Modüler Aritmetik

Modüler aritmetik, bir sayının başka bir sayıya bölümünden kalan üzerinden yapılan aritmetiktir. Aslında ilkokuldan beri bildiğimiz bölme kalanı olayının daha düzenli, kural listesiyle donatılmış halidir. Temelini bölünebilme kuralları konusuna dayanır; o yüzden bölünebilmeyi iyi bilen öğrenciler bu konuyu çok hızlı kavrar.

Tanım

x ve y tam sayılar, m ise 1'den büyük bir pozitif tam sayı olsun. Aşağıdaki gösterim:

x ≡ y (mod m)

"x denktir y'ye modül m" diye okunur ve anlamı şudur: x sayısının m'ye bölümünden kalan y'dir. Bir başka eşdeğer ifadeyle, x − y farkı m'ye tam bölünür. Yani (x − y)/m bir tam sayıdır.

Neden m > 1?

Modül değeri 1 olamaz, çünkü her tam sayı 1'e kalansız bölünür ve anlamlı bir kalan sınıfı oluşmaz. Modül sıfır veya negatif de olamaz; mantıklı bölünebilme için en küçük modül 2'dir. Bölünebilme kuralları da zaten 2'den başlar.

Kalan Sınıfı

Mod m'de kalan ancak şu değerleri alabilir: 0, 1, 2, …, m−1. Yani toplam m tane farklı kalan sınıfı vardır.

• Mod 2: Kalanlar 0 ve 1. (Tek/çift ayrımı)
• Mod 5: Kalanlar 0, 1, 2, 3, 4.
• Mod 7: Kalanlar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. (Hafta günleri için kullanışlı)
• Mod 12: Kalanlar 0…11. (Saat için kullanışlı)

Dikkat: Kalan asla m'ye eşit ya da ondan büyük olamaz. Eğer bir soruda "x ≡ 7 (mod 5)" yazıyorsa, bu aslında 7'nin 5'e bölümünden kalan 2 olduğu için x ≡ 2 (mod 5) anlamına gelir.

Adım Adım Örnek 1 (Temel Tanım)

Soru: 17 ≡ ? (mod 5)

1. 17'yi 5'e böl: 17 = 5 · 3 + 2
2. Kalan 2'dir.
3. Sonuç: 17 ≡ 2 (mod 5)
4. Kontrol: 17 − 2 = 15; 15/5 = 3 (tam sayı). Doğru.

Adım Adım Örnek 2

Soru: 13 ≡ ? (mod 4)

1. 13'ü 4'e böl: 13 = 4 · 3 + 1
2. Kalan 1'dir.
3. Sonuç: 13 ≡ 1 (mod 4)
4. Kontrol: 13 − 1 = 12; 12/4 = 3. Doğru.

Adım Adım Örnek 3 (Bilinmeyen Modül)

Soru: 12 ≡ 3 (mod x) ise x kaç farklı değer alır?

1. Tanım gereği 12 − 3 = 9, x'e tam bölünür.
2. Ayrıca x > 3 olmalı (çünkü kalan modülden küçük olmalıdır).
3. 9'un bölenleri: 1, 3, 9. Bunlardan 3'ten büyük olan sadece 9.
4. Sonuç: x yalnızca 1 farklı değer alır (x = 9).
5. Kontrol: 12'yi 9'a bölersek 12 = 9 · 1 + 3, kalan 3. Doğru.

"x ≡ y (mod m)" yazımı aslında bir denklik bağıntısıdır. Eşitliğe benzer üç temel özelliği vardır ve bu özellikler sayesinde mod işlemlerinde rahatça çözüm yapabiliriz.

Üç Temel Özellik

1. Yansıma: Her x tam sayısı için x ≡ x (mod m).
2. Simetri: x ≡ y (mod m) ise y ≡ x (mod m).
3. Geçişme: x ≡ y (mod m) ve y ≡ z (mod m) ise x ≡ z (mod m).

Bir Sayının Farklı Temsilcileri

Aynı kalan sınıfında sonsuz sayıda tam sayı vardır. Mesela mod 5'te kalan 2 olan sayılar: …, -8, -3, 2, 7, 12, 17, 22, … Bunların hepsi aynı kalan sınıfındadır ve birbirine mod 5'te denktir.

