Trigonometri II — Toplam-Fark, Yarım Açı ve Denklemler

Trigonometri II'nin açılışı toplam-fark formülleridir. Birim çember üzerinde temel oranları bilmek yeterli değildir; sin 75°, cos 15°, tan 105° gibi değerleri hesaplamak için iki açının toplam veya farkına ayrıştırma tekniği gerekir. Bu formüller aynı zamanda sonraki tüm bölümlerin (iki kat açı, yarım açı, üç kat açı) temelidir.

Sinüsün Toplam ve Fark Formülleri

İki açının sinüsü için ana formüller:

• sin(A + B) = sin A · cos B + cos A · sin B
• sin(A - B) = sin A · cos B - cos A · sin B

Ezberleme kuralı kısadır: isimler ters, işaret aynı. Her iki terimde fonksiyon isimleri karışıktır (sin·cos ve cos·sin biçiminde); aradaki işaret ise açıların arasındaki işaretle aynıdır.

Kosinüsün Toplam ve Fark Formülleri

• cos(A + B) = cos A · cos B - sin A · sin B
• cos(A - B) = cos A · cos B + sin A · sin B

Ezberleme kuralı: isimler aynı, işaret ters. İlk terim her zaman cos·cos ile, ikinci terim sin·sin ile gelir; aradaki işaret, açılar arası işaretin tersidir. Formül hep cos ile başlar; sin ile başlatılırsa işaret hatası kaçınılmaz olur.

Tanjantın Toplam ve Fark Formülleri

• tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A · tan B)
• tan(A - B) = (tan A - tan B) / (1 + tan A · tan B)

Payda paydaki işaretin tersidir: paydaki + ise paydada -, paydaki - ise paydada + gelir. Kotanjant için ayrı formül kullanmayıp tan(A ± B) hesaplanıp tersi (takla) alınır; bu yöntem tek formülle iki işi çözer.

Örnek 1 — sin 75° Değeri

75° = 45° + 30° olarak yazılır. Toplam formülü: sin(45° + 30°) = sin 45° · cos 30° + cos 45° · sin 30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4.

Örnek 2 — cos 15° Değeri

15° = 45° - 30° olarak yazılır. Fark formülü: cos(45° - 30°) = cos 45° · cos 30° + sin 45° · sin 30° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = (√6 + √2)/4. Not: cos 15° = sin 75° eşitliği tümleyenlik (90° - 75° = 15°) ilkesinden doğar.

Örnek 3 — tan 15° Değeri

15° = 45° - 30°. Fark formülü: tan(45° - 30°) = (tan 45° - tan 30°) / (1 + tan 45° · tan 30°) = (1 - 1/√3) / (1 + 1/√3). Pay ve payda √3 ile çarpılır: (√3 - 1) / (√3 + 1). Eşleniği ile genişletince: ((√3 - 1)²) / ((√3)² - 1²) = (3 - 2√3 + 1) / 2 = (4 - 2√3)/2 = 2 - √3.

Örnek 4 — Tersine Okuma: sin 20° cos 70° + cos 20° sin 70° = ?

Bu ifade sin(A + B) açılımıdır; A = 20°, B = 70° alınır. Dolayısıyla sonuç sin(20° + 70°) = sin 90° = 1. AYT'de bu tipte "verilen ifadeyi topla-fark formülüyle birleştir" kurgusu sıkça gelir; açılara ve fonksiyon diziliminin isim-ters mi isim-aynı mı olduğuna bakıp hangi formülün tersi olduğunu teşhis etmek ana beceridir.

Toplam formülünde A ile B'yi birbirine eşit seçtiğimizde iki kat açı formülleri doğar. Bu formüller; sin 40° veriliyken sin 80° istendiği, tan x biliniyorsa sin 2x sorulduğu problemlerde doğrudan çözümdür. Aynı zamanda yarım açı formüllerinin de kaynağıdır.

Sinüs için İki Kat Açı

sin(A + A) açılımından:

sin 2A = 2 · sin A · cos A

Tersten kullanım da kritik: sin A · cos A = (1/2) · sin 2A. "Aynı açının sin ve cos'unun çarpımı" ifadesi görüldüğünde hemen bu dönüşüm refleksi gelmelidir.

Kosinüs için İki Kat Açı (Üç Form)

cos(A + A) açılımı ana formülü verir. Pisagor özdeşliği (sin² A + cos² A = 1) uygulanarak iki farklı forma daha dönüştürülür:

• cos 2A = cos²A - sin²A (ana form)
• cos 2A = 2cos²A - 1 (sadece kosinüslü form)
• cos 2A = 1 - 2sin²A (sadece sinüslü form)

Üç form da birbirine denktir; hangisini seçeceğin soruda bilinen değere göredir. Soruda sin A verilmişse 1 - 2sin²A, cos A verilmişse 2cos²A - 1 formu seçilir. Bu seçim dik üçgen çizip diğer oranı aramaktan tasarruf sağlar.

Tanjant için İki Kat Açı

tan 2A = (2 tan A) / (1 - tan²A)

Toplam formülünde B = A alınır. Payda 1 - tan²A = 0 olduğunda (tan A = ±1, yani A = 45° + k·90°) tan 2A tanımsızdır. Bu noktalar birim çember üzerinde tanjant grafiğinin asimptotlarına denk gelir.

