Trigonometri I — Birim Çember ve Temel Oranlar

Trigonometri, Yunanca trigonon (üçgen) ve metron (ölçü) kelimelerinin birleşiminden gelir; üçgenin kenar ve açıları arasındaki ilişkileri inceler. Çıkış noktası üçgen olsa da, birim çember yaklaşımı sayesinde her gerçek sayıyı bir açı olarak yorumlayıp sinüs, kosinüs gibi fonksiyonları her reel girdiye genişletebiliriz. AYT Matematik içinde trigonometri, limit-türev-integral üçlüsünün ön koşuludur; aynı zamanda geometri sorularının içinde gizli bir araç olarak işler.

Yönlü Açı

Bir açının ölçüsü, koordinat düzleminde pozitif x ekseninden itibaren başlangıç kenarına kadar dönmüş olan miktardır. Dönme yönü önemlidir:

• Pozitif yön: Saat yönünün tersine. 0° → 90° → 180° → 270° → 360° şeklinde ilerler.
• Negatif yön: Saat yönünde. 0° → -90° → -180° → -270° → -360° şeklinde ilerler.

Bir açı çizildiğinde, figürün "göründüğü tarafta" olan herhangi bir rakam değil, 0° ekseninden itibaren dönerek varılan bitiş konumuna kadar olan toplam ölçü dikkate alınır. Başlangıç kenarı ile bitiş kenarı arasında dikey kalmış açık gibi görünse bile, dönme miktarı 200° olabilir. Bu bakış açısı AYT sorularında sıkça sınanır.

Negatif Açıların Pozitife Çevrilmesi

Negatif açılı bir ölçüyü pozitif karşılığıyla (esas ölçüsüyle) ifade etmek istediğimizde, tam bir turun tamamlayanı olarak düşünürüz:

• -60° için esas ölçü: 360° - 60° = 300°.
• -120° için esas ölçü: 360° - 120° = 240°.
• -90° için esas ölçü: 360° - 90° = 270°.

Esas Ölçü

Derece türünden bir açının esas ölçüsü 0° ≤ α < 360° aralığında kalacak şekilde 360°'in katları atılarak bulunur. Kural şöyledir:

• Pozitif ve 360°'ten büyükse: 360°'e böl, kalan esas ölçüdür. Örnek: 1210° / 360° → 3 kez 360° (= 1080°), kalan 130°.
• Negatifse: 360°'in katlarıyla toplayarak pozitife çevir. Örnek: -1510° = -5·360° + 290° veya üzerine 1800° eklenip 290° bulunur. Esas ölçü 290°.
• 450° için: 450° - 360° = 90° esas ölçüdür.

Radyanda aynı işlem 2π katlarıyla yapılır. Örneğin 19π/4'ün esas ölçüsünü bulmak için paydayı 2 katına çıkarıp pay 8'e böldüğümüzde (19 ÷ 8 = 2, kalan 3) esas ölçü 3π/4 olur; dışardaki "2 · 2π" kısmı iki tam turu gösterir.

Açı ölçümünde üç birim vardır: derece, radyan ve grat. AYT Matematik müfredatında yalnızca ilk ikisi kullanılır; radyan özellikle limit, türev ve integral sorularında tek ölçü birimidir.

Derece Tanımı

Bir çemberin çevresi 360 eşit parçaya bölündüğünde, parçalardan birini gören merkez açı 1 derecedir. Bir tam tur 360° eder. Alt birimleri:

• 1° = 60' (dakika; tek üst çizgi ile gösterilir)
• 1' = 60" (saniye; çift üst çizgi ile gösterilir)
• Dolayısıyla 1° = 3600".

Radyan Tanımı

Bir çemberin yarıçap uzunluğunda bir yay parçasını gören merkez açıya 1 radyan denir. Bir tam turun çevresi 2π·r olduğundan, tam tur 2π radyana eşittir. En sık kullanılan eşitlik:

• π radyan = 180°
• 2π radyan = 360°
• π/2 radyan = 90°

Dönüşüm Formülleri

Derece ile radyan arasında oran-orantı kurularak geçiş yapılır. Formüller:

• Derece → Radyan: radyan = derece · (π / 180).
• Radyan → Derece: derece = radyan · (180 / π).

Örnek 1 — Derece → radyan: 120°'yi radyana çevir. 120 · π / 180 = 2π/3 radyan.

Örnek 2 — Derece → radyan: 135°'yi radyana çevir. 135 · π / 180 = 3π/4 radyan.

Örnek 3 — Radyan → derece: 5π/6 radyanı dereceye çevir. 5π/6 içindeki π yerine 180 yaz: 5 · 180 / 6 = 150°.

Örnek 4 — Radyan → derece: 7π/4 radyanı dereceye çevir. 7 · 180 / 4 = 315°.

