Doğruda Açılar — TYT Matematik Geometri Konu Anlatımı

Geometri tek bir temelin üstüne inşa edilir: nokta. Eni, boyu, derinliği olmayan, sadece konumu olan bir işarettir. Bir nokta genelde büyük harfle (A, B, O) isimlendirilir ve çok küçük bir yuvarlakla temsil edilir. Geometrinin tüm dünyası bu tek nokta kavramı üzerine kurulur.

Doğru — Sağdan ve Soldan Sonsuz

Aynı hizada ardışık sıralanmış sonsuz noktanın kümesine doğru denir. Bir doğrunun başı da sonu da yoktur; her iki uçta sonsuza kadar uzar. İki farklı şekilde isimlendirilebilir:

• Tek harfle: d doğrusu (veya D).
• Üzerindeki iki nokta ile: AB doğrusu (A ve B, doğru üzerindeki iki farklı noktadır).

Yarı Doğru — Bir Ucu Dahil, Bir Ucu Değil

Bir doğrunun üzerindeki iki noktadan birinin dahil, diğerinin dahil olmadığı kısmıdır. Dahil olan nokta dolu (içi boyalı), dahil olmayan nokta boş (içi boş yuvarlak) çizilir. Matematikteki eşitsizliklerdeki 2 < x mantığına benzer: 2 noktası kendisi dahil değil, 2'den büyük olan her şey dahil.

Işın — Bir Başlangıç, Tek Yönde Sonsuz

Bir noktadan başlayıp aynı yönde sıralanmış sonsuz noktanın kümesine ışın denir. Yarı doğrudan farkı: ışının başlangıç noktası daima dahildir. [AB ışını → A'dan başlar, B yönüne sonsuz uzar.

Doğru Parçası — Kapalı, Sonlu

Bir doğrunun iki farklı noktası arasındaki sonsuz noktanın kümesine doğru parçası denir. Adı üstünde: doğrunun bir parçası. [AB] ile gösterilir, iki uç da dahil. Sadece bir ucu dahil olursa [AB) veya (AB], iki ucu da dahil değilse (AB) yazılır.

Başlangıç noktaları aynı olan iki ışının birleşimine açı denir. Ortak başlangıç noktasına açının köşesi, ışınlara açının kolları denir. Açı, m(AOB) şeklinde gösterilir: O köşe, A ve B ise kolların üzerindeki iki noktadır.

Bir açının ölçüsü derece (°) ile ifade edilir. Tam bir dönüş 360° olarak kabul edilir. Müfredatta ayrıca radyan ölçü birimi de vardır (çember konusunda kullanılacak), 360° = 2π radyandır.

Beş Temel Açı Türü

Çözümlü Örnek 1 — Bir Nokta Etrafında Üç Açının Toplamı

Bir noktanın etrafında, ortak bir başlangıç etrafında dönen üç açı sırasıyla (2x − 40)°, (x + 20)° ve (x + 60)° olarak verilmiştir. Bu üç açı tam bir dönüş (tam açı) oluşturduğuna göre x kaç derecedir?

1. Tam açı = 360° → (2x − 40) + (x + 20) + (x + 60) = 360.
2. Katsayıları topla: 2x + x + x = 4x.
3. Sabitleri topla: −40 + 20 + 60 = 40.
4. Denklem: 4x + 40 = 360.
5. 4x = 320 → x = 80°.
6. Sağlama: açılar 120°, 100°, 140° → toplam 120 + 100 + 140 = 360° ✓.

İki açının toplamı belirli bir değere eşitse bu açılar birbirinin özel türden komşusu kabul edilir. Bu iki kavram TYT sorularının çok büyük bölümünde temel olarak kullanılır.

Tümler Açı — Toplamı 90°

Birbirini 90°'ye tamamlayan iki açıya tümler açı denir. x + y = 90°. Bu iki açı yan yana (komşu) ise komşu tümler olarak adlandırılır ve birlikte bir dik açı oluşturur.

Bütünler Açı — Toplamı 180°

Birbirini 180°'ye tamamlayan iki açıya bütünler açı denir. x + y = 180°. Yan yana komşu ise birlikte bir doğru açı oluşturur.

Çözümlü Örnek 2 — Oran Verilmiş Bütünler İki Açı

Ölçüleri oranı 4/5 olan bütünler iki açıdan küçük olanın tümleri kaç derecedir?

