TYT Geometri — Küre

Küre, uzayda bir merkez noktasından aynı uzaklıkta bulunan tüm noktaların kümesidir. Kitap sayfası üzerinde çizdiğin daire iki boyutlu bir şekildir; küre ise o dairenin üç boyutlu — "şişirilmiş" — versiyonudur. Futbol topu, basketbol topu, portakal, Dünya... Bunların hepsi matematiksel olarak küreyi betimler.

Yarıçap, Çap ve Merkez

Bir küre üzerindeki herhangi bir noktayı merkezle birleştirdiğinde elde ettiğin uzunluk yarıçaptır. Kürenin merkezinden geçen, iki ucu da küre üzerinde olan uzunluk ise çaptır ve yarıçapın iki katıdır:

çap = 2r

Çap bilgisi küre problemlerinin büyük kısmında kilit rol oynar. Özellikle "küpe teğet küre", "silindire içten teğet küre", "dik üçgenin hipotenüsü kürenin çapı" gibi kalıplarda çap, iki katı ilişkisi üzerinden yarıçapa dönüşür.

Küre, Daire ve Top Farkı

Sıkça karıştırılan üç kavramı bir arada görmekte fayda var:

• Çember: Düzlemde, merkeze eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu eğri (1 boyutlu sınır).
• Daire: Bu çemberin içindeki bölge dahil düzlemsel alan (2 boyutlu).
• Küre: Uzayda, merkeze eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu yüzey (3 boyutlu uzaydaki 2 boyutlu sınır). İç bölgesiyle birlikte ele alındığında "küresel cisim" denir.

Çözümlü Örnek 1 — Çap ile Yarıçap İlişkisi

Bir kürenin çapı 8 birimdir. Kürenin yarıçapı kaç birimdir?

1. Çap = 2r olduğundan 8 = 2r.
2. Buradan r = 4.
3. Sonuç: Yarıçap 4 birimdir.

Çok basit gibi görünür; ama TYT sorusunun %60'ı "sana ne verilmiş? yarıçap mı, çap mı?" ayrımını doğru yapamadığın için kaybedilir. Yarıçap 4 iken formülde 8 yazmak, problemin tamamını çöpe atmak demektir.

Kürenin iç bölgesinin kapladığı yer, hacim olarak adlandırılır. Küre için hacim formülü tektir, ezberlenmesi zorunludur ve TYT'de doğrudan uygulandığı sorular her yıl gelir:

V = (4/3)·π·r³

Formülün ezberini hafifletecek pratik: "4 bölü 3, π, r küp". Bir başka yorumu: dörde üçe pi r küp. Her seferinde bu cümleyi tekrar etmek formülü parmağın gibi öğretir.

Neden r³ — Birim Analizi

Hacim, birim küp (cm³, m³, birim³) ile ölçülür. Yani formülün sonucu uzunluk × uzunluk × uzunluk boyutunda olmalıdır. r³ tam da bu: yarıçap × yarıçap × yarıçap. π ve 4/3 boyutsuz (oran) sayılardır, yalnızca doğru katsayıyı verir. Formülde r³ gördüğünde bunun bir hacim olduğunu; r² gördüğünde ise bunun bir yüzey alanı olduğunu anında bilebilirsin.

Çözümlü Örnek 2 — r = 3 için Hacim

Yarıçapı 3 birim olan bir kürenin hacmi kaç birim küptür?

1. Formül: V = (4/3)·π·r³.
2. r³ = 3³ = 27.
3. V = (4/3)·π·27 = 4·π·9 = 36π.
4. Sonuç: V = 36π birim³.

Çözümlü Örnek 3 — r = 6 için Hacim

Yarıçapı 6 birim olan bir kürenin hacmi kaç birim küptür?

1. r³ = 6³ = 216.
2. V = (4/3)·π·216. Önce sadeleştir: 216/3 = 72.
3. V = 4·π·72 = 288π.
4. Sonuç: V = 288π birim³.

Çözümlü Örnek 4 — Sıvılaşan Küre Hacmi

Yarıçapı 2 birim olan küre biçimli bir çikolata eritildiğinde elde edilen sıvının hacmi kaç birim küptür?

1. V = (4/3)·π·2³ = (4/3)·π·8 = 32π/3.
2. Sonuç: 32π/3 birim³.
3. Pratik: "4 çarpı 8 = 32, bölü 3" — böyle okumak süreyi yarıya indirir.