Özel Açıların Dönüşümü

Derece	Radyan	Derece	Radyan
0°	0	180°	π
30°	π/6	210°	7π/6
45°	π/4	225°	5π/4
60°	π/3	240°	4π/3
90°	π/2	270°	3π/2
120°	2π/3	300°	5π/3
135°	3π/4	315°	7π/4
150°	5π/6	360°	2π

Birim çember, merkezi orijinde (O = (0, 0)) ve yarıçapı 1 birim olan çemberdir. Denklemi x² + y² = 1 şeklindedir. Çemberin x ekseniyle kesiştiği noktalar (1, 0) ve (-1, 0); y ekseniyle kesiştiği noktalar (0, 1) ve (0, -1) olur.

Koordinat düzlemi birim çember tarafından dört bölgeye ayrılır:

• 1. bölge: sağ-üst çeyrek (x > 0, y > 0). Açı 0° ile 90° arası.
• 2. bölge: sol-üst çeyrek (x < 0, y > 0). Açı 90° ile 180° arası.
• 3. bölge: sol-alt çeyrek (x < 0, y < 0). Açı 180° ile 270° arası.
• 4. bölge: sağ-alt çeyrek (x > 0, y < 0). Açı 270° ile 360° arası.

Trigonometrik Fonksiyonların Geometrik Tanımı

Pozitif x ekseninden başlayıp α açısı kadar dönen bir yarıçap, birim çemberi P(cos α, sin α) noktasında keser. Bu tanım gereği:

• P noktasının apsisi (x koordinatı) = cos α.
• P noktasının ordinatı (y koordinatı) = sin α.

Bu yüzden trigonometride x eksenine "kosinüs ekseni", y eksenine "sinüs ekseni" adı verilir. Birim çember üzerindeki her nokta bir (cos α, sin α) çiftidir; tersine her α reel sayısı için birim çember üzerinde tek bir P noktası vardır.

Pisagor ve Temel Özdeşlik

P(cos α, sin α) noktası birim çember üzerinde olduğundan cos² α + sin² α = 1 eşitliği her α için sağlanır. Bu eşitlik trigonometrinin temel özdeşliği olarak adlandırılır ve her türlü ispatta temel yapı taşıdır.

Bu özdeşlikten iki önemli sonuç türetilir:

• Eşitliği cos² α ile bölersek: 1 + tan² α = sec² α (cos α ≠ 0).
• Eşitliği sin² α ile bölersek: 1 + cot² α = csc² α (sin α ≠ 0).

Bölgelerde Uzunluk ve İşaret Ayrımı

2., 3. ve 4. bölgelerde noktanın koordinatları negatif değer alabilir. Ancak bu negatiflik yalnızca "koordinat" (konum) değeridir; bir uzunluk söz konusuysa mutlak değeri alınır. Örneğin 2. bölgede bir P noktasının koordinatları (-√3/2, 1/2) ise:

• cos α = -√3/2 (işaretli değer).
• P noktasının y eksenine olan uzaklığı |cos α| = √3/2 (uzunluk).
• sin α = 1/2 (pozitif, ayrıca aynı zamanda uzunluğa eşit).

Örnek 5: Birim çember üzerinde 4. bölgedeki A noktasının ordinatı -√3/5 ise apsisini bul.
Birim çember üzerinde: x² + y² = 1 ⟹ x² + (√3/5)² = 1 ⟹ x² + 3/25 = 1 ⟹ x² = 22/25. 4. bölgede apsis pozitiftir: x = √22 / 5.

AYT sorularının büyük bölümü özel açı değerleri üzerinden kurulur. Bu değerleri ezberlemek yerine, 30-60-90 ve 45-45-90 dik üçgenlerinden türetmek uzun vadede daha güvenlidir.

30-60-90 Üçgeni

Bir eşkenar üçgenin yüksekliği çizildiğinde iki adet 30-60-90 üçgeni oluşur. Kenarlar oranı: 1 : √3 : 2 (30° karşısı : 60° karşısı : hipotenüs). Birim çember (hipotenüs = 1) için yarıya bölersek kenarlar 1/2, √3/2, 1 olur.

45-45-90 Üçgeni

Bir karenin köşegeni çizildiğinde iki adet 45-45-90 üçgeni oluşur. Kenarlar oranı: 1 : 1 : √2. Birim çemberde hipotenüs 1 olunca dik kenarlar √2/2 olur.

Özel Açılar Tablosu

Açı	sin	cos	tan	cot
0°	0	1	0	tanımsız
30°	1/2	√3/2	√3/3	√3
45°	√2/2	√2/2	1	1
60°	√3/2	1/2	√3	√3/3
90°	1	0	tanımsız	0
180°	0	-1	0	tanımsız
270°	-1	0	tanımsız	0
360°	0	1	0	tanımsız

Sıralama Pratiği

1. bölgede (0° ile 90° arasında) sinüs artar, kosinüs azalır. Bu nedenle:

• 0° < α < 90° için sin 0° < sin α < sin 90°, yani 0 < sin α < 1.
• sin 30° < sin 45° < sin 60° (1/2 < √2/2 < √3/2).
• cos 30° > cos 45° > cos 60° (√3/2 > √2/2 > 1/2).
• tan 30° < tan 45° < tan 60° (√3/3 < 1 < √3).