Örnek 5 — sin α = 3/5 ve α Birinci Bölgede İse sin 2α = ?

sin 2α = 2 · sin α · cos α. α birinci bölgede olduğundan cos α pozitiftir. sin² α + cos² α = 1 ⟹ cos² α = 1 - 9/25 = 16/25 ⟹ cos α = 4/5. Yerleştirince: sin 2α = 2 · (3/5) · (4/5) = 24/25.

Örnek 6 — sin x = 1/3 ise cos 2x = ?

Sinüslü formu seçmek en kısasıdır: cos 2x = 1 - 2sin²x = 1 - 2·(1/9) = 1 - 2/9 = 7/9. Dik üçgen çizmeye gerek kalmaz.

Örnek 7 — tan x = 3/4 ise tan 2x = ?

tan 2x = (2 · 3/4) / (1 - 9/16) = (3/2) / (7/16) = (3/2) · (16/7) = 24/7.

Yarım açı formülleri, iki kat açının tersten okunmuş halidir. cos 2A formüllerinden birinde 2A yerine A, A yerine A/2 yazdığımızda A/2'nin trigonometrik değerlerini A'nın kosinüsü cinsinden ifade eden formüller elde ederiz.

Sinüs ve Kosinüs için Yarım Açı

• sin²(A/2) = (1 - cos A) / 2 ⟹ sin(A/2) = ±√[(1 - cos A) / 2]
• cos²(A/2) = (1 + cos A) / 2 ⟹ cos(A/2) = ±√[(1 + cos A) / 2]

Tanjant için Yarım Açı

tan(A/2) = sin A / (1 + cos A) = (1 - cos A) / sin A

İki biçim birbirine eşittir; pay ve payda eşleniğiyle genişletince gösterilir. Payda sıfır olmamalıdır (ikinci biçim için sin A ≠ 0, birinci biçim için 1 + cos A ≠ 0, yani A ≠ π + 2kπ).

1 Yok Etme Tekniği

Yarım açı formüllerinin en pratik kullanımlarından biri "1'i yok etme" tekniğidir. Sadeleştirme ve integral sorularında karşımıza çıkan 1 ± cos 2x ifadeleri tek bir trigonometrik karesine dönüştürülür:

• 1 + cos 2x = 2cos²x
• 1 - cos 2x = 2sin²x

Bu iki dönüşüm cos 2x formüllerinden (2cos²x - 1 = cos 2x ve 1 - 2sin²x = cos 2x) doğrudan gelir. Pay-paydada 1 ve cos 2x aynı anda bulunan kesirler bu yolla sadeleştirilir.

Örnek 8 — cos α = 3/5 ve α Birinci Bölgede İse sin(α/2) = ?

sin²(α/2) = (1 - cos α)/2 = (1 - 3/5)/2 = (2/5)/2 = 1/5. α birinci bölgede olduğundan α/2 da birinci bölgededir (0° < α/2 < 45°), dolayısıyla sin(α/2) pozitiftir: sin(α/2) = 1/√5 = √5/5.

Örnek 9 — 1 + cos 2x İçeren Sadeleştirme

Bir ifadede paydada 1 + cos 2x varsa bu 2cos²x ile yer değiştirilir. Örneğin sin 2x / (1 + cos 2x) kesri, sin 2x = 2 sin x · cos x ve 1 + cos 2x = 2 cos²x yerleştirilince (2 sin x · cos x) / (2 cos²x) = sin x / cos x = tan x olur. Bu sonuç aslında tan(A/2) formülünün doğrudan uygulamasıdır.

Örnek 10 — sin²15° + sin²75° = ?

sin²15° = (1 - cos 30°)/2 = (1 - √3/2)/2 = (2 - √3)/4. sin²75° = (1 - cos 150°)/2 = (1 - (-√3/2))/2 = (2 + √3)/4. Toplam: (2 - √3)/4 + (2 + √3)/4 = 4/4 = 1. Not: 75° = 90° - 15° olduğundan sin 75° = cos 15°'tir; dolayısıyla sin²15° + cos²15° = 1 Pisagor özdeşliğiyle de aynı sonuca ulaşılır.

Üçüncü kat açı formülleri, sin 3A ve cos 3A'yı sadece sin A veya sadece cos A cinsinden ifade eder. Türetmeleri sin 3A = sin(2A + A) açılımından yapılır:

• sin 3A = 3 sin A - 4 sin³A
• cos 3A = 4 cos³A - 3 cos A
• tan 3A = (3 tan A - tan³A) / (1 - 3 tan²A)

Türetme: sin 3A Formülü

sin 3A = sin(2A + A) = sin 2A · cos A + cos 2A · sin A. Yerleştirince: (2 sin A cos A)(cos A) + (1 - 2sin²A)(sin A) = 2 sin A cos²A + sin A - 2sin³A. cos²A = 1 - sin²A yazılırsa: 2 sin A (1 - sin²A) + sin A - 2sin³A = 2 sin A - 2sin³A + sin A - 2sin³A = 3 sin A - 4sin³A. ✓

Pratik Kullanım

AYT'de üç kat açı formülleri doğrudan ezbere sorulmaktan çok, kimlik gizleme yoluyla gelir: "4sin³x - 3sin x + 1 = 0 denkleminin çözüm kümesi" tipi bir soruda ifade -sin 3x + 1 = 0 ⟹ sin 3x = 1 ⟹ 3x = π/2 + 2kπ ⟹ x = π/6 + 2kπ/3 biçiminde çözülür.