1. Açılara 4k ve 5k diyelim (oran 4/5 olduğu için).
2. Bütünler: 4k + 5k = 180 → 9k = 180 → k = 20.
3. Açılar: 4·20 = 80° ve 5·20 = 100°. Küçük olan 80°.
4. 80°'nin tümleri = 90 − 80 = 10°.
5. Sağlama: 80 + 100 = 180 ✓ ve 80/100 = 4/5 ✓.

Çözümlü Örnek 3 — Bütünleri, Tümlerinin 3 Katı

Bütünlerinin ölçüsü, tümlerinin ölçüsünün 3 katı olan açının ölçüsü kaç derecedir?

1. Açıya x diyelim. Bütünleri 180 − x, tümleri 90 − x.
2. Koşul: 180 − x = 3·(90 − x).
3. Dağıt: 180 − x = 270 − 3x.
4. Topla: 3x − x = 270 − 180 → 2x = 90 → x = 45°.
5. Sağlama: bütünleri 180 − 45 = 135, tümleri 90 − 45 = 45. 3·45 = 135 ✓.

Analog saat 12 eşit bölmeye ayrılmış bir çemberdir. Tam tur 360° olduğuna göre iki komşu saat rakamı arasındaki açı 360 ÷ 12 = 30°'dir. Bu sabiti bilmek saat sorularının anahtarıdır.

Akrep ve Yelkovanın Dönme Hızları

• Yelkovan (uzun kol, dakika göstergesi): 60 dakikada tam bir tur atar → 60 dakikada 360° → 1 dakikada 6°.
• Akrep (kısa kol, saat göstergesi): 60 dakikada yalnızca bir saatlik mesafe (iki komşu rakam arası) alır → 60 dakikada 30° → 1 dakikada 0,5°.

Çözümlü Örnek 4 — Saat 13.50'de Açı

Saat 13.50'yi gösterirken akrep ile yelkovan arasındaki dar açı kaç derecedir?

1. Yelkovan: 50 dakikada 50 · 6 = 300° döner; 12'den başladığı için 10 rakamı üstündedir.
2. Akrep: saat 1'de 1 rakamı üstündeydi; 50 dakikada 50 · 0,5 = 25° daha döner, yani 1 rakamını 25° geçmiştir.
3. 10 ile 1 rakamları arası 3 · 30 = 90° (10-11, 11-12, 12-1 üç bölme).
4. Akrep 1'i 25° geçtiği için, akrep ile yelkovan arası = 90 + 25 = 115°.
5. Sağlama: 115° + (360 − 115) = 360° ✓; 115° geniş açıdır, 90°<115°<180°.

İki doğru bir noktada kesiştiğinde dört açı oluşur. Bu açılardan karşılıklı duran açılar (aralarında köşe bulunan, ortak kolu olmayan açılar) birbirine eşittir. Bu eşitliğe ters açı ya da karşıt açı kuralı denir.

İspatı — Bütünler Zinciri

İki doğrunun kesiştiği O noktasında dört açıyı sırasıyla α, β, γ, δ diyelim (saat yönünde). α ile β yan yana bir doğru açı oluşturduğu için α + β = 180°. Aynı şekilde β ile γ komşu bütünler: β + γ = 180°. İkisinden: α = γ. Aynı yöntemle β = δ. Yani karşılıklı açılar eşittir.

Çözümlü Örnek 5 — Ters Açıdan Denklem

İki doğrunun kesiştiği noktada karşılıklı iki açının ölçüleri (3x + 10)° ve (5x − 30)° olarak veriliyor. x kaç derecedir ve bu açıların ölçüsü nedir?

1. Ters açı eşitliği: 3x + 10 = 5x − 30.
2. Düzenle: 10 + 30 = 5x − 3x → 40 = 2x → x = 20°.
3. Açı ölçüsü: 3·20 + 10 = 70°. Karşıdaki 5·20 − 30 = 70° ✓.
4. Kontrol: Komşu bütünler 180 − 70 = 110° olmalı.

İki paralel doğru bir üçüncü doğru (kesen / kesici) tarafından kesildiğinde sekiz açı oluşur. Bu açılar arasında üç ana eşitlik ilişkisi vardır ve tüm doğruda açılar kurallarının temeli bu ilişkilerdir.

Üç Temel İlişki

Paralel Şart: Doğrular Gerçekten Paralel mi?

Yukarıdaki kuralların hiçbiri, kesilen iki doğru paralel değilse çalışmaz. "Şekil bana paralel gibi göründü" demek, soruda paralellik verilmeden yöndeş / iç ters açı eşitliği kullanmak yaygın bir hatadır ve doğrudan sıfır puana gider. Paralel simgesi d₁ ∥ d₂ verilmiş mi, ona bak.

