İntegral

İntegral, türevin tersi olarak tanımlanan ve AYT Matematiğin en yüksek soru potansiyeli taşıyan konularından biridir. Türevde bir fonksiyonun anlık değişim oranını bulmayı öğrendik. İntegralde ise ters yönde soru soruyoruz: Türevi verilen fonksiyonun kendisi nedir? Ayrıca bu kavram geometrik olarak bir eğri altında kalan alanın hesabıyla da kesişir; tek bir araç iki büyük problemi aynı anda çözer.

Başlamadan önce diferansiyel notasyonunu hatırlayalım. y = f(x) ise türev dy/dx = f'(x) biçiminde yazılır. Bu ifade "y'deki çok küçük bir artışın (dy) x'teki çok küçük bir artışa (dx) oranı" anlamına gelir. Denklem aşağıdaki gibi de düzenlenebilir:

dy = f'(x) · dx

Yani dy, fonksiyonun belirli bir noktadaki anlık değişim miktarıdır. Bu küçük değişimlerin büyük bir aralıkta toplamı alındığında, fonksiyonun bu aralıktaki toplam değişimi elde edilir. İşte bu toplama sürecine integral denir ve özel bir sembolle gösterilir: ∫

Ters Türev (Antiderivatif) Kavramı

F'(x) = f(x) koşulunu sağlayan F(x) fonksiyonuna f'nin bir antiderivatifi ya da ters türevi denir. Örneğin f(x) = 2x verildiğinde F(x) = x² bir antiderivatiftir; çünkü (x²)' = 2x. Ancak F(x) = x² + 1 de, F(x) = x² + 5 de, F(x) = x² - 100 de aynı türevi verir. Bütün bu seçeneklerin ortak yanı, türevde kaybolan sabitin her biri için farklı olmasıdır.

Bu durumu tek bir ifadeyle toparlamak için integral sabiti olarak bilinen C eklenir ve belirsiz integral şöyle yazılır:

∫ f(x) dx = F(x) + C

Burada ∫ integral sembolü, f(x) integrand (integrali alınan ifade), dx ise integralin hangi değişkene göre alındığıdır. C sabiti, türevi sıfır olan tüm sabitleri tek bir harfle temsil eder.

Örnek 1 — Temel Antiderivatif

f(x) = 3x² verildiğine göre ∫ f(x) dx kaçtır?

Çözüm: Türevi 3x² olan fonksiyonu arıyoruz. (x³)' = 3x² olduğundan antiderivatif x³'tür. Sonuç: ∫ 3x² dx = x³ + C.

Örnek 2 — Türev ve İntegralin Ters İlişkisi

F'(x) = 4x + 6 ve F(0) = 5 ise F(2) kaçtır?

Çözüm: Önce F'nin genel biçimini integral alarak bulalım. ∫ (4x + 6) dx = 2x² + 6x + C. F(0) = 5 koşulu: 2 · 0 + 6 · 0 + C = 5 ⇒ C = 5. F(x) = 2x² + 6x + 5. F(2) = 2 · 4 + 6 · 2 + 5 = 8 + 12 + 5 = 25.

İntegralin Geometrik Anlamı — Kısa Önizleme

İntegralin sayısal tanımının ötesinde güçlü bir geometrik anlamı vardır: y = f(x) eğrisinin x eksenine olan alt bölgesinin alanı, belirli integralle hesaplanır. "Alan" başlığında bu bağlantıyı detaylı ele alacağız; şimdilik "integral = toplam değişim = alan" olarak kabaca aklımızda tutalım.

Tarihçe — Riemann Toplamları

İntegral kavramının matematiksel temeli Riemann toplamlarına dayanır. [a, b] aralığı n eşit parçaya bölünüp her parçanın üzerine bir dikdörtgen yerleştirildiğinde toplam alan Σ f(xᵢ) · Δx biçiminde hesaplanır. Parça sayısı n → ∞'a giderken (Δx → 0) bu toplam tam olarak ∫_a^b f(x) dx değerine yaklaşır. Yani belirli integral aslında sonsuz ince dikdörtgenlerin alanlarının toplamıdır. Pratik hesaplamada Riemann toplamını kullanmayız; çünkü Analizin Temel Teoremi bize daha kısa bir yol sunar: antiderivatif al, sınırları yerleştir, çıkar.

Belirsiz integral, sınır belirtilmemiş integraldir. Sonuç bir fonksiyon (+ C) olarak çıkar. Bu bölümde en çok karşılaşılan kuralları sıralayıp örneklerle pekiştireceğiz. Bu kuralları ezberlemek yerine "türev tablosunun tersi" mantığıyla öğrenmek en sağlıklısıdır.

Sabit ve Kuvvet Fonksiyonu

Herhangi bir sabit k için ∫ k dx = kx + C. Kuvvet fonksiyonu için ise kilit kural "üssü bir artır, yeni üsse böl" biçimidir:

∫ xⁿ dx = x^(n+1)/(n+1) + C, n ≠ -1

Örnekler: ∫ x⁴ dx = x⁵/5 + C. ∫ x^(-2) dx = x^(-1)/(-1) + C = -1/x + C. ∫ √x dx = ∫ x^(1/2) dx = (2/3) x^(3/2) + C. ∫ 1/∛x dx = ∫ x^(-1/3) dx = x^(2/3) / (2/3) + C = (3/2) x^(2/3) + C.

Doğrusallık: Toplam ve Sabit Katsayı

İntegral, toplama ve sabit katsayı işlemlerini korur:

∫ [f(x) ± g(x)] dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx

Çarpım ve bölüm için benzer bir kural yoktur. ∫ (f · g) dx ≠ (∫ f) · (∫ g) ve ∫ (f/g) dx ≠ (∫ f)/(∫ g). Bu durumlar için değişken değiştirme veya kısmi integrasyon (ileride) yöntemlerine başvurulur.

Örnek 3 — Çok Terimli Polinom İntegrali

∫ (3x⁴ - 6x² + 8x - 5) dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: Her terime ayrı ayrı kural uygulanır: 3x⁴ → 3 · x⁵/5 = (3/5)x⁵; -6x² → -6 · x³/3 = -2x³; 8x → 8 · x²/2 = 4x²; -5 → -5x. Toplam: (3/5)x⁵ - 2x³ + 4x² - 5x + C.