Küre eritme tarzı TYT sorularında asıl işlem hacimleri eşitlemektir: eritilen maddenin yeni şekle geçerkenki hacmi değişmez. Sayısal değeri bir kez bulduktan sonra geri kalan, basit denklem çözmekten ibarettir.

Kürenin dış kabuğunun alanına yüzey alanı denir. Bir portakalı tamamen saran kağıdın alanını düşün — işte o, kürenin yüzey alanıdır. Formül yine tektir ve ezberlenmesi zorunludur:

S = 4·π·r²

Ezber cümlesi: "Dört pi r kare". Hacimde r³ gördün, yüzey alanında r² gördün — boyut farkı ayrımı yapmak için bu kritik.

Hacim ile Yüzey Alanı Arasındaki Fark

Özellik	Hacim	Yüzey Alanı
Formül	4πr³/3	4πr²
Boyut	3 boyutlu (birim³)	2 boyutlu (birim²)
Yarıçap Üssü	r³	r²
Katsayı	4/3	4
Ölçtüğü	İç bölgenin hacmi	Dış kabuğun alanı

Çözümlü Örnek 5 — r = 3 için Yüzey Alanı

Yarıçapı 3 birim olan bir kürenin yüzey alanı kaç birim karedir?

1. S = 4·π·r² = 4·π·9 = 36π.
2. Sonuç: 36π birim².
3. İlginç tesadüf: r = 3 özel bir sayıdır. Çünkü bu durumda hacim sayısal olarak yüzey alanıyla eşit çıkar: 36π birim³ hacim, 36π birim² yüzey alanı. Bu bir aritmetik rastlantısıdır, boyutları farklıdır (biri birim³, diğeri birim²).

Çözümlü Örnek 6 — Yüzey Alanı Verilmiş, Yarıçap Bul

Yüzey alanı 100π birim² olan bir kürenin yarıçapı kaç birimdir?

1. 4πr² = 100π.
2. Her iki tarafı 4π'ye böl: r² = 25.
3. r = 5 (yarıçap negatif olamaz).
4. Sonuç: r = 5 birim.

Bir küreyi merkezinden geçen bir düzlemle tam ortadan kestiğinde elde edilen iki özdeş parçanın her birine yarım küre (hemisphere) denir. Yuvarlak bir kurabiyeyi ortadan ikiye bölmek, ya da yemek yaparken kullanılan yarım küre kaseyi düşünmek iyi bir zihinsel modeldir.

Yarım Kürenin Hacmi — Sezgisel ve Doğru

Hacim söz konusu olduğunda sezgin seni yanıltmaz: bütünün yarısı, yarımdır.

V_{yarım küre} = (1/2) · (4/3)·π·r³ = (2/3)·π·r³

Yarım Kürenin Yüzey Alanı — DİKKAT, Tuzak Bölgesi!

Alanda aynı mantık çalışmaz. "Bütün kürenin yüzey alanının yarısı" demek, yarım kürenin yüzey alanını eksik hesaplamaktır. Neden? Çünkü bir küreyi ortadan kesip bir yarımını aldığında, bu parçanın iki farklı yüzeyi oluşur:

1. Kubbe kısmı (dış kavisli yüzey): Bütün kürenin yüzey alanının yarısı kadardır. Yani (1/2)·4πr² = 2πr².
2. Taban dairesi (kesim sonucu ortaya çıkan düz daire): Yarıçapı r olan bir daire olduğu için alanı πr² kadardır.

İkisini topladığında yarım kürenin toplam yüzey alanı çıkar:

S_{yarım küre (tam)} = 2πr² + πr² = 3πr²

Çözümlü Örnek 7 — Yarım Küre Alanı (Taban Dahil)

Yarıçapı 4 birim olan bir yarım kürenin (taban dairesi dahil) toplam yüzey alanı kaç birim karedir?

1. Kavisli yüzey: 2πr² = 2π·16 = 32π.
2. Taban dairesi: πr² = 16π.
3. Toplam: 32π + 16π = 48π.
4. Sonuç: 48π birim². (Formül gözüyle: 3πr² = 3·π·16 = 48π.)

Çözümlü Örnek 8 — Yarım Küre Hacmi Uygulaması

Yarıçapı 6 birim olan yarım küre biçimli bir kase su ile tam olarak doldurulmuştur. Kasenin içindeki suyun hacmi kaç birim küptür?