İki paralel doğruyu bir doğru kesince ortaya "Z" harfine benzer bir şekil çıkarır. Z'nin iki yatay kolu paralel doğrular, ortadaki çapraz kol kesen doğru üzerindedir. Z'nin iki ucundaki açılar birbirine eşittir. Bu kural doğruda açılar sorularının yaklaşık %70'inde kullanılır.

İspat — İspatlı Özgüven

İki paralel doğru d₁ ve d₂, kesen doğru k. Z'nin alt ucundaki açı α. Yöndeş açı kuralı ile bu α değerini iki paralel doğrudan diğerine taşırsak üstteki noktaya da α gelir. Taşınan α ile Z'nin üst ucundaki açı, ters açılardır → eşittir. Yani Z'nin iki ucundaki açı α = α.

Uygulama Stratejisi: Paralelleri Uzat

Bir doğruda açı sorusunda sıkışırsan ilk refleksin paralelleri uzatmak olmalıdır. Uzattıkça çapraz doğrularla yeni Z kuralı oluşur. Bu işlem soruya yeni bilgi getirmiyor gibi görünür ama verilen açıyı istenilen açıya doğru "taşımanı" sağlar.

Çözümlü Örnek 6 — Klasik Z Uygulaması

d₁ ∥ d₂ olmak üzere iki paralel arasında kalan kırılma noktasından başlayıp d₁'e 72° açıyla giden bir kol var. Bu kolun açıortayı d₂'ye α° açıyla değiyor. α kaç derecedir? (Açıortay, açıyı iki eşit parçaya bölen ışındır.)

1. Üst paraleldeki 72°'lik açıyı açıortay 72 ÷ 2 = 36° iki parçaya böler. Alt parçanın ölçüsü 36°.
2. Z kuralı (açıortay alt parçası ile alt paralel): açıortayın d₂ ile yaptığı iç ters açı da 36°.
3. α ile bu 36° komşu bütünlerdir (doğru açı oluşturur): α + 36 = 180.
4. α = 144°.
5. Sağlama: 144° geniş açı, şekil mantığıyla uyumlu.

Z kuralının özel bir hali M kuralıdır. İki paralel doğru arasında bir kırılma noktasından d₁'e A° açıyla, d₂'ye B° açıyla giden iki kol varsa, kırılma noktasındaki açı A + B°'ye eşittir.

İspat — Kırılma Noktasından Paralel Çizme

Kırılma noktasından d₁ ve d₂'ye paralel bir üçüncü doğru (d₃) çizilirse bu noktada iki ayrı Z oluşur:

• Birinci Z: üst kol ile d₁ arasındaki A° açısı, d₃'ün üst tarafında da A° olur.
• İkinci Z: alt kol ile d₂ arasındaki B° açısı, d₃'ün alt tarafında da B° olur.

Kırılma noktasındaki toplam açı A + B°'dir. Bu ispat aynı zamanda "kırılma noktasından paraleller çiz" stratejisinin neden işe yaradığını gösterir.

Çözümlü Örnek 7 — Paralelleri Uzat + M Kuralı

d₁ ∥ d₂ olmak üzere, d₁'e 110° açıyla başlayan bir kol bir kırılma noktasına uğrar ve oradan d₂'ye gider. Kırılma noktasındaki açı ölçüsü α°, kırılma noktasından d₂'ye giden kolun d₂ ile yaptığı açı 70°'dir. α kaç derecedir?

1. Üstteki açı 110°, aynı taraflı iç açı olarak kesici doğrunun o yanındaki iç açıyla toplamı 180°. Yani kolun d₁'le yaptığı iç taraftaki açı 180 − 110 = 70°.
2. M kuralı: α = 70 + 70 = 140°.
3. Kontrol: soruda verilen 70° alt paralele, 70° üst paralele → her ikisi de 70° → toplam kırılmada 140° ✓.

İki paralel doğru arasında birden fazla kırılma varsa, paralel doğrular arasında kalan açıların toplamı sabit bir formüle uyar. Bu aileye U, kalem ucu, ve genelleştirilmiş kural denir.

U Kuralı (2 Açı) — Toplam 180°

İki paralel arasında U harfi gibi tek bir kırılma varsa (iki açı oluşur), bu iki açının toplamı 180°'dir. İspat: Z kuralıyla bir açı üst paralelin üstüne taşınır, komşu bütünler ilişkisinden toplam 180° çıkar.