Bir trigonometrik oranın işareti, açının hangi bölgede olduğuna göre değişir. Sebep basit: birim çemberdeki (cos α, sin α) noktasının koordinatları bölgeye göre işaret değiştirir.

İşaret Tablosu

Bölge	Açı	sin	cos	tan	cot
1. bölge	0° – 90°	+	+	+	+
2. bölge	90° – 180°	+	-	-	-
3. bölge	180° – 270°	-	-	+	+
4. bölge	270° – 360°	-	+	-	-

HSTC Hatırlatıcısı

Bölge işaretlerini ezberlemenin en pratik yolu dört harflik bir kısaltmadır: H-S-T-C (Hepsi-Sinüs-Tanjant-Cosinüs). Her harf o bölgede pozitif olan fonksiyonu gösterir.

• 1. bölge → Hepsi pozitif.
• 2. bölge → yalnızca Sinüs (ve kosekant) pozitif.
• 3. bölge → yalnızca Tanjant (ve kotanjant) pozitif.
• 4. bölge → yalnızca Cosinüs (ve sekant) pozitif.

Örnek 6: sin α = 3/5 ve α açısı 2. bölgede ise cos α kaçtır?
Temel özdeşlik: sin² α + cos² α = 1 ⟹ 9/25 + cos² α = 1 ⟹ cos² α = 16/25 ⟹ |cos α| = 4/5. 2. bölgede cos α negatiftir: cos α = -4/5. Bu durumda tan α = (3/5) / (-4/5) = -3/4.

Birim çemberde sinüs ve kosinüs tanımlandıktan sonra geri kalan dört trigonometrik oran bunlardan türetilir.

Tanjant ve Kotanjant

• tan α = sin α / cos α (cos α ≠ 0 koşuluyla).
• cot α = cos α / sin α (sin α ≠ 0 koşuluyla).
• Çarpımları: tan α · cot α = 1 (ikisi birbirinin çarpımsal tersidir).

Tanjant Ekseni

Birim çemberin (1, 0) noktasından x eksenine dik bir doğru çizilirse, bu doğruya tanjant ekseni denir. Herhangi bir α açısı için, α'nın kenarı (gerekirse uzatılarak) tanjant ekseni üzerinde bir nokta kesiyor: bu noktanın ordinatı tan α'ya eşittir.

Geometrik sonuç: tan α, α açısının eğim tanjantıdır. Bir doğrunun pozitif x ekseniyle yaptığı açı α ise, doğrunun eğimi m = tan α olur. Bu bağlantı geometri sorularında çok kullanılır.

Kotanjant Ekseni

Birim çemberin (0, 1) noktasından y eksenine dik bir doğru çizilirse buna kotanjant ekseni denir. α'nın kenarının bu doğruyu kestiği noktanın apsisi cot α'ya eşittir.

Sekant ve Kosekant

• sec α = 1 / cos α (cos α ≠ 0).
• csc α = 1 / sin α (sin α ≠ 0).

Türevlenen Özdeşlikler

sin² α + cos² α = 1 eşitliğinin iki yanını cos² α veya sin² α'ya bölerek iki yeni özdeşlik elde ederiz:

• cos² α ≠ 0 ise: (sin² α / cos² α) + 1 = 1 / cos² α ⟹ tan² α + 1 = sec² α.
• sin² α ≠ 0 ise: 1 + (cos² α / sin² α) = 1 / sin² α ⟹ 1 + cot² α = csc² α.

Dik Üçgende Oranlar

α dar açılı bir dik üçgende (birim çemberin tersinden bir bakış) oranlar:

• sin α = karşı dik kenar / hipotenüs
• cos α = komşu dik kenar / hipotenüs
• tan α = karşı dik kenar / komşu dik kenar
• cot α = komşu dik kenar / karşı dik kenar

Örnek 7: Bir dar açılı α için tan α = 3/4 verilmiş. sin α ve cos α kaçtır?
Karşı = 3k, komşu = 4k biçiminde bir dik üçgen düşünelim (k pozitif sabit). Pisagor: hipotenüs = √(9k² + 16k²) = 5k. Buna göre sin α = 3/5, cos α = 4/5. Kontrol: sin² α + cos² α = 9/25 + 16/25 = 1 ✓.

Trigonometrik fonksiyonların iki önemli cebirsel özelliği vardır: simetri davranışı (tek/çift olma) ve düzenli tekrar etme (periyot).

Tek ve Çift Fonksiyonlar

Bir f fonksiyonu için f(-x) = f(x) ise fonksiyon çift, f(-x) = -f(x) ise tektir. Trigonometrik fonksiyonların davranışı:

• sin(-α) = -sin α → sinüs tek fonksiyondur. Grafiği orijine göre simetriktir.
• cos(-α) = cos α → kosinüs çift fonksiyondur. Grafiği y eksenine göre simetriktir.
• tan(-α) = -tan α → tanjant tek.
• cot(-α) = -cot α → kotanjant tek.