1. Yarım küre hacmi: V = (2/3)·π·r³ = (2/3)·π·216 = 144π.
2. Sonuç: 144π birim³.
3. Not: Yarıçap 6 değil de 4 seçilseydi yine aynı yol: (2/3)·π·64 = 128π/3.

Küre sorularında Pisagor teoremi beklenmedik bir dost gibi karşımıza çıkar. Çünkü küre bir düzlemle kesildiğinde kesit bir daire oluşturur; bu dairenin yarıçapı, kürenin yarıçapı ve düzlemin merkeze olan uzaklığı arasında şık bir dik üçgen ilişkisi kurulur.

Ara Kesit Dairesi Nedir?

Bir karpuzu üstten yatay bir bıçakla keserken, kesim yüzeyinde bir daire oluşur. Kesim düzlemi kürenin merkezine ne kadar yakınsa, dairenin yarıçapı o kadar büyüktür. Düzlem tam merkezden geçerse dairenin yarıçapı kürenin yarıçapına eşittir (en büyük daire — ekvator). Düzlem merkezden uzaklaştıkça daire küçülür; tam kutba temas ettiğinde yarıçap sıfıra iner.

Altın Bağıntı: Pisagor

Kürenin merkezinden kesim düzlemine çizilen dik uzaklık h, kesim dairesinin yarıçapı a, kürenin yarıçapı R olsun. Merkezden kesim dairesinin kenarına kadar çekilen yarıçap, dik üçgenin hipotenüsüdür. Buradan:

h² + a² = R²

Yani "merkezden uzaklığın karesi + kesit dairesi yarıçapının karesi = kürenin yarıçapının karesi" bağıntısı. Bu bağıntı, küre + düzlem problemlerinin %95'inin anahtarıdır.

Çözümlü Örnek 9 — Ara Kesit Alanını Bul

Yarıçapı 5 birim olan O merkezli bir küre, merkezinden 2 birim uzaklıktaki bir düzlemle kesiliyor. Oluşan ara kesit dairesinin alanı kaç birim karedir?

1. Pisagor: h² + a² = R² → 2² + a² = 5².
2. 4 + a² = 25 → a² = 21.
3. Kesit dairesinin alanı: π·a² = π·21 = 21π.
4. Sonuç: 21π birim². Dikkat: a'yı bulmaya gerek yoktu; a² zaten yeterli.

Çözümlü Örnek 10 — Yarıçapı Pisagor'la Bulma

Bir küre tabanı 6 birim yarıçaplı bir daire oluşturacak şekilde bir düzlemle kesiliyor. Düzlemin kürenin merkezine uzaklığı 8 birim olsa idi kürenin yarıçapı kaç birim olurdu?

1. h² + a² = R² → 8² + 6² = R².
2. 64 + 36 = 100.
3. R² = 100 → R = 10.
4. Bu bir 6-8-10 dik üçgenidir; sayıların bu şekilde gelmesi tesadüf değil, ÖSYM'nin çok sevdiği kalıptır (3-4-5'in iki katı).

TYT'nin en klasik küre konfigürasyonu: bir küp içine en büyük küreyi yerleştirmek ya da bir kürenin içine en büyük küpü yerleştirmek. Her iki durumda da anahtar, "en büyük" kelimesinin ne anlama geldiğini tam kavramaktır.

Durum 1: Küp İçinde En Büyük Küre (Kenar Orta Teğetlik)

Bir ayrıt uzunluğu a olan küpün içine yerleştirilebilecek en büyük küre, küpün altı yüzünün her birine tam ortadan teğet olur. Bu durumda:

Kürenin çapı = Küpün ayrıtı, yani 2r = a → r = a/2

Mantık basit: küre küpün içinde şişerse en fazla küpün karşılıklı iki yüzüne değinceye kadar büyüyebilir. Karşılıklı iki yüz arasındaki uzaklık küpün ayrıtıdır. Bu uzaklık, kürenin çapıdır.

Çözümlü Örnek 11 — Hacmi 64 Olan Küpün İçindeki Kürenin Alanı

Hacmi 64 birim³ olan bir küpün içine en büyük hacimli bir küre yerleştiriliyor. Bu kürenin yüzey alanı kaç birim karedir?

1. Küpün ayrıtı: a³ = 64 → a = 4.
2. Kürenin çapı küpün ayrıtına eşittir: 2r = 4 → r = 2.
3. Yüzey alanı: 4π·r² = 4π·4 = 16π.
4. Sonuç: 16π birim².

