DGS / ALES Matematik - Sayma ve Olasılık

Sayma ve olasılık, DGS sayısal bölümünde her yıl ortalama 2-3 soruyla sınanan, formül-yoğun ama mantığı oturduğunda hızla netlenen bir başlıktır. Konunun cazip yanı, soruların büyük bölümünün sıra önemli mi, önemsiz mi? ve hangi durum sayısı / hangi toplam? sorularına net yanıt veren adayda 30-60 saniyede tamamlanmasıdır.

Konu başlığı geniş bir kavram ailesini kapsar:

• Temel sayma ilkeleri: çarpma kuralı, toplama kuralı, faktöriyel.
• Permütasyon: sıralı seçim, P(n, r) = n! / (n − r)!.
• Dairesel permütasyon: yuvarlak masa, kolye / küpe formülü, (n − 1)!.
• Tekrarlı permütasyon: aynı harflerin yer aldığı kelime sıralaması, n! / (a! · b! · c!).
• Kombinasyon: sırasız seçim, C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!).
• Simetri özelliği: C(n, r) = C(n, n − r) ve sayım kısayolu.
• Klasik olasılık: P(A) = istenen / toplam, 0 ≤ P ≤ 1.
• Olay türleri: ayrık olaylar, bağımsız olaylar, tümleyen olay, koşullu olasılık.
• Klasik senaryolar: zar, madeni para, torba, kart destesi.

Bu bölümde önce sayma kuralları ve faktöriyel açıklanacak; ardından permütasyon ve kombinasyon farkı sıralı biçimde işlenecektir. Konunun ikinci yarısında klasik olasılık tanımı, ayrık ve bağımsız olaylar, tümleyen ve koşullu olasılık ile dahil-hariç prensibi çözümlü örneklerle ele alınacaktır.

Konunun Önemi ve Hata Yapılan Yerler

DGS sayısal bölümünde sayma ve olasılık, soruların büyük çoğunluğu ezbersiz çözülebilir olmasına rağmen küçük ayrıntılarda en çok hata yapılan başlıklardandır. Adayların büyük çoğunluğu permütasyon ve kombinasyon arasındaki tek farkı, yani sıranın önemli olup olmadığını doğru sorgulamadan formüle atlar. Aynı şekilde olasılık sorularında tüm sonuç sayısı yanlış sayıldığında, geriye kalan tüm hesap doğru olsa bile sonuç hatalı çıkar.

Bir başka tipik hata, "en az bir", "hiç değil", "en fazla iki" gibi ifadelerin doğrudan saymaya kalkışılmasıdır. Bu tip soruların büyük çoğunluğu tümleyen üzerinden çözüldüğünde 30-40 saniyede biter; doğrudan sayım denendiğinde ise 3-4 dakika harcanır. Konuyu bilen ile bilmeyen arasındaki en görünür fark, bu refleksin kazanılmış olmasıdır.

Akronim Mnemonikleri — Tek Bakışta Tüm Formül Havuzu

Sayma ve olasılık başlığının tüm kritik kuralları için aşağıdaki dokuz akronim ve hatırlatıcı, sınav anında hangi formülün ya da prensibin çağrılacağını saniyeler içinde belirlemenizi sağlar. DGS ve ALES Sayısal sorularında geçen sayısal değerlerin neredeyse tamamı bu dokuz satırın bir veya birkaçının kombinasyonuyla bulunur; iki sınavın sayma-olasılık soru kalıpları büyük oranda örtüştüğü için bu tablo iki sınava da aynı verimle altyapı sağlar.

Sayma konusunun temelinde iki sade kural yatar: çarpma kuralı ve toplama kuralı. Bütün permütasyon ve kombinasyon formülleri bu iki kuralın özel halleridir.

Çarpma (VE) Kuralı

Bir işlem birbirinden bağımsız iki adım gerektiriyorsa ve ilk adım m farklı şekilde, ikinci adım n farklı şekilde yapılabiliyorsa, işlemin tamamı m · n farklı şekilde gerçekleşir. Türkçedeki "VE" bağlacı çoğu zaman bu kuralı gösterir.

Örnek: Bir öğrenci 4 farklı gömlek ve 3 farklı pantolon arasından bir kıyafet kombinasyonu seçecektir. Olası kıyafet sayısı 4 · 3 = 12'dir.

Toplama (VEYA) Kuralı

Bir işlem aynı anda yapılamayacak iki seçenekten biriyle gerçekleşiyorsa ve seçenekler ayrık ise, toplam yol sayısı bu seçeneklerin toplamına eşittir. Türkçedeki "VEYA" bağlacı çoğu zaman bu kuralı işaret eder.

Örnek: Otobüsle veya trenle yolculuk yapılacaktır. 5 farklı otobüs ve 3 farklı tren seferi varsa toplam 5 + 3 = 8 seçenek vardır.

Karışık Adımlı Saymaya Örnek

Bir kafede 3 farklı çorba, 5 farklı ana yemek ve 2 farklı tatlı vardır. Üç adımlı bir öğün seçimi 3 · 5 · 2 = 30 farklı şekilde yapılabilir. Hem çorba ve ana yemek ve tatlı seçildiğinden çarpma kuralı uygulanır.

Ancak müşteri "yalnızca çorba veya yalnızca tatlı" alacaksa 3 + 2 = 5 seçenek doğrudur; iki seçenek ayrık olduğundan toplama kuralı geçerlidir.