Örnek 4 — Köklü ve Kesirli Üsler

∫ (√x + 1/x²) dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: √x = x^(1/2) ⇒ ∫ x^(1/2) dx = (2/3)x^(3/2). 1/x² = x^(-2) ⇒ ∫ x^(-2) dx = x^(-1)/(-1) = -1/x. Toplam: (2/3)x^(3/2) - 1/x + C veya eşit olarak (2/3)x√x - 1/x + C.

Örnek 5 — 1/x Özel Durumu

∫ (4/x + x³) dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: 4/x teriminde n = -1, ln kuralı kullanılır: ∫ 4/x dx = 4 · ln|x|. x³ teriminde standart kural: x⁴/4. Sonuç: 4 ln|x| + x⁴/4 + C.

Polinom dışında AYT sorularında sıkça karşılaşılan üstel, logaritmik, trigonometrik ve ters trigonometrik fonksiyonların integrallerini bir arada tanıyalım. Bu formüllerin hepsi, türev tablosundaki ilişkinin ters çevrilmesinden elde edilir.

Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar

• ∫ eˣ dx = eˣ + C — (eˣ türevinin yine eˣ olması bu özel eşitliği doğurur.)
• ∫ aˣ dx = aˣ/ln a + C — (a > 0, a ≠ 1 için.)
• ∫ (1/x) dx = ln|x| + C — (n = -1 özel durumu.)

Trigonometrik Fonksiyonlar

• ∫ sin x dx = -cos x + C
• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ sec² x dx = tan x + C
• ∫ csc² x dx = -cot x + C
• ∫ sec x · tan x dx = sec x + C
• ∫ csc x · cot x dx = -csc x + C

Ters Trigonometrik Çıkışlar

• ∫ 1/(1 + x²) dx = arctan x + C
• ∫ 1/√(1 - x²) dx = arcsin x + C

Örnek 6 — Trig Toplamı

∫ (3 sin x - 2 cos x + sec² x) dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: Terim terim: 3 sin x → 3(-cos x) = -3 cos x; -2 cos x → -2 sin x; sec² x → tan x. Toplam: -3 cos x - 2 sin x + tan x + C.

Örnek 7 — Üstel Fonksiyon

∫ (2eˣ - 3ˣ) dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: 2eˣ → 2eˣ; 3ˣ → 3ˣ/ln 3. Sonuç: 2eˣ - 3ˣ/ln 3 + C.

Örnek 8 — Trigonometrik Özdeşlikle Sadeleştirme

∫ tan² x dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: 1 + tan² x = sec² x özdeşliği ⇒ tan² x = sec² x - 1. Böylece ∫ tan² x dx = ∫ (sec² x - 1) dx = tan x - x + C. Sonuç: tan x - x + C.

Değişken değiştirme, integral çözmenin en kullanışlı ve en sık başvurulan yöntemidir. Temel fikir şudur: integranddaki bir alt-ifadeye yeni bir harf (u) atayarak integrali daha tanıdık bir forma dönüştürürüz. Bu, türevdeki zincir kuralının ters yüzüdür.

Zincir kuralını hatırlayın: d/dx [F(g(x))] = F'(g(x)) · g'(x). İki tarafın integrali alınırsa F(g(x)) + C = ∫ F'(g(x)) · g'(x) dx. u = g(x) yazdığımızda F'(g(x)) = F'(u) = f(u) olur (F, f'nin antiderivatifiyse), ve dönüşüm formülü şöyle kısalır: ∫ f(g(x)) · g'(x) dx = ∫ f(u) du.

u = g(x) dönüşümüyle du = g'(x) dx yazılır. İntegrand u'ya ve du'ya cinsinden yeniden yazılır:

∫ f(g(x)) · g'(x) dx = ∫ f(u) du

Dönüşüm Algoritması

1. İntegrandda bileşke bir yapı ya da karmaşık bir parantez seç → u = (o parantez).
2. du = u'(x) dx türevini yaz.
3. İntegraldeki tüm x'leri u cinsinden ifade et; kalan dx ile du'yu eşleştir (gerekirse sabit katsayı düzeltmesi yap).
4. ∫ f(u) du biçiminde yeni integrali çöz.
5. Son cevapta u yerine tekrar g(x) yaz.

Örnek 9 — Klasik u-Substitution

∫ 2x · (x² + 1)⁵ dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: u = x² + 1 alınırsa du = 2x dx, ve 2x dx doğrudan integrandda var. ∫ u⁵ du = u⁶/6 + C. u yerine koyalım: (x² + 1)⁶/6 + C.

Örnek 10 — Sabit Katsayı Telafi

∫ x · (x² + 1)⁵ dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: u = x² + 1 ⇒ du = 2x dx ⇒ x dx = du/2. İntegral: ∫ u⁵ · (1/2) du = (1/2) · u⁶/6 = u⁶/12. Sonuç: (x² + 1)⁶/12 + C.

Örnek 11 — Köklü İfade

∫ x · √(x² + 4) dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: u = x² + 4 ⇒ du = 2x dx ⇒ x dx = du/2. ∫ √u · (1/2) du = (1/2) · (2/3) u^(3/2) = u^(3/2)/3. Sonuç: (x² + 4)^(3/2)/3 + C.

Örnek 12 — Trigonometrik u-Sub

∫ cos x · sin⁴ x dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: u = sin x ⇒ du = cos x dx. İntegral: ∫ u⁴ du = u⁵/5. Sonuç: sin⁵ x / 5 + C.

Örnek 13 — 1/x'in Bileşkesi

∫ (2x)/(x² + 1) dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: u = x² + 1 ⇒ du = 2x dx. İntegral: ∫ du/u = ln|u| + C = ln(x² + 1) + C. (x² + 1 her x için pozitif olduğundan mutlak değer yazılmasa da olur.)

Örnek 14 — Fonksiyon Tipiyle Pratik

∫ eˣ · (eˣ + 3)⁴ dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: u = eˣ + 3 ⇒ du = eˣ dx. İntegral: ∫ u⁴ du = u⁵/5. Sonuç: (eˣ + 3)⁵ / 5 + C.