Örnek 11 — cos 3x Sadeleştirme

Bir ifadede 4cos³x - 3cos x görülürse bu doğrudan cos 3x'tir. Örneğin (4cos³x - 3cos x) / cos 3x = 1 sabiti, bu kimlikten dolayı her x için geçerlidir (cos 3x ≠ 0 olmak şartıyla).

Özel Değer Üretimi

Üç kat açı formülleri ile doğrudan ezberlenmeyen bazı özel değerleri hesaplayabiliriz. Örneğin sin 20° değeri elemanter yolla çözülmez, ancak sin 60° = √3/2 bilgisi üzerinden bir üçüncü derece denklem kurulabilir: sin 3·20° = sin 60° = √3/2 ⟹ 3 sin 20° - 4 sin³20° = √3/2. u = sin 20° dersek 4u³ - 3u + √3/2 = 0 elde edilir; bu polinomun çözümü sin 20°'yi verir. AYT'de sin 20° doğrudan sorulmaz ama üç kat açı kimliği bu denklemi kurma becerisi olarak karşımıza çıkabilir.

Pisagor Özdeşliği ile Köprü

Üç kat açı formülleri bazen Pisagor özdeşliği ile birleştirilerek sadeleştirilir. Örneğin sin 3x + sin x = 2 sin x (2 - 2sin²x) = 4 sin x · cos²x eşitliği, sin 3x = 3 sin x - 4sin³x formülünde sin 3x + sin x düzenlemesiyle elde edilir. Bu tür ara sonuçlar, karmaşık ifadelerin çarpanlara ayrılmasında anahtar rol oynar.

Toplam-çarpım dönüşümleri, "sin A + sin B", "cos A - cos B" gibi toplama halindeki trigonometrik ifadeleri çarpım halinde yazmaya yarar. Çarpanlara ayırma ve denklem çözme sorularında sıkça kullanılır; bir toplamı sıfıra eşitlemek doğrudan çözüm vermez, ama aynı ifadeyi çarpım olarak yazınca her çarpanı ayrıca sıfıra eşitleyebiliriz.

Dört Temel Formül

• sin A + sin B = 2 · sin[(A + B)/2] · cos[(A - B)/2]
• sin A - sin B = 2 · cos[(A + B)/2] · sin[(A - B)/2]
• cos A + cos B = 2 · cos[(A + B)/2] · cos[(A - B)/2]
• cos A - cos B = -2 · sin[(A + B)/2] · sin[(A - B)/2]

Örnek 12 — sin 70° + sin 50° = ?

A = 70°, B = 50°. sin A + sin B = 2 sin[(A+B)/2] · cos[(A-B)/2] = 2 · sin 60° · cos 10° = 2 · (√3/2) · cos 10° = √3 · cos 10°. Sonuç iki farklı fonksiyon yerine tek bir sabit çarpı tek fonksiyona indirgenmiştir; integral veya limit sorularında bu tür indirgeme çok işe yarar.

Örnek 13 — Denklemde Çarpanlara Ayırma

sin 3x + sin x = 0 denkleminde formülü uygularız: 2 · sin 2x · cos x = 0. Çarpım sıfırsa her çarpan ayrı ayrı sıfıra eşitlenir: sin 2x = 0 ⟹ 2x = kπ ⟹ x = kπ/2. cos x = 0 ⟹ x = π/2 + kπ. Toplamın çözümüyle doğrudan uğraşsak çok daha uzun bir yol olurdu.

Örnek 13b — cos 7x - cos x Sadeleştirme

A = 7x, B = x. cos A - cos B = -2 sin[(A+B)/2] · sin[(A-B)/2] = -2 sin 4x · sin 3x. Eksi işareti atılmazsa sonuç yanlış çıkar; bu işaret tuzağı toplam-çarpım dönüşümlerindeki klasik hata noktasıdır.

Tipik Kalıp Tanıma

Sorularda bu formüller şu kalıplarla gelir: (a) iki sinüs veya iki kosinüs toplanıp/çıkarılıyor ve sadeleştirme isteniyor; (b) trigonometrik denklem çarpanlara ayrılmak için toplam-çarpıma dönüştürülüyor; (c) verilen bir ifadenin değeri istenip toplam-çarpım yardımıyla bir özel açıya indirgeniyor. Üç kalıpta da açıların yarı-toplamı (A+B)/2 ve yarı-farkı (A-B)/2 hesaplanırken özel açılara (30°, 45°, 60°, 90°) denk gelip gelmediği ilk kontrol noktasıdır.

Toplam-çarpım dönüşümlerinin tersidir. Çarpım halindeki trigonometrik ifadeleri toplama dönüştürür; integral sorularında ve belirli toplamları hesaplarken kritiktir.

• sin A · cos B = (1/2) · [sin(A + B) + sin(A - B)]
• cos A · sin B = (1/2) · [sin(A + B) - sin(A - B)]
• cos A · cos B = (1/2) · [cos(A - B) + cos(A + B)]
• sin A · sin B = (1/2) · [cos(A - B) - cos(A + B)]

Türetme Mantığı

Bu formüller toplam-fark formüllerinin toplamından ve farkından doğar. Örneğin sin(A + B) + sin(A - B) açılımlarını yazarsak: (sin A cos B + cos A sin B) + (sin A cos B - cos A sin B) = 2 sin A · cos B. Dolayısıyla sin A · cos B = (1/2)[sin(A + B) + sin(A - B)]. Diğerleri de benzer biçimde türetilir.