İki Kuralın Birlikte Kullanımı

Karmaşık görünen sayma soruları çoğunlukla iki kuralın katmanlı kullanımıyla çözülür. Önce iş ayrık durumlara bölünür (toplama kuralı), her durum içinde bağımsız adımlar çarpılır (çarpma kuralı), sonra durum sonuçları toplanır.

Örnek: Bir öğrenci ya 2 farklı çay ile 3 farklı kek arasından bir kahvaltı seçer (ikisini birden alır), ya da yalnızca 4 farklı kahve arasından bir kahvaltı seçer. Toplam seçenek sayısı: (2 · 3) + 4 = 6 + 4 = 10. İki ayrı durum (toplama) içinde her birinde adımlar çarpılır.

Faktöriyel, sayma konusunun en temel yapı taşıdır. Bir n doğal sayısının faktöriyeli, 1'den n'e kadar olan tüm pozitif tam sayıların çarpımıdır:

n! = n · (n − 1) · (n − 2) · … · 3 · 2 · 1

Bilinmesi Gereken Değerler

Önemli Faktöriyel Özdeşlikleri

• 0! = 1: Sıfır nesneyi sıralamanın tek yolu vardır (hiçbir şey yapmamak). Bu tanım, kombinasyon formüllerinin tutarlı çalışmasını sağlar.
• 1! = 1: Tek nesneyi sıralamanın tek yolu vardır.
• n! = n · (n − 1)!: Adımsal (rekürsif) tanım. Sınavda kesir sadeleştirmenin temelidir.
• (n + 1)! = (n + 1) · n!: Ardışık faktöriyel ilişkisi.

Kesir Sadeleştirme Refleksi

Faktöriyel içeren kesirlerde tüm değeri yazmak gereksizdir; büyük olanı küçükle ifade et. Örneğin:

• 10! / 8! = 10 · 9 · 8! / 8! = 10 · 9 = 90
• (n + 1)! / (n − 1)! = (n + 1) · n · (n − 1)! / (n − 1)! = (n + 1) · n
• 7! / (5! · 2!) = 7 · 6 · 5! / (5! · 2) = 42 / 2 = 21

Faktöriyel Denklemleri

Bazı sorularda faktöriyel içeren denklemleri çözmek gerekir. Bu sorularda iki temel teknik kullanılır:

• Eşit faktöriyellerden eşit tabanlar: n! = m! ise n = m olmalıdır (n, m ≥ 0).
• Bölme ile sadeleştirme: n! / (n − 2)! = n · (n − 1) gibi açılımlar, denklemin derecesini düşürür ve klasik ikinci dereceden çözüme indirir.

Örnek: n! / (n − 2)! = 30 ise n kaçtır?

Çözüm: n! / (n − 2)! = n · (n − 1) = 30. n · (n − 1) = 30 → n = 6 (çünkü 6 · 5 = 30). Diğer çözüm n = −5 doğal sayı olmadığından geçersizdir.

İkinci örnek: (n + 1)! / n! = 7 ise n kaçtır?

Çözüm: (n + 1)! / n! = (n + 1) · n! / n! = n + 1 = 7 → n = 6.

Permütasyon, n nesneden r tanesinin sıralı biçimde seçilmesinin kaç yolu olduğunu hesaplar. Sıranın değişmesi yeni bir düzenleme yarattığında permütasyon kullanılır.

P(n, r) = n! / (n − r)! = n · (n − 1) · (n − 2) · … · (n − r + 1)

Formülün ikinci yazımı pratik için daha kullanışlıdır: n'den başla, r tane çarpan kadar geriye in. Örneğin P(7, 3) = 7 · 6 · 5; üç çarpan, ilki 7, sonra azalır.

Tüm Nesnelerin Sıralanması: P(n, n)

n nesnenin tamamını sıralamak istendiğinde r = n olur ve formül sadeleşir:

P(n, n) = n! / 0! = n! / 1 = n!

Bu nedenle "5 farklı kitabın rafa kaç farklı sırada dizileceği" gibi sorularda doğrudan 5! = 120 yazılır. Ek bir formül gerekmez.

Permütasyon Hesabına Tipik Örnekler

• P(5, 2) = 5 · 4 = 20: 5 kişiden 2'si başkan ve başkan yardımcısı seçilirse 20 farklı atama.
• P(5, 3) = 5 · 4 · 3 = 60: 5 kişiden 3'ü 1., 2., 3. olacak şekilde sıralandığında 60 farklı sıralama.
• P(6, 4) = 6 · 5 · 4 · 3 = 360: 6 harften 4'ü seçilip sıralandığında 360 farklı düzen.
• P(4, 4) = 4! = 24: 4 farklı bayrağın direğe dizilişi 24 farklı sırada yapılır.

Yer Değiştirme Kısıtları

Bazı sorularda belirli kişilerin yan yana ya da ayrı oturması istenir. Bu tür kısıtlar permütasyon mantığıyla şu refleksle çözülür:

• Belirli iki kişi yan yana olmalı: İki kişiyi birleşik bir blok say (n − 1 nesne gibi), sonra blok içindeki sırayı 2! ile çarp. Örneğin 5 kişiden A ve B yan yana ise: (5 − 1)! · 2! = 4! · 2 = 24 · 2 = 48.
• Belirli iki kişi ayrı olmalı: Toplam sıralama − birlikte oldukları sıralama. 5 kişide A ve B'nin ayrı olduğu durum: 5! − 4! · 2! = 120 − 48 = 72.
• Belirli kişi başta veya sonda olmalı: İlgili konumu sabitle, geri kalanı serbest sırala. 5 kişiden A başta ise: 1 · 4! = 24.

