2. Dereceden Denklemler — Konu Anlatımı

Q: 2. Dereceden Denklemler konusu AYT sınavında çıkar mı?

Evet, 2. Dereceden Denklemler konusu AYT sınav müfredatında yer almaktadır. SoruCozme'de bu konuya özel test soruları ve konu anlatımı bulunmaktadır.

Q: 2. Dereceden Denklemler konusunda test çözebilir miyim?

Evet, 2. Dereceden Denklemler konusunda SoruCozme platformunda ücretsiz test soruları mevcuttur. Konu anlatımını okuduktan sonra hemen test çözerek öğrendiğinizi pekiştirebilirsiniz.

Q: SoruCozme'de kaç soru ve kaç konu var?

SoruCozme platformunda 13.700+ soru ve 323 konu bulunmaktadır. KPSS, DGS, YDS, TYT, Ehliyet, İngilizce ve Açık Öğretim sınavlarına yönelik tüm içerikler ücretsizdir.

İçindekiler · 11 Bölüm

1. 2. Dereceden Denklemin Tanımı ve Eksik Formlar

2. dereceden denklemler, matematiğin köklü kavramlarından biridir ve kökenleri antik Babil ve Yunan matematiğine uzanır. Modern notasyon ise el-Harezmi ile 9. yüzyılda sistematikleştirilmiş, günümüzde AYT sınavının en çok tekrar eden başlıklarından biri olmuştur. Parabol, eşitsizlikler, türev uygulamaları, karmaşık sayılar ve matris problemlerinde hep bu konunun aracı kullanılır.

Konunun merkezindeki soru şudur: "Hangi x değerleri için ax² + bx + c ifadesi sıfıra eşittir?" Bu x değerlerine kök denir ve AYT’de hem doğrudan sayısal değerleri, hem de kökler üzerindeki cebirsel ifadeler (toplam, çarpım, farkın mutlak değeri, kuvvet, terslerin toplamı) sorulur.

a, b, c gerçel sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere

a x² + b x + c = 0

biçiminde yazılan eşitliğe ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem denir. Denklemi sağlayan, yani sol tarafı sıfır yapan x gerçel sayılarına denklemin kökleri (ya da sıfırları), bu köklerin oluşturduğu kümeye ise çözüm kümesi denir. a, b, c sayılarına denklemin katsayıları denir; özellikle a’ya baş katsayı, c’ye sabit terim adı verilir.

a ≠ 0 Koşulu Neden Vardır?

a = 0 olursa denklem ax² + bx + c = 0 → bx + c = 0 biçimine düşer ve artık birinci derecedendir. Bu yüzden parametreli sorularda "aşağıdaki denklem 2. dereceden bir denklemdir, buna göre…" ifadesi görüldüğünde ilk doğrulama, x²’nin katsayısının sıfır olmadığıdır.

Eksik Formlar

ax² + bx + c = 0 ifadesinde b veya c katsayısı sıfır olabilir. Bu eksik formlar diskriminant kullanmadan doğrudan çözülür.

Form	Denklem	Kökler
Tam form	ax² + bx + c = 0	Diskriminant formülü ile
b = 0	ax² + c = 0	x = ±√(-c/a) (kare kök altı negatif değilse)
c = 0	ax² + bx = 0	x(ax + b) = 0 → x = 0 ve x = -b/a
b = 0, c = 0	ax² = 0	x = 0 (çift katlı)

Hangi İfadeler İkinci Dereceden Denklemdir?

x’in en büyük üssünün 2 olması gerekir ve katsayısı sıfırdan farklı olmalıdır. Aşağıdaki örnekleri karşılaştıralım:

x² - 9 = 0 → 2. derecedendir (b = 0 eksik form).
2x² - 4x = 0 → 2. derecedendir (c = 0 eksik form).
x³ + x² - 5 = 0 → 3. derecedendir, 2. dereceden DEĞİLDİR.
2^x + 3 = 0 → Üstel denklemdir; x üs konumundadır, 2. dereceden değildir.
√x + 1 = 0 → Kesirli üs içerir, polinom bile değildir.

Parametreli Derece Soruları

"(a + 2)x³ + (n - 4)x² + 5x - 1 = 0 ifadesi 2. dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. a + n kaçtır?" tipi sorularda sırayla iki koşul uygulanır:

x³’ün katsayısı 0 olmalı: a + 2 = 0 → a = -2. Bu sayede üçüncü dereceli terim kaybolur.
x²’nin katsayısı 0’dan farklı olmalı: n - 4 ≠ 0 → n ≠ 4. Soruda özel bir değer verilmemişse bu aralık yeterlidir; bazı sorularda "n doğal sayıdır, sabit terim 6 olsun" gibi ek koşullarla n tekilleştirilir.

