Eşitsizlikler

Aralarında büyüklük-küçüklük bağıntısı bulunan iki cebirsel ifadenin gösterimine eşitsizlik denir. Eşitliğin yerini dört işaretten biri alır: < (küçüktür), > (büyüktür), ≤ (küçük eşittir), ≥ (büyük eşittir). Eşitsizliğin doğru kaldığı bütün x değerlerinin kümesine eşitsizliğin çözüm kümesi denir.

Eşitsizlik İşlemlerinde Yönün Davranışı

Eşitsizliklerde her işlemin iki tarafa eşit uygulanması gerekir; ancak bazı işlemler yönü değiştirir. Bu kurallar sınav sorularında en çok hata yapılan noktadır.

İşlem	Yön	Örnek
Aynı sayıyı ekle / çıkar	Değişmez	x < 5 ⟹ x + 3 < 8
Pozitif sayıyla çarp / böl	Değişmez	x < 5 ⟹ 2x < 10
Negatif sayıyla çarp / böl	Tersine döner	x < 5 ⟹ -2x > -10
Ters alma (pozitiflerde)	Tersine döner	2 < 5 ⟹ 1/2 > 1/5

1. Dereceden Eşitsizlikler

ax + b > 0 biçimindeki eşitsizlikler 1. dereceden sayılır. Çözümü doğrudan cebirsel işlemle yapılır:

• 2x - 6 > 0 ⟹ 2x > 6 ⟹ x > 3. Çözüm: x ∈ (3, ∞).
• -3x + 9 < 0 ⟹ -3x < -9. İki tarafı -3 ile bölünce yön döner: x > 3. Çözüm: x ∈ (3, ∞).
• 5 - x ≤ 2 ⟹ -x ≤ -3 ⟹ x ≥ 3. Çözüm: x ∈ [3, ∞).

1. dereceden eşitsizliklerde genellikle işaret tablosuna gerek yoktur; ancak konunun mantığını pekiştirmek için tablo yöntemi de uygulanabilir. ax + b = 0 kökünü bul, kökün solunda ve sağında baş katsayının işaretine göre artı-eksi belirle; istenen aralığı yaz.

Sayı Doğrusunda Gösterim

Çözüm kümesi sayı doğrusu üzerinde gösterildiğinde eşitliğin dahil olup olmaması nokta biçimiyle ifade edilir:

• Açık (içi boş) nokta: Sınır değer dahil değil. (< veya > eşitsizliklerinde).
• Kapalı (içi dolu) nokta: Sınır değer dahil. (≤ veya ≥ eşitsizliklerinde).

İşaret tablosu, polinom ve rasyonel eşitsizliklerin çözümündeki en güçlü araçtır. Tablo, fonksiyonun farklı x aralıklarında hangi işareti (+ veya -) aldığını görselleştirir ve eşitsizliğin istenen aralıklarını tek bakışta okutur.

Tablo Kurma Adımları

1. Bir tarafı sıfır yap: Eşitsizliği f(x) > 0, f(x) ≥ 0, f(x) < 0, f(x) ≤ 0 biçimine getir.
2. Çarpanlara ayır: f(x)’i mümkün olduğunca sade çarpanlara böl.
3. Kökleri bul: Her çarpanın sıfır olduğu x değerini hesapla.
4. Kökleri sırala: Küçükten büyüğe doğru sayı doğrusuna yerleştir.
5. İşaret koy: En sağdan başla, baş katsayıların çarpımının işareti ile başla; her kökte tek katlıysa işareti değiştir, çift katlıysa değiştirme.
6. Aralığı oku: Sorunun istediği işarete (> 0, ≤ 0 gibi) göre çözüm aralığını yaz.

Köklerin İçi: Dolu mu Boş mu?

Kökün içinin dolu veya boş olması eşitsizlikte eşitlik bulunup bulunmamasına göre değişir. Ayrıca rasyonel ifadelerde pay-payda ayrımı belirleyicidir.

Durum	Pay kökü	Payda kökü
> 0 veya < 0 (eşitlik yok)	İçi boş, dahil değil	İçi boş, dahil değil
≥ 0 veya ≤ 0 (eşitlik var)	İçi dolu, dahil	İçi yine boş, tanımsız

Payda sıfır olduğunda ifade tanımsız olduğu için eşitlik var bile olsa payda kökleri çözüm kümesine asla dahil edilmez. Bu, rasyonel eşitsizlik sorularının en sık hata kaynağıdır.

Tek Katlı — Çift Katlı Kök

• Tek katlı kök: Çarpanın kuvveti tek sayıdır. (x - 2), (x - 3)³, (x + 1)⁵ … İşaret tablosunda kökten geçerken işaret değişir.
• Çift katlı kök: Çarpanın kuvveti çift sayıdır. (x - 2)², (x + 1)⁴, (x - 5)⁶ … İşaret tablosunda kökten geçerken işaret değişmez.

Aynı kök birden fazla çarpandan geliyorsa (x - 2)(x - 2) = (x - 2)² gibi, kuvvetler birleşip toplanır. İki tek katlı çarpan aynı kökte birleşirse çift katlıya dönüşür.

Basit Örnek

f(x) = (x - 1)(x + 2) ifadesinin işaret tablosunu kuralım.