Geometrik gerekçe: birim çemberde α ve -α açılarının P noktaları x eksenine göre simetriktir. Apsisler (cos α) aynı, ordinatlar (sin α) ters işaretli olur.

Periyot

f(α + T) = f(α) eşitliğini sağlayan en küçük pozitif T sayısı f'nin periyodudur.

• sin α ve cos α fonksiyonlarının periyodu 2π (360°).
• tan α ve cot α fonksiyonlarının periyodu π (180°).

Periyodun doğrudan sonucu: sin(α + 360°) = sin α, cos(α + 720°) = cos α, tan(α + 180°) = tan α, sin(1080°) = sin 0° = 0 gibi hesaplamalar birkaç adımda sonuçlanır.

Bileşik Fonksiyonlarda Periyot

• f(x) = sin(bx) biçimindeki fonksiyonun periyodu 2π / |b|. Örnek: sin(3x) periyot = 2π/3.
• f(x) = tan(bx) biçimindeki fonksiyonun periyodu π / |b|. Örnek: tan(5x) periyot = π/5.

Örnek 8: f(x) = 2·sin(4x - π/3) + 1 fonksiyonunun periyodunu bul.
Periyotta yalnızca sin(...) içindeki x katsayısı etkilidir; sabit katsayılar, faz kaydırma ve dikey ötelemeler periyodu değiştirmez. b = 4 olduğundan periyot = 2π/4 = π/2.

Görüntü Aralıkları

• sin α ∈ [-1, 1] ve cos α ∈ [-1, 1] her reel α için.
• tan α ∈ ℝ, tanım kümesi: {α : cos α ≠ 0, yani α ≠ π/2 + kπ}.
• cot α ∈ ℝ, tanım kümesi: {α : sin α ≠ 0, yani α ≠ kπ}.
• sec α ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞), csc α ∈ (-∞, -1] ∪ [1, ∞).

90°'den büyük açıların trigonometrik değerlerini doğrudan ezberlemek yerine, bu açıları dar bir açının (0° ile 90° arası) cinsinden yazmak çok daha pratiktir. Bu işleme indirgeme denir.

180° ± x İndirgemeleri (2. ve 3. Bölge)

• sin(180° - x) = sin x,    cos(180° - x) = -cos x,    tan(180° - x) = -tan x
• sin(180° + x) = -sin x,   cos(180° + x) = -cos x,   tan(180° + x) = tan x

360° ± x (veya -x) İndirgemeleri (4. Bölge)

• sin(360° - x) = -sin x,   cos(360° - x) = cos x,   tan(360° - x) = -tan x
• sin(-x) = -sin x,                cos(-x) = cos x,          tan(-x) = -tan x

90° ± x İndirgemeleri (Tümleyen ve Bütünleyen)

• sin(90° - x) = cos x,    cos(90° - x) = sin x,    tan(90° - x) = cot x
• sin(90° + x) = cos x,    cos(90° + x) = -sin x,   tan(90° + x) = -cot x

270° ± x İndirgemeleri

• sin(270° - x) = -cos x,   cos(270° - x) = -sin x
• sin(270° + x) = -cos x,   cos(270° + x) = sin x

Pratik Kural

Tüm indirgemeleri ezberlemek yerine iki adımlı bir pratik kural kullanılır:

1. Fonksiyon korunur mu, yoksa eşleniğe mi döner? 180° ve 360° ile ilgili indirgemelerde fonksiyon aynı kalır; 90° ve 270° ile ilgili olanlarda sinüs ↔ kosinüs, tanjant ↔ kotanjant takası olur.
2. İşaret ne olur? Açının bulunduğu bölgede orijinal fonksiyonun işareti nedir? HSTC kuralına göre karar verilir.

Örnek 9: cos 120° değerini indirgeyerek bul.
120° = 180° - 60°. cos(180° - x) = -cos x olduğundan cos 120° = -cos 60° = -1/2. Kontrol: 120° 2. bölgededir, kosinüs 2. bölgede negatiftir ✓.

Örnek 10: sin 210° değerini bul.
210° = 180° + 30°. sin(180° + x) = -sin x olduğundan sin 210° = -sin 30° = -1/2. Kontrol: 210° 3. bölgededir, sinüs 3. bölgede negatiftir ✓.

Örnek 11: tan 315° değerini bul.
315° = 360° - 45°. tan(360° - x) = -tan x olduğundan tan 315° = -tan 45° = -1.

Örnek 12: sin(-π/3) değerini bul.
sin tek fonksiyondur: sin(-π/3) = -sin(π/3) = -sin 60° = -√3/2.

İki açının toplamı belirli bir sabite (90° veya 180°) eşitse, bu açıların trigonometrik oranları arasında basit dönüşüm ilişkileri vardır. Bu ilişkilere özdeşlikler denir ve sıkça kısa yol olarak kullanılır.