Dikkat: Denklemin 2. dereceden olduğu söylendiğinde a katsayısı kesinlikle sıfırdan farklıdır. Parametreli sorularda x²’nin katsayısı (örneğin m - 3 gibi bir ifade) varsa bunun sıfır olmama koşulunu (m ≠ 3) asla unutma; bu genellikle cevabın elenmesini sağlayan kritik ayrıntıdır.

Denklem Tipleri ve İkinci Dereceye İndirgenebilen İfadeler

Bazı denklemler ilk bakışta ikinci dereceden görünmez, ancak uygun bir değişken değişikliği ile ikinci dereceye indirgenir:

Bikuadratik denklem: ax⁴ + bx² + c = 0. t = x² dönüşümü ile at² + bt + c = 0 olur. Kökler bulunduktan sonra x = ±√t ile asıl köklere dönülür.
Kök içeren denklem: √x = t dönüşümü ile bazı sorular ikinci dereceye inebilir (örneğin x - 5√x + 6 = 0 → t² - 5t + 6 = 0).
Paydada değişken içeren denklem: Önce paydayı atıp (pay ve payda aynı ise sadeleştirip) yeni denklemi yazmak gerekir; pay ve paydanın sıfır yaptığı değerler çözüm kümesinden çıkarılır.

Çözüm Kümesi Kavramı

İkinci dereceden bir denklemin reel sayılardaki çözüm kümesi Ç ile gösterilir. Aşağıda tipik örnekler vardır:

x² - 9 = 0 için Ç = {-3, 3}.
x² + 1 = 0 için Ç = ∅ (reel sayılarda kök yok).
x² - 2x + 1 = 0 için Ç = {1} (çift katlı kök, kümede tek eleman).

2. Çarpanlara Ayırarak Çözüm

İkinci dereceden denklemlerde ilk denenen yöntem çarpanlara ayırma’dır. Yöntemin kalbinde "bir çarpım sıfır ise çarpanlardan en az biri sıfırdır" ilkesi yatar. ax² + bx + c ifadesi (px + r)(qx + s) şeklinde yazılabiliyorsa denklemin kökleri her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek bulunur.

Temel Yaklaşım

a = 1 olduğunda (yani x² + bx + c = 0 formunda) aranan iki sayı şunları sağlar:

Toplamı = b, Çarpımı = c

Bulunan iki sayıya sırasıyla m ve n denirse denklem (x + m)(x + n) = 0 biçimine gelir; kökler x = -m ve x = -n olur. (Dikkat: işaret terslenir, çünkü çarpanda "+m" sabit, köklerde "-m".)

Çözüm Örneği 1 (a = 1)

Denklem: x² - 5x + 6 = 0

Aranan iki sayı: toplamı -5, çarpımı 6 → -2 ve -3.
Çarpanlı yazım: (x - 2)(x - 3) = 0.
Her çarpanı sıfıra eşitle: x - 2 = 0 ya da x - 3 = 0.
Kökler: x₁ = 2, x₂ = 3. Çözüm kümesi: {2, 3}.

Çözüm Örneği 2 (a ≠ 1, Çapraz Çarpma)

Denklem: 2x² - 7x + 3 = 0

Çapraz yazım:
2x → katsayı 2
1x → katsayı 1
Çaprazlar: 2 · (-3) + 1 · (-1) = -6 - 1 = -7 ✓
Çarpanlı yazım: (2x - 1)(x - 3) = 0.
Kökler: x₁ = 1/2, x₂ = 3.

Eksik Formların Çarpanlara Ayrılışı

x² - 9 = 0: İki kare farkı → (x - 3)(x + 3) = 0 → x = ±3.
x² + 4x = 0: Ortak çarpan → x(x + 4) = 0 → x = 0 veya x = -4.
x² + 6x + 9 = 0: Tam kare → (x + 3)² = 0 → x = -3 (çift katlı).

a + b + c = 0 Kısayolu

ax² + bx + c = 0 denkleminde katsayılar toplamı sıfırsa (a + b + c = 0), denklem x = 1 için sağlanır, yani 1 her zaman bir köktür. Bu durumda diğer kök Vieta’dan x₂ = c/a olur.