Örnek 14b — Lineer u Dönüşümü

∫ (2x + 3)⁷ dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: u = 2x + 3 ⇒ du = 2 dx ⇒ dx = du/2. İntegral: ∫ u⁷ · (1/2) du = (1/2) · u⁸/8 = u⁸/16. Sonuç: (2x + 3)⁸ / 16 + C. Bu tür lineer (ax + b)ⁿ integrallerinde kısayol: sonuç (ax + b)^(n+1) / [(n + 1) · a] + C olur.

Örnek 14c — Logaritmik Türev Kalıbı

∫ (3x² + 2) / (x³ + 2x + 5) dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: Paydanın türevi 3x² + 2'dir — tam pay ile eşleşiyor. u = x³ + 2x + 5 ⇒ du = (3x² + 2) dx. İntegral: ∫ du/u = ln|u| + C. Sonuç: ln|x³ + 2x + 5| + C. Genel kalıp: ∫ f'(x)/f(x) dx = ln|f(x)| + C.

Örnek 14d — Üstel Bileşke

∫ x · e^(-x²) dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: u = -x² ⇒ du = -2x dx ⇒ x dx = -du/2. İntegral: ∫ eᵘ · (-1/2) du = -(1/2) eᵘ = -(1/2) e^(-x²). Sonuç: -(1/2) · e^(-x²) + C.

Kısmi integrasyon konusuna geçmeden önce bir "u-sub seçme" pusulası daha ekleyelim. İntegranda baktığınızda "içindeki" ifadeyi hangi yapının oluşturduğuna bakın: parantez, kök işareti, üstel ya da trigonometrik bir fonksiyonun argümanı. u genelde bu "içindeki" ifadedir. Sonra dışarıda bu içerinin türevine benzer bir çarpan arayın. Türev tam varsa düz u-sub; eksik katsayı varsa sabit düzeltme; hiç yoksa farklı yöntem (kısmi integrasyon) lazımdır.

Bazı çarpım integrallerinde değişken değiştirme işe yaramaz. Örneğin ∫ x · eˣ dx integrandında eˣ'in türevi yine eˣ'tir; x çarpanının "türevi dışarıda" yakalanamaz. Bu tarz integraller için türevdeki çarpım kuralının ters yüzü olan kısmi integrasyon formülü kullanılır.

Çarpım kuralından [u(x) · v(x)]' = u'(x) · v(x) + u(x) · v'(x). İki tarafın integrali alınırsa u · v = ∫ u' · v dx + ∫ u · v' dx. Buradan düzenlenerek elde edilen tarihsel formül:

∫ u dv = u · v - ∫ v du

LIATE Seçim Kuralı

Formülde u ve dv olarak hangi parçayı seçmek gerektiği önemlidir. Pratik bir öncelik sırası LIATE şeklinde hatırlanır:

1. Logaritmik (ln x, log x)
2. Inverse Trigonometric (arctan x, arcsin x)
3. Algebraic (polinom, rasyonel)
4. Trigonometric (sin x, cos x)
5. Exponential (eˣ, aˣ)

Listede önce gelen u, sonra gelen dv seçilir. Bu sayede du ifadesinde türev alındığında "iş küçülür".

Örnek 15 — ∫ x · eˣ dx

∫ x · eˣ dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: LIATE'ye göre algebraic x ile exponential eˣ var; u = x, dv = eˣ dx. Türevler: du = dx, v = eˣ. Formül: ∫ u dv = u · v - ∫ v du = x · eˣ - ∫ eˣ dx = x · eˣ - eˣ. Sonuç: eˣ(x - 1) + C.

Örnek 16 — ∫ ln x dx

∫ ln x dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: Tek terim olduğu için "dx" dv olarak kabul edilir. u = ln x ⇒ du = (1/x) dx; dv = dx ⇒ v = x. Formül: ∫ ln x dx = x · ln x - ∫ x · (1/x) dx = x · ln x - ∫ 1 dx = x · ln x - x. Sonuç: x · ln x - x + C.

Örnek 17 — ∫ x · ln x dx

∫ x · ln x dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: Logaritma x'ten önce gelir (LIATE). u = ln x ⇒ du = dx/x; dv = x dx ⇒ v = x²/2. ∫ x · ln x dx = (x²/2) · ln x - ∫ (x²/2) · (1/x) dx = (x² ln x)/2 - ∫ (x/2) dx = (x² ln x)/2 - x²/4. Sonuç: (x² ln x)/2 - x²/4 + C.

Örnek 18 — ∫ x · cos x dx

∫ x · cos x dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: u = x (algebraic), dv = cos x dx. du = dx, v = sin x. ∫ x cos x dx = x · sin x - ∫ sin x dx = x sin x - (-cos x) = x sin x + cos x. Sonuç: x sin x + cos x + C.

Örnek 18b — İkinci Derece Polinom × Üstel

∫ x² · eˣ dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: u = x² (algebraic), dv = eˣ dx. du = 2x dx, v = eˣ. ∫ x² eˣ dx = x² · eˣ - ∫ 2x · eˣ dx. İkinci integral için yine kısmi integrasyon: ∫ 2x · eˣ dx = 2x · eˣ - ∫ 2 · eˣ dx = 2x · eˣ - 2eˣ. Birleştirelim: x² · eˣ - (2x · eˣ - 2eˣ) = x² · eˣ - 2x · eˣ + 2eˣ. Sonuç: eˣ(x² - 2x + 2) + C. Polinom derecesi n olduğunda kısmi integrasyon n kez art arda uygulanır.

Kısmi İntegrasyonun Tekrar Edilmesi

Bazı integrallerde kısmi integrasyon uygulandığında yeni integral hâlâ çarpım biçiminde çıkabilir. Bu durumlarda iki seçenek vardır: (i) Formülü bir kez daha uygulamak (yukarıdaki polinom × üstel örneği gibi), (ii) Dairesel yöntem: ∫ eˣ · sin x dx gibi integrallerde iki kez kısmi integrasyon sonunda ilk integral yeniden karşımıza çıkar; eşitliği "I =" gibi çözeriz.