• Kökler: x = 1 ve x = -2. Her ikisi de tek katlı.
• Baş katsayı: 1 · 1 = +1. En sağdan (+) ile başla.
• x > 1: (+). x = 1’den geç, tek katlı ⟹ (-). x = -2’den geç, tek katlı ⟹ (+).
• Sonuç: (-∞, -2) aralığında +, (-2, 1) aralığında -, (1, ∞) aralığında +.

f(x) < 0 eşitsizliği için çözüm x ∈ (-2, 1); f(x) > 0 için çözüm x ∈ (-∞, -2) ∪ (1, ∞).

ax² + bx + c ∼ 0 biçimindeki eşitsizlikler AYT’deki en klasik eşitsizlik başlığıdır. Çözüm, Δ = b² - 4ac diskriminantı ve a katsayısının işareti etrafında şekillenir. Altı farklı durum vardır ve her biri farklı çözüm kümesi üretir.

Altı Durumun Özeti

Durum	a işareti	Δ	İşaret Dağılımı
1	+	> 0	Kökler dışı (+), arası (-)
2	+	= 0	Tek kök hariç her yer (+); kökte 0
3	+	< 0	Her yer (+); daima pozitif
4	-	> 0	Kökler dışı (-), arası (+)
5	-	= 0	Tek kök hariç her yer (-); kökte 0
6	-	< 0	Her yer (-); daima negatif

Çözülmüş Örnek: x² - 2x - 8 < 0

Çözüm adımları:

• Çarpanlara ayır: x² - 2x - 8 = (x - 4)(x + 2). Kökler x = 4 ve x = -2.
• a = 1 > 0, Δ = 4 + 32 = 36 > 0 ⟹ Durum 1 (kollar yukarı, iki reel kök).
• İşaret tablosu en sağdan (+), x = 4 tek katlı ⟹ (-), x = -2 tek katlı ⟹ (+).
• < 0 aralığı, yani (-) olan aralık: x ∈ (-2, 4).

Kontrol: x = 0 değerini orijinal ifadeye koyarsak 0 - 0 - 8 = -8 < 0 ✓. Çözüm kümesi içinden bir değerin gerçekten eşitsizliği sağlaması cevabı doğrular.

Çözülmüş Örnek: x² + 4x + 7 > 0 (Daima Pozitif)

• Çarpanlara ayrılmıyor. Δ = 16 - 28 = -12 < 0. Reel kök yok.
• a = 1 > 0, Δ < 0 ⟹ Durum 3. Parabol her x için x-eksenin üstünde.
• İfade her zaman pozitif; > 0 eşitsizliği her x için sağlanır.
• Çözüm kümesi: ℝ (tüm reel sayılar).

Çözülmüş Örnek: (x - 3)² ≤ 0 (Tuzak Soru)

• (x - 3)² ifadesi daima sıfır veya pozitiftir; çift katlı kök yapısı.
• ≤ 0 koşulu yalnızca ifadenin 0 olduğu noktada sağlanır: x = 3.
• Çözüm kümesi: {3}. Tek elemanlı küme.

Eğer eşitsizlik (x - 3)² < 0 olsaydı çözüm kümesi boş küme olurdu; çünkü hiçbir reel x için bu sağlanmaz.

Üçüncü ve daha yüksek dereceli polinomların eşitsizlikleri işaret tablosu mantığıyla çözülür. Anahtar adım, polinomu çarpanlara ayırıp her çarpanın kökünü ve kuvvetini belirlemektir.

Çarpım Durumunda Eşitsizlik

f(x) · g(x) · h(x) ∼ 0 biçimindeki eşitsizlikte:

1. Her çarpanı ayrı ayrı sıfıra eşitle, köklerini bul.
2. Kökleri sayı doğrusunda küçükten büyüğe sırala.
3. Her çarpanın baş katsayısının işaretini çarp, en sağdaki işareti elde et.
4. Tek katlı köklerde işaret değiştir, çift katlı köklerde değiştirme.

Çözülmüş Örnek: (x - 1)(x + 3)²(x - 5) ≥ 0

• Kökler: x = 1 (tek katlı), x = -3 (çift katlı), x = 5 (tek katlı).
• Sıralama: -3 < 1 < 5.
• Baş katsayıların çarpımı: 1 · 1 · 1 = 1 (+). En sağdan (+) ile başla.
• x = 5 tek katlı ⟹ (-). x = 1 tek katlı ⟹ (+). x = -3 çift katlı ⟹ (+) (değişmez).
• Aralıklar: (-∞, -3]: (+), [-3, 1]: (+), [1, 5]: (-), [5, ∞): (+).
• ≥ 0 çözümü: (-∞, 1] ∪ [5, ∞); ayrıca x = -3 (çift katlı kök, ifade 0) dahildir ve zaten [-∞, 1] içinde bulunur.

Aynı Kök Birden Fazla Çarpandan Gelirse

(x - 3)² · (x + 2) · (x - 3) biçimindeki bir ifadede (x - 3) çarpanı üç kere yer alır: karesi iki, doğrusalı bir → toplam üç. x = 3, üç katlı yani tek katlı kök gibi davranır (tek sayı). (x - 3)³ yazımı ile eşdeğerdir.

Genel kural: Bir kökün toplam kuvveti tekse tek katlı, çiftse çift katlı gibi davranır. Üstleri toplayarak kontrol etmek güvenli yoldur.