Örnek: 3x² - 7x + 4 = 0. 3 + (-7) + 4 = 0 olduğundan x₁ = 1. Diğer kök x₂ = c/a = 4/3.

a - b + c = 0 Kısayolu

a - b + c = 0 ise denklem x = -1 için sağlanır, yani -1 her zaman bir köktür. Diğer kök x₂ = -c/a.

Örnek: 2x² + 5x + 3 = 0. 2 - 5 + 3 = 0 olduğundan x₁ = -1. Diğer kök x₂ = -c/a = -3/2.

Çapraz Çarpma Kısa Notu

a ≠ 1 olduğunda çapraz çarpma yöntemi sistematik bir yoldur:

ax² ifadesini iki çarpanın çarpımı olarak yaz (örn. 2x² = 2x · x).
Sabit terimi iki çarpanın çarpımı olarak yaz (örn. 3 = 1 · 3 veya -1 · -3).
Çapraz çarpımların toplamı b katsayısını verecek şekilde eşleştir.
Uygun eşleşme bulunduğunda (ax + p)(x + q) yazılır ve kökler -p/a ve -q olur.

Ek Örnekler

Örnek: 3x² + 5x - 2 = 0

3 + 5 + (-2) = 6 ≠ 0 ve 3 - 5 + (-2) = -4 ≠ 0. Kısayollar işe yaramaz.
Çapraz çarpma: (3x - 1)(x + 2) = 3x² + 6x - x - 2 = 3x² + 5x - 2 ✓.
Kökler: x = 1/3 ve x = -2.

Örnek: x² + 7x = 0

Eksik form (c = 0). Ortak çarpan: x(x + 7) = 0.
Kökler: x = 0 ve x = -7.

Örnek: 4x² - 25 = 0

İki kare farkı: (2x - 5)(2x + 5) = 0.
Kökler: x = 5/2 ve x = -5/2.

AYT İpucu: Bir denklem ilk bakışta çarpanlara ayrılıyor mu? Önce a + b + c ve a - b + c toplamlarını zihinden kontrol et; biri sıfırsa 1 veya -1 zaten köktür, diğer kök Vieta’dan tek adımda çıkar. Bu iki kısayol, AYT’de ortalama 30 saniye kazandırır.

3. Tam Kareye Tamamlama ve Diskriminant Formülü

Çarpanlara ayrılamayan denklemler için iki sistemli yöntem vardır: tam kareye tamamlama ve bunun genel sonucu olan diskriminant formülü.

Tam Kareye Tamamlama Adımları

Denklemi a ile böl: x² + (b/a)x + (c/a) = 0.
Sabiti karşıya at: x² + (b/a)x = -c/a.
(b/(2a))²’yi iki tarafa ekle: x² + (b/a)x + (b/(2a))² = (b/(2a))² - c/a.
Sol taraf tam kare olur: (x + b/(2a))² = (b² - 4ac) / (4a²).
Kare kök al: x + b/(2a) = ±√(b² - 4ac) / (2a).
x’i yalnız bırak: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).

Elde edilen ifade, diskriminant (çözüm) formülü’dür.

Diskriminant Formülü

Δ = b² - 4ac
x_1,2 = (-b ± √Δ) / (2a)

Diskriminantın Yorumu

Δ Durumu	Reel Kök Sayısı	Kök Tipi
Δ > 0	2	İki farklı reel kök (x₁ ≠ x₂)
Δ = 0	1	Çift katlı reel kök, x = -b/(2a)
Δ < 0	0	Reel kök yok; iki karmaşık kök (eşlenik)

Δ > 0 Örneği

Denklem: 2x² - 3x - 2 = 0

Δ = (-3)² - 4 · 2 · (-2) = 9 + 16 = 25.
Δ > 0 olduğundan iki farklı reel kök vardır.
x = (3 ± 5) / 4 → x₁ = 2, x₂ = -1/2.

Δ = 0 Örneği

Denklem: x² - 6x + 9 = 0

Δ = (-6)² - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0.
Tek kök: x = -b/(2a) = 6/2 = 3 (çift katlı).
Doğrulama: (x - 3)² = 0 → aynı sonuç.

Δ < 0 Örneği

Denklem: x² + x + 2 = 0

Δ = 1 - 8 = -7.
Δ < 0 olduğundan reel kök yoktur.
Karmaşık kökler x = (-1 ± i√7) / 2 biçimindedir.

