Basit Harmonik Hareket

Fizikte üç tür mekanik hareket vardır: öteleme, dönme ve titreşim (salınım). Sarkaçlı saatin sarkacı, ip ucundaki cisim, yay ucundaki kütle, U borusundaki su seviyesi — bunların hepsi bir denge noktasının sağına ve soluna simetrik olarak gidip gelen salınım örnekleridir. Bu salınım hareketleri içinde özel bir sınıf vardır: basit harmonik hareket (BHH).

Bir salınıma "basit harmonik" diyebilmek için tek bir şartın sağlanması gerekir:

Buradaki x cismin uzanımı (denge noktasından olan yer değiştirmesi), k bu orantıyı veren sabittir ve eksi işareti kuvvetin hep denge noktasını gösterdiğini ifade eder. Orantı doğru orantıysa hareket "basit"tir; değilse "harmonik" olmakla birlikte "basit" değildir ve konumuzun dışındadır.

Denge Noktası ve Geri Çağırıcı Kuvvet

Denge noktası, cismin üzerindeki net kuvvetin sıfır olduğu konumdur. Yatay sürtünmesiz bir zeminde yaya bağlı cismi düşünün: yayda sıkışma veya uzama yoksa yay kuvveti sıfır, ağırlık da normal kuvvetle dengelendiği için net kuvvet sıfırdır. Cismi bu noktadan uzaklaştırdığınızda yay devreye girer ve onu denge noktasına doğru çeker ya da iter. İşte bu, geri çağırıcı kuvvettir — adı üstünde, cismi ilk bulunduğu yere çağırır.

Cisim denge noktasından geçerken bile yay onu durdurmaz; cismin bir hızı vardır ve atalet sebebiyle karşı tarafa geçer. O tarafta yay tekrar sıkışır/gerilir ve cismi yine geri çağırır. Sürtünme olmadığı sürece bu gidip gelme sonsuza kadar sürer.

Uç Noktalar ve Denge Noktası

Hareketin üç kritik noktası vardır:

• +A (pozitif uç nokta): Cismin ulaşabildiği en uzak pozitif konum. Hız anlık olarak sıfır, kuvvet ve ivme maksimum değerdedir, yön denge noktasına doğrudur.
• −A (negatif uç nokta): En uzak negatif konum. Burada da hız sıfır, kuvvet ve ivme maksimum büyüklükte ama yön tersidir (yine denge noktasına doğru).
• 0 (denge noktası): Kuvvet ve ivme sıfır; hız maksimumdur (v_max).

Neden "Basit" Harmonik?

Her titreşim salınım hareketidir, her salınım da genel anlamda "harmonik" olarak sınıflandırılabilir. Ancak bu titreşimlerin küçük bir kısmı doğru orantı şartını sağlar. Kuvvet uzanımın ilk kuvveti ile (birinci derece) orantılıysa, yani F = -k·x şeklindeyse harmonik hareket "basit" adını alır. Eğer kuvvet x² veya sin(x) gibi daha karmaşık biçimdeyse hareket hâlâ salınımdır ama BHH değildir ve konumumuzun dışında kalır.

Doğadaki birçok titreşim, denge noktasından küçük sapmalarda BHH'ye yaklaşır. Moleküllerin atomları arasındaki bağları bu yaklaşımla modelleriz; binaların deprem anındaki küçük titreşimi BHH yasalarına uyar. Bu yüzden BHH sadece fizik sınavının değil mühendisliğin de temel modellerindendir.