Kalem Ucu Kuralı (3 Açı) — Toplam 360°

İki paralel arasında kalem ucu şeklinde iki kırılma varsa (üç açı oluşur), bu üç açının toplamı 360°'dir. İspat: kırılma noktalarına paraleller çizilir, üç doğru açı elde edilir, çeşitli açı eşitlikleri kullanılır.

Genel Kural — n Açı

İki paralel arasında n adet açı (yani n − 1 kırılma) varsa, açıların toplamı (n − 1) · 180°'dir.

• n = 2 → 1 · 180 = 180° (U).
• n = 3 → 2 · 180 = 360° (kalem ucu).
• n = 4 → 3 · 180 = 540°.
• n = 5 → 4 · 180 = 720°.

Çözümlü Örnek 8 — Vinç Kolu (Kalem Ucu)

Bir iş makinesinin vinç kolu iki paralel arasında üç açı oluşturacak şekilde kırılır. İki açı 150° ve 160° olarak ölçülüyor; üçüncü açı ile α° birbirinin bütünleridir (komşu bütünler, aynı doğru üzerinde). α kaç derecedir?

1. Kalem ucu kuralı: üç açının toplamı 360°.
2. 150 + 160 + üçüncü açı = 360 → üçüncü açı = 360 − 310 = 50°.
3. α ile 50° komşu bütünler: α + 50 = 180.
4. α = 130°.
5. Sağlama: 150 + 160 + 50 = 360 ✓; 130 + 50 = 180 ✓.

Paralel doğrular arasında birden çok kırılma noktası oluşturan zikzak şeklinde bir çizgi çizildiğinde güçlü bir açı ilişkisi ortaya çıkar: aynı yöne bakan açıların toplamları birbirine eşittir.

Kural — Formülleştirme

Paralel d₁ ve d₂ arasında üç açı varsa (A, C, E bir yöne; B, D diğer yöne bakıyor), kural şudur:

A + C + E = B + D

Yani bir yöne bakan açıların toplamı, karşı yöne bakanların toplamıyla eşittir. İspat tamamen Z kuralından gelir: her kırılma noktasından paralel çizilir, Z'lerle açılar taşınır, sonuçta iki tarafın toplamı birbirine eşitlenir.

Çözümlü Örnek 9 — Açıortaylı Zikzak

d₁ ∥ d₂ arasında bir zikzak çizgi var: d₁'den 80°'lik bir açıortay yukarıya bakıyor; sonra bir kırılma, sonra d₂'ye giden 70°'lik başka bir açıortay. Açıortaylar iki açıyı ikiye bölüyor; üst kol d₁ ile 2x° üretirken alt kol d₂ ile 2y° üretiyor. Zikzak kuralından:

1. Üst yaya bakan açılar: x + 2y = 80 (birinci zikzak eşitliği).
2. Alt yaya bakan açılar: 2x + y = 70 (ikinci zikzak eşitliği).
3. İki denklemi topla: 3x + 3y = 150 → x + y = 50.
4. Kırılma noktasındaki alfa için üçüncü bir zikzak: α = 2x + 2y = 2(x+y) = 100°.
5. Sağlama: 2(50) = 100 ✓.

Zikzak Bozulduğunda Ne Yapmalı?

Paralel arasındaki bir kırılma "doğal zikzak" oluşturmuyorsa (bir kısmı paralele paralel kalırsa), kırılma noktalarından paralele paralel çizerek zikzakı zorla oluşturursun. Böylece işlem yapılabilir hâle gelir. Bu teknik ileri seviye TYT ve MSÜ sorularında kurtarıcıdır.

Bumerang şekli, bir üçgenin bir kenarının "içe bükülmüş" halidir. Dört köşeli bir figür elde edilir; iki dış açı ve bir iç (girintili) açı vardır. Kural:

A + B + C = D

Üç dış açının toplamı, bumerangın dışındaki "girinti açısı"na (konkav açı) eşittir.

İspat — Zikzaktan Türetme

Bumerangın girintili köşesinden dış kenara paralel bir doğru çizilirse zikzak kuralı uygulanabilir. Kısaca: bumerang aslında zikzak kuralının bir özel hali olarak türetilir.

Çözümlü Örnek 10 — Basit Bumerang

Bir bumerang şeklinde, dış köşelerde ölçüleri 20°, 50° ve 40° olan üç açı vardır. Dışarıdaki α° tek açı kaç derecedir?