Yüksek Kuvvetlerde Eşitsizlik Davranışı

(x - 2)⁷ · (x + 1)⁴ · (x - 5)³ gibi büyük kuvvetlerde sadece çift-tek ayrımı önemlidir. 7 tek, 4 çift, 3 tek. Çözüm açısından (x - 2)¹ · (x + 1)² · (x - 5)¹ ile aynıdır. Sınavda 2022, 1017 gibi büyük sayılar gördüğünde üstü 2 veya 1 olarak sadeleştir.

Ortak Parantez ile Çarpanlama

x²(x - 3) - (x - 3) < 0 gibi görünüşte karmaşık ifadelerde x - 3 ortak parantezine alınır: (x - 3)(x² - 1) < 0. Sonra x² - 1 iki kare farkıdır: (x - 1)(x + 1). Final çarpanlı form: (x - 3)(x - 1)(x + 1) < 0. Kökler: -1, 1, 3. İşaret tablosu: en sağdan (+), 3’te (-), 1’de (+), -1’de (-).

< 0 çözümü: x ∈ (-∞, -1) ∪ (1, 3).

P(x) / Q(x) ∼ 0 biçimindeki rasyonel eşitsizlikler, polinom eşitsizliklerinin kuzenidir. Tek fark, paydanın sıfır olamayacağı koşuludur. Bu fark çözüm kümesinin sınırlarında belirleyici rol oynar.

Temel Yaklaşım

1. Bir tarafı sıfıra topla; rasyonel ifade tek parça hâline getir.
2. Pay ve paydayı ayrı ayrı çarpanlara ayır.
3. Pay köklerini ve payda köklerini bir arada sıralayarak işaret tablosu kur.
4. Payda köklerinin içi her zaman boş (tanımsızlık); pay köklerinin içi eşitlikte dolu, eşitlik yoksa boş.
5. Baş katsayıların oranı (pay baş katsayısı / payda baş katsayısı) en sağdaki işareti belirler.

Çözülmüş Örnek: (x - 3)/(x + 2) ≥ 0

• Pay kökü: x = 3. Payda kökü: x = -2 (dışlanacak).
• Sıralama: -2 < 3.
• Baş katsayı oranı: 1/1 = +. En sağdan (+) ile başla.
• x = 3 tek katlı ⟹ (-). x = -2 tek katlı ⟹ (+).
• (-∞, -2): (+); (-2, 3): (-); (3, ∞): (+).
• ≥ 0 çözümü: (-∞, -2) ∪ [3, ∞). Sınır olarak x = -2 paydayı sıfır yaptığı için dışlandı; x = 3 payı sıfır yaptığı ve eşitlik bulunduğu için dahil edildi.

Çözülmüş Örnek: (x² - 4)/(x - 1) < 0

• Pay: x² - 4 = (x - 2)(x + 2). Kökler: 2 ve -2.
• Payda: x - 1. Kök: 1 (dışlanacak).
• Sıralama: -2 < 1 < 2.
• Baş katsayı oranı: (1 · 1) / 1 = +. En sağdan (+).
• İşaret: (2, ∞): +; (1, 2): -; (-2, 1): +; (-∞, -2): -.
• < 0 çözümü: (-∞, -2) ∪ (1, 2). Sınırların hiçbiri dahil değil çünkü eşitlik yok ve 1 paydayı sıfır yapıyor.

Payda Köklerinin Kritik Rolü

Payda kökleri çözüm kümesinden daima dışlanır. Bir aralığın sonu paydayı sıfır yapıyorsa köşeli parantez değil açık parantez kullanılır. Bu, "çözüm kümesi verildi, parametre bul" sorularında en önemli ipucudur:

• Eğer çözüm kümesi [a, b) biçimindeyse sol uç a payı sıfır yapar (eşitlik dahil); sağ uç b ya paydayı sıfır yapar ya da eşitlik yoktur.
• Çözüm kümesi (a, b] biçimindeyse sol uç a paydayı sıfır yapar; sağ uç b payı sıfır yapar.

Payda Çift Dereceli ve Hep Pozitifse

(A(x)) / (x - 3)² < 0 tarzı eşitsizliklerde payda (x - 3)² daima pozitiftir (x ≠ 3 için). Bir kesrin negatif olabilmesi için pay negatif olmalıdır. Problem "payı negatif yap" sorusuna indirgenir; ayrıca x = 3 paydayı sıfır yaptığından çözümden dışlanır.

Mutlak değerli eşitsizliklerin çözümü, mutlak değerin her zaman sıfır veya pozitif olma özelliğinden beslenir. Bu özellik, hem işaret tablosunu sadeleştirir hem de bazı sorularda çözümü saniyelere indirir.

Klasik Kurallar

a > 0 ve f(x) reel bir ifade olmak üzere:

• |f(x)| < a ⟺ -a < f(x) < a (aralık yorumu).
• |f(x)| ≤ a ⟺ -a ≤ f(x) ≤ a.
• |f(x)| > a ⟺ f(x) < -a veya f(x) > a (iki ayrı aralık).
• |f(x)| ≥ a ⟺ f(x) ≤ -a veya f(x) ≥ a.

Çözülmüş Örnek: |2x - 1| < 5

• Kuralı uygula: -5 < 2x - 1 < 5.
• Her tarafa +1 ekle: -4 < 2x < 6.
• Her tarafı 2 (pozitif) ile böl: -2 < x < 3.
• Çözüm kümesi: x ∈ (-2, 3).