BHH Yapan Sistem Örnekleri

Yalnız yay ucundaki kütle değil; aşağıdaki tüm sistemler küçük genliklerde BHH yapar:

• Yay sarkacı (yatay/düşey): Geri çağırıcı kuvvet yaydan gelir. Düşey durumda ağırlık yayın başlangıç uzaması tarafından dengelendiği için salınıma dahil olmaz.
• Basit sarkaç (küçük açı): İp ucundaki cisim, ağırlığın yörüngeye teğet bileşeninin etkisiyle salınır.
• U borusu içindeki sıvı: İki kolda eşitsizlik oluşursa yerçekim geri çağırıcı kuvvet görevini üstlenir; sıvı seviyeleri denge konumu etrafında titreşir.
• Yay gibi davranan elastik çubuk: Yatay bir metal çubuğun ucuna kütle asılıp serbest bırakıldığında çubuğun elastikiyeti yay kuvveti gibi işlev görür.
• Parabolik çanak içindeki misket: Küçük genlikte ağırlığın yörüngeye teğet bileşeni denge noktasına çekme kuvveti oluşturur.

Tüm bu örneklerde geri çağırıcı kuvvet m·ω²·x formatında yazılabilir. Yalnız ω²'nin somut değeri sisteme göre değişir: yay sarkacında k/m, basit sarkaçta g/L, U borusundaki sıvı sütununda 2g/L gibi. BHH'nin genelliği formülün her sistemde aynı kalmasından gelir; farklı olan yalnızca sabitlerin somut ifadesidir.

Basit harmonik hareketi anlamanın en kısa yolu onun düzgün çembersel hareketle olan bağını görmektir. Güneş tepeden vuruyorken yerde gölgeniz nasıl oluşuyorsa, yatay bir düzleme diktiğiniz bir ışık kaynağı, çember üzerinde dönen bir cismin o düzlemde gölgesini düşürür. İşte bu gölge (iz düşüm), çember üzerindeki cisim düzgün dönerken, tek bir eksen üzerinde basit harmonik hareket yapar.

İz Düşümün Özellikleri

Çember üzerinde R yarıçapıyla, ω açısal hızıyla dönen bir cismin x eksenine iz düşümünü düşünelim:

• Çember üzerindeki cismin konumu x = R·cos(ωt) olarak değişir.
• Bu x ekseni üzerindeki iz düşüm, x = +R ile x = -R arasında gidip gelir.
• İz düşümün genliği çemberin yarıçapına eşittir: A = R.
• İz düşümün açısal frekansı çemberin açısal hızıyla aynıdır: ω = ω_çember.

Bu karşılık sayesinde çembersel hareket için öğrendiğiniz her büyüklüğün BHH karşılığı vardır:

Çembersel Hareket	BHH Karşılığı
Yarıçap R	Genlik A
Açısal hız ω	Açısal frekans ω
Çizgisel hız v = ω·R	Maksimum hız v_max = ω·A
Merkezcil ivme a = ω²·R	Maksimum ivme a_max = ω²·A
Merkezcil kuvvet F = m·ω²·R	Maksimum kuvvet F_max = m·ω²·A

T/4, T/6, T/12 Yol-Zaman Şablonu

Çembersel hareketi hayal ettiğimizde, iz düşüm çember üzerindeki eşit açıları eşit sürede tarar. Eksi genlikten artı genliğe geçmek çemberde yarım turdur: T/2. Denge noktasından uç noktaya gitmek çeyrek tur: T/4. Ancak yolu iki eşit parçaya böldüğümüzde şablon şaşırtıcıdır:

Çembersel Hareket ↔ BHH Grafiği Sözlüğü

İki hareket arasındaki karşılığı grafik üzerinden düşünmek faydalıdır. Çember üzerinde sabit açısal hızla dönen cismin konum vektörü zaman arttıkça eşit açılarla döner. Bu vektörün x bileşeni (yatay iz düşümü) zamanla kosinüs dalgası çizer, y bileşeni (düşey iz düşümü) sinüs dalgası çizer. Bu yüzden iki farklı eksendeki iz düşümler 90° faz farklıdır: biri kosinüs, diğeri sinüs.

BHH sorularında "cisim denge noktasından hareketine başladı" dendiğinde fonksiyon sin, "uç noktada durgun iken serbest bırakıldı" dendiğinde fonksiyon cos biçimindedir. Başlangıç koşullarını doğru seçmek özellikle faz soruları için kritiktir.