Örnek 14 — cos 75° · cos 15° = ?

A = 75°, B = 15°. cos A · cos B = (1/2)[cos(A - B) + cos(A + B)] = (1/2)[cos 60° + cos 90°] = (1/2)[1/2 + 0] = 1/4.

Örnek 15 — sin 15° · sin 75° = ?

A = 15°, B = 75°. sin A · sin B = (1/2)[cos(A - B) - cos(A + B)] = (1/2)[cos(-60°) - cos 90°] = (1/2)[1/2 - 0] = 1/4. Aynı zamanda sin 15° · sin 75° = sin 15° · cos 15° = (1/2)sin 30° = 1/4 yaklaşımıyla da aynı sonuç elde edilir.

İntegral Hazırlığı

Çarpım-toplam dönüşümleri, lise sonrası integral konusunun temel araçlarıdır. ∫ sin 3x · cos 5x dx biçimindeki integraller doğrudan hesaplanamaz; çarpım-toplam uygulanarak ifade (1/2)[sin(3x + 5x) + sin(3x - 5x)] = (1/2)[sin 8x - sin 2x] biçimine gelir ve her iki terim ayrı ayrı entegre edilir. Dolayısıyla bu bölümü sağlam öğrenen öğrenci, üniversite matematiğinin giriş derslerinde de hızlı ilerler.

Örnek 15b — cos 20° · cos 40° · cos 80° Hesabı

Bu klasik çarpım-toplam sorusunda hile, ifadeyi sin 20° ile çarpıp bölmektir.

1. İfadeyi sin 20° ile çarp/böl: P = (sin 20° · cos 20° · cos 40° · cos 80°) / sin 20°
2. İki kat açı: 2 sin 20° · cos 20° = sin 40° → pay = (1/2) · sin 40° · cos 40° · cos 80°
3. Tekrar: 2 sin 40° · cos 40° = sin 80° → pay = (1/4) · sin 80° · cos 80°
4. Son kez: 2 sin 80° · cos 80° = sin 160° → pay = (1/8) · sin 160°
5. sin 160° = sin(180° - 20°) = sin 20°. Böylece P = (sin 20° / 8) / sin 20° = 1/8
6. Sonuç: cos 20° · cos 40° · cos 80° = 1/8

Bu teknik (sin α ile çarpıp arka arkaya 2 sin·cos özdeşliğini kullanma) AYT'de "kosinüs çarpım zinciri" tipi sorularda sık sorulur.

Trigonometrik denklem; bilinmeyen açının trigonometrik oranını veren eşitliklerdir. Genel çözüm, verilen ana kökün periyodik tekrarıyla yazılır. Dört temel fonksiyon için kalıp formüller şu şekildedir.

sin x = a Denkleminin Çözümü

|a| ≤ 1 olmak zorunda; aksi halde çözüm kümesi boştur (çünkü -1 ≤ sin x ≤ 1). α = arcsin a alınırsa:

• x = α + 2kπ (1. bölgedeki çözüm ve periyodik tekrarları)
• x = (π - α) + 2kπ (2. bölgedeki çözüm, sinüs simetrisi)

k ∈ ℤ (bütün tam sayılar). Periyot 2π'dir.

cos x = a Denkleminin Çözümü

|a| ≤ 1 olmak zorunda. α = arccos a alınırsa:

• x = α + 2kπ
• x = -α + 2kπ (ya da eşdeğer olarak 2π - α + 2kπ)

Kısaca: x = ±α + 2kπ. Kosinüs çift fonksiyon olduğundan çözümler simetriktir.

tan x = a ve cot x = a Denklemlerinin Çözümü

a için kısıtlama yoktur; tanjant ve kotanjant tüm reel değerleri alabilir. α = arctan a alınırsa:

• x = α + kπ

Örnek 16 — sin x = 1/2 Denklemi ([0, 2π] Aralığında)

sin x = 1/2 denkleminde α = arcsin(1/2) = π/6. Genel çözüm: x = π/6 + 2kπ veya x = π - π/6 + 2kπ = 5π/6 + 2kπ. [0, 2π] aralığında k = 0 için iki kök: x = π/6 (30°) ve x = 5π/6 (150°). Çözüm kümesi: {π/6, 5π/6}.

Örnek 17 — cos x = -1/2 Denklemi ([0, 2π] Aralığında)

arccos(-1/2) = 2π/3 (120°). Genel çözüm: x = ±2π/3 + 2kπ. [0, 2π] aralığında k = 0 için x = 2π/3; k = 1 için x = -2π/3 + 2π = 4π/3. Çözüm kümesi: {2π/3, 4π/3} (yani 120° ve 240°).

Örnek 18 — tan x = √3 Denklemi

arctan(√3) = π/3 (60°). Genel çözüm: x = π/3 + kπ. [0, 2π] aralığında iki kök: x = π/3 (60°) ve x = π/3 + π = 4π/3 (240°). Tanjantta periyot π olduğundan 2π'lik aralıkta iki kök gelir, sinüs-kosinüste olduğu gibi bölge simetrisi aranmaz.