Örnek 18c — Dairesel Yöntem

I = ∫ eˣ · sin x dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: u = sin x, dv = eˣ dx seçilsin. du = cos x dx, v = eˣ. I = eˣ sin x - ∫ eˣ cos x dx. İkinci integral için yine kısmi: u = cos x, dv = eˣ dx ⇒ du = -sin x dx, v = eˣ. ∫ eˣ cos x dx = eˣ cos x - ∫ eˣ (-sin x) dx = eˣ cos x + I. Yerine yazalım: I = eˣ sin x - (eˣ cos x + I) ⇒ 2I = eˣ (sin x - cos x) ⇒ I = eˣ(sin x - cos x)/2. Sonuç: eˣ(sin x - cos x)/2 + C.

Belirsiz integralin sonucu + C'li bir fonksiyondur. Ancak pek çok uygulamada (özellikle alan ve hareket problemlerinde) tek bir sayı elde etmek istiyoruz. Bunun için integrale iki sınır eklenir ve sonuç sayısallaşır:

∫_a^b f(x) dx

Burada a alt sınır, b üst sınırdır. Bu ifadenin hesaplanması, kalkülüsün en güçlü teoremine dayanır.

Analizin Temel Teoremi (ATT)

f, [a, b] aralığında sürekli ve F onun herhangi bir antiderivatifi (yani F'(x) = f(x)) ise:

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

Yani önce belirsiz integrali alıp antiderivatif fonksiyonunu buluyor, sonra bu fonksiyonu üst ve alt sınırda değerlendirip farkı hesaplıyoruz. Gösterim olarak F(b) - F(a) yerine kısaca [F(x)]_a^b yazılır.

Örnek 19 — Polinom Belirli İntegrali

∫_0^2 (3x² + 2x) dx değerini hesaplayalım.

Çözüm: Antiderivatif: F(x) = x³ + x². F(2) = 8 + 4 = 12; F(0) = 0. Sonuç: 12 - 0 = 12.

Örnek 20 — 1/x ve Logaritma

∫_1^e (1/x) dx değerini hesaplayalım.

Çözüm: F(x) = ln|x|. F(e) = ln e = 1; F(1) = ln 1 = 0. Sonuç: 1 - 0 = 1.

Örnek 21 — Trigonometrik

∫_0^(π/2) sin x dx değerini hesaplayalım.

Çözüm: F(x) = -cos x. F(π/2) = -cos(π/2) = 0; F(0) = -cos 0 = -1. Sonuç: 0 - (-1) = 1.

ATT — İkinci Biçim (Değişken Üst Sınır)

F(x) = ∫_a^x f(t) dt biçiminde tanımlı bir fonksiyonun türevi üst sınırdaki değişkenin kendisidir:

F'(x) = f(x)

Üst sınır bir fonksiyonsa (örn. u(x)), zincir kuralı gereği türev f(u(x)) · u'(x) olur.

Örnek 22 — Değişken Üst Sınır Türevi

F(x) = ∫_0^(x²) sin(t) dt ise F'(x) kaçtır?

Çözüm: u(x) = x² ⇒ u'(x) = 2x. F'(x) = sin(u(x)) · u'(x) = sin(x²) · 2x = 2x · sin(x²).

Örnek 22b — ATT ile Limit Hesabı

lim_{x→0} [∫_0^x sin(t²) dt] / x³ değerini hesaplayalım.

Çözüm: x → 0 iken pay ve payda birlikte 0'a gider (0/0 belirsizliği). L'Hôpital kuralı: payın türevi ATT'den sin(x²), paydanın türevi 3x². lim_{x→0} sin(x²)/(3x²) = (1/3) · lim_{x→0} sin(x²)/x² = (1/3) · 1 = 1/3. Burada lim_{u→0} sin u / u = 1 özdeşliğini u = x² için kullandık.

Örnek 22c — Sabit Üst Sınır Değişmezlik

G(x) = ∫_x^5 (t² + 2t) dt ise G'(x) kaçtır?

Çözüm: Alt sınır değişken, üst sınır sabit. Sınırları ters çevirip işaret değiştirelim: G(x) = -∫_5^x (t² + 2t) dt. Şimdi ATT: G'(x) = -(x² + 2x) = -x² - 2x.

Belirli integralin hesabını kısaltan ve işlem kalabalığını azaltan bir dizi özellik vardır. Bu özellikler hem işlem süresini azaltır hem de soru tasarımındaki tuzaklardan kaçınmayı kolaylaştırır.

Temel Özellikler

1. Sınırlar eşitse: ∫_a^a f(x) dx = 0. Alt ve üst sınır aynıysa alan sıfırdır.
2. Sınır değişimi: ∫_a^b f(x) dx = -∫_b^a f(x) dx. Sınırları yer değiştirmek işaret değiştirir.
3. Doğrusallık: ∫_a^b [f ± g] dx = ∫_a^b f dx ± ∫_a^b g dx; ∫_a^b k · f dx = k · ∫_a^b f dx.
4. Sınır bölme: a < c < b için ∫_a^b f dx = ∫_a^c f dx + ∫_c^b f dx. Parçalı tanımlı fonksiyonlar ve işaret değişen integrallerde vazgeçilmezdir.
5. Sabit fonksiyon: ∫_a^b k dx = k · (b - a).
6. Pozitif integrand: f(x) ≥ 0 ise ∫_a^b f dx ≥ 0; f(x) ≤ 0 ise ∫_a^b f dx ≤ 0.
7. Karşılaştırma: f(x) ≤ g(x) her x ∈ [a, b] için ise ∫_a^b f dx ≤ ∫_a^b g dx. Bu özellik integrali tahmin sınırlandırmada (üst/alt sınır belirlemede) çok işe yarar.

Örnek 23 — Sınır Bölme

∫_0^4 f(x) dx = 10 ve ∫_2^4 f(x) dx = 7 ise ∫_0^2 f(x) dx kaçtır?

Çözüm: ∫_0^4 f dx = ∫_0^2 f dx + ∫_2^4 f dx ⇒ 10 = ∫_0^2 f dx + 7 ⇒ ∫_0^2 f(x) dx = 3.

Örnek 24 — Doğrusallık

∫_0^3 f(x) dx = 5 ve ∫_0^3 g(x) dx = 2 ise ∫_0^3 [3f(x) - 4g(x)] dx kaçtır?