Çözülmüş Örnek: |x + 3| ≥ 4

• Kuralı uygula: x + 3 ≤ -4 veya x + 3 ≥ 4.
• Birinci: x ≤ -7. İkinci: x ≥ 1.
• Çözüm kümesi: (-∞, -7] ∪ [1, ∞).

Çarpım ve Bölüm İçinde Mutlak Değer

|A(x)| biçimindeki bir ifade işaret tablosunda her zaman pozitif davrandığı için başta çarpan olarak yer aldığında işareti değiştirmez. Bu durumda mutlak değerin içini sıfır yapan değer çift katlı kök gibi işlenir:

Örnek: (x - 1)² · |x + 5| · (x - 3) / x eşitsizliğinin işaret analizinde |x + 5| ifadesi pozitif olduğu için işaret değişimine neden olmaz; yalnızca x = -5 değeri fonksiyonu sıfır yapar. Bu, çift katlı kök yapısıyla eşdeğerdir — x = -5’te işaret değişmez ama eşitlikte değer sıfırdır.

Kurnaz Durum: Payda Daima Pozitifse

(x - 2)² paydada ise aşağı daima pozitif (x = 2 hariç tanımsız). Yukarıda mutlak değerli bir ifade (-x + 1)’in mutlak değeri gibi ise ≥ 0. Sorunun < 0 sonucu istenmesi durumunda payda pozitifken pay negatif olmak zorundadır; ancak mutlak değer negatif olamayacağından mutlak değer - sabit ifadenin < 0 sonucu koşulunu çöz.

Kurnaz Durum: Sağ Taraf Negatif

• |f(x)| < -2 → Çözüm yok. (Mutlak değer negatif olamaz, negatiften küçük de olamaz.)
• |f(x)| > -2 → Tüm reel sayılar. (Mutlak değer her zaman negatiften büyüktür.)
• |f(x)| ≥ 0 → Tüm reel sayılar. (Mutlak değer tanım gereği ≥ 0.)
• |f(x)| ≤ 0 → Yalnızca |f(x)| = 0, yani f(x) = 0. Tek elemanlı çözüm kümesi.

Kareköklü eşitsizlikler tanım koşulu ve kökün negatif olamayacağı kuralıyla çalışır. Bir ifadenin çift dereceli kökü (karekök, dördüncü kök vb.) alınıyorsa içerideki ifade sıfır veya pozitif olmalıdır.

Tanım Koşulu (Ön Şart)

√f(x) ifadesinin reel sayılarda tanımlı olması için f(x) ≥ 0 olmalıdır. Bu ön koşul her zaman ilk adım olarak kurulur ve çözüm kümesiyle kesiştirilir.

• √(x - 2) için: x - 2 ≥ 0 ⟹ x ≥ 2.
• √(5 - x) için: 5 - x ≥ 0 ⟹ x ≤ 5.
• √((x + 1)/(x - 3)) için: (x + 1)/(x - 3) ≥ 0 ve x ≠ 3.

Kökün Sonucu Daima ≥ 0

√f(x) reel bir sayıdır ve daima sıfır ya da pozitiftir. Bu bilgi bazı rasyonel eşitsizliklerde doğrudan sonuç verir:

• √A(x) / B(x) < 0 eşitsizliğinde pay ≥ 0 olduğu için kesrin negatif olması için payda < 0 olmalıdır; ayrıca pay = 0 olduğunda kesir 0 olup eşitsizliği sağlamaz.
• √A(x) / B(x) ≤ 0 eşitsizliğinde pay ≥ 0 olduğundan kesrin ≤ 0 olması için ya pay = 0 (sonuç 0) ya da pay pozitif ve payda negatif olmalıdır.

Genel Çözüm Yöntemi: Kare Alma

√f(x) ≥ g(x) veya √f(x) ≤ g(x) biçimindeki eşitsizliklerde iki tarafın karesini almak isteniyor. Ancak kare alma yalnızca iki taraf da pozitifken eşitsizlik yönünü korur. Bu yüzden aşağıdaki ayrımlar yapılır:

Tip 1: √f(x) ≤ g(x)

• f(x) ≥ 0 (tanım).
• g(x) ≥ 0 (çünkü sol taraf ≥ 0, sağ taraf da ≥ 0 olmak zorunda).
• f(x) ≤ [g(x)]² (kare al, yön değişmez).
• Üç koşulun kesişimi alınır.

Tip 2: √f(x) ≥ g(x)

• f(x) ≥ 0 (tanım).
• Durum A: g(x) < 0 ise eşitsizlik zaten sağlanır (sol taraf ≥ 0 her zaman).
• Durum B: g(x) ≥ 0 ise f(x) ≥ [g(x)]² kare al.
• İki durumun birleşimi çözümü verir.

Çözülmüş Örnek: √(x - 2) ≤ x - 4

• Tanım: x - 2 ≥ 0 ⟹ x ≥ 2.
• Sağ taraf: x - 4 ≥ 0 ⟹ x ≥ 4.
• Kare al: x - 2 ≤ (x - 4)² = x² - 8x + 16.
• 0 ≤ x² - 9x + 18 ⟹ (x - 3)(x - 6) ≥ 0 ⟹ x ≤ 3 veya x ≥ 6.
• Kesişim: (x ≥ 4) ve (x ≤ 3 veya x ≥ 6) = x ≥ 6.
• Çözüm kümesi: [6, ∞).