Parametreli Denklemde Kök Sayısı Sorusu

Örnek: x² - 4x + (m - 1) = 0 denkleminin çift katlı kökü olması için m kaç olmalıdır?

Çift katlı kök şartı: Δ = 0.
Δ = (-4)² - 4 · 1 · (m - 1) = 16 - 4m + 4 = 20 - 4m.
20 - 4m = 0 → m = 5.
m = 5 için denklem x² - 4x + 4 = 0 = (x - 2)² → x = 2 (çift katlı). ✓

Farklı İki Reel Kök Aralığı

Örnek: x² - 2x + m = 0 denkleminin iki farklı reel kökü olması için m hangi aralıktadır?

Farklı iki reel kök şartı: Δ > 0.
Δ = (-2)² - 4m = 4 - 4m.
4 - 4m > 0 → m < 1.
Cevap: m ∈ (-∞, 1).

Diskriminant Notu

Δ = b² - 4ac ifadesi, çözüm formülündeki kare kök altındaki kısımdır. "Ayırıcı" (İngilizce discriminant) adını almasının sebebi kök tiplerini birbirinden ayırmasıdır. Üçüncü derece denklemde de benzer bir ayırıcı vardır; yani diskriminant kavramı daha yüksek dereceli denklemlere genellenebilir.

Önemli bir özellik: Δ bir tam kare ise (örneğin 9, 16, 25), kökler rasyoneldir. Bu durumda denklem tam sayılar kullanılarak çarpanlara ayrılabilir. Δ tam kare değilse kökler irrasyoneldir ve √ işareti ile ifade edilir.

Dikkat: Δ = 0 olduğunda "denklemin kökü yoktur" değil, "denklemin tek kökü vardır (çift katlı)" denir. Aynı şekilde Δ < 0 olduğunda "çözüm kümesi boş kümedir" sadece reel sayılar kümesinde geçerlidir; karmaşık sayılarda çift eşlenik kök mevcuttur. AYT sorularında aksi belirtilmedikçe reel kümede çalışıyoruz.

4. Kök-Katsayı İlişkileri (Vieta)

Kökleri doğrudan hesaplamadan, katsayılardan yola çıkarak köklerin toplamı, çarpımı ve bu iki değerden türeyen her ifadeyi yazan formüller Vieta bağıntıları olarak bilinir. AYT’nin en çok sorulan ve en hızlı çözüm veren araçlarından biridir.

Temel İki Bağıntı

x₁ + x₂ = -b/a | x₁ · x₂ = c/a

Bundan sonra T = x₁ + x₂ (toplam) ve Ç = x₁ · x₂ (çarpım) notasyonunu kullanacağız.

Türev Bağıntılar Tablosu

İfade	T ve Ç Cinsinden
x₁² + x₂²	T² - 2Ç
x₁³ + x₂³	T³ - 3Ç · T
1/x₁ + 1/x₂	T / Ç
1/x₁² + 1/x₂²	(T² - 2Ç) / Ç²
x₁/x₂ + x₂/x₁	(T² - 2Ç) / Ç
(x₁ - x₂)²	T² - 4Ç
\|x₁ - x₂\|	√Δ / \|a\| (veya √(T² - 4Ç))

Bağıntıların Türetilmesi

x₁² + x₂² ifadesini ele alalım:

(x₁ + x₂)² = x₁² + 2 x₁ x₂ + x₂²
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2 x₁ x₂ = T² - 2Ç

Benzer biçimde x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)(x₁² - x₁ x₂ + x₂²) = T · (T² - 3Ç) = T³ - 3Ç · T.

Uygulama Örneği 1

Soru: 2x² - 10x + 6 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂’dir. 1/x₁ + 1/x₂ değeri kaçtır?

T = -b/a = 10/2 = 5; Ç = c/a = 6/2 = 3.
1/x₁ + 1/x₂ = T/Ç = 5/3.

Uygulama Örneği 2

Soru: x² + 3x - 1 = 0 denkleminin kökleri için x₁² + x₂² = ?

T = -3, Ç = -1.
x₁² + x₂² = T² - 2Ç = 9 - 2 · (-1) = 9 + 2 = 11.

Uygulama Örneği 3 (Kök Farkı)

Soru: 3x² - 12x + 9 = 0 denkleminin köklerinin farkının mutlak değeri kaçtır?

Δ = (-12)² - 4 · 3 · 9 = 144 - 108 = 36.
|x₁ - x₂| = √Δ / |a| = 6 / 3 = 2.