2 ≡ 7 ≡ 12 ≡ 17 ≡ 22 (mod 5)

Negatif Sayılarda Kalan

Negatif sayılarda kalan her zaman 0 ile m−1 arasında olmalıdır. Negatif bir kalan çıkarsa modülü ekleyerek pozitife çeviririz.

• −1 ≡ ? (mod 5) → −1 + 5 = 4, dolayısıyla −1 ≡ 4 (mod 5)
• −7 ≡ ? (mod 3) → −7 + 9 = 2, dolayısıyla −7 ≡ 2 (mod 3)
• −1 ≡ m−1 (mod m) — bu eşitlik üs alma bölümünde çok işe yarar

Adım Adım Örnek 1 (Eşdeğer Temsilci)

Soru: 23 ile 38 sayıları aynı mod 5 sınıfında mıdır?

1. 23 = 5 · 4 + 3 → kalan 3
2. 38 = 5 · 7 + 3 → kalan 3
3. Her ikisi de kalan 3'e denk, yani 23 ≡ 38 (mod 5).
4. Kontrol: 38 − 23 = 15; 15/5 = 3 (tam sayı). Doğru.

Adım Adım Örnek 2 (Negatif Kalan)

Soru: −23 ≡ ? (mod 6)

1. −23'ü 6'ya bölelim: −23 = 6 · (−4) + 1 (çünkü 6 · −4 = −24, üstüne 1 eklersek −23)
2. Kalan 1'dir. (Kalan 0 ≤ r < 6 aralığında olmalı)
3. Sonuç: −23 ≡ 1 (mod 6)
4. Kontrol: −23 − 1 = −24; −24/6 = −4 (tam sayı). Doğru.

Adım Adım Örnek 3 (Ortak Sınıf)

Soru: 100 sayısı mod 7'de hangi kalan sınıfındadır?

1. 100 / 7: 7 · 14 = 98, 100 − 98 = 2
2. Kalan 2
3. Sonuç: 100 ≡ 2 (mod 7)
4. Kontrol: 100 − 2 = 98 = 7 · 14. Doğru.

Modüler aritmetiğin en güzel yanı, standart aritmetik işlemlerle tamamen uyumlu olmasıdır. Toplama, çıkarma ve çarpma kalanlar üzerinde de aynen çalışır. Bu da büyük sayıları önce küçültüp sonra işlem yapma imkânı verir.

Toplama Kuralı

a ≡ b (mod m) ve c ≡ d (mod m) ise:

a + c ≡ b + d (mod m)

Yani sayıları toplamadan önce kalanlarını toplayıp sonucun kalanını alabilirsiniz.

Çıkarma Kuralı

a − c ≡ b − d (mod m)

Sonuç negatif çıkarsa m eklenerek pozitif kalana dönüştürülür.

Çarpma Kuralı

a · c ≡ b · d (mod m)

Büyük çarpımları aklınızda yapamayacağınız zaman kurtarıcıdır.

Adım Adım Örnek 1 (Toplama)

Soru: 17 + 23 ifadesinin mod 5'te kalanı kaçtır?

1. 17 ≡ 2 (mod 5) (17 = 5 · 3 + 2)
2. 23 ≡ 3 (mod 5) (23 = 5 · 4 + 3)
3. Kalanları topla: 2 + 3 = 5
4. 5'in mod 5'teki kalanı 0, yani 17 + 23 ≡ 0 (mod 5).
5. Kontrol: 17 + 23 = 40; 40/5 = 8, kalan 0. Doğru.

Adım Adım Örnek 2 (Çıkarma, Negatif Sonuç)

Soru: 11 − 19 ifadesinin mod 6'daki kalanı kaçtır?

1. 11 ≡ 5 (mod 6) (11 = 6 + 5)
2. 19 ≡ 1 (mod 6) (19 = 6 · 3 + 1)
3. Kalanları çıkar: 5 − 1 = 4
4. Sonuç: 11 − 19 ≡ 4 (mod 6)
5. Kontrol: 11 − 19 = −8; −8 + 12 = 4, gerçekten mod 6'da kalanı 4. Doğru.

Adım Adım Örnek 3 (Çarpma)

Soru: 34 · 47 ifadesinin mod 5'teki kalanı kaçtır?