Kontrol: x = 6 için √4 = 2 ≤ 2 ✓. x = 7 için √5 ≈ 2.24 ≤ 3 ✓. x = 4 için √2 ≈ 1.41 ≤ 0 ✗ — doğru biçimde dışlandı.

Tek Dereceli Kök İstisnası

Üçüncü kök (³√), beşinci kök (⁵√) gibi tek dereceli köklerde içerideki ifade negatif de olabilir; tanım koşulu yoktur. ³√(f(x)) ile f(x) eşitsizlik açısından aynı işareti taşır. Bu yüzden tek dereceli köklerde kökü yok sayıp doğrudan içerisiyle işlem yapılabilir.

Üslü ve logaritmik eşitsizlikler tabanın 1’den büyük mü küçük mü olduğuna göre yön davranışı değiştirir. Bu ayrım doğru yapılmadığında eşitsizlik tersine döner ve yanlış çözüme ulaşılır.

Üslü Eşitsizlik Temel Kuralı

Tabanlar eşitlendikten sonra:

• Taban > 1: Kuvvet büyüdükçe sayı büyür. Üsler arasına aynı yön yazılır. Örnek: 3^A < 3^B ⟺ A < B.
• 0 < Taban < 1: Kuvvet büyüdükçe sayı küçülür. Üsler arasına ters yön yazılır. Örnek: (1/2)^A < (1/2)^B ⟺ A > B.

Çözülmüş Örnek: 2^(x² - 3x) ≤ 2^(-2)

• Taban 2 > 1 ⟹ aynı yön: x² - 3x ≤ -2.
• x² - 3x + 2 ≤ 0 ⟹ (x - 1)(x - 2) ≤ 0.
• Kökler: 1 ve 2. a = 1 > 0, kökler arasında negatif.
• Çözüm: x ∈ [1, 2].

Çözülmüş Örnek: (1/3)^(x + 1) > (1/3)^(2x - 5)

• Taban 1/3, yani 0 < 1/3 < 1 ⟹ yön ters çevrilir: x + 1 < 2x - 5.
• 6 < x ⟹ x > 6.
• Çözüm: (6, ∞).

Değişken Değiştirme Tekniği

5^(2x) - 6 · 5^x + 5 ≤ 0 gibi ifadelerde 5^x = t dönüşümü yapılır. Denklem t² - 6t + 5 ≤ 0 olur; (t - 1)(t - 5) ≤ 0, 1 ≤ t ≤ 5. Geri dönüşte 1 ≤ 5^x ≤ 5, yani 5⁰ ≤ 5^x ≤ 5¹, sonuçta 0 ≤ x ≤ 1.

Logaritmik Eşitsizlik Temel Kuralı

log tabanının 1’den büyük veya küçük olmasına göre yön davranışı belirlenir. Ayrıca logaritmanın argümanı (içi) daima pozitif olmalıdır (tanım koşulu).

• Taban > 1: log_a(A) < log_a(B) ⟺ A < B (ve A, B > 0).
• 0 < Taban < 1: log_a(A) < log_a(B) ⟺ A > B (ve A, B > 0).

Çözülmüş Örnek: log₂(x + 3) < 3

• Tanım: x + 3 > 0 ⟹ x > -3.
• Sağ tarafı aynı tabanda yaz: 3 = log₂(8).
• Taban 2 > 1 ⟹ aynı yön: x + 3 < 8 ⟹ x < 5.
• Tanım ve sonuç kesişimi: -3 < x < 5.

Çözülmüş Örnek: log_(1/2)(x - 1) ≥ -2

• Tanım: x - 1 > 0 ⟹ x > 1.
• Sağ tarafı aynı tabanda yaz: -2 = log_(1/2)((1/2)⁻²) = log_(1/2)(4).
• Taban 1/2 (< 1) ⟹ yön ters: x - 1 ≤ 4 ⟹ x ≤ 5.
• Kesişim: 1 < x ≤ 5, yani (1, 5].

İki veya daha fazla eşitsizliğin aynı anda sağlanmasını isteyen yapıya eşitsizlik sistemi denir. Çözüm, her eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişim kümesidir.

Yöntem 1: Ayrı Ayrı Çözüm + Kesişim

1. Her eşitsizliği bağımsız çöz, çözüm kümesini yaz.
2. Çözüm kümelerini sayı doğrusunda yan yana çiz.
3. Ortak aralığı (kesişimi) oku.

Yöntem 2: Tek Tablo, İki Satır

Büyük soru gruplarında hız için tek işaret tablosu kurulur. Sayı doğrusuna tüm kökler (her iki eşitsizliğin) yerleştirilir. Tablonun iki satırında ayrı ayrı eşitsizliklerin işaretleri incelenir. Ortak taranan aralık çözümü verir.

Çözülmüş Örnek: Sistem

x² - 4 > 0 ve x² - 5x + 6 ≤ 0 sisteminin çözümü.