Örnek 18b — sin x = -√2/2 Denklemi ([0, 2π] Aralığında)

arcsin(√2/2) = π/4'tür. Negatif değer için bir kök 3. bölgede, bir kök 4. bölgededir. Genel çözüm: x = -π/4 + 2kπ veya x = π + π/4 + 2kπ = 5π/4 + 2kπ. [0, 2π] aralığında k = 1 için birinci kol: x = -π/4 + 2π = 7π/4 (315°); k = 0 için ikinci kol: x = 5π/4 (225°). Çözüm kümesi: {5π/4, 7π/4}.

Örnek 18c — cos 2x = 0 Denklemi ([0, 2π] Aralığında)

cos 2x = 0 ⟹ 2x = π/2 + kπ ⟹ x = π/4 + kπ/2. [0, 2π] aralığında k = 0, 1, 2, 3 alınarak dört kök çıkar: x = π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4. Dikkat: iç açının 2x olması, 2π aralığındaki kök sayısını iki katına çıkarmıştır (normal cos için iki kök olurken burada dört kök).

Aralık Dışı Periyot Hatası

Denklem çözüldükten sonra k değerleri eşleştirilirken verilen aralığa düşüp düşmediği mutlaka test edilir. Örneğin x = 7π/6 + 2kπ çözümünde [0, π] aralığında kök aranıyorsa k = 0 için x = 7π/6 ≈ 3.67 olup π ≈ 3.14'ten büyük olduğundan aralığa düşmez; dolayısıyla bu aralık için çözüm boş kümedir. Verilen aralığın her zaman açık mı kapalı mı olduğunu kontrol edip uç değerleri de test etmek sınavda bir puanı iki puana çevirebilir.

Standart denklemlerin dışında AYT'de sıkça karşılaşılan ileri kurgular: karışık açılı denklemler (sin 2x ve sin x bir arada), kuadratik denklem yapısı, aynı tarafa toplama ve aynı fonksiyona indirgeme.

Aynı Fonksiyona İndirme

sin f(x) = sin g(x) biçimindeki denklemde iki kök kümesi vardır: f(x) = g(x) + 2kπ veya f(x) = π - g(x) + 2kπ. Benzer şekilde cos f(x) = cos g(x) ⟹ f(x) = ±g(x) + 2kπ. tan f(x) = tan g(x) ⟹ f(x) = g(x) + kπ.

Karma Fonksiyon Eşitliği

sin f(x) = cos g(x) biçimindeki denklemde bir tarafı diğerinin tümleyenine çeviririz: cos g(x) = sin(π/2 - g(x)). Dolayısıyla sin f(x) = sin(π/2 - g(x)) olur ve sinüs kalıbı uygulanır. Aynı mantık tanjant-kotanjant karışıklığında da kullanılır: cot x = tan(π/2 - x).

Kuadratik Yapı

Denklemde sin²x veya cos²x görülüyorsa, sin x = u veya cos x = u dönüşümü uygulayıp ikinci derece denklem elde ederiz. Örneğin 2 cos²x - 3 cos x + 1 = 0 denkleminde u = cos x dersek 2u² - 3u + 1 = 0 ⟹ (2u - 1)(u - 1) = 0 ⟹ u = 1/2 veya u = 1 ⟹ cos x = 1/2 ⟹ x = ±π/3 + 2kπ; cos x = 1 ⟹ x = 2kπ.

Yarım Açı ile 1'i Yok Etme

Denklemin paydasında veya içinde 1 ± cos 2x bulunuyorsa yarım açı formülüyle sadeleştirilir. Örneğin (sin 2x) / (1 - cos 2x) = ... tipi bir denklemde 1 - cos 2x = 2sin²x ve sin 2x = 2 sin x cos x yerleştirilir; sonuç cot x olarak sadeleşir.

Örnek 19 — sin 2x = sin x Denklemi ([0, 2π] Aralığında)

sin 2x = 2 sin x · cos x olduğundan denklem 2 sin x cos x - sin x = 0 ⟹ sin x · (2 cos x - 1) = 0 çarpanlara ayrılır. Birinci çarpan: sin x = 0 ⟹ x = 0, π, 2π; ama [0, 2π] yarı açık veya kapalı aralığına göre x = 0 ve x = π iki kök olur. İkinci çarpan: 2 cos x - 1 = 0 ⟹ cos x = 1/2 ⟹ x = π/3 veya x = 5π/3. Toplam kökler: {0, π/3, π, 5π/3} (aralık kapsamına göre).

Örnek 20 — 2cos²x + 3sin x - 3 = 0 Denklemi

cos²x = 1 - sin²x yazılırsa: 2(1 - sin²x) + 3 sin x - 3 = 0 ⟹ 2 - 2sin²x + 3 sin x - 3 = 0 ⟹ -2sin²x + 3 sin x - 1 = 0 ⟹ 2sin²x - 3 sin x + 1 = 0. u = sin x: 2u² - 3u + 1 = 0 ⟹ (2u - 1)(u - 1) = 0 ⟹ u = 1/2 veya u = 1. sin x = 1/2 ⟹ x = π/6 + 2kπ veya x = 5π/6 + 2kπ. sin x = 1 ⟹ x = π/2 + 2kπ. Çözüm kümesi: {π/6, π/2, 5π/6} + periyot.

