Basit Eşitsizlikler

Eşitsizlik, iki matematiksel ifade arasındaki büyüklük-küçüklük ilişkisini gösteren ifadedir. Denklemlerde "=" kullanılırken, eşitsizliklerde dört farklı sembol kullanılır:

Eşitsizlik ile Denklem Farkı

Denklemlerde çözüm genellikle tek bir değerdir (örneğin x = 5). Eşitsizliklerde ise çözüm bir aralıktır; sonsuz sayıda değer çözümü sağlayabilir. Örneğin x > 3 eşitsizliğinin çözümü 3'ten büyük tüm reel sayılardır: 3,1 de çözümdür, 100 de çözümdür, 3,0001 de çözümdür.

Sayı Doğrusunda Gösterim

Eşitsizliklerin çözüm kümesi sayı doğrusunda gösterilir:

• Boş daire (o): < ve > işaretlerinde kullanılır; sınır değeri dahil değildir.
• Dolu daire (•): ≤ ve ≥ işaretlerinde kullanılır; sınır değeri dahildir.

Örnek: x > 2 → Sayı doğrusunda 2'de boş daire, sağa doğru ok. x ≤ 5 → Sayı doğrusunda 5'te dolu daire, sola doğru ok.

Eşitsizliklerde işlem yaparken belirli kurallar vardır. Bu kurallar denklem çözmeye benzer ancak çok önemli bir fark içerir: negatif sayıyla çarpma/bölmede yön değişir.

1. Toplama ve Çıkarma Özelliği

Eşitsizliğin her iki tarafına aynı sayı eklenip çıkarılabilir. Yön değişmez.

a < b ise a + c < b + c   ve   a - c < b - c

Örnek: 3 < 7 ise her iki tarafa 5 ekleyelim: 3 + 5 < 7 + 5 → 8 < 12 ✓

Örnek: x - 4 > 10 ise her iki tarafa 4 ekleyelim: x > 14.

2. Pozitif Sayıyla Çarpma/Bölme

Eşitsizliğin her iki tarafı pozitif bir sayıyla çarpılır veya bölünürse yön değişmez.

a < b ve c > 0 ise a · c < b · c

Örnek: 2 < 5, her iki tarafı 3 ile çarpalım: 6 < 15 ✓

Örnek: 2x < 10 ise her iki tarafı 2'ye bölelim: x < 5.

3. Negatif Sayıyla Çarpma/Bölme (Kritik Kural)

Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıyla çarpılır veya bölünürse yön değişir!

a < b ve c < 0 ise a · c > b · c

Örnek: 2 < 5, her iki tarafı (-1) ile çarpalım: -2 > -5 ✓ (Yön değişti!)

Örnek: -3x > 12 ise her iki tarafı (-3)'e bölelim: x < -4. (Yön değişti!)

4. Ters Alma Özelliği

Her iki taraf aynı işaretli ve sıfırdan farklıysa, ters alındığında yön değişir:

0 < a < b ise 1/a > 1/b

Örnek: 2 < 5 ise 1/2 > 1/5 ✓

Negatif sayıyla çarpma/bölme kuralı eşitsizliklerin en kritik noktasıdır. KPSS'de bu kuralı test eden sorular çok sık gelir. Bu bölümde kuralın mantığını ve farklı senaryolardaki uygulamasını detaylıca göreceğiz.

Neden Yön Değişir?

Sayı doğrusunu düşünün. Pozitif sayıyla çarptığınızda sayıların sırası korunur. Ancak negatif sayıyla çarptığınızda sayılar sıfırın diğer tarafına geçer ve sıralamaları tersine döner.

Görselleştirme:

• 3 < 5 doğrudur. Sayı doğrusunda 3 solda, 5 sağdadır.
• (-1) ile çarpalım: -3 ve -5. Sayı doğrusunda -5 solda, -3 sağdadır.
• Yani -3 > -5. Sıralama tersine döndü!

Adım Adım Örnekler

Örnek 1: -2x + 6 > 0

1. Her iki taraftan 6 çıkar: -2x > -6
2. Her iki tarafı (-2)'ye böl: x < 3 (Yön değişti!)
3. Çözüm kümesi: x < 3, yani 3'ten küçük tüm reel sayılar.