Bu refleksler "blok yöntemi" ve "tümleyenden sayma" adıyla anılır; DGS tarzı sorularda formüle bağlı kalmadan doğrudan uygulanır.

Permütasyonun iki özel hali, klasik formülün dışına çıkar: dairesel permütasyon ve tekrarlı permütasyon. Her ikisi de DGS tarzı sorularda doğrudan veya kısıtlı biçimde sınanır.

Dairesel (Çember) Permütasyon

n nesne yuvarlak bir masa, halka veya kapalı eğri etrafında dizildiğinde, her dönüş aynı düzenlemenin farklı bir görünümünü oluşturur. Dolayısıyla doğrusal sıralamadaki bazı durumlar burada eşdeğer sayılır.

Dairesel permütasyon = (n − 1)!

Formülün mantığı sezgisel olarak şöyledir: Birinci kişiyi referans nokta olarak sabitle (dönüşler aynı sayıldığı için bu ilk kişi nereye otursa farkı kalmaz); kalan (n − 1) kişiyi serbestçe sırala.

• 4 kişi yuvarlak masada: (4 − 1)! = 3! = 6
• 5 kişi yuvarlak masada: (5 − 1)! = 4! = 24
• 6 kişi yuvarlak masada: (6 − 1)! = 5! = 120
• 7 kişi yuvarlak masada: (7 − 1)! = 6! = 720

Kolye, Bilezik ve Anahtarlık (Yansımalı Çember)

Yuvarlak nesne hem dönebilir hem de simetri eksenine göre çevrilebilirse (örneğin kolye, bilezik, anahtarlık) iki düzenleme arasında ayna görüntüsü de aynı kabul edilir. Bu durumda formül:

Kolye / bilezik permütasyonu = (n − 1)! / 2

Örneğin 5 farklı boncuktan kolye yapımı (5 − 1)! / 2 = 24 / 2 = 12 farklı şekilde mümkündür.

Tekrarlı Permütasyon

Sıralanacak nesnelerin bir kısmı birbirinin aynısıysa, klasik n! sayımı bazı düzenlemeleri birden fazla kez sayar. Bu fazlalıktan kurtulmak için her tekrar grubunun faktöriyeline bölünür.

Tekrarlı permütasyon = n! / (a! · b! · c! · …)

Burada n toplam nesne sayısı; a, b, c… aynı tipten olan nesnelerin sayısıdır.

Tipik Kelime Sıralaması Örnekleri

• KITAP (5 farklı harf): 5! = 120
• ANNE (4 harf, N iki kez): 4! / 2! = 24 / 2 = 12
• KAPAK (5 harf, K iki kez, A iki kez): 5! / (2! · 2!) = 120 / 4 = 30
• MATEMATIK (9 harf; M, A, T ikişer kez): 9! / (2! · 2! · 2!) = 362880 / 8 = 45360
• İSTATİSTİK (10 harf; İ üç, S iki, T üç): 10! / (3! · 2! · 3!) = 3628800 / 72 = 50400

Kombinasyon, n nesneden r tanesinin sırasız biçimde seçilmesinin kaç yolu olduğunu hesaplar. Sıranın değişmesi yeni bir seçim yaratmıyorsa kombinasyon kullanılır.

C(n, r) = n! / (r! · (n − r)!) = P(n, r) / r!

Formül şöyle yorumlanır: Önce sıralı seç (P(n, r)); ancak kombinasyonda sıra önemli olmadığından r nesnenin r! sıralaması aynı seçimi temsil eder. Bu fazlalıktan kurtulmak için r!'ye bölünür.

Sınavda Sık Kullanılan Kombinasyon Değerleri

Tipik Kombinasyon Soruları

• 6 kişiden 2 kişi seçimi: C(6, 2) = 15.
• 10 öğrenciden 4'lü komite: C(10, 4) = 210.
• 8 kişiden 5 kişilik komisyon: C(8, 5) = C(8, 3) = 56 (simetri ile kısa hesap).
• 9 oyuncudan 5 kişilik takım: C(9, 5) = C(9, 4) = 126.
• 52 kartlık desteden 5 kart eli: C(52, 5) = 2 598 960 (yalnızca anlamsal — DGS'de doğrudan sorulmaz, ama mantığı aynıdır).

Pascal Üçgeni

C(n, r) değerleri Pascal üçgeninde de doğrudan okunur: n. satırın r. elemanı tam olarak C(n, r) değerine eşittir. Üçgenin her elemanı, üstündeki iki elemanın toplamına eşittir; yani C(n, r) = C(n − 1, r − 1) + C(n − 1, r) özdeşliği geçerlidir. Bu özdeşlik küçük r değerleriyle el hesabını hızlandırır.

n = 0:           1
n = 1:         1   1
n = 2:       1   2   1
n = 3:     1   3   3   1
n = 4:   1   4   6   4   1
n = 5: 1   5  10  10   5   1

Alt Küme Sayısı ile Bağlantı

n elemanlı bir kümenin alt küme sayısı 2ⁿ'dir. Bu sayı, her elemandan 0, 1, 2, …, n tanesini seçen tüm kombinasyonların toplamına eşittir:

C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + … + C(n, n) = 2ⁿ

Bu özdeşlik, Pascal üçgeninin n. satırının elemanlarının toplamının her zaman 2ⁿ olduğu anlamına gelir. Örneğin n = 4 satırı: 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2⁴.