Tümleyen Açılar (Toplam = 90°)

x + y = 90° ise x ile y tümleyen açılardır. Özdeşlikler:

• sin(90° - x) = cos x ve cos(90° - x) = sin x
• tan(90° - x) = cot x ve cot(90° - x) = tan x
• sec(90° - x) = csc x ve csc(90° - x) = sec x

Örnek: sin 70° = cos 20°, tan 80° = cot 10°. Bu özellik "trigonometrik ifadenin adını, co-eşleniği olan ifadenin aynı açıdaki değerine çevir" biçiminde okunabilir.

Bütünleyen Açılar (Toplam = 180°)

x + y = 180° ise x ile y bütünleyen açılardır. Özdeşlikler:

• sin(180° - x) = sin x (aynı işaret, aynı fonksiyon)
• cos(180° - x) = -cos x
• tan(180° - x) = -tan x

Özellikle sinüs için bu özellik, bir üçgenin iç açılar toplamının 180° olmasıyla birleşince önemli sonuçlar üretir. Bir ABC üçgeninde A + B + C = 180° olduğundan A = 180° - (B + C) ve sin A = sin(B + C). Bu eşitlik sinüs teoreminde sık sık karşımıza çıkar.

Periyot İlişkili Özdeşlikler

• sin(x + 360°) = sin x, cos(x + 360°) = cos x
• sin(x + 180°) = -sin x, cos(x + 180°) = -cos x
• tan(x + 180°) = tan x, cot(x + 180°) = cot x

Örnek 13: sin 100° + sin 80° toplamını hesapla.
100° = 180° - 80° olduğundan sin 100° = sin 80°. Bu durumda toplam = 2 · sin 80°.

Örnek 14: cos 120° · cos 240° çarpımını hesapla.
120° = 180° - 60°, cos 120° = -cos 60° = -1/2. 240° = 180° + 60°, cos 240° = -cos 60° = -1/2. Çarpım = (-1/2)(-1/2) = 1/4.

Kosinüs teoremi, bir üçgenin bilinen iki kenarı ile aralarındaki açıdan üçüncü kenarı; ya da üç kenardan herhangi bir iç açıyı bulmayı sağlar. Pisagor teoreminin genelleştirilmiş hâlidir.

Teorem

Bir ABC üçgeninde kenarlar karşı köşelere göre adlandırılırsa (a = BC, b = AC, c = AB) ve iç açılar karşı kenarlara göre adlandırılırsa:

• a² = b² + c² - 2bc · cos A
• b² = a² + c² - 2ac · cos B
• c² = a² + b² - 2ab · cos C

Sözlü ifade: "Bir kenarın karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamından, bu kenarların çarpımının karşıdaki açının kosinüsü ile iki katının çıkarılmasıyla bulunur."

Özel Durum: Pisagor Teoremi

C = 90° için cos 90° = 0. Bu durumda c² = a² + b² formülü doğrudan Pisagor teoremidir. Yani kosinüs teoremi, Pisagor'un dar açı ve geniş açı üçgenlere genelleştirilmiş hâlidir.

Açı Tipine Göre Yorum

• C dar açı (C < 90°, cos C > 0) → 2ab · cos C pozitiftir, c² = a² + b² - (+) ⟹ c² < a² + b².
• C dik açı (C = 90°) → cos C = 0, c² = a² + b².
• C geniş açı (C > 90°, cos C < 0) → 2ab · cos C negatiftir, c² = a² + b² - (-) = a² + b² + |...| ⟹ c² > a² + b².

Örnek 15 (iki kenar + arasındaki açı): Bir ABC üçgeninde b = 8, c = 7 ve A = 60°. a kenarını bul.
a² = 8² + 7² - 2 · 8 · 7 · cos 60° = 64 + 49 - 112 · (1/2) = 113 - 56 = 57. Dolayısıyla a = √57.

Örnek 16 (üç kenar + açı): Kenarları a = 7, b = 5, c = 3 olan üçgende A açısını bul.
a² = b² + c² - 2bc · cos A ⟹ 49 = 25 + 9 - 30 · cos A ⟹ 49 = 34 - 30 · cos A ⟹ 30 · cos A = -15 ⟹ cos A = -1/2. Bu da A = 120° demektir (2. bölgede, kosinüs -1/2).

Sinüs teoremi, bir üçgenin kenarları ile karşı açılarının sinüsleri arasındaki oranın sabit olduğunu söyler. Bu sabit, üçgenin çevrel çemberinin çapıdır.

Teorem

Bir ABC üçgeninde kenarlar a, b, c ve karşı açılar A, B, C ise:

• a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
• R: üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı.

Sözlü ifade: "Her kenarın karşısındaki açının sinüsüne oranı sabittir ve bu sabit, çevrel çemberin çapına eşittir."

Kullanım Senaryoları

1. Bir kenar + karşı açı + ikinci bir açı verilmiş: Diğer kenar hesaplanır.
2. Bir kenar + karşı açı verilmiş: Çevrel çember yarıçapı (R) bulunur.
3. İki kenar + birinin karşı açısı verilmiş: Diğer açının sinüsü hesaplanır (iki çözüm olasılığı vardır; kenar-açı-açı olayı).