Bir titreşimin tamamlanma süresini tanımlayan üç büyüklük vardır ve bunlar birbirinden türer. AYT sorularında birini bildiğinizde diğerlerini hemen yazabilmeniz beklenir.

Periyot (T)

Bir tam titreşim için gereken süredir. "Tam titreşim" derken, cismin başladığı konuma başladığı koşullarda (aynı yön ve hızla) geri dönmesini kastediyoruz. Örneğin cisim denge noktasından sağa doğru başladıysa, periyot bittiğinde yine denge noktasında ve yine sağa doğru olmalıdır.

Eksi genlikten hareketine başlayan bir cismin bir periyodu: eksi genlik → denge → artı genlik → denge → eksi genlik. Bu döngü içinde dört çeyreklik (T/4'lük) adım vardır. Birimi saniyedir.

Frekans (f)

Saniyedeki titreşim sayısıdır. Periyotla ters orantılıdır:

Birimi hertz (Hz). Periyot 2 saniyeyse frekans 1/2 = 0.5 Hz'dir. Frekans 10 Hz ise periyot 0.1 s'dir — yani cisim saniyede 10 titreşim yapıyor demektir.

Açısal Frekans (ω)

Çembersel hareketle kurduğumuz analojinin doğal sonucudur: BHH yapan cismi çember üzerinde dolanan bir cismin iz düşümü olarak düşündüğümüzde, hayali cismin açısal hızı BHH'nin açısal frekansıdır.

Birimi radyan/saniye. BHH'nin gerçeğinde cisim herhangi bir açı taramaz — düz bir çizgi üzerinde gidip gelir. Ama çember analojisinde hayali bir açı vardır ve bu açının saniyede kaç radyanı taradığı ω'dır.

Periyodu Ne Etkiler, Ne Etkilemez?

Periyot, BHH yapan cismin neye bağlı olduğunu belirleyen kritik büyüklüktür. Aşağıdaki tablo hangi sistemde hangi değişkenin periyodu etkilediğini özetler:

Değişken	Yay Sarkacı	Basit Sarkaç
Kütle (m)	Etkiler (artarsa T artar)	Etkilemez
Yay sabiti (k)	Etkiler (artarsa T azalır)	—
Uzunluk (L)	—	Etkiler (artarsa T artar)
Yerçekim ivmesi (g)	Etkilemez	Etkiler (artarsa T azalır)
Genlik (A)	Etkilemez	Etkilemez (küçük açı)

Bu tablo sınavda yol göstericidir: soru "genlik iki katına çıktı, periyot ne olur?" diye sorarsa cevap "değişmez"dir — her iki sistemde de. Ama "kütle iki katına çıktı, yay sarkacında periyot ne olur?" dendiğinde T ∝ √m olduğundan periyot √2 katına çıkar.

Konum değiştikçe hız ve ivmenin nasıl değiştiğini bilmek, BHH sorularının bel kemiğidir. Tüm formüllerin kaynağı çembersel hareketin iz düşümü ve F = -k·x şartıdır.

Konum

Cisim denge noktasından harekete başlıyorsa:

x(t) = A·sin(ω·t)

Cisim pozitif uç noktadan harekete başlıyorsa:

x(t) = A·cos(ω·t)

İkisi de sinüs dalgasıdır; yalnız başlangıç noktası farkı var. Konum–zaman grafiği, sinüs/kosinüs dalgası çizer.

İvme

Kuvvet F = -k·x idi. Newton II'den F = m·a. O zaman:

İki önemli sonuç:

• İvme konumla doğru orantılıdır (büyüklük bakımından) ve daima denge noktasını gösterir.
• Denge noktasında x = 0 olduğundan a = 0'dır. Uç noktalarda |x| = A olduğundan |a|_max = ω²·A'dır.

Bunun sonucu, ivme–konum grafiği negatif eğimli bir doğrudur: x arttıkça a azalır; eğimi -ω²'dir. Kuvvet–konum grafiği de aynı şekilde negatif eğimlidir, eğimi -k'dır.