Örnek 2: -x/3 ≤ 4

1. Her iki tarafı 3 ile çarp (pozitif, yön değişmez): -x ≤ 12
2. Her iki tarafı (-1) ile çarp (negatif, yön değişir): x ≥ -12
3. Çözüm kümesi: x ≥ -12

Örnek 3: 5 - 3x ≥ 2x + 15

1. x'leri bir tarafa topla: 5 - 3x - 2x ≥ 15 → 5 - 5x ≥ 15
2. Her iki taraftan 5 çıkar: -5x ≥ 10
3. Her iki tarafı (-5)'e böl: x ≤ -2 (Yön değişti!)
4. Çözüm kümesi: x ≤ -2

Negatifle Çarpmada Dikkat Edilecekler

• Yalnızca çarpma ve bölme işlemlerinde yön değişir; toplama/çıkarmada asla değişmez.
• Her iki tarafa negatif sayı eklemek yönü değiştirmez (toplama işlemidir).
• Katsayı negatifse, x'i yalnız bırakmak için negatife bölmeniz gerekir → yön değişir.

Birinci dereceden eşitsizlik, bilinmeyenin en yüksek kuvvetinin 1 olduğu eşitsizliklerdir (ax + b > 0, ax + b ≤ c gibi). Çözüm adımları denklem çözmeyle aynıdır; tek fark negatifle bölme/çarpma durumunda yön değişimidir.

Genel Çözüm Adımları

1. Parantezleri açın (varsa).
2. x'li terimleri bir tarafa, sabit terimleri diğer tarafa toplayın.
3. x'in katsayısına bölün. Katsayı negatifse yönü değiştirin.
4. Çözüm kümesini yazın.

Örnek 1: 3x - 7 > 5

1. Her iki tarafa 7 ekle: 3x > 12
2. Her iki tarafı 3'e böl (pozitif, yön değişmez): x > 4
3. Çözüm kümesi: {x | x > 4}

Örnek 2: 2(x + 3) ≤ 4x - 2

1. Parantezi aç: 2x + 6 ≤ 4x - 2
2. x'leri bir tarafa topla: 2x - 4x ≤ -2 - 6 → -2x ≤ -8
3. Her iki tarafı (-2)'ye böl (negatif, yön değişir): x ≥ 4
4. Çözüm kümesi: {x | x ≥ 4}

Örnek 3: (x - 1)/2 + 3 < x

1. Her iki tarafı 2 ile çarp: (x - 1) + 6 < 2x
2. Sadeleştir: x + 5 < 2x
3. x'leri bir tarafa topla: 5 < 2x - x → 5 < x
4. Çözüm kümesi: {x | x > 5}

Örnek 4: 7 - x < 11 (Negatif katsayı dikkat!)

1. Her iki taraftan 7 çıkar: -x < 4
2. Her iki tarafı (-1) ile çarp (yön değişir): x > -4
3. Çözüm kümesi: {x | x > -4}

Sağlama Yapma

Bulduğunuz çözümü kontrol etmek için çözüm kümesinden bir değer seçip orijinal eşitsizliğe yerleştirin. Örneğin x > 4 buldunuz; x = 5 koyun: 3(5) - 7 = 8 > 5 ✓. Bir de sınır dışından deneyin: x = 3 koyun: 3(3) - 7 = 2 > 5? Hayır ✗. Doğru!

Çift eşitsizlik, bir değişkenin iki sınır arasında olduğunu gösteren ifadedir. Örneğin 2 < x < 7 ifadesi "x, 2'den büyük ve 7'den küçüktür" anlamına gelir. KPSS'de çift eşitsizlikler hem tek başına hem de iki eşitsizliğin birleştirilmesi şeklinde sorulur.

Çift Eşitsizlikte İşlem Kuralı

Yapılan işlem üç tarafa birden uygulanır:

a < x < b ise a + c < x + c < b + c

Örnek 1: -1 < 2x + 3 < 9, x = ?

1. Her üç taraftan 3 çıkar: -1 - 3 < 2x < 9 - 3 → -4 < 2x < 6
2. Her üç tarafı 2'ye böl: -2 < x < 3
3. Çözüm: x, -2 ile 3 arasındadır (dahil değil).

Örnek 2: 3 ≤ 1 - 2x ≤ 7, x = ?