Trigonometrik denklemlerin en zengin yapılarından biri a · sin x + b · cos x = c biçimindedir. Bu tip denklemin çözümü, sol tarafı tek bir trigonometrik fonksiyona dönüştürmekten geçer.

Temel Yaklaşım ve R Değeri

a · sin x + b · cos x ifadesi, R · sin(x + φ) veya R · cos(x - φ) biçiminde yazılabilir; burada:

• R = √(a² + b²) (ifadenin genliği)
• tan φ = b/a (R·sin(x + φ) formu için)

Bu dönüşüm sonucu a · sin x + b · cos x = c denklemi R · sin(x + φ) = c biçimine gelir ve standart sinüs denklemi kalıbıyla çözülür.

Çözümün Varlığı

R · sin(x + φ) ifadesinin değer aralığı [-R, R]'dir. Buna göre:

• |c| > R (yani c² > a² + b²): Çözüm kümesi boştur.
• |c| = R: Tek köklü (uç değer noktasında).
• |c| < R: Çift köklü (her tam periyotta iki çözüm).

Pratik Çözüm Adımı: Katsayı Normalleştirme

Sınavda hız için her iki taraf bir katsayıya bölünerek tanjant değeri çıkartılır. Örneğin √3 · sin x + cos x = 1 denkleminde her iki taraf 2'ye bölünür: (√3/2) · sin x + (1/2) · cos x = 1/2. Bu yazımda √3/2 = cos 30° ve 1/2 = sin 30° olduğundan ifade sin x · cos 30° + cos x · sin 30° = 1/2 ⟹ sin(x + 30°) = 1/2'ye dönüşür. Artık standart sinüs denklemi kalıbı uygulanır.

Örnek 21 — √3 · sin x + cos x = 1 Denklemi ([0°, 360°] Aralığında)

Her iki tarafı R = √((√3)² + 1²) = √4 = 2'ye böl: (√3/2) sin x + (1/2) cos x = 1/2. Sol taraf sin(x + 30°) biçimindedir: sin(x + 30°) = 1/2.

sin(x + 30°) = 1/2 ⟹ x + 30° = 30° + 360°k veya x + 30° = 150° + 360°k.

• Birinci kol: x = 0° + 360°k.
• İkinci kol: x = 120° + 360°k.

[0°, 360°) aralığında iki kök: x = 0° ve x = 120°.

Örnek 22 — sin x + √3 · cos x = 2 Denklemi

R = √(1 + 3) = 2. Her iki taraf 2'ye bölünür: (1/2) sin x + (√3/2) cos x = 1. Sol taraf sin(x + 60°)'dir (cos 60° = 1/2, sin 60° = √3/2): sin(x + 60°) = 1. Bu da x + 60° = 90° + 360°k ⟹ x = 30° + 360°k. Tek köklü bir denklemdir (çünkü c = R).

Trigonometrik eşitsizlikler, verilen eşitsizliği sağlayan açıların birim çemberdeki "yay" kümesini bulmakla çözülür. Eşitsizlikte bir yön (≥, >, ≤, <) olduğundan tekil kök değil bir aralık sonucu verir.

Temel Yaklaşım

Eşitsizliği önce eşitlik olarak çözüp kritik açıları bulun, ardından birim çember üzerinde ilgili fonksiyonun işaretine ve değişimine bakarak sağlayan yayları belirleyin.

Sinüs Eşitsizlikleri

sin x ≥ 1/2 eşitsizliğinin [0, 2π] aralığındaki çözümünü ele alalım. Önce sin x = 1/2'yi çözeriz: x = π/6 ve x = 5π/6. Birim çemberde sinüs değerleri, y koordinatına karşılık gelir. y ≥ 1/2 koşulunu sağlayan bölüm y = 1/2 doğrusunun üstünde kalan yaydır; yani x ∈ [π/6, 5π/6].

Kosinüs Eşitsizlikleri

cos x ≥ 1/2 için cos x = 1/2 ⟹ x = π/3 veya x = 5π/3 (yani -π/3). x ekseni değerleri için x koordinatı ≥ 1/2 olan yay: 4. bölgeden 1. bölgeye giden yay, yani x ∈ [0, π/3] ∪ [5π/3, 2π]'dir. Daha kompakt ifadeyle: x ∈ [-π/3, π/3] + 2kπ.

Tanjant Eşitsizlikleri

tan x'in periyodu π olduğu için tanjant eşitsizliklerinde her periyotta tek bir aralık incelenir. tan x ≥ 1 için tan x = 1 ⟹ x = π/4. Tanjant bu değerden sonra pozitif sonsuza çıktığı için çözüm x ∈ [π/4, π/2) + kπ olur (x = π/2 hariç, çünkü tan x tanımsız).

Örnek 23 — 2 sin x - 1 ≥ 0 Eşitsizliği ([0, 2π] Aralığında)

Eşitsizlik sin x ≥ 1/2'ye dönüşür. Kritik açılar π/6 ve 5π/6. Birim çemberde y ≥ 1/2 olan yay: x ∈ [π/6, 5π/6].