Hız

Enerji korunumundan (sonraki bölümde detaylı) türetilir:

• x = 0 (denge noktası): v_max = ω·A — en hızlı an.
• x = ±A (uç noktalar): v = 0 — anlık duruş.
• x = A/2: v = ω·√(A² - A²/4) = ω·A·√3/2 ≈ 0.87·v_max.

Hız–konum grafiği yarım elips şeklindedir: denge noktasında ± maksimum, uç noktalarda sıfır.

Özet: Maksimumlar Nerede?

Konum	Hız	İvme / Kuvvet
x = 0 (denge)	Maksimum: ω·A	Sıfır
x = ±A/2	ω·A·√3/2	Yarısı: ω²·A/2
x = ±A (uç)	Sıfır	Maksimum: ω²·A

Konum–Zaman Grafiğinin Fizik Okuması

Konum–zaman grafiğinden birçok bilgi okunabilir:

• Dalga yüksekliği: Genliği verir. Tepeden tabana 2A, tepeden eksene A.
• İki tepe arası yatay mesafe: Periyottur. Frekans f = 1/T olarak hesaplanır.
• Eğim: Hızı verir. Dalganın tepe veya çukur noktalarında eğim sıfırdır (hız sıfır — bu noktalar uç noktalardır). Dalganın sıfır ekseninden geçtiği noktalarda eğim maksimumdur (hız maksimum — bu noktalar denge noktalarıdır).
• Eğimin değişimi: İvme ile ilişkilidir. Tepe ve çukurlarda eğim hızla değişir (ivme maksimum); sıfır geçişlerinde eğim en yavaş değişir (ivme sıfır).

Bir periyot boyunca cismin izlediği şablonu özetleyelim: eksi genlikten başladığını varsayalım.

Süre	Konum	Hız	Kuvvet / İvme
0	−A	0	+Max (sağa)
T/4	0 (denge)	+Max (sağa)	0
T/2	+A	0	−Max (sola)
3T/4	0 (denge)	−Max (sola)	0
T	−A	0	+Max (sağa)

Sürtünmesiz ortamda BHH yapan bir cismin toplam mekanik enerjisi sabittir. Bu enerji sürekli olarak kinetik ile potansiyel arasında alıp verilir.

Potansiyel Enerji (Yay İçin)

Yay sarkacında esneklik potansiyel enerjisi:

Denge noktasında (x = 0) U = 0; uç noktalarda (x = ±A) U maksimumdur: U_max = ½·k·A².

Kinetik Enerji

KE = ½·m·v². v = ω·√(A² - x²) ve ω² = k/m yerleştirildiğinde:

KE = ½·m·(k/m)·(A² - x²) = ½·k·(A² - x²)

• Denge noktasında: KE_max = ½·k·A².
• Uç noktalarda: KE = 0.

Toplam Enerji

Herhangi bir konumda iki enerjiyi toplayalım:

E = KE + U = ½·k·(A² - x²) + ½·k·x² = ½·k·A²

Toplam enerji x'ten bağımsızdır. Hareket boyunca enerji sadece biçim değiştirir:

• Uç noktalarda: Tüm enerji potansiyel, kinetik sıfır.
• Denge noktasında: Tüm enerji kinetik, potansiyel sıfır.
• Arada: İkisi de paylaşıyor; toplamı yine ½·k·A².

Genlik ile Enerji İlişkisi

E ∝ A² olduğundan genlik iki katına çıkarsa enerji dört katına çıkar. Aynı zamanda v_max = ω·A olduğundan maksimum hız da iki katına çıkar. Ama periyot değişmez — çünkü T genlikten bağımsızdır.

Periyodun genlikten bağımsız olması ilk duyulduğunda mantığa ters gelebilir: "büyük genlikte cisim daha uzun yol alır, periyot da uzar mı?" Yanıt, fizik açısından incelikli: büyük genlikte yolun uzadığı doğru, ama büyük genlikte maksimum kuvvet ve maksimum hız da aynı oranda arttığı için cisim daha hızlı hareket eder. Uzayan yolu daha büyük hızla katettiği için toplam süre değişmez. Doğa bu iki etkiyi tam olarak dengeler, periyot sabit kalır.