Uygulama Örneği 4 (Küp Toplamı)

Soru: x² - 4x + 2 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olmak üzere x₁³ + x₂³ değerini bulunuz.

Vieta: T = 4, Ç = 2.
x₁³ + x₂³ = T³ - 3Ç · T = 64 - 3 · 2 · 4 = 64 - 24 = 40.
Cevap: 40.

Uygulama Örneği 5 (Ters Toplamı)

Soru: 4x² + 8x + 3 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olmak üzere 1/x₁² + 1/x₂² değerini bulunuz.

T = -b/a = -8/4 = -2, Ç = c/a = 3/4.
1/x₁² + 1/x₂² = (T² - 2Ç) / Ç².
T² - 2Ç = 4 - 3/2 = 5/2. Ç² = 9/16.
Sonuç: (5/2) / (9/16) = (5/2) · (16/9) = 80/18 = 40/9.
Cevap: 40/9.

Uygulama Örneği 6 (Oran Toplamı)

Soru: x² - 6x + 4 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olmak üzere x₁/x₂ + x₂/x₁ değerini bulunuz.

T = 6, Ç = 4.
x₁/x₂ + x₂/x₁ = (x₁² + x₂²) / (x₁ x₂) = (T² - 2Ç) / Ç.
(36 - 8) / 4 = 28/4 = 7.
Cevap: 7.

Uygulama Örneği 7 (Parametre Bulma)

Soru: x² + (m + 1)x + 2m = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ ise 1/x₁ + 1/x₂ = -2 olacak şekilde m kaçtır?

T = -(m + 1), Ç = 2m.
1/x₁ + 1/x₂ = T/Ç = -(m + 1) / (2m) = -2.
Eşitlikten: -(m + 1) = -4m → 3m = 1 → m = 1/3.
Cevap: m = 1/3.

AYT İpucu: Köklerin kendilerini bulmaya kalkma; sınav süresi az. İstenen ifadeyi önce T ve Ç cinsinden yaz, sonra Vieta ile değerleri yerine koy. "x₁² + x₂²" sorulduğunda refleks olarak T² - 2Ç yazmalısın.

TestBuraya kadar öğrendiklerini şimdi test et

5. Verilen Köklerden Denklem Yazma

Bir ikinci dereceden denklemin kökleri verilmişse, bu köklere sahip denklem tek bir formülle yazılır.

Temel Formül

x² - (x₁ + x₂) x + x₁ · x₂ = 0

Yani x² - T · x + Ç = 0 şeklindedir. Bu form monik denklemdir (baş katsayı 1). Eğer sorunun istediği baş katsayı farklıysa tüm denklem o katsayı ile çarpılır.

Formülün Çıkışı

Kökleri x₁ ve x₂ olan denklem (x - x₁)(x - x₂) = 0 şeklinde yazılır. Dağıtınca:

(x - x₁)(x - x₂) = x² - x₂ x - x₁ x + x₁ x₂ = x² - (x₁ + x₂) x + x₁ x₂

Böylece T = x₁ + x₂ ve Ç = x₁ x₂ aracılığıyla denklem kurulur.

Uygulama Örneği 1

Soru: Kökleri 4 ve -3 olan ikinci dereceden denklemi yazınız.

T = 4 + (-3) = 1, Ç = 4 · (-3) = -12.
Denklem: x² - 1 · x + (-12) = 0 → x² - x - 12 = 0.

Uygulama Örneği 2 (İki Köklü)

Soru: Kökleri 2 + √3 ve 2 - √3 olan denklemi yazınız.

T = (2 + √3) + (2 - √3) = 4.
Ç = (2 + √3)(2 - √3) = 4 - 3 = 1.
Denklem: x² - 4x + 1 = 0.

Uygulama Örneği 3 (Kökler Dolaylı Verilmiş)

Soru: Kökleri toplamı 7, çarpımı 10 olan ikinci dereceden denklemi yazınız ve köklerini bulunuz.

Denklem: x² - 7x + 10 = 0.
Çarpanlara ayır: (x - 2)(x - 5) = 0 → kökler 2 ve 5.

Uygulama Örneği 4 (Başka Bir Denklemin Köklerinden)

Soru: 2x² - 8x + 6 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂’dir. Kökleri (x₁ + x₂) ve (x₁ · x₂) olan yeni ikinci dereceden denklemi yazınız.