1. Bumerang kuralı: α = 20 + 50 + 40.
2. α = 110°.

Çözümlü Örnek 11 — Bumerang ile x Bulma

Bir bumerangda dış üç açı sırasıyla (2x + 10)°, 30° ve 40°'dir. Dışarıdaki (konkav) açı 120°'ye eşit olduğuna göre x kaç derecedir?

1. Bumerang kuralı: dış üç açı toplamı = konkav açı.
2. (2x + 10) + 30 + 40 = 120.
3. Sabitleri topla: 2x + 80 = 120.
4. 2x = 40 → x = 20°.
5. Sağlama: açılar 50°, 30°, 40° → toplam 120° ✓.

Bir açının köşesinden çıkan ve açıyı iki eşit parçaya bölen ışına açıortay denir. Bir açının tek bir açıortayı vardır ve o ışın, açının iki kolundan eşit uzaklıktadır.

Temel Özellikler

• Açıortay üzerindeki her nokta, açının iki kolundan eşit uzaklıktadır (dik uzaklık anlamında).
• Bir α°'lik açının açıortayı o açıyı iki eşit α/2°'lik açıya böler.
• Açıortay üzerindeki bir nokta o açının "simetri ekseni" üzerindedir.

Çözümlü Örnek 12 — Açıortay Üzerine Temel Bir Uygulama

AOB açısı 120°'dir. OC ışını AOB açısının açıortayıdır. OA ile OC arasında bir OD ışını çizilmiş ve m(AOD) = 20° olarak verilmiştir. m(DOB) kaç derecedir?

1. OC açıortay → m(AOC) = m(COB) = 120 ÷ 2 = 60°.
2. m(DOB) = m(AOB) − m(AOD) = 120 − 20 = 100°.
3. Sağlama: m(DOC) = m(AOC) − m(AOD) = 60 − 20 = 40°. m(DOB) = m(DOC) + m(COB) = 40 + 60 = 100° ✓.

Son iki yıl TYT ve MSÜ sorularında doğruda açılar kalıbını görelim. Hepsinin ortak özelliği: paralellik verilmiş, bir şekil çizilmiş, bir Z veya zikzak oluşturuluyor.

Çözümlü Örnek 13 — 2022 TYT Tarzı (Paralel + Komşu Bütünler)

d₁ ∥ d₂ olmak üzere, iki paralel arasında bir kırılma noktası var. Üst paraleldeki kol d₁ ile 130°'lik bir açı yapıyor. Aynı kol d₂'ye paralel çizilen bir başka kolla 80°'lik açı oluşturuyor. Kırılma noktasındaki α° kaç derecedir?

1. Üst paralel ile üst kol arasındaki dış açı 130° → iç açı 180 − 130 = 50°.
2. Alt paralel ile alt kol arasındaki dış açı 80° → iç açı 180 − 80 = 100°. Bunlar kesenin karşılıklı yanlarındaki iç açılardır.
3. M kuralı (paralel arası kırılma): α = 50 + 100 = 150°.
4. Alternatif kontrol: kırılma noktasındaki tam açı 360°, kırılmanın diğer tarafı 360 − 150 = 210° olmalı. İki iç açı toplamı 180° ise karşı taraf 360° − 180° = 180°, başka bir değişken gerekli. Yöntem tutarlı.
5. α = 150°.

Çözümlü Örnek 14 — 2024 MSÜ Sokak-Dönüş Sorusu

Engin evinden çıkıp dört sokaktan yürüyor; her sokağın kenarları paralel. Eczanenin bulunduğu sokak, Engin'in evinin bulunduğu sokağa diktir. Engin evinin sokağından marketin sokağına geçmek için 40° sağa; marketin sokağından okulun sokağına geçmek için 80° sağa dönüyor. Okulun sokağından eczanenin sokağına geçmek için kaç derece sola dönmelidir?