Çözüm: Doğrusallık: 3 · 5 - 4 · 2 = 15 - 8 = 7.

Tek ve Çift Fonksiyon Kısayolu

Simetrik [-a, a] aralığında integrand'ın özel yapısına bakmak işlem yükünü büyük ölçüde azaltır:

• f çift (f(-x) = f(x)): ∫_{-a}^a f(x) dx = 2 · ∫_0^a f(x) dx. Grafiksel olarak y eksenine göre simetrik bölgenin alanı iki yarının toplamıdır.
• f tek (f(-x) = -f(x)): ∫_{-a}^a f(x) dx = 0. Grafiksel olarak sol yarıdaki negatif alan sağ yarıdaki pozitif alanı iptal eder.

Örnek 25 — Tek Fonksiyon

∫_{-5}^{5} (x⁵ + 3x³ - 7x) dx değerini hesaplayalım.

Çözüm: Her terim tek kuvvettir ⇒ toplam tek fonksiyondur. Sonuç doğrudan 0.

Örnek 26 — Çift Fonksiyon

∫_{-1}^{1} (3x² + 2) dx değerini hesaplayalım.

Çözüm: 3x² çift, 2 sabittir (çift). Tüm integrand çift. ∫_{-1}^{1} = 2 · ∫_0^1 (3x² + 2) dx = 2 · [x³ + 2x]_0^1 = 2 · (1 + 2) = 6.

Örnek 27 — Karma Tek-Çift

∫_{-2}^{2} (x³ + x² + 5) dx değerini hesaplayalım.

Çözüm: x³ tek ⇒ ∫ = 0. x² + 5 çift ⇒ ∫_{-2}^{2} (x² + 5) dx = 2 · ∫_0^2 (x² + 5) dx = 2 · [x³/3 + 5x]_0^2 = 2 · (8/3 + 10) = 2 · (8/3 + 30/3) = 2 · 38/3 = 76/3.

Belirsiz integralde öğrendiğimiz u-sub yöntemini belirli integrale uyarlarken iki seçenek vardır.

Seçenek 1: Sınırları da Dönüştür

u = g(x) dönüşümünü yaparken integrandı, dx'i ve sınırları da u cinsine çevirin. x = a sınırı için u = g(a), x = b sınırı için u = g(b). Artık u değişkeninde belirli integral kalır ve sonuç doğrudan sayısal olarak bulunur. Avantajı: antiderivatifi tekrar x cinsine çevirmeye gerek kalmaz.

Seçenek 2: Önce Belirsiz Hesapla, Sonra Sınırları Uygula

Belirsiz integrali çözüp u cinsinden bir antiderivatif bulun, sonra u yerine g(x) yazıp asıl değişkene dönün; en sonunda x'in a ve b sınır değerlerini F(b) - F(a) biçiminde uygulayın. Birçok öğrenci bu yolu daha güvenli bulur.

Örnek 28 — Seçenek 1 Uygulaması

∫_0^2 2x · (x² + 1)³ dx değerini hesaplayalım.

Çözüm: u = x² + 1 ⇒ du = 2x dx. Sınırlar: x = 0 ⇒ u = 1; x = 2 ⇒ u = 5. Yeni integral: ∫_1^5 u³ du = [u⁴/4]_1^5 = 625/4 - 1/4 = 624/4 = 156.

Örnek 29 — Seçenek 2 Uygulaması

Aynı integrali ikinci yoldan çözelim: ∫ 2x (x² + 1)³ dx. u = x² + 1 ⇒ du = 2x dx. ∫ u³ du = u⁴/4 = (x² + 1)⁴/4. Şimdi sınırları uygulayalım: [(x² + 1)⁴/4]_0^2 = 5⁴/4 - 1⁴/4 = 625/4 - 1/4 = 624/4 = 156. Aynı sonuç.

Örnek 30 — Sınır Dönüşümü Tuzak Örneği

∫_0^1 x · √(1 - x²) dx değerini hesaplayalım.

Çözüm: u = 1 - x² ⇒ du = -2x dx ⇒ x dx = -du/2. Sınırlar: x = 0 ⇒ u = 1; x = 1 ⇒ u = 0. Yeni integral: ∫_1^0 √u · (-1/2) du = (1/2) · ∫_0^1 √u du (sınırları ters alarak işaret düzelttik) = (1/2) · [(2/3) u^(3/2)]_0^1 = (1/2) · (2/3) = 1/3.

Belirli integralin en önemli geometrik yorumu, eğri altında kalan bölgenin alanını verir. Bu bağlantı, integral konusunun en çok soru gelen başlığıdır; AYT'de neredeyse her yıl bu kurguda en az bir soru yer alır.

f(x) ≥ 0 Durumu

f fonksiyonu [a, b] aralığında sürekli ve negatif olmayan bir değere sahipse, y = f(x) eğrisi ile x = a, x = b dikmeleri ve y = 0 (x ekseni) çizgileriyle sınırlı bölgenin alanı:

A = ∫_a^b f(x) dx

Örnek 31 — Basit Parabol Alanı

y = x² eğrisi ile x = 0, x = 3 ve x ekseni arasında kalan bölgenin alanını bulalım.

Çözüm: A = ∫_0^3 x² dx = [x³/3]_0^3 = 27/3 - 0 = 9 br².

f(x) < 0 Durumu — Mutlak Değer Şart

Eğri x ekseninin altında kalıyorsa belirli integral negatif bir sayı verir. Fiziksel alan ise negatif olamaz; bu yüzden sonucun mutlak değeri alan olarak yazılır.

A = |∫_a^b f(x) dx|, f(x) ≤ 0 olan aralıkta.

Örnek 32 — x Ekseninin Altında Alan

y = x² - 4 parabolünün x ekseniyle sınırladığı bölgenin alanını bulalım.

Çözüm: Kökler: x² - 4 = 0 ⇒ x = ±2. [-2, 2] aralığında x² - 4 ≤ 0. Alan: A = |∫_{-2}^{2} (x² - 4) dx|. Integrand çift ⇒ A = |2 · ∫_0^2 (x² - 4) dx| = |2 · [x³/3 - 4x]_0^2| = |2 · (8/3 - 8)| = |2 · (-16/3)| = 32/3 br².