Farklı yönden bakarsak: enerji perspektifinden, E ∝ A² demek sistemde dört katı enerji olması demek. Bu enerji, uç noktada potansiyel olarak depolanmış; ancak yay sabiti ve kütle değişmediği için denge noktasından geçiş süresi aynıdır. Periyot, sistemin frekansına (ω = √(k/m)) bağlıdır — genliğe değil.

Enerji–Konum Grafikleri

Üç ayrı enerjinin konuma göre değişimini grafiklendirmek, BHH'yi fizik olarak anlamanın en net yoludur:

• Potansiyel enerji–konum: U = ½·k·x² → yukarı açık parabol. Denge noktasında 0, uç noktalarda maksimum.
• Kinetik enerji–konum: KE = ½·k·(A² - x²) → ters parabol. Denge noktasında maksimum, uç noktalarda 0.
• Toplam enerji–konum: E = ½·k·A² → yatay sabit doğru. Konumdan bağımsız.

Bu üç grafiği üst üste çizersek parabol ile ters parabolün kesim noktaları x = ±A/√2 ≈ ±0.707·A'dır. O noktada KE = U = E/2 olur — kinetik ve potansiyel eşitlenir.

Enerji Dönüşüm Örneği

Düşey yay sarkacında cisim serbest bırakıldığı andan itibaren üç tür enerji devreye girer: yerçekim potansiyeli, yay potansiyeli, kinetik. Yatay yay sarkacında ise sadece yay potansiyeli ve kinetik enerji dönüşür.

En yaygın BHH örneği, yay ucundaki cismin yaptığı salınımdır. Periyodu türetmek için F = -k·x şartı ile Newton II'yi birleştirelim: cisim üzerindeki net kuvvet yay kuvvetidir ve bu m·a'ya eşittir, a = -ω²·x olduğundan m·ω² = k, dolayısıyla ω = √(k/m).

Yay Sarkacının Periyodu

Bu formülün söyledikleri:

• Kütle artarsa periyot artar. Büyük kütle, ataleti büyük; aynı kuvvetle yavaş ivmelendirilir, titreşim uzun sürer.
• Yay sabiti artarsa periyot azalır. Sert yay, sıkışmaya az izin verir; cisim hızlı gidip gelir.
• Yerçekim ivmesine bağlı değildir. Formülde g yoktur. Yatay, düşey veya uzay istasyonunda aynı periyot.
• Genliğe bağlı değildir. Formülde A yoktur. Büyük genlikte yol uzar ama hız da büyür; ikisi birbirini telafi eder.

Düşey Yay Sarkacında Denge

Düşey asıldığında yay ağırlığı taşımak için bir miktar uzar. Bu konum, yeni denge noktasıdır; orada net kuvvet sıfırdır. Cismi bu yeni denge noktasından uzaklaştırdığınızda geri çağırıcı kuvvet yine -k·x kadardır — ağırlık zaten yayın ilk uzamasıyla dengelenmiştir, hareketi etkilemez. Bu yüzden düşey ve yatay yay sarkacının periyodu aynıdır.

Yay Bağlantıları

Birden fazla yay iki farklı şekilde bağlanabilir:

Paralel Bağlantı

Yaylar cismi aynı noktadan yan yana çekiyorsa paraleldir. Her ikisi de aynı miktarda uzar, kuvvetleri toplanır:

Eşdeğer yay sabiti büyür → periyot azalır.

Seri Bağlantı

Yaylar birbirinin ucuna bağlandığında seridir. Aynı kuvvet iki yayda da vardır; uzamalar toplanır:

Eşdeğer yay sabiti küçülür → periyot artar.

Yay Sarkacında Kütle–Periyot İlişkisi

Periyot kütlenin kareköküyle orantılıdır: T ∝ √m. Bu yüzden kütle iki katına çıkarsa periyot √2 katına (yaklaşık 1.41), kütle dört katına çıkarsa periyot iki katına çıkar. Tersine, kütle dörte bire inerse periyot yarıya düşer.