1. Her üç taraftan 1 çıkar: 2 ≤ -2x ≤ 6
2. Her üç tarafı (-2)'ye böl (yön değişir VE sıra da değişir): -3 ≤ x ≤ -1
3. Çözüm: -3 ≤ x ≤ -1

Dikkat: Negatifle çarpmada yön değiştiğinde, büyük-küçük sıra da tersine döner: sol taraf sağa, sağ taraf sola geçer!

İki Eşitsizliği Toplama

İki ayrı eşitsizliği toplamak sık kullanılan bir tekniktir:

a < x < b   ve   c < y < d ise    a + c < x + y < b + d

Örnek: 1 < x < 5 ve 3 < y < 7 ise x + y'nin aralığı: 1 + 3 < x + y < 5 + 7 → 4 < x + y < 12

İki Eşitsizliği Çıkarma

Çıkarma yapmak için ikinci eşitsizliği ters çevirin, sonra toplayın:

Örnek: 1 < x < 5 ve 3 < y < 7 ise x - y = ?

1. y'nin aralığını ters çevir: -7 < -y < -3
2. x ile topla: 1 + (-7) < x - y < 5 + (-3) → -6 < x - y < 2

KPSS'de sıkça sorulan soru tipi: "Eşitsizliği sağlayan kaç tam sayı vardır?" Bu tip sorularda önce eşitsizliği çözüp aralığı bulun, sonra aralıktaki tam sayıları sayın.

Genel Yöntem

1. Eşitsizliği çözün ve çözüm aralığını bulun.
2. Aralıktaki en küçük ve en büyük tam sayıyı belirleyin.
3. Tam sayı adedi = büyük tam sayı - küçük tam sayı + 1
4. Sınır değerlerin dahil olup olmadığına (< veya ≤) dikkat edin!

Örnek 1: -3 < x < 5 aralığındaki tam sayılar

1. -3 dahil değil (açık), 5 dahil değil (açık).
2. En küçük tam sayı: -2, en büyük tam sayı: 4.
3. Tam sayılar: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 → 7 tam sayı
4. Kontrol: 4 - (-2) + 1 = 7 ✓

Örnek 2: -3 ≤ x ≤ 5 aralığındaki tam sayılar

1. -3 dahil (kapalı), 5 dahil (kapalı).
2. Tam sayılar: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 → 9 tam sayı
3. Kontrol: 5 - (-3) + 1 = 9 ✓

Örnek 3: 7 < x - 6 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı

1. Her iki tarafa 6 ekle: 13 < x → x > 13
2. x tam sayı ise en küçük değer: 14

Örnek 4: -10 < 2x - 4 ≤ 6 aralığındaki tam sayı adedi

1. Her üç tarafa 4 ekle: -6 < 2x ≤ 10
2. Her üç tarafı 2'ye böl: -3 < x ≤ 5
3. -3 dahil değil, 5 dahil. En küçük tam sayı: -2, en büyük: 5.
4. Tam sayılar: -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 → 8 tam sayı

Sınır Durumu Tablosu

İki eşitsizliği çarpmak veya bölmek, toplamaya göre daha dikkatli yapılması gereken işlemlerdir. KPSS'de özellikle "x · y'nin aralığını bulunuz" tarzı sorular gelir.

Pozitif Aralıkta Çarpma

Her iki eşitsizlikteki tüm değerler pozitif ise doğrudan çarpılabilir:

0 < a < x < b ve 0 < c < y < d ise ac < xy < bd

Örnek: 2 < x < 5 ve 3 < y < 7 (hepsi pozitif) ise: 2 · 3 < xy < 5 · 7 → 6 < xy < 35

Karışık İşaretlerde Çarpma

Negatif değerler varsa tüm olası çarpımları hesaplayıp en küçüğünü ve en büyüğünü almalısınız:

Örnek: -2 < x < 3 ve 1 < y < 4 ise xy = ?

1. Köşe değerlerini çarp: (-2)(1) = -2, (-2)(4) = -8, (3)(1) = 3, (3)(4) = 12
2. En küçük: -8, en büyük: 12
3. Sonuç: -8 < xy < 12

Kare Alma

Eşitsizlikte kare almak özel dikkat gerektirir çünkü negatif sayının karesi pozitiftir:

Örnek: -3 < x < 5 ise x² = ?