Örnek 32b — Negatif Aralıkta Alan

y = x³ eğrisi ile x ekseni arasında x ∈ [-2, 0] aralığında kalan alanı bulalım.

Çözüm: [-2, 0] aralığında x³ ≤ 0 (eksenin altı). A = |∫_{-2}^{0} x³ dx| = |[x⁴/4]_{-2}^{0}| = |0 - 16/4| = |-4| = 4 br².

Örnek 33 — Ekseni Kesen Eğri

y = x · (x - 3) parabolünün x = 0 ile x = 5 arasında x eksenini kestiği tüm bölgenin toplam alanını bulalım.

Çözüm: Kökler: x = 0 ve x = 3. [0, 3] aralığında x(x - 3) ≤ 0 (eksenin altı); [3, 5] aralığında x(x - 3) ≥ 0 (eksenin üstü). A = |∫_0^3 (x² - 3x) dx| + ∫_3^5 (x² - 3x) dx. F(x) = x³/3 - 3x²/2. F(0) = 0. F(3) = 9 - 27/2 = -9/2. F(5) = 125/3 - 75/2 = 250/6 - 225/6 = 25/6. İlk parça: |F(3) - F(0)| = |-9/2| = 9/2. İkinci parça: F(5) - F(3) = 25/6 - (-9/2) = 25/6 + 27/6 = 52/6 = 26/3. Toplam alan: 9/2 + 26/3 = 27/6 + 52/6 = 79/6 br².

AYT'nin en sevdiği kurgulardan biri, iki eğrinin kesişimiyle oluşan kapalı bölgenin alanıdır. Bu tip sorularda eğrilerden hangisinin "üst", hangisinin "alt" olduğunu doğru belirlemek ve kesişim noktalarını bulmak birincil görevdir.

Temel Formül

İki eğri arasında alan formülü, aslında tek eğri durumunun bir genellemesidir. Tek eğride üst f(x), alt sıfır (x ekseni) idi; burada sadece "alt"ı g(x)'e taşıyoruz. Kapalı bölgeyi iki yatay dilim olarak düşünürseniz, her x için dilimin yüksekliği f(x) - g(x) olur; x'i a'dan b'ye tarayıp bu yükseklikleri topladığımızda alan çıkar.

[a, b] aralığında f(x) ≥ g(x) ise y = f(x) ve y = g(x) eğrilerinin arasında kalan bölgenin alanı:

A = ∫_a^b [f(x) - g(x)] dx

Burada a ve b genellikle f(x) = g(x) denkleminin kökleridir (iki eğrinin kesiştiği apsisler). Bütün yüksekliği "üstten alta" fark olarak yazarız; bu yüzden bölgenin x eksenine göre konumu (altta, üstte, karışık) alanı etkilemez.

Örnek 34 — Parabol ve Doğru

y = x² parabolü ile y = x + 2 doğrusu arasında kalan bölgenin alanını bulalım.

Çözüm: Kesişim: x² = x + 2 ⇒ x² - x - 2 = 0 ⇒ (x - 2)(x + 1) = 0 ⇒ x = -1, x = 2. Bu aralıkta x + 2 > x² olup olmadığını test edelim: x = 0 için x + 2 = 2, x² = 0 ⇒ doğru yukarıdadır. A = ∫_{-1}^{2} [(x + 2) - x²] dx = ∫_{-1}^{2} (-x² + x + 2) dx. F(x) = -x³/3 + x²/2 + 2x. F(2) = -8/3 + 2 + 4 = -8/3 + 6 = 10/3. F(-1) = 1/3 + 1/2 - 2 = 2/6 + 3/6 - 12/6 = -7/6. A = 10/3 - (-7/6) = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 9/2 br².

Örnek 34b — Parabol ile x Ekseni Alanı

y = 4 - x² parabolünün x ekseni ile sınırladığı kapalı bölgenin alanını bulalım.

Çözüm: Kökler: 4 - x² = 0 ⇒ x = ±2. [-2, 2] aralığında 4 - x² ≥ 0. Integrand çift. A = ∫_{-2}^{2} (4 - x²) dx = 2 · ∫_0^2 (4 - x²) dx = 2 · [4x - x³/3]_0^2 = 2 · (8 - 8/3) = 2 · 16/3 = 32/3 br².

Örnek 35 — İki Parabol

y = x² ile y = 2x - x² eğrileri arasındaki bölgenin alanını bulalım.

Çözüm: Kesişim: x² = 2x - x² ⇒ 2x² - 2x = 0 ⇒ 2x(x - 1) = 0 ⇒ x = 0, x = 1. Üst fonksiyonu test: x = 1/2 için y₁ = 1/4, y₂ = 1 - 1/4 = 3/4 ⇒ y₂ üstte. A = ∫_0^1 [(2x - x²) - x²] dx = ∫_0^1 (2x - 2x²) dx = [x² - (2/3)x³]_0^1 = 1 - 2/3 - 0 = 1/3 br².

Örnek 36 — Üstlüğün Değiştiği Durum

y = x³ ile y = x eğrileri arasında x ∈ [-1, 1] aralığında kalan toplam alanı bulalım.

Çözüm: Kesişim: x³ = x ⇒ x(x² - 1) = 0 ⇒ x = 0, ±1. Test: x = 1/2 için x³ = 1/8, x = 1/2 ⇒ x doğrusu üstte. x = -1/2 için x³ = -1/8, x = -1/2 ⇒ x³ üstte (-1/8 > -1/2). Aralık üstlüğü değiştirir. [-1, 0]'da x³ - x pozitif (x³ üstte), [0, 1]'de x - x³ pozitif (x üstte). A = ∫_{-1}^{0} (x³ - x) dx + ∫_0^1 (x - x³) dx. Simetri: iki integral de 1/4 verir ⇒ A = 1/4 + 1/4 = 1/2 br².

y Eksenine Göre Alan

Bazı bölgelerde y değişkeni cinsinden çözmek daha pratiktir. Eğri x = h(y) biçiminde verilir ve y ekseni ile sınırlı bölge için:

A = ∫_c^d h(y) dy

c ve d y değişkeninin sınırlarıdır. Örnek: y = x² parabolü ile y = 4 doğrusu ve y ekseni arasındaki sağ bölgenin alanı için x = √y alınır, A = ∫_0^4 √y dy = [(2/3) y^(3/2)]_0^4 = (2/3) · 8 = 16/3 br².