Kombinasyonun en güçlü kısayolu simetri özelliğidir. r elemanı seçmek, geride bırakılan (n − r) elemanı seçmekle eşdeğerdir; çünkü her iki seçim de küme ile tümleyenini ayırır.

C(n, r) = C(n, n − r)

Sezgisel İspat

10 kişilik gruptan 7 kişilik bir komite seçmek demek, 3 kişiyi komite dışında bırakmak demektir. Hangi 7 kişinin alındığını belirtmek ile hangi 3 kişinin bırakıldığını belirtmek aynı bilgiyi taşır; dolayısıyla C(10, 7) = C(10, 3) olmalıdır. Hesap olarak C(10, 7) = 10! / (7! · 3!) = 120; aynı sonuç C(10, 3) = (10 · 9 · 8) / 6 = 120.

Hangi Tarafı Tercih Etmeli?

El hesabında daima küçük olan r ile çalışmak gerekir. Bu, hem sayıları küçük tutar hem de hata olasılığını azaltır.

• C(8, 6) hesabı zorlu görünür → C(8, 2) = (8 · 7) / 2 = 28.
• C(10, 8) → C(10, 2) = (10 · 9) / 2 = 45.
• C(12, 9) → C(12, 3) = (12 · 11 · 10) / 6 = 220.
• C(15, 13) → C(15, 2) = (15 · 14) / 2 = 105.

Permütasyon ve Kombinasyon Birleşik Sorular

Bazı sorularda hem seçim hem sıralama vardır. Bu tür sorularda iki adımlı yol izlenir:

1. Önce kombinasyonla seçimi yap (kim seçilecek?).
2. Sonra seçilenleri sırala (hangi sırada olacak?).

Örnek: 8 kişilik gruptan 3 kişilik komite seçilip başkan, başkan yardımcısı ve sekreter olarak görevlendirilecektir. Çözüm: Önce 3 kişiyi seç → C(8, 3) = 56. Sonra üç kişi arasında üç görevi dağıt → 3! = 6. Toplam: 56 · 6 = 336.

Aynı sonuç doğrudan permütasyonla da bulunabilir: P(8, 3) = 8 · 7 · 6 = 336. Bu özdeşlik P(n, r) = C(n, r) · r! formülünün doğrudan kanıtıdır.

İki Gruptan Seçim

DGS sorularının önemli bir bölümü iki ayrı gruptan eş zamanlı seçim ister. Kural sade: her grupta kombinasyonu ayrı ayrı hesapla, sonra çarpma kuralı uygula.

Örnek: 6 erkek ve 4 kadından oluşan grupta, 2 erkek ve 2 kadın seçilerek bir komite kurulacaktır. Çözüm: C(6, 2) · C(4, 2) = 15 · 6 = 90. Sonuç tek bir kombinasyonla değil, iki bağımsız kombinasyonun çarpımıyla elde edilir.

DGS sayısalda en sık yapılan hata permütasyon ile kombinasyonun karıştırılmasıdır. İki kavram arasındaki tek fark sıranın önemli olup olmadığıdır; bu farkı netleştiren sorular her sınavda mutlaka çözülmelidir.

Karar Algoritması

Soruyla karşılaşınca aşağıdaki üç adımı sırayla uygula:

1. Soru ne istiyor? Sıralı bir düzenleme mi (yarış, raf, atama), yoksa sırasız bir grup mu (komite, takım) sorgulanıyor?
2. Aynı bireyleri farklı sıralarda saymak mantıklı mı? ABC sırasıyla CBA sırası farklı bir sonuç üretiyorsa permütasyon; aynı 3 kişi seçildiyse hangi sırayla seçildiklerinin önemi yoksa kombinasyon.
3. Tetik kelimeleri ara: "sıra, dizi, başkan, ödül 1-2-3" → permütasyon; "seç, komite, ekip, grup" → kombinasyon.

Hızlı Karşılaştırma — Aynı Veri, İki Farklı Soru

5 kişilik gruptan 3 kişi alınacaktır.

• "3 kişilik komite kurulacak": sıra önemsiz → C(5, 3) = 10.
• "3 kişi 1., 2., 3. olarak sıralanacak": sıra önemli → P(5, 3) = 60.

İki sonuç arasındaki oran tam olarak 3! = 6'dır; bu da P(n, r) = C(n, r) · r! özdeşliğini doğrular.

İki Yaklaşım Aynı Soruda

Bazı sorularda iki kavram iç içe geçer. "Komite seçilecek ve içlerinden başkan ve yardımcı atanacak" tipinde sorular önce kombinasyon sonra permütasyon adımıyla çözülür. Çözüm sırası daima şudur: önce kim seçildi (kombinasyon), sonra seçilenler arasında nasıl bir görev dağılımı yapıldı (permütasyon).

Örnek: 10 öğrenciden 4 kişilik bir kurul oluşturulup içinden 1 başkan ve 1 yazman seçilecek. Çözüm: C(10, 4) · P(4, 2) = 210 · 12 = 2520. İlk adım komiteyi belirler, ikinci adım iki ayrı görevi atar.