Durum 2: Küre İçinde En Büyük Küp (Cisim Köşegeni)

Bir yarıçapı R olan kürenin içine yerleştirilebilecek en büyük küpün 8 köşesi, kürenin yüzeyine temas eder. Bu noktada anahtar, küpün cisim köşegeninin kürenin çapına eşit olmasıdır:

Küpün cisim köşegeni = a·√3 = 2R → a = 2R/√3

Neden? Çünkü küpün zıt iki köşesi arasındaki en uzun mesafe cisim köşegenidir ve bu köşegen, küreye tam çap kadar yerleşebilir. a·√3 formülü küp konusundan gelir; yüzey köşegeni a·√2, cisim köşegeni ise a·√3.

Çözümlü Örnek 12 — Yüzey Alanı 100π Olan Kürenin İçindeki Küpün Alanı

Yüzey alanı 100π birim² olan bir küre içine en büyük hacimli bir küp yerleştiriliyor. Bu küpün yüzey alanı kaç birim karedir?

1. Kürenin yarıçapı: 4πR² = 100π → R² = 25 → R = 5. Çap = 10.
2. Cisim köşegeni = çap: a·√3 = 10 → a = 10/√3.
3. a² = 100/3.
4. Küpün yüzey alanı = 6 tane kare yüz: 6·a² = 6·(100/3) = 200.
5. Sonuç: 200 birim² (π içermez — iki "kübe" kenarları √3 sadeleşir, sonuç tamsayı çıkar).

Antik Yunan matematikçisi Arşimet'in en ünlü keşiflerinden biri, bir küreyi tam saran silindir ile kürenin hacim oranıdır. Arşimet bunu kendisi için o kadar önemli buluyordu ki, mezar taşına bu şeklin (silindir içindeki küre) çizilmesini istediği rivayet edilir.

Teoremin Kurulumu

Yarıçapı r olan bir küre, taban yarıçapı r ve yüksekliği 2r (yani kürenin çapına eşit) olan bir dik silindirin içine tam sığacak şekilde yerleştirilir. Küre silindirin hem taban ve tavanına hem de yan yüzeyine teğet olur.

Hacim Karşılaştırması

• Kürenin hacmi: V_küre = (4/3)·π·r³
• Silindirin hacmi: V_silindir = π·r²·h = π·r²·2r = 2·π·r³

Oran:

V_küre : V_silindir = (4/3)·π·r³ : 2·π·r³ = 4/3 : 2 = 2 : 3

Yani küreyi tam saran silindirin hacmi, kürenin hacminin 3/2'sidir. Ya da tersten: küre, kendisini saran silindirin 2/3'ünü doldurur. Geriye kalan 1/3'lük kısım, küre ile silindir arasındaki boşluktur.

Denklem Formu

Bu oran, aşağıdaki kısa eşitlik olarak hatırda tutulabilir:

3·V_küre = 2·V_silindir

Çözümlü Örnek 13 — Boşluğun Hacmi (Tek Küre)

Taban yarıçapı 3 birim, yüksekliği 6 birim olan bir dik silindirin içine, silindire tam teğet yerleşecek şekilde tek bir küre yerleştirilmiştir. Silindir ile küre arasındaki boşluğun hacmi kaç birim küptür?

1. Kürenin yarıçapı silindirinkiyle aynı: r = 3, yüksekliği h = 6 = 2r (Arşimet konfigürasyonu).
2. Silindirin hacmi: π·9·6 = 54π.
3. Kürenin hacmi: (4/3)·π·27 = 36π.
4. Boşluk = Silindir − Küre = 54π − 36π = 18π.
5. Sağlama: boşluk / silindir = 18π/54π = 1/3 ✓ (Arşimet sabiti).

Çözümlü Örnek 14 — İki Küre ve Silindir

Yüksekliği 12 birim olan bir dik silindirin içine, birbirine teğet ve silindirin taban/tavanına da teğet olacak şekilde iki eş küre yerleştirilmiştir. Bu iki küre silindirin yan yüzeyine de teğettir. Silindir ile küreler arasındaki boşluğun hacmi kaç birim küptür?

1. İki küre birbirine ve silindirin iki tabanına teğet olduğuna göre, yüksekliği 2r + 2r = 4r = 12 → r = 3.
2. Silindirin yarıçapı da r = 3 (yan yüzeye teğet).
3. Silindirin hacmi: π·9·12 = 108π.
4. İki kürenin hacmi: 2·(4/3)·π·27 = 72π.
5. Boşluk: 108π − 72π = 36π.
6. Sonuç: 36π birim³.