Örnek 17 (kenar + iki açı): ABC üçgeninde a = 10, A = 30°, B = 45°. b kenarını bul.
a / sin A = b / sin B ⟹ 10 / sin 30° = b / sin 45° ⟹ 10 / (1/2) = b / (√2/2) ⟹ 20 = b / (√2/2) ⟹ b = 20 · √2/2 = 10√2.

Örnek 18 (çevrel çember): ABC üçgeninde a = 12 ve A = 30°. Çevrel çemberin yarıçapı kaçtır?
a / sin A = 2R ⟹ 12 / sin 30° = 2R ⟹ 12 / (1/2) = 24 = 2R. Buradan R = 12.

Alan Formülü — Trigonometrik Versiyon

Sinüs teoremi, üçgen alanını bulmak için taban-yükseklik formülüne alternatif güçlü bir yaklaşım sağlar.

• Alan(ABC) = (1/2) · b · c · sin A
• Alan(ABC) = (1/2) · a · c · sin B
• Alan(ABC) = (1/2) · a · b · sin C

Kural: "İki kenar ile aralarındaki açının sinüsü çarpılıp ikiye bölünür." Bu formül iki kenar ve arasındaki açı veri olarak verildiğinde alan bulmanın en hızlı yoludur.

Örnek 19 (trigonometrik alan): ABC üçgeninde a = 6, b = 8 ve C = 30°. Alanı bul.
Alan = (1/2) · 6 · 8 · sin 30° = (1/2) · 48 · (1/2) = 12 birim².

Örnek 20 (kombinasyon): ABC üçgeninde a = 4, b = 5, c = 6 verilsin. Alanı ve C açısının sinüsünü bul.
Önce C açısı için kosinüs teoremi: c² = a² + b² - 2ab · cos C ⟹ 36 = 16 + 25 - 40 · cos C ⟹ 40 · cos C = 5 ⟹ cos C = 1/8. sin² C = 1 - 1/64 = 63/64 ⟹ sin C = √63/8 = 3√7/8 (C üçgenin iç açısıdır, sin C > 0). Alan = (1/2) · 4 · 5 · (3√7/8) = 20 · 3√7 / 16 = 15√7/4 birim².

AYT'nin klasik sorularından biri, a·sin x + b·cos x biçimindeki bir ifadenin alabileceği en büyük ve en küçük değeri sormaktır. Burada en sık yapılan hata, sin x ve cos x için ayrı ayrı uç değer seçmektir; bu yanlıştır çünkü x her iki fonksiyonda ortak değişkendir.

Altın Kural

a·sin x + b·cos x ifadesinin alabileceği değerler:

• En büyük değer: +√(a² + b²)
• En küçük değer: -√(a² + b²)
• Değer aralığı: [-√(a² + b²), +√(a² + b²)]

Gerekçe: a·sin x + b·cos x ifadesi R·sin(x + φ) biçiminde tek bir sinüs ifadesine çevrilebilir. Burada R = √(a² + b²). sin(x + φ) ∈ [-1, 1] olduğundan ifade ±R arasında değer alır.

Önemli Koşul

Bu kural yalnızca x açısı her iki fonksiyonda aynıysa geçerlidir. Açılar farklı olduğunda (sin x ve cos y gibi) iki ifade birbirinden bağımsız hareket eder ve toplam katsayılara göre genişletilir.

Açıları Farklı Olduğunda

Örnek bir ifade: a·sin x + b·cos y, x ≠ y.
Bu durumda sin x ∈ [-1, 1] ve cos y ∈ [-1, 1] bağımsızdır. a·sin x ∈ [-|a|, +|a|] ve b·cos y ∈ [-|b|, +|b|]; dolayısıyla toplam [-(|a|+|b|), +(|a|+|b|)] aralığında değer alır.

Örnek 21 (aynı açı): 5·sin x - 12·cos x ifadesinin alabileceği kaç farklı tam sayı değeri vardır?
Aynı x açısı olduğundan altın kuralı uygularız: R = √(5² + (-12)²) = √(25 + 144) = √169 = 13. Değer aralığı [-13, +13]. Bu aralıkta -13'ten +13'e kadar 27 farklı tam sayı vardır: 27.

Örnek 22 (farklı açı): f = 4·sin x - 5·cos(7y) + 2 ifadesinin değer aralığı nedir?
sin x ∈ [-1, 1] ⟹ 4·sin x ∈ [-4, 4]. cos(7y) ∈ [-1, 1] ⟹ -5·cos(7y) ∈ [-5, 5]. Toplam (sabit +2 ile): [-4 - 5 + 2, 4 + 5 + 2] = [-7, 11].

Örnek 23 (aynı açı, faz değiştirmeden): a = sin x + √3·cos x ifadesinin en büyük ve en küçük değerini bul.
R = √(1² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2. En büyük +2, en küçük -2. İfadenin açık hâli 2·sin(x + π/3) yazılabilir.