Olasılık, bir olayın gerçekleşme şansının sayısal ölçüsüdür. Klasik (eşit olası) yaklaşımda olasılık şu kesir ile hesaplanır:

P(A) = İstenen sonuç sayısı / Toplam eşit olası sonuç sayısı

Tanımın geçerli olması için tüm temel sonuçların eşit olası olması gerekir. Hilesi olmayan zar, dengeli madeni para, iyi karılmış bir kart destesi bu varsayımı sağlar; bunların dışındaki "torba", "kura çekme", "rastgele seçme" ifadeleri de aynı şekilde eşit olasılığı kabul eder.

Olasılığın Aksiyomları

• 0 ≤ P(A) ≤ 1: Hiçbir olayın olasılığı negatif olamaz, 1'i de aşamaz.
• P(∅) = 0: İmkânsız olayın olasılığı 0'dır. Örneğin standart zarda 7 gelmesi.
• P(S) = 1: Kesin olayın (örnek uzayın tamamı) olasılığı 1'dir. Örneğin zar atışında 1-6 arasında bir değer gelmesi.
• Yüzde dönüşümü: P değerini % cinsine çevirmek için 100 ile çarpılır. P = 0,25 ↔ %25; P = 1 ↔ %100.

Tipik Klasik Senaryolar

Bu tablodaki refleksler tüm DGS olasılık sorularının iskeletini oluşturur. Sorulan ne olursa olsun adım daima aynıdır: Toplam kaç eşit olası sonuç var? Bunlardan kaçı isteneni karşılıyor?

Olasılık Hesabının Üç Adımı

1. Örnek uzayı belirle: Tüm olası sonuçların kümesini ve eleman sayısını yaz. Zar için 6, iki zar için 36, n para için 2ⁿ.
2. Uygun durumları say: İstenen olayı sağlayan sonuçların kaç tane olduğunu kombinasyon ya da doğrudan listeleme ile belirle.
3. Oranla ve sadeleştir: P(A) = (uygun) / (toplam). Sonuç 0-1 aralığında olmalıdır; aksi halde hata vardır.

Bu üç adımlı yaklaşım, sınavda her olasılık sorusunda doğrudan uygulanabilir. Karmaşık görünen sorular bile bu iskelete oturur; tek değişen "uygun durum sayısı"nı bulurken hangi sayma tekniğinin (permütasyon, kombinasyon, listeleme) kullanılacağıdır.

Olasılık konusunda iki olayın bir arada nasıl davrandığına göre özel olay türleri tanımlanır. Bu türlerin doğru tanınması, formülün hangisinin kullanılacağını belirler.

Ayrık (Birbirini Dışlayan) Olaylar

İki olay aynı anda gerçekleşemiyorsa ayrık olaylar denir. Yani A ve B aynı denemede birlikte oluşamaz: A ∩ B = ∅, dolayısıyla P(A ∩ B) = 0.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) (A ve B ayrık ise)

Örnek: Bir zar atılıyor. A = "1 gelmesi", B = "2 gelmesi". İkisi aynı atışta birlikte gerçekleşemediği için ayrıktır. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.

Bağımsız Olaylar

Bir olayın gerçekleşmesi diğerinin olasılığını değiştirmiyorsa olaylar bağımsızdır. Bu durumda iki olayın aynı anda olma olasılığı, ayrı ayrı olasılıklarının çarpımına eşittir.

P(A ∩ B) = P(A) · P(B) (A ve B bağımsız ise)

Örnek: Bir madeni para iki kez atılıyor. Birinci atışta yazı, ikinci atışta tura gelme olasılığı: P(yazı) · P(tura) = 1/2 · 1/2 = 1/4. İlk atışın sonucu ikinci atışı etkilemez; bağımsızlık geçerlidir.

İkinci örnek: P(A) = 1/3 ve P(B) = 1/4 olan bağımsız olaylar için P(A ∩ B) = 1/3 · 1/4 = 1/12.

Genel Birleşim Formülü: Dahil-Hariç Prensibi

İki olay her zaman ayrık olmayabilir; ortak yanları bulunabilir. Genel birleşim formülü şu şekildedir:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Bu formül dahil-hariç prensibi (ya da kapsama-dışlama ilkesi) olarak bilinir. P(A) ve P(B) iki kez sayılan kesişim bölgesini bir kez geri çıkarır; böylece her bölge birleşim içinde tam olarak bir kez sayılır.

Örnek: Bir zar atılıyor. A = "çift sayı gelmesi" ve B = "3'ün katı gelmesi" olayları için P(A ∪ B) = ?

• A = {2, 4, 6}, P(A) = 3/6.
• B = {3, 6}, P(B) = 2/6.
• A ∩ B = {6}, P(A ∩ B) = 1/6.
• P(A ∪ B) = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3.

Üç Olay İçin Genelleme

Üç olayın birleşimi için formül:

P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(A ∩ B) − P(A ∩ C) − P(B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C)

DGS'de doğrudan üç olay sorusu az çıksa da, kümeler konusundaki üç bölgeli Venn şeması ile aynı yapıdadır.

Olasılık sorularında bazen aranan olayın doğrudan saymak yerine karşıt olay üzerinden hesaplanması daha kısadır. Ayrıca bazı sorularda bir olayın koşullu olarak gerçekleşme olasılığı sorgulanır. Bu iki kavram DGS olasılık sorularında çok sık tekrar eden refleksleri oluşturur.