Aynı mantık yay sabiti için de geçerlidir: T ∝ 1/√k. Yay sabiti dört katına çıkarsa periyot yarıya iner; yay sabiti yarıya inerse periyot √2 katına çıkar.

Yayın Uzunluğunu Kesmek

İlginç bir durum: bir yayı uzunluğunun yarısında keserseniz, ortaya çıkan iki parça orijinalinden daha serttir. Yay sabiti uzunlukla ters orantılıdır: uzunluk yarıya iner, yay sabiti iki katına çıkar. Bu yüzden yayı kesip uçtaki kısmı kullanmak yay sabitini artırır ve periyodu azaltır.

Özdeş İki Yay İki Ayrı Bağlantıyla

Yay sabiti k olan iki özdeş yayı düşünelim ve bir m kütleli cisme sırasıyla seri ve paralel bağlayalım. Periyotları karşılaştıralım:

Bağlantı	k_eş	Periyot (T_tek cinsinden)
Tek yay	k	T_tek = 2π·√(m/k)
Paralel (iki yay)	2k	T_tek / √2 ≈ 0.707·T_tek
Seri (iki yay)	k/2	√2 · T_tek ≈ 1.414·T_tek

Paralel bağlantı periyodu kısalttı, seri bağlantı uzattı. Seri bağlantı iki yayı uç uca ekleyerek etkin yay uzunluğunu artırdığı için esneklik (yumuşaklık) artıyor; paralel bağlantı aynı kuvveti iki yaya paylaştırarak sertliği artırıyor. Fiziksel sezgi bu şekilde desteklenebilir.

İkinci temel BHH örneği basit sarkaçtır: uzunluğu L olan, kütlesi ihmal edilebilir bir ipe asılı bir cismin küçük genlikli salınımı.

Geri Çağırıcı Kuvvet

Cisim düşey ile α açısı yaparken üzerine iki kuvvet etki eder: ip gerilmesi (T) ve ağırlık (mg). Ağırlığı iki bileşene ayıralım:

• mg·cos α: İp doğrultusunda, merkeze doğru. Merkezcil kuvvet görevini görür.
• mg·sin α: Yörüngeye teğet, cismi denge noktasına çeker. Geri çağırıcı kuvvet budur.

Bu geri çağırıcı kuvvet tam olarak doğrusal (F ∝ x) değildir; F = -mg·sin α şeklindedir. Ancak küçük açılarda (α ≤ 10°) sin α ≈ α yaklaşımı çok iyidir. Üstelik küçük açıda yayın kavisli yolu neredeyse düz bir yola denk olduğundan sin α ≈ x/L yazılabilir. Böylece:

F ≈ -mg·(x/L) = -(mg/L)·x

Bu artık BHH şartıyla uyumlu: k_etkin = mg/L. Buradan ω² = k/m = g/L, dolayısıyla:

Formülün Söyledikleri

• Uzunluk artarsa periyot artar: Uzun sarkaç yavaş salınır. Duvar saatlerinde ince ayar bu yolla yapılır.
• Yerçekim ivmesi artarsa periyot azalır: Jüpiter'de (g ≈ 24) sarkaç hızlı; Ay'da (g ≈ 1.6) yavaş.
• Kütleye bağlı değil: Formülde m yoktur. 1 gram da, 1 ton da aynı periyotla salınır. Çünkü geri çağırıcı kuvvet mg·sin α kütleyle orantılı, ama Newton II'den a = F/m olduğunda kütle sadeleşir.
• Genliğe bağlı değil (küçük açı için): Aynı mantık: geniş genlikte daha uzun yol ama daha büyük kuvvet; telafi edilir.

Küçük Açı Şartı Neden Kritik?

sin α ≈ α yaklaşımı 10°'de bile %0.5 hata verir; 30°'de %4 hata; 60°'de %10 üzeri. Yaklaşım bozuldukça formül hatalı sonuç verir — büyük açılarda periyot genliğe bağımlı hale gelir ve artar.