Trigonometrik fonksiyonlar periyodik olduğu için tüm tanım kümesinde birebir değildir; dolayısıyla tüm düzleme doğrudan ters fonksiyon tanımlamak mümkün değildir. Bu sorunu aşmak için fonksiyonlar birebir oldukları bir aralığa kısıtlanır, sonra ters fonksiyon tanımlanır. Elde edilen ters fonksiyonlara arcsin, arccos, arctan denir ve sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ olarak da gösterilir.

arcsin (ters sinüs)

• Tanım aralığı: x ∈ [-1, 1]
• Görüntü aralığı: y ∈ [-π/2, π/2]
• arcsin(x) = y ⟺ sin(y) = x ve y ∈ [-π/2, π/2]

Örnekler: arcsin(1/2) = π/6 = 30°. arcsin(0) = 0. arcsin(-1) = -π/2. arcsin(√2/2) = π/4.

arccos (ters kosinüs)

• Tanım aralığı: x ∈ [-1, 1]
• Görüntü aralığı: y ∈ [0, π]
• arccos(x) = y ⟺ cos(y) = x ve y ∈ [0, π]

Örnekler: arccos(1) = 0. arccos(0) = π/2 = 90°. arccos(-1/2) = 2π/3 = 120° (ikinci bölge). arccos(-1) = π.

arctan (ters tanjant)

• Tanım aralığı: x ∈ ℝ
• Görüntü aralığı: y ∈ (-π/2, π/2) (açık aralık)
• arctan(x) = y ⟺ tan(y) = x ve y ∈ (-π/2, π/2)

Örnekler: arctan(1) = π/4. arctan(0) = 0. arctan(√3) = π/3. arctan(-1) = -π/4.

Birleşik Özdeşlikler

• sin(arcsin x) = x, her x ∈ [-1, 1].
• arcsin(sin x) = x, ancak x ∈ [-π/2, π/2] olduğunda. Dışında dikkatli dönüşüm gerekir.
• arcsin x + arccos x = π/2, her x ∈ [-1, 1].

Örnek 24: arccos(-√3/2) değerini bul.
cos θ = -√3/2 ve θ ∈ [0, π] olmalı. İkinci bölgede cos -√3/2'ye karşılık gelen açı 150° (= 5π/6). Cevap: arccos(-√3/2) = 5π/6.

Örnek 25: tan(arcsin(3/5)) ifadesini bul.
θ = arcsin(3/5) dersek sin θ = 3/5 ve θ ∈ [-π/2, π/2], yani cos θ ≥ 0. Pisagor'dan cos θ = 4/5. tan θ = sin θ / cos θ = (3/5) / (4/5) = 3/4.

Konuyu özümsemenin en iyi yolu uygulamadır. Aşağıdaki örnekler AYT Matematikte trigonometrinin tipik kurgularını yansıtır. Her örneği önce kendiniz deneyin, sonra çözümle karşılaştırın.

Örnek 26 — Özel Açı + İndirgeme

sin 150° · cos 240° + tan 135° · cot 150° ifadesinin değerini bul.

Çözüm:
sin 150° = sin(180° - 30°) = sin 30° = 1/2.
cos 240° = cos(180° + 60°) = -cos 60° = -1/2.
tan 135° = tan(180° - 45°) = -tan 45° = -1.
cot 150° = cot(180° - 30°) = -cot 30° = -√3.
İfade = (1/2)(-1/2) + (-1)(-√3) = -1/4 + √3 = √3 - 1/4.

Örnek 27 — Temel Özdeşlik Uygulaması

cos α - sin α = 1/2 olduğuna göre sin 2α = 2·sin α·cos α kaçtır? (α dar açı)

Çözüm: Her iki tarafın karesini alalım: (cos α - sin α)² = 1/4 ⟹ cos² α - 2·sin α·cos α + sin² α = 1/4. Temel özdeşlikten cos² α + sin² α = 1, dolayısıyla 1 - 2·sin α·cos α = 1/4 ⟹ 2·sin α·cos α = 3/4. Cevap: sin 2α = 3/4.

Örnek 28 — Dik Üçgen Yaklaşımı

cot α = 12/5 olduğuna göre sin α + cos α değeri nedir? (α dar açı)

Çözüm: cot α = komşu/karşı = 12/5. Karşı = 5k, komşu = 12k alırsak hipotenüs = √(25k² + 144k²) = 13k. α dar açı olduğundan her iki oran pozitif: sin α = 5/13, cos α = 12/13. Toplam: 5/13 + 12/13 = 17/13.

Örnek 29 — a·sin + b·cos Uç Değeri

f(x) = 3·sin x + 4·cos x fonksiyonunun alabileceği en büyük değer kaçtır?

Çözüm: Açılar aynı olduğu için altın kural: R = √(9 + 16) = √25 = 5. En büyük değer 5, en küçük değer -5.

Örnek 30 — Sinüs Teoremi + Alan

ABC üçgeninde a = 10, B = 45°, C = 60° verilmiş. Üçgenin alanını bul.