Tümleyen (Tamamlayan) Olay

Bir A olayının gerçekleşmemesi olasılığına tümleyen olasılığı denir ve A' (ya da A^c) ile gösterilir.

P(A') = 1 − P(A)

Bu özdeşlik P(A) + P(A') = 1 eşitliğinden gelir. Karşıt olayın olasılığını hesaplamak çoğu zaman çok daha kolay olduğundan, "en az bir", "hiç değil", "en fazla iki" gibi ifadelerde tümleyen yöntemi tercih edilir.

Tümleyenle Hızlı Çözüm Örneği

Soru: 3 madeni para atılıyor. En az bir tura gelme olasılığı kaçtır?

• Tüm sonuç sayısı: 2³ = 8.
• Tümleyen: "Hiç tura gelmemesi" yani üçünün de yazı olması. Yalnızca bir durum: YYY.
• P(hiç tura yok) = 1/8.
• P(en az bir tura) = 1 − 1/8 = 7/8.

Aynı soruyu doğrudan saymaya kalkışmak (bir tura, iki tura, üç tura olasılıklarını ayrı ayrı bulup toplamak) çok daha uzun sürer.

"En Az 2 Tura" Örneği

3 madeni para atışında en az 2 tura gelme olasılığı:

• Toplam durum sayısı: 8.
• Uygun durumlar: TTY, TYT, YTT (tam 2 tura) ve TTT (üç tura) → toplam 4 durum.
• P(en az 2 tura) = 4/8 = 1/2.

Koşullu Olasılık

B olayının gerçekleştiği bilinmesi koşuluyla A'nın olasılığına koşullu olasılık denir ve P(A | B) ile gösterilir. Tanım gereği:

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B), P(B) > 0

Bu formülün sezgisel anlamı şudur: B'nin gerçekleştiği bilindiğine göre örnek uzay artık tüm sonuçlar değil yalnızca B'nin sonuçlarıdır; A'nın bu daraltılmış uzaydaki ağırlığı sorgulanır.

Koşullu Olasılık Örneği

Soru: Bir zar atılıyor. Çift sayı geldiği bilindiğine göre 6 gelme olasılığı kaçtır?

• B = "çift sayı gelmesi" = {2, 4, 6}, P(B) = 3/6.
• A ∩ B = "çift sayı ve 6" = {6}, P(A ∩ B) = 1/6.
• P(A | B) = (1/6) / (3/6) = 1/3.

Bu örnek, çift sayı kümesinin içinde 6'nın 3 elemandan biri olması anlamına gelir; doğrudan da 1/3 yazılabilir.

Bağımsızlık ve Koşullu Olasılık İlişkisi

İki olay bağımsız ise: P(A | B) = P(A). Yani B'nin gerçekleşmiş olması A'nın olasılığını değiştirmez. Bu, bağımsızlığın bir başka tanımıdır ve P(A ∩ B) = P(A) · P(B) eşitliği ile özdeştir.

DGS olasılık soruları neredeyse istisnasız dört klasik senaryo üzerine kurulur. Her senaryonun kendine özgü örnek uzayını ezberlemek, sorunun yarısını çözmek demektir.

Tek Zar Atışı

• Örnek uzay: {1, 2, 3, 4, 5, 6}, eleman sayısı = 6.
• P(belirli bir sayı) = 1/6.
• P(tek sayı) = 3/6 = 1/2; P(çift sayı) = 1/2; P(asal: 2, 3, 5) = 1/2.
• P(3'ün katı: 3, 6) = 2/6 = 1/3.

İki Zar Atışı

• Örnek uzay: 6 · 6 = 36 sıralı çift.
• P(belirli bir çift, örn. (3, 4)) = 1/36.
• Toplama göre olasılık dağılımı:

Görüldüğü gibi toplamı 7 olan durum en yüksek olasılığa (6/36 = 1/6) sahiptir. Bu bilgi DGS'de doğrudan veya örtük olarak sıkça kullanılır.

Madeni Para Atışları

• 1 para: örnek uzay {Y, T}, 2 sonuç.
• 2 para: 2² = 4 sonuç. {YY, YT, TY, TT}. P(en az bir tura) = 3/4.
• 3 para: 2³ = 8 sonuç. P(tam 2 tura) = 3/8; P(en az 2 tura) = 4/8 = 1/2.
• n para: 2ⁿ sonuç. P(tam k tura) = C(n, k) / 2ⁿ.

Torba (Bilye / Top) Soruları

Torba problemlerinin kalbı ardışık çekimde topun yerine konulup konulmamasıdır.

• İade ile çekim (yerine koyma): Her çekim bağımsızdır. P(2 kırmızı arka arkaya) = (5/8) · (5/8) = 25/64.
• İade etmeden çekim: İkinci çekimde toplam ve istenen değişir. 5 kırmızı + 3 mavi torbadan iade etmeden 2 kırmızı: (5/8) · (4/7) = 20/56 = 5/14.

Soruda "geri konulmadan", "ardışık olarak", "iade edilmeden" ifadeleri görüldüğünde toplam ve istenen değer her çekimde güncellenir. Bu, koşullu olasılığın günlük dildeki en yaygın görünümüdür.