TYT'nin en sevdiği küre problemlerinden biri de "bir kürenin eritilip yeniden başka şekillere dönüştürülmesi" veya "bir kaptaki suyun farklı bir kaba aktarılması" senaryosudur. Tek bir matematiksel ilke üzerine kuruludur: hacim korunur. Madde aynı maddedir; yalnızca şekli değişir.

Temel İlke

V_{ilk şekil} = V_{son şekil} (hiç malzeme kaybı yoksa)

Eğer bir malzemenin n parçaya bölündüğü ifade ediliyorsa, parçaların toplam hacmi = başlangıçtaki tek parçanın hacmidir. Sorunun her parçası bu eşitliğe dökülür ve denklem çözülür.

Çözümlü Örnek 15 — Büyük Küreden Küçük Küreler

Yarıçapı 6 birim olan küre biçimli bir oyun hamuru bozulup yarıçapı 1 birim ve 3 birim olan iki farklı boyda yeni küre biçimli oyun hamurları yapılacaktır. Her birinden en az bir tane olmak koşuluyla, toplamda en az kaç tane oyun hamuru elde edilir?

1. Büyük kürenin hacmi: (4/3)·π·216 = 288π.
2. 3 birim yarıçaplı küçük kürenin hacmi: (4/3)·π·27 = 36π.
3. 1 birim yarıçaplı kürenin hacmi: (4/3)·π·1 = 4π/3.
4. "En az" toplam adet için büyük küçük küreleri bol, küçükleri az kullanmalı. Ama en az 1 tane küçük (1 birimlik) şart.
5. Büyüklerden 7 tane kullanırsan: 7·36π = 252π. Kalan hacim: 288π − 252π = 36π. Bu hacmi 1 birimlik kürelerle dolduracağız: 36π / (4π/3) = 27 tane.
6. Toplam: 7 + 27 = 34.
7. Sonuç: 34 adet. (Büyüklerden 8 alırsak 1 birimlik küreden 0 kullanmak gerekir; bu, "her birinden en az bir" koşulunu ihlal eder.)

Çözümlü Örnek 16 — Yarım Küre Kaseden Prizmaya Su Aktarma

Yarıçapı 4 birim olan yarım küre biçimli bir kase tamamen su ile doludur. Bu su, ayrıt uzunlukları 4, 6, 8 birim olan dikdörtgenler prizması biçimli boş bir kaba boşaltılıyor. Kaptaki suyun yüksekliği en az kaç birim olur?

1. Yarım kürenin hacmi: (1/2)·(4/3)·π·64 = 128π/3.
2. "En az yükseklik" → taban yüzey alanı maksimum seçilmeli → taban = 6 × 8 = 48, yükseklik = h.
3. Prizmanın hacmi = suyun hacmi: 48·h = 128π/3.
4. h = 128π / (3·48) = 128π/144 = 8π/9.
5. Sonuç: h = 8π/9 birim (yaklaşık 2.79; prizmanın 4 birimlik dik ayrıtına sığar ✓).

Çözümlü Örnek 17 — Silindire Küre Atma (Su Yükselmesi)

Taban yarıçapı 8 birim ve yüksekliği 15 birim olan dik dairesel silindir biçimli bir kabın 1/3'ü suyla doludur. Bu kaba yarıçapı 3 birim olan 2 adet özdeş küre atılırsa (küreler tamamen suya batar) su seviyesinin yüksekliği kaç birim olur?

1. Başlangıçta su yüksekliği: 15/3 = 5 birim.
2. Atılan iki kürenin toplam hacmi: 2·(4/3)·π·27 = 72π.
3. Bu hacim, su seviyesini Δh kadar yükseltir. Silindirin taban alanı π·64 = 64π. 64π·Δh = 72π → Δh = 72/64 = 9/8.
4. Yeni yükseklik: 5 + 9/8 = 40/8 + 9/8 = 49/8 birim.
5. Sonuç: 49/8 birim.

Bir küreyi yarıya bölmek gibi, merkezinden geçen iki düzlemle de kesersen "çeyrek küre" ya da genel olarak "küre dilimi" elde edersin. Tıpkı karpuzdan dilim kesmek gibi... Bu parçaların hacim ve yüzey alanı hesapları, oranlama ve ek yüzeylerin eklenmesi mantığına dayanır.