1. x = -3 ise x² = 9, x = 0 ise x² = 0, x = 5 ise x² = 25
2. Aralık 0'ı içerdiğinden x²'nin en küçük değeri 0'dır.
3. |{-3}| = 3 ve |5| = 5 → en büyük 5² = 25
4. Sonuç: 0 ≤ x² < 25

Örnek: 1 < x < 3 ise x² = ?

1. Aralık tamamen pozitif, doğrudan kare alınabilir: 1 < x² < 9

Bölme İşlemi

x/y aralığı bulmak için y'nin tersini alıp çarpma yapın:

Örnek: 2 < x < 6 ve 1 < y < 3 ise x/y = ?

1. 1/y aralığı: 1/3 < 1/y < 1 (ters alma, pozitif aralıkta yön değişir)
2. x · (1/y): 2 · (1/3) < x/y < 6 · 1 → 2/3 < x/y < 6

Aşağıda KPSS'de çıkabilecek zorlukta eşitsizlik soruları adım adım çözülmüştür.

Örnek 1: Birinci Dereceden Eşitsizlik

4x - 8 ≥ 2x + 6 eşitsizliğini sağlayan en küçük tam sayı kaçtır?

Çözüm:

1. x'leri bir tarafa topla: 4x - 2x ≥ 6 + 8 → 2x ≥ 14
2. Her iki tarafı 2'ye böl: x ≥ 7
3. En küçük tam sayı: 7

Örnek 2: Negatif Katsayılı Eşitsizlik

-3x + 9 < 0 eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı kaçtır?

Çözüm:

1. -3x < -9
2. (-3)'e böl (yön değişir): x > 3
3. En küçük pozitif tam sayı: 4

Örnek 3: Çift Eşitsizlik ve Tam Sayı Sayma

-7 < 2x - 3 ≤ 11 eşitsizliğini sağlayan tam sayı adedi kaçtır?

Çözüm:

1. Her tarafa 3 ekle: -4 < 2x ≤ 14
2. Her tarafı 2'ye böl: -2 < x ≤ 7
3. -2 dahil değil, 7 dahil. Tam sayılar: -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 → 9 tam sayı

Örnek 4: İki Eşitsizliğin Toplamı

-1 < a < 3 ve 2 < b < 5 ise a + b'nin alabileceği tam sayı değerleri kaç tanedir?

Çözüm:

1. a + b aralığı: -1 + 2 < a + b < 3 + 5 → 1 < a + b < 8
2. 1 ve 8 dahil değil. Tam sayılar: 2, 3, 4, 5, 6, 7 → 6 tam sayı

Örnek 5: Eşitsizlik Çıkarması

1 < x < 7 ve -6 < y < -1 ise x - y aralığı nedir?

Çözüm:

1. -y aralığı: 1 < -y < 6 (ters çevir)
2. x + (-y): 1 + 1 < x - y < 7 + 6 → 2 < x - y < 13

Örnek 6: Kare Alma Problemi

-2 < x < 5 ve -1 < y < 3 ise x² + y² aralığı nedir?

Çözüm:

1. x aralığı 0'ı içeriyor: 0 ≤ x² < 25
2. y aralığı 0'ı içeriyor: 0 ≤ y² < 9
3. Topla: 0 + 0 ≤ x² + y² < 25 + 9 → 0 ≤ x² + y² < 34

Eşitsizlikler konusu KPSS Genel Yetenek'te her yıl 1-2 soru olarak karşınıza çıkar. Mutlak değer konusuyla birlikte sorulabildiği için bu iki konuyu birlikte çalışmanız veriminizi artırır.

Sık Görülen Soru Tipleri

Sınav Günü Stratejileri

• Her adımda yön kontrolü: Negatifle çarpıyor/bölüyor musun? Evetse yönü değiştir.
• Sağlama yap: Bulduğun aralıktan bir değer seç, orijinal eşitsizliğe koy.
• Tam sayı sayarken parmakla say: -2 < x < 5 ise -1, 0, 1, 2, 3, 4 = 6 adet.
• Çıkarma sorusunda ters çevirmeyi unutma: x - y için y'yi tersine çevir, sonra topla.
• Kare alma sorusunda 0 kontrolü: Aralık 0'ı içeriyorsa minimum 0'dır.

Özet Formül Tablosu