Saniyeleri Vuran Sarkaç

Sarkaçlı duvar saatlerinde sarkaç her saniye kritik bir iki nokta arasında hareket eder. "Saniyeleri vuran sarkaç" denildiğinde, cismin eksi genlikten artı genliğe (yarım periyotluk hareket) tam 1 saniyede ulaşması kastedilir. Bu durumda T/2 = 1 s, yani T = 2 s'dir.

Bunu T = 2π·√(L/g)'de yerine koyalım. g = 10 m/s² ve π = 3 için: 2 = 6·√(L/10) → L/10 = 1/9 → L = 10/9 ≈ 1.11 m. Yani saniyeleri vuran sarkacın uzunluğu yaklaşık 1 metredir.

Öğrenci sarkacı 1.5 m yaparsa periyot ne olur? T = 6·√(1.5/10) = 6·√0.15 ≈ 2.32 s. Bu durumda sarkaç T/2 ≈ 1.16 s'de bir vuruş yapar — saniyeden biraz daha geç. Yani saat geri kalır.

Sarkaçlarda Bağımsızlık İlkeleri

Basit sarkaçta üç büyüklük periyoda etki etmez: kütle, genlik ve ip rengi/malzemesi. İlk bakışta kütle artınca geri çağırıcı kuvvet de (mg·sin α) arttığından periyodun kısalacağı düşünülebilir. Ancak Newton II'den a = F/m olduğunda kütle sadeleşir; büyük kütle hem büyük kuvvetle çekilir hem de ataleti büyüktür. İkisi tam olarak telafi eder.

Genlik için de benzer mantık: büyük genlikte cisim daha uzun yol katetmeli ama bu sefer mg·sin α daha büyük olduğu için hız da yüksektir. Yine telafi. Küçük açı yaklaşımının sağlam olduğu tüm aralıkta periyot genlikten bağımsızdır.

Karşılaştırma Tablosu

Özellik	Yay Sarkacı	Basit Sarkaç
Periyot	2π·√(m/k)	2π·√(L/g)
Kütle etkisi	Artarsa T artar	Etkisiz
Yerçekimi	Etkisiz	Artarsa T azalır
Genlik	Etkisiz	Küçük açıda etkisiz
Geri çağırıcı kuvvet	k·x	mg·sin α

Konum–Zaman Grafiği

Cisim denge noktasından hareketine başlarsa x(t) = A·sin(ωt) → sinüs dalgası. Uç noktadan başlarsa x(t) = A·cos(ωt) → kosinüs dalgası. İki grafiğin şekli aynı; sadece başlangıç faz farkı vardır. Dalganın yüksekliği A, iki tepe arası mesafe periyot T.

Kuvvet–Konum ve İvme–Konum Grafikleri

F = -k·x ve a = -ω²·x olduğundan her ikisi de negatif eğimli doğrulardır:

• Orijinden geçer (denge noktasında her ikisi de sıfır).
• Negatif eğim: x arttıkça F ve a azalır.
• Grafiğin altında kalan alan: kuvvet–konum için iş/enerji, ivme–konum için bu fiziksel bir anlam taşımaz.

Hız–Konum Grafiği

v = ω·√(A² - x²) → yarım elips. Genişliği 2A (uçtan uca), yüksekliği v_max = ω·A. Cisim denge noktasında iken elipsin tepesinde, uç noktalarda iken sıfırda.

Kuvvet–Zaman ve Hız–Zaman Grafikleri

Cisim uç noktadan harekete başlıyorsa kuvvet–zaman grafiği kosinüs dalgasıdır (başlangıçta maksimum, sonra sıfırlanır). Hız–zaman grafiği de bir sinüs dalgasıdır. Bu iki dalga arasında T/4'lük faz farkı vardır: hız sıfır olduğunda kuvvet maksimum, kuvvet sıfır olduğunda hız maksimum.