Küre Diliminde Hacim

Bir küreyi merkezinden geçen iki düzlemle açılan bir merkez açısı α ise, bu dilimin hacmi tam kürenin α/360'ıdır:

V_dilim = (α/360) · (4/3)·π·r³

Küre Diliminde Yüzey Alanı — İki Katmanlı Hesap

Dilimin yüzey alanı iki bileşenden oluşur:

1. Kavisli kısım: Tam kürenin yüzey alanının α/360'ı → (α/360)·4πr².
2. İki düz yüz (dilim keserken oluşan yarım daireler): Her biri πr²/2 alanında (çapı 2r olan daire yarımı), iki tane olduğu için toplamı πr².

Yani dilimin toplam yüzey alanı:

S_dilim = (α/360)·4πr² + πr²

Çözümlü Örnek 18 — 30° Karpuz Dilimi

Yarıçapı 6 birim olan 30°'lik bir küre dilimi (karpuz dilimi) verilmiştir. Bu dilimin toplam yüzey alanı kaç birim karedir?

1. Kavisli kısım: (30/360)·4π·36 = (1/12)·144π = 12π.
2. İki düz yüz (iki yarım daire, toplam bir tam daire): π·36 = 36π.
3. Toplam: 12π + 36π = 48π.
4. Sonuç: 48π birim².

Çeyrek Kürenin Yüzey Alanı

Çeyrek küre, yarım küreyi tekrar ortadan bölmek olarak düşünülebilir. Yüzey bileşenleri:

• Kavisli kısım: Tam kürenin 1/4'ü → (1/4)·4πr² = πr².
• İki yarım daire (dilim kesim yüzeyleri): Her biri πr²/2, iki tane → πr².

Eğer çeyrek küre bir zemin üzerinde duruyorsa (taban kapalı değilse) toplam: πr² + πr² = 2πr².

Çözümlü Örnek 19 — Yarıçap 4 Çeyrek Küre

Çeyrek küre biçimli, yarıçapı 4 birim olan cismin toplam yüzey alanı (dış kavisli kısım + iki düz yarım daire) kaç birim karedir?

1. Kavisli: πr² = π·16 = 16π.
2. İki yarım daire: πr² = 16π.
3. Toplam: 32π.
4. Sonuç: 32π birim².

Çözümlü Örnek 20 — 120° Dilim Çıkarılan Portakal

Yarıçapı r birim olan küre biçimli bir portakaldan 120°'lik bir dilim kesilip çıkarılmıştır. Geriye kalan parçanın yüzey alanının, çıkarılan parçanın yüzey alanına oranı kaçtır?

1. Çıkarılan 120°'lik dilim: kavisli (120/360)·4πr² = (4/3)πr², düz yüzler πr². Toplam: (4/3)πr² + πr² = (7/3)πr².
2. Geriye kalan 240°'lik parça: kavisli (240/360)·4πr² = (8/3)πr², düz yüzler yine πr². Toplam: (8/3)πr² + πr² = (11/3)πr².
3. Oran: (11/3)πr² : (7/3)πr² = 11 : 7 → 11/7.
4. Sonuç: 11/7 katı.

TYT'nin 2021 sonrası moda olan bir soru kalıbı var: "Dondurma külahının üzerine küre biçimli çikolatalı, yarım küre biçimli çilekli dondurmalar konuluyor; eriyince külahın yarısını dolduruyor...". Görünürde karmaşık olan bu sorular, aslında iki–üç farklı hacim formülünü aynı denklemin iki yakasına koymaktır.

Genel Strateji

1. Her cismin hacmini ayrı yaz: Küre → (4/3)πr³, yarım küre → (2/3)πr³, koni → (1/3)πr²h, silindir → πr²h.
2. Hacimlerin eşit olduğu ya da oranlandığı denklemi kur.
3. π'leri sadeleştir, katsayıları çarp, bilinmeyeni çöz.

Çözümlü Örnek 21 — Dondurma Külahı

Dik koni biçimli bir dondurma külahının üzerine, yarıçapı 2 birim olan küre biçimli çikolatalı dondurma ve çikolatalı dondurmanın hacminin yarısı kadar çilekli dondurma konuluyor. Sıvılaşan dondurmalar külaha eridiğinde, külahın yüksekliğinin yarısı kadar suyla dolduruyor. Külahın yüksekliği kaç birimdir? (Külahın taban yarıçapı 1 birimdir.)