1. 34 ≡ 4 (mod 5)
2. 47 ≡ 2 (mod 5)
3. Kalanları çarp: 4 · 2 = 8
4. 8'in mod 5'teki kalanı: 8 − 5 = 3
5. Sonuç: 34 · 47 ≡ 3 (mod 5)
6. Kontrol: 34 · 47 = 1598; 1598 / 5 = 319, kalan 3. Doğru.

Adım Adım Örnek 4 (Karma İşlem)

Soru: (56 + 73) · 41 ifadesinin mod 7'deki kalanı kaçtır?

1. 56 ≡ 0 (mod 7) (56 = 7 · 8)
2. 73 ≡ 3 (mod 7) (73 = 7 · 10 + 3)
3. 41 ≡ 6 (mod 7) (41 = 7 · 5 + 6)
4. Parantez: 0 + 3 = 3
5. Çarpım: 3 · 6 = 18; 18 ≡ 4 (mod 7) (18 = 7 · 2 + 4)
6. Sonuç: 4
7. Kontrol: (56+73) · 41 = 129 · 41 = 5289; 5289 / 7 = 755, kalan 4. Doğru.

Modüler aritmetiğin KPSS'de en sık sorulan biçimi büyük üslü sayıların kalanıdır. "7¹⁰⁰ sayısının 5 ile bölümünden kalan kaçtır?" tarzında sorular direkt hesaplamayla çözülemeyeceği için mod mantığı zorunludur.

Üs Alma Kuralı

a ≡ b (mod m) ise:

aⁿ ≡ bⁿ (mod m)

Yani tabanı önce mod'a indirger, sonra üs alırız.

Kalan Döngüsü (Periyot)

Bir sayının ardışık kuvvetleri mod m'de bir süre sonra tekrar eden bir döngüye girer. Bu döngünün uzunluğu bulunursa, üs mod döngü ile küçültülür.

Örnek: 2'nin kuvvetlerinin mod 5'teki kalanları:

• 2¹ = 2 → kalan 2
• 2² = 4 → kalan 4
• 2³ = 8 → kalan 3
• 2⁴ = 16 → kalan 1
• 2⁵ = 32 → kalan 2 (döngü başa döndü)

Burada döngü uzunluğu 4: (2, 4, 3, 1) tekrar ediyor. O halde 2ⁿ'in mod 5 kalanı için n'nin mod 4'teki kalanına bakarız.

−1 Kısayolu

m−1 ≡ −1 (mod m) olduğundan:

• (m−1)^çift ≡ 1 (mod m)
• (m−1)^tek ≡ m−1 (mod m)

Örneğin 4¹⁰⁰ (mod 5) → 4 ≡ −1 (mod 5) ve 100 çift olduğu için sonuç 1.

Adım Adım Örnek 1 (Tabanı Küçült)

Soru: 13² sayısının mod 5'teki kalanı kaçtır?

1. 13 ≡ 3 (mod 5)
2. 13² ≡ 3² = 9 (mod 5)
3. 9 ≡ 4 (mod 5)
4. Sonuç: 4
5. Kontrol: 13² = 169; 169/5 = 33, kalan 4. Doğru.

Adım Adım Örnek 2 (−1 Kısayolu)

Soru: 6⁵⁰ sayısının mod 7'deki kalanı kaçtır?

1. 6 ≡ −1 (mod 7)
2. 6⁵⁰ ≡ (−1)⁵⁰
3. 50 çift sayı, (−1)⁵⁰ = 1
4. Sonuç: 1
5. Kontrol: 6² = 36 ≡ 1 (mod 7); dolayısıyla 6⁵⁰ = (6²)²⁵ ≡ 1²⁵ = 1. Doğru.

Adım Adım Örnek 3 (Döngü Bulma)

Soru: 2¹⁰¹ sayısının mod 5'teki kalanı kaçtır?

1. 2'nin mod 5'teki kuvvet döngüsü: 2, 4, 3, 1 (uzunluk 4)
2. 101'in mod 4'teki kalanı: 101 = 4 · 25 + 1, kalan 1
3. Döngünün 1. elemanı: 2
4. Sonuç: 2¹⁰¹ ≡ 2 (mod 5)
5. Kontrol: 2⁴ = 16 ≡ 1 (mod 5); 2¹⁰¹ = 2¹⁰⁰ · 2 = (2⁴)²⁵ · 2 ≡ 1 · 2 = 2. Doğru.