Örnek 23b — cos x < 0 Eşitsizliği ([0, 2π] Aralığında)

cos x = 0 kökleri π/2 ve 3π/2. Birim çemberde x koordinatı negatif olan yay, 2. ve 3. bölgelerdir: x ∈ (π/2, 3π/2). Uç değerler cos x = 0 olduğundan eşitsizliğin sıkı olmasıyla (<) dışarıda kalır, gevşek olsaydı (≤) dahil edilirdi.

Örnek 23c — sin²x ≤ 1/4 Eşitsizliği

|sin x| ≤ 1/2 biçimine gelir; yani -1/2 ≤ sin x ≤ 1/2. sin x = 1/2 kökleri π/6 ve 5π/6; sin x = -1/2 kökleri 7π/6 ve 11π/6. Birim çemberde -1/2 ≤ y ≤ 1/2 koşulunu sağlayan yaylar: x ∈ [0, π/6] ∪ [5π/6, 7π/6] ∪ [11π/6, 2π]. Bu üç parçalı çözüm, sin² ifadeleri içeren eşitsizliklerin klasik yapısıdır.

Birim Çemberle Görselleştirme

Trigonometrik eşitsizliklerde en güvenilir yöntem birim çemberi çizip kritik açıları yay üzerinde işaretlemektir. Sinüs için y ekseni değerlerine, kosinüs için x ekseni değerlerine bakılır; tanjant için ise orijinden geçen doğruların eğimine. Bu görsel yaklaşım, özellikle birden fazla fonksiyon içeren eşitsizliklerde işaret karmaşasından korur.

Bu bölümdeki sorular, önceki on bölümdeki formülleri birleştiren, AYT sınav kalıbına yakın örneklerden oluşur. Her soruda hangi formülün devreye gireceğini teşhis etmek çözümün yarısıdır.

Örnek 24 — Şekilli Toplam-Fark

Bir dik üçgende bir kenarı 6 birim, diğer kenarı 4 birim; bu dik üçgene bitişik olan ikinci bir dik üçgende ortak kenar 6 birim ve diğer iç kenarda yükseklik 6 birim. Birinci üçgendeki bir iç açı α, ikincideki β ise tan(α + β) kaçtır?

Çözüm: Birinci üçgenden tan α = karşı/komşu = 4/6 = 2/3. İkinci üçgen ikizkenar dik olduğundan tan β = 6/6 = 1. Toplam formülü: tan(α + β) = (tan α + tan β)/(1 - tan α · tan β) = (2/3 + 1)/(1 - (2/3)(1)) = (5/3)/(1/3) = 5.

Örnek 25 — Sinüs Denklemi (Kök Sayısı)

sin 2x = cos x denkleminin [0, 2π] aralığındaki kök sayısı kaçtır?

Çözüm: sin 2x = 2 sin x cos x olduğundan: 2 sin x cos x - cos x = 0 ⟹ cos x · (2 sin x - 1) = 0. Birinci çarpan: cos x = 0 ⟹ x = π/2 veya x = 3π/2 (iki kök). İkinci çarpan: sin x = 1/2 ⟹ x = π/6 veya x = 5π/6 (iki kök). Toplam 4 kök.

Örnek 26 — Yarım Açı ve Kök İçi Sadeleştirme

α ∈ (0, π/2) ve √(1 - cos α) = √3 / 2 ise cos α kaçtır?

Çözüm: Her iki tarafın karesini al: 1 - cos α = 3/4 ⟹ cos α = 1/4. α birinci bölgede olduğundan cos α pozitif, tutarlıdır: cos α = 1/4.

Örnek 27 — Toplam-Çarpım ile Denklem

cos 3x + cos x = 0 denkleminin [0, π] aralığındaki kökleri kaçtır?

Çözüm: Toplam-çarpım formülü: cos 3x + cos x = 2 cos[(3x + x)/2] · cos[(3x - x)/2] = 2 · cos 2x · cos x. Denklem: 2 cos 2x · cos x = 0. Birinci çarpan: cos 2x = 0 ⟹ 2x = π/2 + kπ ⟹ x = π/4 + kπ/2. [0, π] aralığında: x = π/4 ve x = 3π/4. İkinci çarpan: cos x = 0 ⟹ x = π/2. Kök kümesi: {π/4, π/2, 3π/4}, toplam 3 kök.

Örnek 28 — a·sin x + b·cos x Formu (Uç Değer)

f(x) = 3 sin x + 4 cos x fonksiyonunun alabileceği en büyük değer nedir?

Çözüm: R = √(a² + b²) = √(9 + 16) = √25 = 5. Fonksiyon [-5, 5] aralığında değer alır; dolayısıyla en büyük değer 5'tir. Bu uç değere, sin(x + φ) = 1 olduğu x değerinde ulaşılır.

Örnek 29 — İki Kat Açı Sorusu (Farklı İfade)

cos x + sin x = 1/2 ise sin 2x kaçtır?

Çözüm: Her iki tarafın karesini al: (cos x + sin x)² = 1/4 ⟹ cos²x + 2 sin x cos x + sin²x = 1/4. cos²x + sin²x = 1 ve 2 sin x cos x = sin 2x olduğundan: 1 + sin 2x = 1/4 ⟹ sin 2x = -3/4.

Örnek 30 — Tanjant Fark Formülü

tan α = 2 ve tan β = 1/3 ise tan(α - β) kaçtır?