52 Kartlık Standart Deste

• 4 takım: kupa, karo, maça, sinek; her takım 13 kart.
• 13 değer: As, 2, 3, …, 10, Vale (V), Kız (D), Papaz (P) — standart deste joker hariç 52 karttan oluşur.
• P(belirli bir takım) = 13/52 = 1/4.
• P(As) = 4/52 = 1/13.
• P(figür: V, D, P) = 12/52 = 3/13. (Vale + Kız + Papaz; As ayrı kategoridir.)
• P(belirli bir kart, örn. kupa as) = 1/52.

Bu bölümde DGS sayısal bölümünde sıkça karşılaşılan tipte çözümlü örnekler ele alınır. Her örnek için önce hangi formül kararı, sonra hesap, en sonda kısa bir yorum verilir.

Örnek 1 — Sıralama (Permütasyon)

Soru: 7 farklı kitap raf üzerine sıralanacaktır. Belirli iki kitabın yan yana olması koşuluyla kaç farklı sıralama yapılabilir?

Çözüm:

1. Belirli iki kitap birleşik bir blok kabul edilir → toplam 6 nesne (5 kitap + 1 blok).
2. 6 nesnenin sıralaması: 6! = 720.
3. Blok içindeki iki kitabın kendi aralarındaki sırası: 2! = 2.
4. Toplam: 720 · 2 = 1440.

Örnek 2 — Ayrı Olma Koşulu

Soru: 5 kişi yan yana sıralanacak. Belirli iki kişinin yan yana olmaması koşuluyla kaç farklı sıralama mümkündür?

Çözüm — tümleyen yöntemi:

1. Toplam sıralama: 5! = 120.
2. İki kişinin yan yana olduğu durum: 4! · 2! = 48.
3. Ayrı olma durumu: 120 − 48 = 72.

Örnek 3 — Komite Kurma (Kombinasyon)

Soru: 6 erkek ve 4 kadından oluşan 10 kişilik bir gruptan, 2 erkek ve 2 kadın seçilerek 4 kişilik komite oluşturulacaktır. Kaç farklı komite kurulabilir?

Çözüm:

1. 2 erkek seçimi: C(6, 2) = 15.
2. 2 kadın seçimi: C(4, 2) = 6.
3. Toplam komite (çarpma kuralı): 15 · 6 = 90.

Örnek 4 — Tekrarlı Permütasyon

Soru: "ANNE" kelimesinin harflerinin yer değiştirilmesiyle kaç farklı kelime (harf dizilişi) elde edilebilir?

Çözüm: 4 harf var; N harfi 2 kez tekrar ediyor. 4! / 2! = 24 / 2 = 12.

Örnek 5 — Olasılık (Tümleyen)

Soru: 4 madeni para aynı anda atılıyor. En az bir yazı gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm:

1. Toplam sonuç: 2⁴ = 16.
2. Tümleyen: "Hiç yazı gelmemesi" = TTTT → 1 durum.
3. P(hiç yazı yok) = 1/16.
4. P(en az bir yazı) = 1 − 1/16 = 15/16.

Örnek 6 — Bağımsız Olaylar

Soru: Bir hedefi vurma olasılığı 2/3 olan atıcının iki bağımsız atışta da hedefi vurma olasılığı kaçtır?

Çözüm: P(her ikisi de) = (2/3) · (2/3) = 4/9. Atışlar bağımsız olduğundan olasılıklar çarpılır.

Örnek 7 — İade Etmeden Çekim

Soru: 5 kırmızı, 3 mavi top içeren bir torbadan ardışık olarak iki top, iade edilmeden çekiliyor. Her ikisinin de kırmızı olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:

1. Birinci çekimde kırmızı: 5/8.
2. İkinci çekimde kırmızı (1 kırmızı azaldı, toplam 7 kaldı): 4/7.
3. Toplam: (5/8) · (4/7) = 20/56 = 5/14.

Örnek 8 — Dahil-Hariç ile Olasılık

Soru: Bir zar atılıyor. Çift sayı veya 4'ten büyük gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm:

1. A = çift = {2, 4, 6}, P(A) = 3/6.
2. B = 4'ten büyük = {5, 6}, P(B) = 2/6.
3. A ∩ B = {6}, P(A ∩ B) = 1/6.
4. P(A ∪ B) = 3/6 + 2/6 − 1/6 = 4/6 = 2/3.

Örnek 9 — "En Az Bir" Tümleyen ile

Soru: 3 madeni para aynı anda atılıyor. En az bir yazı gelme olasılığı kaçtır?

Çözüm:

1. Toplam sonuç: 2³ = 8.
2. Tümleyen: "Hiç yazı gelmemesi" yani üçünün de tura olması. Yalnızca bir durum: TTT.
3. P(hiç yazı yok) = 1/8.
4. P(en az bir yazı) = 1 − 1/8 = 7/8.

Bu örnek, "en az bir" ifadesinin doğrudan saymak yerine tümleyen üzerinden çözüldüğünde ne kadar hızlı bittiğini gösterir. Doğrudan sayım yapılsaydı (1 yazı, 2 yazı, 3 yazı durumlarını ayrı ayrı bulup toplamak) çok daha uzun bir hesap olurdu.