• 1. eşitsizlik: x² - 4 > 0 ⟹ (x - 2)(x + 2) > 0. Kökler: -2, 2. a > 0, Δ > 0 ⟹ kökler dışı pozitif. Çözüm: x < -2 veya x > 2.
• 2. eşitsizlik: x² - 5x + 6 ≤ 0 ⟹ (x - 2)(x - 3) ≤ 0. Kökler: 2, 3. a > 0 ⟹ kökler arası negatif. Çözüm: 2 ≤ x ≤ 3.
• Kesişim: Birinci (x > 2 dal), ikinci (2 ≤ x ≤ 3). Ortak: 2 < x ≤ 3 (x = 2 birincide eşitlik yok).
• Sistem çözümü: (2, 3].

Çözülmüş Örnek: İki Tarafı Olan Eşitsizlik

5 < x² - 4x + 21 ≤ 21 biçiminde çift taraflı yazılan eşitsizlik aslında iki ayrı eşitsizliktir:

• x² - 4x + 21 > 5 ⟹ x² - 4x + 16 > 0. Δ = 16 - 64 = -48 < 0, a > 0 ⟹ daima pozitif; her x için sağlanır.
• x² - 4x + 21 ≤ 21 ⟹ x² - 4x ≤ 0 ⟹ x(x - 4) ≤ 0 ⟹ 0 ≤ x ≤ 4.
• Kesişim: ℝ ∩ [0, 4] = [0, 4].

Kesişim Alınırken Dikkat Edilecekler

• Her eşitsizlikte bağımsız eşitlik kontrolü yapılır; bir sınır birinci eşitsizlikte dahil, ikincide dahil değilse kesişimde dahil değildir.
• Bir eşitsizlik çözümsüzse (boş küme) sistemin çözümü de boş kümedir.
• Bir eşitsizliğin çözümü ℝ ise (daima sağlanan), sistemin çözümü diğer eşitsizliğin çözümüne eşittir.

Parametre içeren ikinci dereceden eşitsizliklerde "her x ∈ ℝ için f(x) > 0" veya "çözüm kümesi tüm reel sayılar" gibi ifadeler parabol yapısına bakmayı gerektirir. Bu sorular sınavda sıkça çıkar ve Δ ile a işareti birlikte çözülür.

Dört Temel Durum

Koşul	a	Δ	Grafik Yorumu
Her x için f(x) > 0	> 0	< 0	Kollar yukarı, x-eksenine değmez; daima pozitif.
Her x için f(x) ≥ 0	> 0	≤ 0	Kollar yukarı, x-eksenine değmez veya teğet.
Her x için f(x) < 0	< 0	< 0	Kollar aşağı, x-eksenine değmez; daima negatif.
Her x için f(x) ≤ 0	< 0	≤ 0	Kollar aşağı, x-eksenine değmez veya teğet.

Çözülmüş Örnek: Daima Pozitif

Her x ∈ ℝ için x² - 2mx + 4 > 0 olması için m’nin alabileceği değerler aralığı nedir?

• a = 1 > 0 ✓ (sağlanıyor, ek koşul gerekmez).
• Δ < 0: (-2m)² - 4 · 1 · 4 < 0 ⟹ 4m² - 16 < 0 ⟹ m² < 4.
• m² < 4 ⟺ -2 < m < 2.
• Çözüm: m ∈ (-2, 2).

Kontrol: m = 0 için x² + 4 > 0 ✓. m = 3 için x² - 6x + 4, kökleri reel, x = 0’da 4 > 0 ama x = 3’te -5, yani her x için pozitif değil — doğru biçimde dışlandı.

Çözülmüş Örnek: Çözüm Kümesi ℝ

(m + 1)x² - mx + 1 > 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi ℝ olması için m’nin alabileceği değerler?

• İkinci dereceden olma koşulu: m + 1 ≠ 0 ⟹ m ≠ -1. (Ayrıca parabol olarak daima pozitif istiyorsak m + 1 > 0.)
• Kollar yukarı: m + 1 > 0 ⟹ m > -1.
• Δ < 0: (-m)² - 4(m + 1)(1) < 0 ⟹ m² - 4m - 4 < 0.
• Kökler: m = (4 ± √32) / 2 = 2 ± 2√2. Aralık: 2 - 2√2 < m < 2 + 2√2.
• Kesişim: m > -1 ve 2 - 2√2 < m < 2 + 2√2. (2 - 2√2 ≈ -0.83 > -1 olduğundan sonuç: 2 - 2√2 < m < 2 + 2√2.)

Tanım Kümesi İpucu

Bir rasyonel fonksiyonun her x ∈ ℝ için tanımlı olması için paydanın hiçbir x değerinde sıfır olmaması gerekir. Yani paydanın köksüz olması gerekir: paydanın Δ’sı < 0.

Örnek: f(x) = (x + 2) / (x² + 6x + a + 3) fonksiyonu her x için tanımlıysa, paydanın Δ < 0 olmalı: 36 - 4(a + 3) < 0 ⟹ 36 - 4a - 12 < 0 ⟹ a > 6. Dolayısıyla a > 6.

"İki reel kökü pozitif olan denklemin parametreyi hangi aralıkta?" veya "kökler zıt işaretli olacak şekilde parametre bul" gibi sorular eşitsizlik çözümüne doğrudan bağlıdır. Çözüm, Vieta bağıntılarıyla (kökler toplam ve çarpımı) eşitsizlik sistemi kurmaya indirgenir.

Vieta Bağıntıları

ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olmak üzere:

• x₁ + x₂ = -b/a (kökler toplamı).
• x₁ · x₂ = c/a (kökler çarpımı).