Çözüm: tan(α - β) = (tan α - tan β)/(1 + tan α · tan β) = (2 - 1/3)/(1 + 2·(1/3)) = (5/3)/(5/3) = 1. Sonuç 1 olduğundan α - β = π/4 + kπ çıkarımı da yapılabilir.

Örnek 31 — İkili Denklem Sistemi

sin x + cos y = 1/2 ve sin x - cos y = 1/4 ise sin x · cos y kaçtır?

Çözüm: İki denklemi topla: 2 sin x = 3/4 ⟹ sin x = 3/8. Birincisinden ikinciyi çıkar: 2 cos y = 1/4 ⟹ cos y = 1/8. Çarpım: sin x · cos y = (3/8)·(1/8) = 3/64.

Örnek 32 — Yarım Açı ile Radikal Sadeleştirme

α açısı birinci bölgede, cos α = 1/4 ise tan(α/2) kaçtır?

Çözüm: tan(α/2) = (1 - cos α)/sin α biçimini kullanmak en kısa yoludur; ancak sin α bilinmiyor. sin² α = 1 - cos²α = 1 - 1/16 = 15/16 ⟹ sin α = √15/4 (α birinci bölgede olduğundan pozitif). tan(α/2) = (1 - 1/4)/(√15/4) = (3/4)/(√15/4) = 3/√15 = 3√15/15 = √15/5.

Örnek 33 — Toplam-Çarpım ile Sadeleştirme Denklemi

sin 5x - sin x = 0 denkleminin [0, π] aralığındaki kök sayısı kaçtır?

Çözüm: Toplam-çarpım: sin 5x - sin x = 2 · cos 3x · sin 2x = 0. İki çarpan: cos 3x = 0 ⟹ 3x = π/2 + kπ ⟹ x = π/6 + kπ/3. [0, π] aralığında k = 0, 1, 2 için x = π/6, π/2, 5π/6 üç kök. sin 2x = 0 ⟹ 2x = kπ ⟹ x = kπ/2. [0, π] aralığında k = 0, 1, 2 için x = 0, π/2, π üç kök. x = π/2 her iki kolda ortak olduğundan tek sayılır; toplam 5 farklı kök.

Trigonometri II, birim çember temelinin üzerine kurulan en zengin bölümdür. Toplam-fark formüllerinden denklemlere kadar on bir alt başlık, birbirinin türevi olarak düşünülmelidir. Aşağıdaki özet, AYT'de yakalanması gereken ana direkleri verir.

Sınav Stratejisi

• Formül seçimi: cos 2A'nın üç formu arasında soruya verilen bilgiye (sin A veriliyse 1 - 2sin²A; cos A veriliyse 2cos²A - 1) göre seçim yap. Dik üçgen çizip diğer oranı hesaplama yolundan kaçın.
• Bölge analizi: Yarım açıda ± işareti A/2'nin bölgesine göre; denklem çözümünde α değeri ilk bölgeden başlatılıp diğer bölgeler simetriyle tamamlanır. Bu analizi ihmal etmek cevabın işaretini kaçırmak demektir.
• Periyot disiplini: sin ve cos için +2kπ, tan ve cot için +kπ. Bu farkı her zaman ilk satırda yaz; sonra k değerlerini eşlemeye geç.
• Tersine okuma refleksi: Soruda sin A cos B + cos A sin B görürsen hemen sin(A + B) yaz; 2 sin A cos A görürsen sin 2A yaz; cos²A - sin²A görürsen cos 2A yaz. Bu dönüşümler çözümün yarısını kısaltır.
• 1 yok etme: Paydada 1 + cos 2x varsa 2cos²x; 1 - cos 2x varsa 2sin²x. Bu iki dönüşüm sadeleştirme sorularında hayat kurtarır.
• a·sin + b·cos ön elemesi: Denklem bu formdaysa önce R = √(a² + b²) hesapla; c'nin mutlak değerini R ile karşılaştır. Boş küme / tek kök / çift kök belirlemesi çözüme girmeden yapılabilir.

Limit-Türev-İntegral Köprüsü

Bu bölümde öğrenilen formüller matematiğin ilerleyen konularında sürekli kullanılacaktır. Limitte lim[x→0] sin x / x = 1 ve lim[x→0] (1 - cos x)/x² = 1/2 gibi kritik limitler yarım açı ve Taylor açılımlarıyla türetilir. Türevde (sin x)' = cos x ve (cos x)' = -sin x bağıntıları sin 2x'in türevi, yarım açının türevi gibi sorularda iki kat açı formüllerine ihtiyaç yaratır. İntegralde ∫ sin²x dx hesabı için 1 - cos 2x = 2 sin²x dönüşümü, ∫ cos²x dx için 1 + cos 2x = 2 cos²x dönüşümü vazgeçilmezdir. Dolayısıyla trigonometri II'yi iyi bilen öğrenci, ilerleyen konularda karşılaşacağı tıkanmaların büyük bölümünden kurtulur.

Son söz: trigonometri formül değil yapı bilgisidir. sin, cos, tan'ın birim çemberden doğduğunu ve tüm formüllerin orijinden türetilebilir olduğunu her zaman hatırlayın. Formülü unuttuğunuzda birim çemberi çizip A = B aldığınızda yarım açıya; A yerine A/2, 2A yerine A yerleştirdiğinizde iki kat açıya ulaşabilirsiniz. Bu rehberlik disiplini uzun dönemde ezberden daha güvenilirdir.