1. Her dönüşte yürüyüşü "aynı doğrultuda devam" ederken kırıp yan sokağa giriyor. 40° sağa dönmek, kaldırımdaki iç açının 180 − 40 = 140° olması demektir.
2. İkinci kırılmada 80° sağa → o köşedeki iç açı 180 − 80 = 100°.
3. Engin'in yürüdüğü dört sokağın kenarları paralel. Dört kırılma, paralel doğrular arasında sırayla oluşan açılar. Dört açının toplamı için genel kural: (n − 1) · 180° ile n=3 (üç açı görünüyor) → toplam 360°.
4. Üçüncü kırılmada (okuldan eczaneye) oluşan iç açı θ° olsun: 140 + 100 + θ = 360 → θ = 120°.
5. Eczane sokağı, ev sokağına dik. Yani θ iç açısının bir kısmı diklikten kaynaklanır. 180° doğru açıdan θ çıkarılırsa sokağın diğer yanında 60° kalır. Dik olduğu için kalan 60° ile dönüş açısı α tümler: α + 60 = 90 → α = 30°.
6. Engin 30° sola dönmelidir.

Çözümlü Örnek 15 — Katlanır Cetvel Sorusu (2022 TYT Tarzı)

Katlanır bir cetvel C ve D noktalarından katlanıyor. A ucundan ok yönünde (2x − 60)°, B ucundan ok yönünde (x + 40)° döndürülüyor. Son durumda BC doğru parçası AD'ye paralel. x kaç derecedir?

1. BC ∥ AD olduğundan Z kuralı (iç ters açı) uygulanabilir: iki dönüş açısı eşit olur.
2. 2x − 60 = x + 40.
3. 2x − x = 40 + 60 → x = 100°.
4. Sağlama: 2·100 − 60 = 140°, 100 + 40 = 140° ✓.

Sınav stresinde kuralları unutmamak için kısa kodlu hatırlatıcılar (akronim ve mnemonik) işe yarar. Aşağıdaki on bir kalıbı kafanda sabitlersen formülleri tek tek hatırlamak yerine harf eşlemesinden anında hatırlarsın.

Aşağıdaki dizin sınav öncesi son tekrar için tasarlanmıştır: konu içindeki ana başlıklara, ikili açı ilişkilerine, paralel doğrularda kullanılan kurallara ve sık çıkan tuzaklara tek bakışta erişirsin.

1. Beş Açı Türü

• Dar açı — 0° ile 90° arası.
• Dik açı — tam 90°.
• Geniş açı — 90° ile 180° arası.
• Doğru açı — tam 180°.
• Tam açı — 360°. 180°-360° arası özel ad yok.

2. İkili Açı İlişkileri

• Tümler açı — toplam 90°. Pratik: x → tümleri 90 − x.
• Bütünler açı — toplam 180°. Pratik: x → bütünleri 180 − x.
• Ters (karşıt) açı — kesişen iki doğruda karşılıklı açılar eşittir.
• Komşu bütünler — bir doğru üstündeki yan yana iki açı toplamı 180°.

3. Paralel Doğrular ile Kesen

• Z kuralı — iç ters açılar eşit.
• F kuralı — yöndeş açılar eşit.
• C kuralı — aynı taraflı iç açıların toplamı 180°.
• U kuralı — paralel arası iki açının toplamı 180°.
• M kuralı — kırılmadaki açı = iki dış açının toplamı.
• Kalem ucu — paralel arası üç açı toplamı 360°.
• Genel — paralel arası n açı için toplam (n − 1) · 180°.
• Zikzak — aynı yöne bakan açıların toplamları eşit.
• Bumerang — üç dış açının toplamı, içteki konkav açıya eşittir.

4. Sınav Tuzakları

• Paralel simgesi yoksa Z/F/C kuralları kullanılamaz.
• 180° ile 360° arası açıların özel adı yoktur.
• Bumerangda hangi açı içte (girinti), hangileri dışta (köşe), şekle bakarak belirlenmelidir.
• Saat formülü |30H − 5,5M|°; sonuç 180°'den büyükse 360 − sonuç alınır.
• Açıortay sorularında aynı parçalara aynı harf verip denklemi tek değişkenle kurmak süre kazandırır.

5. Tam Kurallar Tablosu

Problem Çözme Refleksi — 4 Adım

1. Paralel simgesi var mı? Varsa Z/F/C kuralları devreye girer. Yoksa ters açı, tümler-bütünler veya üçgen-sonrası konulara geçer.
2. Paralelleri uzat. Kısa paralel çizgileri sınır dışına kadar uzatınca Z'ler, F'ler ortaya çıkar.
3. Kırılma noktalarından paralellere paralel çiz. Her kırılma iki yeni Z üretir; M kuralı veya zikzak dönüşümü buradan gelir.
4. Açıları ver isim, denklem kur. Aynı açılara aynı harf (α, β, x, y) ver. Tek değişkenle çözülebiliyorsa tek değişken kullan. İşlem bitince sağlama yap.