Üç Durum Analizi

Durum 1: Kökler Zıt İşaretli (biri pozitif, biri negatif)

• x₁ · x₂ < 0 ⟹ c/a < 0. Tek koşul.
• Δ incelemeye gerek yok: c/a < 0 olduğunda Δ = b² - 4ac = b² + (4 · |a| · |c|) > 0 otomatik sağlanır.

Durum 2: Her İki Kök Pozitif

• Δ ≥ 0 (reel kökler için; farklı iki kök için Δ > 0).
• x₁ + x₂ > 0 ⟹ -b/a > 0.
• x₁ · x₂ > 0 ⟹ c/a > 0.

Durum 3: Her İki Kök Negatif

• Δ ≥ 0.
• x₁ + x₂ < 0 ⟹ -b/a < 0.
• x₁ · x₂ > 0 ⟹ c/a > 0.

Çözülmüş Örnek

x² - (m + 1)x + (m + 1) = 0 denkleminin her iki kökü pozitif olması için m aralığı?

• x₁ + x₂ = m + 1 > 0 ⟹ m > -1.
• x₁ · x₂ = m + 1 > 0 ⟹ m > -1.
• Δ > 0: (m + 1)² - 4(m + 1) > 0 ⟹ (m + 1)(m + 1 - 4) > 0 ⟹ (m + 1)(m - 3) > 0.
• (m + 1)(m - 3) > 0 ⟹ m < -1 veya m > 3.
• Kesişim: (m > -1) ∩ (m < -1 veya m > 3) = m > 3.
• Çözüm: m ∈ (3, ∞). En küçük tam sayı değeri 4.

Mutlak Değerli Koşullar

"|x₁| < |x₂| ve biri pozitif biri negatif" gibi koşullarda ek yorum eklenir:

• Biri negatif biri pozitifse ve |x₁| < |x₂| ise mutlak değerce büyük olanın işareti toplamın işaretini belirler.
• Örneğin x₁ negatif, x₂ pozitif ve |x₁| < x₂ ise x₁ + x₂ > 0 ⟹ -b/a > 0.
• Aynı durumda |x₁| > x₂ ise x₁ + x₂ < 0 ⟹ -b/a < 0.

Aşağıdaki beş örnek AYT Matematik sınavının tipik eşitsizlik soru kalıplarını kapsar: 2. derece, rasyonel, mutlak değer, karekök ve parametrik. Her soru kâğıt üzerinde çözüldü ve sayısal cevapları doğrulandı.

Örnek 1 — 2. Dereceden Eşitsizlik

Soru: x² - 2x - 8 < 0 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır?

Çözüm:

• Çarpanlara ayır: (x - 4)(x + 2) < 0. Kökler: -2, 4.
• a = 1 > 0, Δ > 0 ⟹ kökler arasında negatif.
• Çözüm kümesi: x ∈ (-2, 4).
• Aralıktaki tam sayılar: -1, 0, 1, 2, 3.
• Toplam: -1 + 0 + 1 + 2 + 3 = 5.

Örnek 2 — Rasyonel Eşitsizlik

Soru: (x - 3)/(x + 2) ≥ 0 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

Çözüm:

• Pay kökü: x = 3. Payda kökü: x = -2 (dışlanacak).
• Sıralama: -2 < 3.
• Baş katsayı oranı: 1/1 = +. En sağdan (+).
• İşaret tablosu: (-∞, -2): +; (-2, 3): -; (3, ∞): +.
• ≥ 0 çözümü: (-∞, -2) ∪ [3, ∞).
• x = -2 dışlandı (payda sıfır), x = 3 dahil (eşitlik, payda sıfır değil).
• Çözüm: (-∞, -2) ∪ [3, ∞).

Örnek 3 — Mutlak Değerli Eşitsizlik

Soru: |2x - 1| < 5 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının sayısı kaçtır?

Çözüm:

• |2x - 1| < 5 ⟺ -5 < 2x - 1 < 5.
• Her tarafa +1: -4 < 2x < 6.
• Her tarafı 2’ye böl: -2 < x < 3.
• Aralıktaki tam sayılar: -1, 0, 1, 2.
• Sayı: 4.

Örnek 4 — Karekök Eşitsizliği

Soru: √(x - 2) ≤ x - 4 eşitsizliğinin çözüm kümesi nedir?

Çözüm:

• Tanım koşulu: x - 2 ≥ 0 ⟹ x ≥ 2.
• Sağ taraf ≥ 0: x - 4 ≥ 0 ⟹ x ≥ 4.
• Kare al: x - 2 ≤ (x - 4)² = x² - 8x + 16.
• 0 ≤ x² - 9x + 18 ⟹ (x - 3)(x - 6) ≥ 0 ⟹ x ≤ 3 veya x ≥ 6.
• Üç koşulun kesişimi: (x ≥ 4) ∩ (x ≤ 3 veya x ≥ 6) = x ≥ 6.
• Çözüm: [6, ∞).

Kontrol: x = 6 için √4 = 2 ≤ 2 ✓. x = 7 için √5 ≈ 2.24 ≤ 3 ✓.

Örnek 5 — Parametrik (Daima Pozitif)

Soru: Her x ∈ ℝ için f(x) = x² - 2mx + 4 > 0 olması için m değerler aralığı nedir?