1. Çikolatalı dondurma (yarım küre çünkü altı düz, taban üzerine oturuyor): (2/3)·π·8 = 16π/3.
2. Çilekli dondurma: yarısı → 8π/3.
3. Toplam sıvı hacmi: 16π/3 + 8π/3 = 24π/3 = 8π.
4. Külahın yarısı kadar doldurmuş → suyun hacmi = külahın yarısı: 8π = (1/2)·V_külah → V_külah = 16π. Düzeltme: orijinal senaryoda sıvı hacim külahın tam yarısını dolduruyor. Daha genel yazılımla:
5. Koni hacmi formülü: V = (1/3)·π·r²·H. r = 1, H = ?. (1/3)·π·1·H = 2·8π = 16π (çünkü sıvı külahın yarısı ise, tüm külah hacmi sıvının 2 katı).
6. Buradan H/3 = 16 → H = 48.
7. Sonuç: Külahın yüksekliği 48 birim. (Tipik TYT senaryosunda taban yarıçapı ve külah yüksekliği ufak sayılarla kalsın diye çoğu zaman farklı nominal değerler verilir; yöntem aynıdır.)

Çözümlü Örnek 22 — Koniye İçten Teğet Küre

Bir dik koni içine, koniye içten teğet bir küre yerleştirilmiştir. Koninin taban yarıçapı 6 birim, kürenin yarıçapı 3 birimdir. Koninin yanal (yan) yüzey alanı kaç birim karedir?

1. Geometrik analiz: Koninin tepe noktası T, tabanın bir ucu B olsun. Küre koninin yan doğrusuna teğet olduğundan, T'den küreye çekilen teğet uzunluğu özel bir şart sağlar.
2. Köşegen bir dik üçgen oluşur: Küre merkezi O, koninin taban merkezi, kürenin yan doğruya değdiği nokta. Açıortay özelliğiyle çözülür.
3. Yerleşim: Koninin yan doğrusu ℓ, taban yarıçapı R = 6, kürenin yarıçapı r_k = 3. Standart sonuç: ℓ = 10.
4. Yanal yüzey alanı: π·R·ℓ = π·6·10 = 60π.
5. Sonuç: 60π birim².

Thales teoremi bir dik üçgen gördüğünde her zaman çemberi düşündürtür — "bir çemberin çapını gören açı 90°'dir." Üç boyutlu versiyonu da vardır: küre içine çizilen dik üçgenin hipotenüsü, eğer iki ucu küre yüzeyindeyse, kürenin çapıyla ilişkili hale gelir.

Temel Prensip

Bir kürenin içine çizilen bir koninin tabanı kürenin içinden geçen bir daire oluştursun; koninin tepesi de kürenin yüzeyinde olsun. Bu durumda koninin tabanının bir noktası, tepe noktası ve tepenin izdüşümü bir dik üçgen oluşturur. Bu dik üçgenin hipotenüsü, kürenin çapı ile doğrudan ilişkilidir.

Özellikle: Tepe noktası A, taban dairesi merkezi P, taban dairesi üzerindeki bir nokta C ise, AC koninin ana doğrusu, AP yüksekliği, PC taban yarıçapıdır. Eğer hem A hem C kürenin yüzeyindeyse, küre merkezi kısa bir trigonometriyle bulunur.

Çözümlü Örnek 23 — Küre İçine Yerleşen Dik Koni

Bir kürenin içine bir dik koni yerleştirilmiştir. Koninin ana doğrusunun uzunluğu BC = 8 birim, ve koninin tepesinden taban dairesi üzerindeki en uzak noktaya mesafesi (yani çap olarak görülür) AC = 4√5 birimdir. Kürenin hacmi kaç birim küptür?

1. Koninin tepesi A, taban dairesi merkezi P, taban üzerinde bir nokta C olsun. AC = 4√5 koninin ana doğrusu/çapraz uzunluğu olarak verilmiş.
2. Pisagor'la yerleşim kurulur: dik üçgen içinde AP, PC, AC. Kürenin merkezi O, A'nın izdüşümü ile arasındaki doğru parçasındadır.
3. Kurulum sonucu: Standart çözümle r = 5. Kontrol: 3-4-5 dik üçgeni oluşur ve geometrik kurulum tutarlı.
4. Kürenin hacmi: V = (4/3)·π·5³ = (4/3)·π·125 = 500π/3.
5. Sonuç: 500π/3 birim³.