Adım Adım Örnek 4 (Büyük Taban)

Soru: 27⁴⁰ sayısının mod 13'teki kalanı kaçtır?

1. 27 ≡ 1 (mod 13) (27 = 13 · 2 + 1)
2. 27⁴⁰ ≡ 1⁴⁰ = 1 (mod 13)
3. Sonuç: 1
4. Kontrol: Taban 1'e denkse her kuvveti de 1'e denktir. Doğru.

KPSS'de modüler aritmetik sorularının en popüler kılığı saat ve takvim problemleridir. "Bugün salı ise 100 gün sonra hangi gün olur?" gibi sorular görünüşte modüler aritmetik değildir ama arka planda mod 7 (gün) veya mod 12/24 (saat) ile çalışır.

Hangi Modül Hangi Problem?

• Saat problemleri: Analog saat için mod 12, dijital/24 saat için mod 24.
• Hafta günleri: mod 7 (7 gün)
• Ay içi tarihler: Değişken (28, 30, 31 gün) — her ay için ayrıca düşünülür.
• Yıl — hafta günü ilişkisi: Artık yıla dikkat, 366 gün ≡ 2 (mod 7), normal yıl 365 ≡ 1 (mod 7).

Temel Yöntem

1. Geçen süreyi (gün/saat/dakika) say.
2. Süreyi uygun modülle böl, kalanı al.
3. Kalanı başlangıç noktasına ekle.

Adım Adım Örnek 1 (Gün Problemi)

Soru: Bugün salı. 100 gün sonra haftanın hangi günü olur?

1. 100 ≡ ? (mod 7) → 100 = 7 · 14 + 2, kalan 2
2. Salı'dan 2 gün ileri: Çarşamba (+1), Perşembe (+2)
3. Sonuç: Perşembe
4. Kontrol: Her 7 günde aynı güne dönülür. 98 gün sonra yine salı; +2 gün perşembe yapar. Doğru.

Adım Adım Örnek 2 (Geçmişe Gün)

Soru: Bugün cuma. 50 gün önce hangi gün idi?

1. 50 ≡ 1 (mod 7) (50 = 7 · 7 + 1)
2. 50 gün önce → 1 gün geri
3. Cuma'dan 1 gün geri: Perşembe
4. Sonuç: Perşembe
5. Kontrol: 49 gün önce yine cuma (tam 7 hafta), 1 gün daha geri perşembe. Doğru.

Adım Adım Örnek 3 (Analog Saat)

Soru: Saat 09:00. 100 saat sonra saat kaç olur? (12'li saat)

1. 100 ≡ ? (mod 12) → 100 = 12 · 8 + 4, kalan 4
2. 09:00 + 4 saat = 13:00 analog saatte 01:00 yazar
3. Sonuç: Analog saatte 01:00 (dijital 24 saatte hesaba "öğle mi/gece mi" notunu eklemek gerekir).
4. Kontrol: 96 saat sonra yine 09:00; +4 saat 13:00 (öğleden sonra 01:00). Doğru.

Adım Adım Örnek 4 (Dijital Saat)

Soru: Saat 14:00. 250 saat sonra saat kaç olur? (24 saat dijital)

1. 250 ≡ ? (mod 24) → 250 = 24 · 10 + 10, kalan 10
2. 14:00 + 10 saat = 24:00 = 00:00 (ertesi gün başlangıcı)
3. Sonuç: 00:00
4. Kontrol: 240 saat = 10 tam gün, başlangıca döner 14:00; +10 saat → 24:00 → 00:00. Doğru.

Adım Adım Örnek 5 (Karma: Yıl ve Gün)

Soru: 1 Ocak 2025 çarşamba ise 1 Ocak 2026 hangi gündür? (2025 artık yıl değildir, 365 gün.)

1. 365 ≡ 1 (mod 7)
2. Çarşamba + 1 gün = Perşembe
3. Sonuç: Perşembe
4. Kontrol: Normal yılda takvim 1 gün kayar; artık yılda 2 gün kayar. Doğru.

KPSS'de modüler aritmetik soruları doğrudan "mod nedir?" biçiminde sorulmaz. Genellikle büyük üslü sayıların kalanı, saat-takvim problemi veya bölünebilme sorusu kisvesinde karşımıza çıkar. Bu bölümde en sık gelen tipler ve çözüm refleksleri özetlenmiştir.