Çözüm:
A = 180° - 45° - 60° = 75°.
Sinüs teoremi: b / sin B = a / sin A ⟹ b = 10 · sin 45° / sin 75°. sin 75° için sin(45° + 30°) açılım formülü gereklidir (Trigonometri II konusu); ama alan formülüyle doğrudan yaklaşabiliriz.
Alan bulmak için (1/2) · a · c · sin B formülünü kullanalım. Önce c kenarı: c / sin C = a / sin A ⟹ c = 10 · sin 60° / sin 75°.
sin 75° = sin(45° + 30°) = sin 45° · cos 30° + cos 45° · sin 30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4.
c = 10 · (√3/2) / ((√6 + √2)/4) = 10 · (√3/2) · (4/(√6 + √2)) = 20√3 / (√6 + √2). Paydayı rasyonelleştir: 20√3 · (√6 - √2) / ((√6)² - (√2)²) = 20√3(√6 - √2) / 4 = 5√3(√6 - √2) = 5(√18 - √6) = 5(3√2 - √6) = 15√2 - 5√6.
Alan = (1/2) · a · c · sin B = (1/2) · 10 · (15√2 - 5√6) · (√2/2) = (5/2)(√2)(15√2 - 5√6) = (5/2)(15 · 2 - 5√12) = (5/2)(30 - 10√3) = 75 - 25√3 birim².

Örnek 31 — Bölge + Temel Özdeşlik

sin x = -3/5 ve x açısı 3. bölgede ise cos x + tan x toplamı kaçtır?

Çözüm: sin² x + cos² x = 1 ⟹ 9/25 + cos² x = 1 ⟹ cos² x = 16/25 ⟹ |cos x| = 4/5. 3. bölgede cos x negatiftir: cos x = -4/5. tan x = sin x / cos x = (-3/5) / (-4/5) = 3/4. Toplam: -4/5 + 3/4 = -16/20 + 15/20 = -1/20.

Örnek 32 — Radyan-Derece Karışık

α = 7π/6 radyan ise sin α + cos α kaçtır?

Çözüm: 7π/6 = 180° + 30° = 210° (3. bölge). sin 210° = -sin 30° = -1/2. cos 210° = -cos 30° = -√3/2. Toplam: -1/2 - √3/2 = -(1 + √3)/2.

Örnek 33 — Tümleyen Özdeşliği

sin 20° · cos 70° + cos 20° · sin 70° ifadesinin değeri nedir?

Çözüm: 70° = 90° - 20° olduğundan cos 70° = sin 20° ve sin 70° = cos 20°. İfade = sin 20° · sin 20° + cos 20° · cos 20° = sin² 20° + cos² 20° = 1.

Trigonometri I, trigonometrinin omurgasını kurar. Birim çember üzerinden doğan altı temel oran, özel açı değerleri, bölge işaretleri ve indirgeme formülleri bu bölümde sağlamca oturmadan Trigonometri II (toplam-fark formülleri, yarım açı, denklemler) ve kalkülüs konularına (limit, türev, integral) geçmek çok zorlaşır.

Sınav Stratejisi

• Zihinsel şema çiz: Her soruda birim çemberin dört bölgesini hızla zihnen çizip açının hangi bölgede olduğunu işaretleyin. Bu, işaret hatalarını %90 azaltır.
• Özel açıları refleks hâline getir: 30-45-60 değerleri, 0-90-180-270 eksen değerleri birkaç saniyede hatırlanmalı. Sınavda kök hesaplamak için zaman kaybı kritik.
• İndirgeme yapmayı alışkanlık edin: 150°, 210°, 300° gibi geniş açılar gördüğünüzde hemen dar açı karşılığını ve işaretini yazın.
• Radyan-derece karıştırma: Soru hangi birimi kullanıyorsa cevabı da o birimle yazın; π/6 ile 30° aynı şeyi ifade etse de karışıklık yaratmamalı.
• Dik üçgen kur: Bir trigonometrik oran verildiğinde Pisagor ile diğer oranları tek dik üçgen çizimiyle çıkarın; algoritmik denklem çözmekten hızlıdır.
• Uç değer sorularında formül: a·sin x + b·cos x görünce R = √(a² + b²) refleksini geçiştirmeyin; bu tipte yanlış yaklaşım çok puan kaybettirir.

Trigonometri II'ye Köprü

Bu bölüm tamamlandığında sıradaki adımlar şunlardır: toplam-fark formülleri (sin(A + B), cos(A - B)), yarım açı ve iki kat açı formülleri (sin 2α, cos 2α), trigonometrik denklemler (sin x = 1/2'nin tüm çözümleri), toplam-çarpım dönüşümleri ve grafik inceleme. Tüm bu başlıklar Trigonometri I'deki tanımları sağlamca bilen birine doğal bir devam olarak gelir.

Son söz: trigonometri ezber değil, geometri sezgisidir. Her formül birim çemberden ya da dik üçgenden türetilebilir. Formül unutulduğunda çemberi çizip türetmeyi tercih edin; bu yöntem hem güvenli hem de kalıcıdır.