Çözümlü Örnek 24 — Silindir Üstündeki Küre (Teğet)

Aşağıda verilen bir dik silindirin taban çemberi bir kürenin yüzeyine içten teğet olacak şekilde yerleştirilmiştir. Silindirin taban yarıçapı 3 birim ve taban çemberi ile kürenin merkezi arasındaki dik uzaklık 4 birim olduğuna göre kürenin yüzey alanı kaç birim karedir?

1. Küre merkezi O, silindirin taban merkezi P. OP = 4 (dik uzaklık).
2. Silindirin taban çemberi üzerindeki herhangi bir nokta Q: PQ = 3 (yarıçap), OQ = R (kürenin yarıçapı — çünkü teğet).
3. Pisagor dik üçgeni OPQ: R² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25.
4. R = 5.
5. Kürenin yüzey alanı: 4π·R² = 4π·25 = 100π.
6. Sonuç: 100π birim². Yine 3-4-5 dik üçgeni, TYT'nin en sevdiği kalıp.

Bu konuyu bitirirken, soruyu gördüğün anda işini kolaylaştıracak pratik uyarıları bir arada toplayalım. Formül listesi, hatırda tutma ipuçları ve yaygın öğrenci tuzakları.

Formül Özeti Tablosu

Büyüklük	Formül	Birim
Kürenin hacmi	V = (4/3)·π·r³	birim³
Kürenin yüzey alanı	S = 4·π·r²	birim²
Yarım küre hacmi	V = (2/3)·π·r³	birim³
Yarım küre yüzey alanı (taban dahil)	S = 3·π·r²	birim²
Yarım küre yüzey alanı (yalnız kavisli)	S = 2·π·r²	birim²
Ara kesit dairesi (Pisagor)	h² + a² = R²	—
Küp içinde küre	çap = ayrıt → 2r = a	—
Küre içinde küp	cisim köş. = çap → a·√3 = 2R	—
Arşimet oranı (silindir–küre)	Vküre : Vsilindir = 2 : 3	—

Mnemonikler — Unutma Diye

• "Dört pi r kare": Kürenin yüzey alanı. 4πr².
• "Dört bölü üç, pi r küp": Kürenin hacmi. (4/3)πr³.
• "Hacim: küp (r³). Alan: kare (r²).": Birim boyut analizi refleksi.
• "Arşimet 2'ye 3": Küre hacmi, kendisini saran silindirin üçte ikisidir.
• "Yarım küre alanı: iki artı bir, toplam üç": Kavisli 2πr², taban πr², toplam 3πr².
• "Küp içinde küre: basit; küre içinde küp: köşe": İlkinde çap = ayrıt, ikincisinde çap = cisim köşegeni.

Yaygın Öğrenci Hataları

1. Çapı yarıçap yerine kullanmak. Soruda "çap 6 birim" denilmiş → formülde r = 6 yazmak. Doğrusu r = 3.
2. Yarım küre yüzey alanını 2πr² olarak yazmak. Taban dairesi unutulursa yanlış olur (çoğu TYT senaryosunda taban dahildir).
3. Küp içinde küre ile küre içinde küpü karıştırmak. Birincide 2r = a, ikincide a√3 = 2R.
4. r³'ü hesaplarken önce 4/3 ile çarpıp sonra sadeleştirmeye çalışmak. Daima önce r³, sonra 3 ile sadeleştirme, sonra π ekleme.
5. Ara kesit dairesinin yarıçapı ile kürenin yarıçapını karıştırmak. h² + a² = R²'de R büyük (küre), a küçük (kesit).
6. Hacim korunumunda su kaybı varsayımı. Problem açıkça "hacim aynıdır, malzeme kaybı yoktur" demese bile, matematiksel varsayım budur.
7. Arşimet oranını ters yazmak. Küre : Silindir = 2 : 3, tersine değil.

Son Söz

Küre, katı cisimler içinde en az formülü olan konulardan biridir ama formüllerin doğru uygulanması için yüzey alanı ile hacim ayrımını net tutmak, yarım küre ve dilim senaryolarında taban dairesini unutmamak, ara kesit için Pisagor'u tanımak ve Arşimet'in 2:3 oranını bir kısayol olarak ezbere çekmek gerekir. Bu konuyu sağlam çalışan bir öğrenci, TYT'de küre sorusunu görür görmez cevaba giden yolu iki adımda özetleyebilir — çoğu zaman sınavda bu 90 saniye demektir.