Formül Özeti

Büyüklük	Formül	Not
Geri çağırıcı kuvvet	F = -k·x	BHH tanımı
Açısal frekans	ω = 2π/T = 2π·f	rad/s
İvme–konum	a = -ω²·x	a_max = ω²·A
Kuvvet–konum	F = -m·ω²·x	F_max = m·ω²·A
Hız–konum	v = ω·√(A² - x²)	v_max = ω·A
Toplam enerji	E = ½·k·A²	Konumdan bağımsız
Yay sarkacı periyodu	T = 2π·√(m/k)	g, A'dan bağımsız
Basit sarkaç periyodu	T = 2π·√(L/g)	Kütle ve A'dan bağımsız
Paralel yay	k_eş = k₁ + k₂	T azalır
Seri yay	1/k_eş = 1/k₁ + 1/k₂	T artar

Çözüm Stratejisi

1. Şablonu kur: Soruda uç noktalar, denge noktası ve ara noktalar varsa önce bir çizim yap. Eksi genlik — denge — artı genlik üzerine ilgili noktaları yerleştir.
2. Süre soruları için T/4, T/6, T/12: Denge → uç = T/4. Aynı yolun ortadan bölünmesi: denge tarafı T/12, uç tarafı T/12 değil, cisim uç noktalarda yavaş olduğu için şablon T/12 + T/6'dır.
3. Kuvvet / ivme soruları: Önce x'i belirle; F = m·ω²·x veya a = ω²·x ile orantı kur. Genlikte F_max = m·ω²·A.
4. Hız soruları: v = ω·√(A² - x²) kullan. Enerji korunumu alternatif: ½·k·x² + ½·m·v² = ½·k·A².
5. Yay sarkacı: T = 2π·√(m/k). Yay bağlantılarında önce k_eş bul. Paralel: toplam; seri: ters toplam.
6. Basit sarkaç: T = 2π·√(L/g). Kütle ve genliğin etkisiz olduğunu hatırla. Farklı gezegende periyot oranı: T₁/T₂ = √(g₂/g₁).
7. Oran soruları: İki sistemde aynı değişken oranlanacaksa formüldeki sabit çarpanları sadeleştir. Yay sarkacında kütle 4 katına çıkarsa periyot 2 katına.

AYT'de Sık Görülen Tuzaklar

• Uçtan uca mesafeyi genlik saymak: Uç noktalar arası 2A'dır. "K ile L arası 20 cm" dendiğinde genlik 10 cm'dir.
• Periyodu genliğe bağlamak: T genlikten bağımsızdır — hem yay sarkacında hem de küçük açılı basit sarkaçta.
• Basit sarkaçta kütle etkilidir sanmak: T = 2π·√(L/g)'de m yoktur. 10 gramlık veya 10 kilogramlık cisim fark etmez.
• Yay sarkacında yerçekimi etkilidir sanmak: T = 2π·√(m/k)'de g yoktur. Dünya, Ay veya uzayda aynı.
• Denge noktasında ivme var sanmak: Denge noktasında hem kuvvet hem ivme sıfırdır; hız maksimumdur.
• Seri/paralel yayları karıştırmak: Paralelde k_eş büyür (T azalır), seride küçülür (T artar).
• T/4'ü T/8'e bölmeye çalışmak: Denge → yarı yol → uç noktayı T/8 + T/8 değil, T/12 + T/6 olarak bölmek gerekir — cisim eşit süre değil, eşit açı tarar.
• Hız sıfır noktasında kuvveti sıfır sanmak: Uç noktalarda hız sıfırdır ama kuvvet maksimumdur. İkisini karıştırmayın.
• Düşey yay sarkacında ağırlığı geri çağırıcı kuvvete eklemek: Ağırlık yayın başlangıç uzamasıyla zaten dengelenmiştir; geri çağırıcı kuvvet sadece ek uzama (k·x) tarafından sağlanır.
• Büyük açılı sarkaç için T = 2π·√(L/g) uygulamak: Bu formül yalnızca küçük açılar (≤ 10°) için geçerlidir. 40°, 60° gibi açılarda periyot genliğe bağlanır.

Kapsamlı Örnek Soru