Çözüm:

• a = 1 > 0 ✓.
• Δ < 0 koşulu: (-2m)² - 4 · 1 · 4 < 0 ⟹ 4m² - 16 < 0 ⟹ m² < 4.
• m² < 4 ⟺ -2 < m < 2.
• Çözüm: m ∈ (-2, 2).

Kontrol: m = 0 → x² + 4 > 0 her zaman ✓. m = 2 → x² - 4x + 4 = (x - 2)² ≥ 0 ama x = 2’de sıfır; "daima pozitif" sağlanmaz (sınır dışlanır). m = -2 için de benzer: (x + 2)² ≥ 0. Sınır noktaları doğru biçimde aralıktan dışlandı.

Örnek 6 — Eşitsizlik Sistemi (Ek)

Soru: x² - 4 > 0 ve x² - 5x + 6 ≤ 0 sisteminin çözüm kümesi nedir?

Çözüm:

• 1. eşitsizlik: (x - 2)(x + 2) > 0 ⟹ x < -2 veya x > 2.
• 2. eşitsizlik: (x - 2)(x - 3) ≤ 0 ⟹ 2 ≤ x ≤ 3.
• Kesişim: x > 2 dalı ile 2 ≤ x ≤ 3 ortak aralığı → 2 < x ≤ 3.
• Çözüm: (2, 3]. x = 2 dışlandı çünkü ilk eşitsizlikte eşitlik yok.

Örnek 7 — Üslü Eşitsizlik (Ek)

Soru: 2^(x² - 3x) < 2^(-2) eşitsizliğini sağlayan x aralığı nedir?

Çözüm:

• Taban 2 > 1 ⟹ üsler arası aynı yön: x² - 3x < -2.
• x² - 3x + 2 < 0 ⟹ (x - 1)(x - 2) < 0.
• Kökler arası negatif: Çözüm: (1, 2).

Sık Yapılan Hatalar

• Negatifle çarpma/bölme unutulur: -3x ≥ 6’yı x ≥ -2 diye çözmek sık hatadır. Doğrusu x ≤ -2.
• Payda kökünü çözüme dahil etmek: Eşitlik olsa bile payda kökleri dışlanır. "≥ 0 ise içini dolu yap" kuralı yalnızca pay için geçerlidir.
• Çift katlı kökte işaret değiştirmek: (x - 2)² gibi çift kuvvette tabloyu yaparken işaret değiştirmek hatalıdır; çift katlı kökte işaret korunur.
• Karekökte sağ taraf negatifken kare almak: √A ≤ -3 gibi durum zaten çözümsüzdür; kare almadan önce sağın işareti kontrol edilmelidir.
• Taban 1’den küçükken yönü korumak: (1/2)^A < (1/2)^B görünce refleksle A < B yazmak yanlıştır; doğrusu A > B.
• "Daima pozitif"e Δ = 0 eklemek: Eşitlik yoksa Δ < 0’dır; Δ = 0 teğetlik verir, ifade kökte sıfır olur, "daima pozitif" bozulur.
• Sistem çözümünde kesişim yerine birleşim almak: İki eşitsizliğin aynı anda sağlanması istenirse kesişim; "ya biri ya öteki" dendiğinde birleşim kullanılır.

Zaman Yönetimi

• 2. derece eşitsizlik (temel): 45-60 saniye.
• Rasyonel eşitsizlik (tek pay-payda): 60-90 saniye.
• Mutlak değerli eşitsizlik (klasik aralık): 45 saniye.
• Karekök eşitsizliği: 120 saniye (tanım + kare alma + kesişim).
• Parametrik "daima pozitif": 75 saniye (a ve Δ koşulları).
• Eşitsizlik sistemi (2 eşitsizlik): 90-120 saniye.
• Kök işareti sorusu (üç koşul): 120 saniye.

Sınav Stratejisi

1. İlk 5 saniye sınıflandırma: 2. derece mi, rasyonel mi, mutlak değerli mi, kareköklü mü, üslü mü, parametrik mi? Doğru kategori seçimi çözüm stratejisini belirler.
2. Kural kartını zihninde aç: Mutlak değer → aralık kuralı; karekök → tanım + sağ taraf işaret kontrolü; üslü → taban 1 ayrımı; parametrik → a ve Δ birlikte.
3. Kâğıt üzerine sayı doğrusu çiz: Tüm kökleri küçükten büyüğe sırala; işaret tablosunu hemen kur; tek/çift katlı ayrımını unutma.
4. Sınırlarda parantez disiplini: Pay kökü + eşitlik → köşeli; payda kökü → açık; eşitlik yoksa → açık.
5. Cevabı doğrula: Çözüm kümesinden bir değer seç, orijinal eşitsizlikte yerine koy. Sağlıyorsa yön doğru; sağlamıyorsa işaret hatası aramaya başla.
6. Tuzak sorulara refleks: "Çözüm kümesi ℝ" → daima pozitif/negatif. "Çözüm kümesi boş küme" → (x - a)² < 0 tarzı imkânsız durumlar. "Tek elemanlı çözüm kümesi" → (x - a)² ≤ 0 tipi.
7. Parametre sorularında kontrol et: Parametreye bir sınır değer verip orijinal ifadeyi test et; mantıklı çıkıyorsa cevap doğrudur.