Örnek 10 — Bağımsız Olaylar Çarpma (İade ile Çekim)

Soru: Bir torbada 5 mavi ve 3 kırmızı top vardır. Torbadan rastgele bir top çekilip rengine bakıldıktan sonra geri konuluyor ve ardından ikinci bir top çekiliyor. İki çekimin de mavi top olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:

1. Toplam top: 5 + 3 = 8.
2. Birinci çekimde mavi: 5/8.
3. Çekilen top geri konulduğu için ikinci çekimde de mavi: 5/8 (bağımsız olaylar).
4. İki olayın aynı anda gerçekleşme olasılığı: (5/8) · (5/8) = 25/64.

İade ile çekimde her adım önceki adımdan bağımsızdır; bu nedenle olasılıklar doğrudan çarpılır. İade etmeden çekim yapılsaydı, ikinci çekimde toplam 7 ve mavi 4 olacaktı: (5/8)·(4/7) = 5/14.

Örnek 11 — Şartlı Olasılık (İki Zar)

Soru: İki zar aynı anda atılıyor. Atılan zarlardan birinin 6 geldiği bilindiğine göre, diğerinin de 6 olma olasılığı kaçtır?

Çözüm:

1. İki zar atışında örnek uzay: 6 · 6 = 36 sıralı çift.
2. B = "en az bir 6 gelmesi" durumu. (6, 1), (6, 2), …, (6, 6), (1, 6), (2, 6), …, (5, 6) → 6 + 6 − 1 = 11 durum (6,6 iki listede de var, bir kez sayılır).
3. A ∩ B = "her iki zarın da 6 olması" = {(6, 6)} → 1 durum.
4. P(A | B) = (1/36) / (11/36) = 1/11.

Bu örnek, şartlı olasılığın örnek uzayı daraltma mantığını net biçimde gösterir: "en az bir 6" bilgisi geldiğinde örnek uzay 36'dan 11'e düşer; bu daraltılmış uzayda (6, 6) tek bir durumdur, dolayısıyla cevap 1/11'dir.

Sayma ve olasılık konusunda yapılan hataların büyük çoğunluğu birkaç tipik tuzaktan ibarettir. Aşağıdaki listeyi sınav öncesi hızlıca gözden geçirmek, çoğu zaman 1-2 net farkı yaratır.

En Sık Yapılan Hatalar

1. Sıra önemli mi sorgulamadan formül seçmek. Permütasyon yerine kombinasyon ya da tersi kullanmak. Çözüm: Soruyu iki kez oku, "1.-2.-3.", "başkan-yardımcı" gibi sıra ifadeleri var mı kontrol et.
2. 0! = 1 yerine 0 yazmak. Bu hata C(n, 0) ve C(n, n) sorularında doğrudan eksiye çevirir.
3. Tekrarlı harfleri saymamak. "MATEMATIK" gibi sözcükler 9! değil 9! / (2! · 2! · 2!) ile sıralanır.
4. Dairesel ile doğrusal permütasyonu karıştırmak. "Yuvarlak masa" görünce (n − 1)!; doğrusal raf görünce n! kullanılmalı.
5. İki zar atışında örnek uzayı 12 sanmak. Doğru toplam 6 · 6 = 36'dır; iki zar bağımsız atılır, toplamak değil çarpmak gerekir.
6. "En az bir" sorusunda doğrudan saymak. Tümleyenden çözmek 5 kat hızlıdır. Önce karşıt olayı düşün.
7. Olasılığı 1'den büyük yazmak. Pay > payda olduğu anda hata var demektir; pay ile payda yer değişmiştir.
8. Bağımsız ile ayrık olayı karıştırmak. "Bağımsız" → çarp; "ayrık" → topla. İki kavram zıttır; ayrık olaylar hiçbir zaman bağımsız olamaz.
9. İade etmeden çekimde toplam sayıyı sabit tutmak. Her çekim sonrası toplam ve istenen sayı güncellenmelidir.
10. Olasılığı yüzde ile karıştırmak. 0,25 ile %25 aynı değerdir; 25 değil. Sınavda hangisinin istendiği şıklardan anlaşılır.

Hızlı Karar Akışı

Sınav Anı Stratejisi

1. İlk 5 saniye: Soru permütasyon mu kombinasyon mu olasılık mı? Tetik kelimeleri (sırala / seç / olasılık) bul.
2. Sonraki 10 saniye: Toplam durum sayısını yaz; sonra istenen durum sayısını yaz.
3. Sonraki 30 saniye: Hesabı yap, sadeleştir.
4. Son 5 saniye: Olasılık sorusunda cevap 0-1 aralığında mı? Faktöriyel sorusunda 0! = 1 doğru kullanıldı mı? Birim doğru mu?

Aşağıdaki tablo, sayma ve olasılık başlığının tüm kritik kurallarını tek bakışta hatırlamak için hazırlanmış sınav öncesi başvuru kaynağıdır. Sınava bir gün ya da bir hafta kala diğer kaynaklara dönmek yerine bu dizine bak; her satır bir alt başlığın özüdür. Bölüm 1'in sonundaki Akronim tablosu (9 satır) ile bu Hızlı Dizin (28 satır) birlikte yaklaşık 250-350 sözcüklük bir öz oluşturur ve tam çalışmayı yedekler. Önemli: Bu dizin hem DGS hem ALES Sayısal sorularına doğrudan kaynaklık eder; iki sınavda da sayma-olasılık soruları aynı kalıplardan geldiği için tabloyu bir kez çalışan aday her iki sınavın da bu başlığını kapatmış olur.