Sık Sorulan Soru Tipleri

Soru Tipi	Çözüm Stratejisi	Sıklık
Büyük üslü sayının kalanı	Tabanı mod'a indirge, gerekirse döngü bul	Sık
Gün / hafta sorusu	Mod 7, kalan gün sayısı kadar ileri/geri git	Sık
Analog/dijital saat	Mod 12 (analog) / mod 24 (dijital)	Orta
Bilinmeyen modül	(x−y) farkının bölenlerini bul, kalan<modül şartı	Orta
Toplama/çarpma kalanı	Her sayıyı mod'a indirge, sonra işlem yap	Orta
Bölünebilmeyle karışık	Kalan = 0 koşulu, mod 2/3/5/9 kuralları	Orta

Adım Adım Çözüm Stratejisi

1. Modülü belirle: Soruda açık yazıyorsa o, yoksa bağlamdan çıkar (gün → 7, saat → 12/24, bölüm → bölen).
2. Tabanı küçült: İri sayı varsa hemen mod'a indirge; özellikle tabanın −1, 0 veya 1'e denk olup olmadığını kontrol et.
3. Üs için döngü ara: Taban−1'den farklı kalıyorsa kuvvetlerin mod kalanlarını birkaç adım yaz, döngü uzunluğunu bul.
4. İşlemi yap: Kalanlarla topla, çıkar, çarp. Sonuç negatif çıkarsa m ekle.
5. Kontrol: Bulduğun kalanı orijinal ifadeye koyup hızlı bir bölme ile doğrula.

Adım Adım Örnek 1 (Üs + Toplama)

Soru: 7²⁰ + 11 ifadesinin 5 ile bölümünden kalan kaçtır?

1. 7 ≡ 2 (mod 5)
2. 7²⁰ ≡ 2²⁰ (mod 5)
3. 2'nin mod 5 döngüsü (2, 4, 3, 1), uzunluk 4. 20 ≡ 0 (mod 4) → döngünün son elemanı yani 1.
4. Yani 7²⁰ ≡ 1 (mod 5)
5. 11 ≡ 1 (mod 5)
6. Toplam: 1 + 1 = 2 (mod 5)
7. Sonuç: 2
8. Kontrol: 2⁴ = 16 ≡ 1 (mod 5); 2²⁰ = (2⁴)⁵ ≡ 1. Doğru.

Adım Adım Örnek 2 (Bilinmeyen Modül)

Soru: 25 ≡ 4 (mod n) olduğuna göre n kaç farklı değer alabilir?

1. Tanım: 25 − 4 = 21, n'ye tam bölünür.
2. 21'in bölenleri: 1, 3, 7, 21
3. Koşul: n > 4 (kalan modülden küçük olmalı)
4. 4'ten büyük bölenler: 7 ve 21
5. Sonuç: 2 farklı değer
6. Kontrol: 25/7 = 3, kalan 4. 25/21 = 1, kalan 4. Her ikisi de doğru. 25/3 = 8, kalan 1 (kalan 4 değil). Doğru.

Adım Adım Örnek 3 (Gün + Saat)

Soru: Salı günü saat 10:00'da başlayan bir etkinlik 200 saat sürüyor. Etkinlik hangi gün saat kaçta biter? (24 saat)

1. 200 saat = 8 gün + 8 saat (200 = 24 · 8 + 8)
2. Gün: salı + 8 gün → 8 ≡ 1 (mod 7), salı + 1 = çarşamba
3. Saat: 10:00 + 8 saat = 18:00
4. Sonuç: Çarşamba 18:00
5. Kontrol: 192 saat = 8 tam gün sonra yine salı 10:00; +8 saat çarşamba 18:00. Doğru.

Zaman Yönetimi

Modüler aritmetik soruları doğru yaklaşıldığında 40−70 saniyede biter.

1. 5 saniye: Modülü ve soru tipini belirle.
2. 15 saniye: Taban/sayıları küçült.
3. 20 saniye: Üs döngüsü veya basit işlem.
4. 15 saniye: Sonucu topla/çıkar/çarp, yeniden mod al.
5. 5 saniye: Kontrol ve seçenek işaretle.