İntegrand parçalı tanımlıysa ya da içinde mutlak değer bulunuyorsa, integrali parçalara ayırmak zorunludur. Tek seferde çözmeye çalışmak neredeyse her zaman yanlış sonuç verir. AYT'de bu kurgu yaklaşık yılda bir kez mutlaka karşımıza çıkar.

Parçalı Fonksiyon İntegrali

f fonksiyonu aralığa göre farklı ifadelerle tanımlıysa, integrali her ifadenin geçerli olduğu aralıkta ayrı ayrı hesaplayıp toplayın:

∫_a^b f(x) dx = ∫_a^c f₁(x) dx + ∫_c^b f₂(x) dx

Örnek 37 — Parçalı Fonksiyon İntegrali

f(x) = { x² , x ≤ 1; 2x - 1 , x > 1 } ile tanımlı f için ∫_0^2 f(x) dx kaçtır?

Çözüm: ∫_0^2 = ∫_0^1 x² dx + ∫_1^2 (2x - 1) dx. Birinci: [x³/3]_0^1 = 1/3. İkinci: [x² - x]_1^2 = (4 - 2) - (1 - 1) = 2. Toplam: 1/3 + 2 = 7/3.

Mutlak Değer İntegrali

|f(x)| fonksiyonu, f'nin işareti pozitifse f'ye, negatifse -f'ye eşittir. İntegral için f'nin kök noktaları bulunur, aralık bu noktalardan bölünür, her parçada uygun işaret alınır.

Örnek 38 — Mutlak Değerli İntegral

∫_0^3 |x - 1| dx değerini hesaplayalım.

Çözüm: Kök: x - 1 = 0 ⇒ x = 1. [0, 1]: x - 1 ≤ 0 ⇒ |x - 1| = -(x - 1) = 1 - x. [1, 3]: x - 1 ≥ 0 ⇒ |x - 1| = x - 1. İntegrali bölelim: ∫_0^1 (1 - x) dx + ∫_1^3 (x - 1) dx. Birinci: [x - x²/2]_0^1 = 1 - 1/2 = 1/2. İkinci: [x²/2 - x]_1^3 = (9/2 - 3) - (1/2 - 1) = 3/2 - (-1/2) = 2. Toplam: 1/2 + 2 = 5/2.

Örnek 39 — İşaret Değişimi Karışık

∫_{-2}^{3} |x² - 1| dx değerini hesaplayalım.

Çözüm: Kökler: x² - 1 = 0 ⇒ x = ±1. İşaret: |x| > 1 için x² - 1 > 0; |x| < 1 için x² - 1 < 0. Bölümleme: [-2, -1], [-1, 1], [1, 3]. |f| integrali: ∫_{-2}^{-1} (x² - 1) dx + ∫_{-1}^{1} -(x² - 1) dx + ∫_1^3 (x² - 1) dx. F(x) = x³/3 - x. F(-2) = -8/3 + 2 = -2/3. F(-1) = -1/3 + 1 = 2/3. F(1) = 1/3 - 1 = -2/3. F(3) = 9 - 3 = 6. Birinci parça: F(-1) - F(-2) = 2/3 - (-2/3) = 4/3. İkinci parça: -(F(1) - F(-1)) = -(-2/3 - 2/3) = 4/3. Üçüncü parça: F(3) - F(1) = 6 - (-2/3) = 20/3. Toplam: 4/3 + 4/3 + 20/3 = 28/3.

Belirli integral, geometrik alan hesabının ötesinde pek çok uygulamada karşımıza çıkar. AYT'de genellikle alan sorularıyla karıştırılmasın diye ek uygulamalar biraz daha sade verilir; ancak temel fikirleri bilmek paragraf çözümlerinde büyük kolaylık sağlar.

Hareket Problemleri — Hızdan Konuma

Türev konusunda s(t) konumunun türevi v(t) hızı, v(t)'nin türevi a(t) ivmesi idi. Tersi de doğrudur: hızın integrali konumu, ivmenin integrali hızı verir. Bir parçacığın [t₁, t₂] arasında aldığı yol:

Δs = ∫_{t₁}^{t₂} v(t) dt

v(t) yönü değiştiriyorsa toplam yol yerine "net yer değiştirme" elde edilir. Gerçek yol için |v(t)| integrali alınır.

Örnek 40 — Hızın İntegrali

Bir cismin hızı v(t) = 3t² + 2 (m/s) olarak veriliyor. t = 0 ile t = 2 s arasında aldığı yol kaç metredir?

Çözüm: Δs = ∫_0^2 (3t² + 2) dt = [t³ + 2t]_0^2 = 8 + 4 - 0 = 12 m.

Ortalama Değer

[a, b] aralığında sürekli bir f fonksiyonunun ortalama değeri:

f_ort = (1/(b - a)) · ∫_a^b f(x) dx

Yani alan / aralık uzunluğu. Geometrik olarak, tabanı (b - a), alanı ∫_a^b f(x) dx olan dikdörtgenin yüksekliğidir.

Örnek 41 — Ortalama Değer

f(x) = x² fonksiyonunun [0, 3] aralığındaki ortalama değeri kaçtır?

Çözüm: ∫_0^3 x² dx = 9. f_ort = 9 / (3 - 0) = 3.

Dönel Cisim Hacmi (Opsiyonel)

y = f(x) eğrisinin [a, b] aralığında x ekseni etrafında döndürülmesiyle elde edilen cismin hacmi:

V = π · ∫_a^b [f(x)]² dx

Bu başlık AYT'de nadir görülse de lisans düzeyinde kritiktir. Özet: "eğrinin karesinin integrali × π".

Örnek 41b — Dönel Hacim

y = √x eğrisinin [0, 4] aralığında x ekseni etrafında döndürülmesiyle oluşan dönel cismin hacmini bulalım.

Çözüm: V = π ∫_0^4 (√x)² dx = π ∫_0^4 x dx = π · [x²/2]_0^4 = π · (16/2 - 0) = 8π br³.

