayabilir. En meşhur karşı örnek:

• f(x) = |x|: Her x'te süreklidir (grafikte kopma yok). Ancak x = 0'da sivrilik yaptığı için türevi tanımsızdır (sağ türev +1, sol türev -1, eşit değil).
• f(x) = ∛x: Her x'te süreklidir. x = 0'da teğet dikeydir; eğim sonsuz olduğu için türev tanımsızdır.

Sonuç

• Türevlenebilir ⇒ Sürekli ✓
• Sürekli ⇒ Türevlenebilir ✗ (her zaman değil)
• Türevsiz olup sürekli olmayan noktalar da vardır (süreksizlik noktalarında türev de yoktur).

Sağ-Sol Türev ve Süreklilik

Bir fonksiyonun bir noktada hem sağ hem sol türevi mevcutsa (ikisi tanımlı olsun, eşit olmaları gerekmez), o noktada fonksiyon kesinlikle süreklidir. Neden? Sağ türev için "içi dolu" bir sağdan yaklaşım, sol türev için "içi dolu" bir soldan yaklaşım lazım; bu ikisi birlikte iki noktanın çakışmasını, yani sürekliliği zorunlu kılar.

Ama süreklilik türevlenebilirliği vermez: sağ ve sol türev mevcut olsalar bile eşit değillerse türev yoktur (kırılma noktası).

Süreklilik-Türev Kontrol Akışı

Parçalı fonksiyonda bir noktada türev olup olmadığını belirlemek için:

1. Süreklilik var mı? Yoksa türev yoktur, bitti.
2. Sağ ve sol türev eşit mi? Değilse türev yoktur (kırılma). Eşitse türev vardır, değeri ortak sayıdır.

Örnek 31 — İlişki Testi

f(x) = |x - 2| için x = 2'de süreklilik ve türevlenebilirlik durumu nedir?

Çözüm: Süreklilik: lim_{x→2} |x - 2| = 0 = f(2). Sürekli. Türev: sağ türev lim_{x→2⁺} |x - 2|/(x - 2) = 1, sol türev lim_{x→2⁻} |x - 2|/(x - 2) = -1. Eşit değil → türev yok. Sürekli ama türevsiz klasik örneği.

Örnek 32 — Parametre Problemi

f(x) = { ax + 1, x ≤ 0; x² + bx + 1, x > 0 } fonksiyonu x = 0'da türevlenebilir olacak şekilde a ve b bulunuz.

Çözüm:

1. Süreklilik: Sol x = 0: a · 0 + 1 = 1. Sağ x = 0: 0 + 0 + 1 = 1. Otomatik eşit, süreklilik her a, b için.
2. Türev eşitliği: Sol türev = a. Sağ türev = (2x + b)|x=0 = b. Eşit olma şartı: a = b.

Yani a = b olduğu sürece türevlenebilir. Örn. a = b = 3 için x = 0'da türev var ve değeri 3.

Türev alma kuralları çok sayıda olduğu için AYT'de hata yapma ihtimali yüksektir. Burada en çok karşılaşılan tuzakları ve çözüm reflekslerini topluyoruz.

Tuzak 1 — Çarpım/Bölüm Kuralında Dağılım

(f · g)' = f' · g' yanlıştır. Doğrusu f' · g + f · g'. Aynı şekilde (f/g)' ≠ f'/g'. Türev çarpma ve bölme üzerine dağılmaz; sadece toplama-çıkarma üzerine dağılır.

Tuzak 2 — Zincir Kuralında İç Türevin Unutulması

[(2x - 3)⁵]' = 5(2x - 3)⁴ yanlıştır. Doğrusu 5(2x - 3)⁴ · 2 = 10(2x - 3)⁴. İç fonksiyonun türeviyle çarpmayı asla unutmayın. Eğer iç fonksiyon "x" ise türevi 1 olur ve etkisiz görünür; ama 2x, 3x, x + 5 gibi iç fonksiyonlar için türev 2, 3, 1 gibi farklı katsayılar üretir.

Tuzak 3 — Bölüm Kuralında İşaret ve Kare

(f/g)' ifadesinin payında işaret hatası ("+" yazmak) ve paydanın karesini unutmak sık görülen hatalardır. Sözel kalıp: "payın türevi çarpı payda EKSİ paydanın türevi çarpı pay, bölü paydanın KARESİ".

Tuzak 4 — f(a)'nın Türevi ile f'(a) Karışıklığı

f(a) bir sabittir; türevi 0'dır. Ancak f'(a) türev fonksiyonunun a'daki değeridir, genelde 0 değildir. Örn. f(x) = x² için f(3) = 9, "9'un türevi = 0". Ama f'(3) = 6. Bu ikisi farklı şeylerdir.

Tuzak 5 — Mutlak Değerde Sağ/Sol Ayrımı

|f(x)|'in türevini alırken içi pozitif mi negatif mi kontrol edilmeli. x = a'da içini sıfır yapan nokta varsa, x = a kritik noktadır: türev olup olmadığı kökün katlılığına bakılır (tek kat → türev yok, çift+ kat → türev 0).

Tuzak 6 — Parçalı Fonksiyonda Süreklilikle Yetinme

"Fonksiyon x = a'da sürekli, o hâlde türevi de var" yanlış bir çıkarımdır. Süreklilik türev için gerek şart ama yeter şart değildir. Sağ ve sol türevler ayrıca kontrol edilmelidir.

Tuzak 7 — Kuvvet Kuralında Hata

(xⁿ)' = n · xⁿ⁻¹ formülünde üssü indirip bir azaltırken dikkat: üs yerine üs − 1, üs yerine üs + 1 değil. Örn. (x⁻²)' = -2x⁻³ = -2/x³ (üs -2 değil, -3).

Tuzak 8 — Bileşke f(g(a))'nın Türevi

(f ∘ g)'(a) = f'(g(a)) · g'(a). Dikkat: f'(g(a)), "f'in (g(a))'daki değeri" demektir; f'(a) değildir. Örn. f'(g(2)) için önce g(2) hesaplanır (diyelim ki 5), sonra f'(5) bulunur.

Refleks Listesi (AYT Çözüm Akışı)

1. Önce yapıya bak: polinom, çarpım, bölüm, kuvvet, karekök, mutlak değer?
2. Dış kuralı seç: çarpım ise çarpım kuralı, bölüm ise bölüm kuralı, kuvvet ise kuvvet zinciri.
3. İç türevleri ayrı hesapla: iç içe bileşkelerde alt-türevleri parça parça bul.
4. Noktada değer isteniyorsa en sonda x yaz: sembolik f'(x)'i bulduktan sonra x = a yazmak hem kısa hem hata-güvenli.
5. Cevabı sağlamak için basit örnekle test et: formüller şüpheli geldiğinde f(x) = x ve f(x) = x² gibi temel fonksiyonlarla elle kontrol.