Eğri Uzunluğu ve Diğer Uygulamalar

İntegralin daha ileri uygulamaları arasında eğri yay uzunluğu L = ∫_a^b √(1 + [f'(x)]²) dx, yüzey alanı hesabı ve olasılık yoğunluk fonksiyonlarının kümülatif ifadesi de bulunur. AYT seviyesinde bu ifadelerin adı geçebilir; formülü doğrudan uygulamadan öğrencinin "integral = bir büyüklüğün sonsuz küçük parçalarının toplamı" mantığını kavraması beklenir.

İntegralin Ekonomi Uygulamaları

Marjinal maliyet M(q) = C'(q) biliniyorsa, q birim üretim için toplam maliyet C(q) = ∫_0^q M(t) dt + sabit maliyet biçiminde elde edilir. Benzer şekilde marjinal gelirin integrali toplam geliri verir. Bu uygulamalar AYT'de nadir olsa da fen fakültesi tercih eden öğrencilerin sonradan sık karşılaşacağı kurulumlardır.

Bu başlıkta integral konusunun farklı kurgularını birleştiren örnekleri çözeceğiz. Her soruda hangi tekniğin (temel kural, u-sub, kısmi integrasyon, ATT, alan hesabı, simetri) devreye girdiğini vurgulamaya çalışın; refleks yerleşince AYT'deki benzer sorular kısa sürede çözülür.

Örnek 42 — Türevden İntegrale Geçiş

F'(x) = 6x² + 4x ve F(1) = 10 ise F(2) kaçtır?

Çözüm: ∫ (6x² + 4x) dx = 2x³ + 2x² + C. F(1) = 2 + 2 + C = 4 + C = 10 ⇒ C = 6. F(x) = 2x³ + 2x² + 6. F(2) = 16 + 8 + 6 = 30.

Örnek 43 — u-Sub ile Belirli İntegral

∫_0^1 x · e^(x²) dx değerini hesaplayalım.

Çözüm: u = x² ⇒ du = 2x dx ⇒ x dx = du/2. Sınırlar: x = 0 ⇒ u = 0; x = 1 ⇒ u = 1. İntegral: (1/2) · ∫_0^1 eᵘ du = (1/2) · [eᵘ]_0^1 = (1/2) · (e - 1) = (e - 1)/2.

Örnek 44 — Analizin Temel Teoremi ile Türev

F(x) = ∫_1^(x³) (t² + 1) dt ise F'(2) kaçtır?

Çözüm: Zincir kuralı: F'(x) = ((x³)² + 1) · (x³)' = (x⁶ + 1) · 3x². F'(2) = (64 + 1) · 3 · 4 = 65 · 12 = 780.

Örnek 45 — Üç Fonksiyon Arasında Alan

y = x², y = 1/x ve x = 2 eğrileri ile x ekseni tarafından 1. bölgede sınırlı bölgenin alanını bulalım. (x = 1 noktasında y = x² ile y = 1/x kesişir.)

Çözüm: [0, 1] aralığında üst eğri y = x²'dir ve taban x eksenidir; [1, 2] aralığında üst eğri y = 1/x'tir. Toplam alan = ∫_0^1 x² dx + ∫_1^2 (1/x) dx = [x³/3]_0^1 + [ln|x|]_1^2 = 1/3 + (ln 2 - ln 1) = 1/3 + ln 2. Sonuç: 1/3 + ln 2 br².

Örnek 46 — Simetri ile Kısayol

∫_{-π/2}^{π/2} (x² · cos x + x³ · sin x) dx değerini hesaplayalım.

Çözüm: x² · cos x çift fonksiyondur (çift × çift = çift). x³ · sin x çift fonksiyondur (tek × tek = çift). Toplam integrand çift. ∫ = 2 · ∫_0^(π/2) (x² · cos x + x³ · sin x) dx. Bu soruda asıl amaç, her iki terimin çift olduğunu doğrulamaktır; aksi hâlde hesap uzar. Simetri kontrol etmeden "x³ tek, sin x tek" düşüncesiyle hatalı biçimde 0 diyen öğrenciler yaygındır.

Örnek 47 — Kısmi İntegrasyon

∫_1^e x² · ln x dx değerini hesaplayalım.

Çözüm: u = ln x (LIATE'de L önde), dv = x² dx. du = dx/x, v = x³/3. Formül: ∫ u dv = u · v - ∫ v du = (x³/3) · ln x - ∫ (x³/3)(1/x) dx = (x³/3) ln x - ∫ x²/3 dx = (x³/3) ln x - x³/9. Sınırlar: [(x³/3) ln x - x³/9]_1^e = (e³/3) · 1 - e³/9 - (0 - 1/9) = e³/3 - e³/9 + 1/9 = 3e³/9 - e³/9 + 1/9 = (2e³ + 1)/9. Sonuç: (2e³ + 1)/9.

Örnek 47b — Karma Rasyonel İntegral

∫ (x + 1)/(x² + 2x + 5) dx integralini hesaplayalım.

Çözüm: Paydanın türevi 2x + 2 = 2(x + 1). Pay (x + 1), paydanın türevinin yarısı. u = x² + 2x + 5 ⇒ du = (2x + 2) dx ⇒ (x + 1) dx = du/2. ∫ (1/u) · (du/2) = (1/2) ln|u| + C. Sonuç: (1/2) · ln(x² + 2x + 5) + C. (x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4 > 0 her x için, mutlak değer gereksiz.)

Örnek 48 — Başlangıç Koşulu ile Hareket

Bir cismin ivmesi a(t) = 6t - 4 (m/s²) ile veriliyor. Başlangıçta hızı v(0) = 2 m/s, konumu s(0) = 5 m ise t = 3 s'deki konumu kaç m'dir?

Çözüm: Hız: v(t) = ∫ (6t - 4) dt = 3t² - 4t + C₁. v(0) = C₁ = 2 ⇒ v(t) = 3t² - 4t + 2. Konum: s(t) = ∫ (3t² - 4t + 2) dt = t³ - 2t² + 2t + C₂. s(0) = C₂ = 5 ⇒ s(t) = t³ - 2t² + 2t + 5. s(3) = 27 - 18 + 6 + 5 = 20 m.