Asıl denklemde Vieta: T = 8/2 = 4, Ç = 6/2 = 3.
Yeni kökler: x₁ + x₂ = 4 ve x₁ · x₂ = 3.
Yeni T_yeni = 4 + 3 = 7, Ç_yeni = 4 · 3 = 12.
Yeni denklem: x² - 7x + 12 = 0.

Uygulama Örneği 5 (İstenen Baş Katsayı)

Soru: Kökleri 1/3 ve -1/2 olan ve baş katsayısı 6 olan ikinci dereceden denklemi yazınız.

T = 1/3 + (-1/2) = 2/6 - 3/6 = -1/6.
Ç = (1/3)(-1/2) = -1/6.
Monik denklem: x² - (-1/6)x + (-1/6) = x² + x/6 - 1/6 = 0.
Baş katsayı 6 için tümünü 6 ile çarp: 6x² + x - 1 = 0.
Doğrulama: Çarpanlara ayır → (3x - 1)(2x + 1) = 6x² + 3x - 2x - 1 = 6x² + x - 1 ✓; kökler 1/3 ve -1/2. ✓

Verilen Köklerin Monik Denklemden Genel Denkleme Geçişi

x² - Tx + Ç = 0 monik denklemdir (baş katsayısı 1). Sorunun istediği farklı bir baş katsayı varsa tümünü o sabitle çarp:

Baş katsayı 2 → 2x² - 2Tx + 2Ç = 0.
Baş katsayı -1 → -x² + Tx - Ç = 0 (yani işaretler terslenir).
Kökleri paydalı gelen denklemlerde tüm katsayılar uygun sabitle çarpılarak tam sayı katsayılı denklem elde edilebilir.

Örneğin kökleri 1/3 ve 1/2 olan monik denklem x² - (5/6)x + 1/6 = 0’dır; tümünü 6 ile çarpınca 6x² - 5x + 1 = 0 çıkar.

Kök Toplamı-Çarpımı Üzerinden Formül Türetmek

Aşağıdaki bağıntı AYT’nin formülleştirilmiş kalıbıdır:

Kökler toplamı: T | Kökler çarpımı: Ç ⇒ Denklem: x² - Tx + Ç = 0

Bu formül, kök-katsayı ilişkilerinin (Vieta) tam tersidir. Bir denklemden T ve Ç hesaplanırsa katsayılar bulunur; bir T ve Ç verildiğinde denklem yazılır. Bu iki yönlü ilişki, AYT’nin 2. dereceden denklem başlığındaki soruların büyük çoğunluğunda işin kalbinde yer alır.

Karmaşık Eşlenik Kökler

Reel katsayılı bir ikinci derece denklemin karmaşık köklerinden biri (a + b·i) ise diğeri de mutlaka eşleniği (a - b·i)’dir. Bu durumda T = 2a, Ç = a² + b² olur ve denklem:

x² - 2a · x + (a² + b²) = 0

Örnek: Köklerinden biri 3 + 2i olan reel katsayılı denklemi yazınız.

Diğer kök: 3 - 2i.
T = 6, Ç = 3² + 2² = 9 + 4 = 13.
Denklem: x² - 6x + 13 = 0.

AYT İpucu: Denklem yazma sorularında "reel katsayılı" ifadesini gördüğünde karmaşık kök eşleniğini atlama. 3 + 2i verildiyse 3 - 2i otomatik olarak diğer köktür. Formül x² - Tx + Ç olduğundan işaretine dikkat et: T’nin önündeki eksi ve Ç’nin önündeki artı sabittir.

6. Kök Dönüşümü ile Yeni Denklem Yazma

Asıl denklemin kökleri x₁, x₂ iken, yeni denklemin kökleri bunlardan türetiliyor (örneğin her birine 3 eklenmiş, ikiyle çarpılmış veya tersleri alınmış). İki genel yöntem kullanılır: doğrudan yerine koyma ve Vieta üzerinden T ve Ç hesaplama.

Yöntem 1: Değişken Dönüşümü (En Hızlı)

Yeni kök y = f(x) biçimindeyse, bu eşitlikten x’i y cinsinden çek, asıl denkleme yaz, sonra y’yi yeniden x’e dönüştür.

Yeni Kökler	Asıl Denklemde x Yerine
x₁ + k, x₂ + k	(x - k) yaz
x₁ - k, x₂ - k	(x + k) yaz
k · x₁, k · x₂	(x / k) yaz
-x₁, -x₂	(-x) yaz; pratikte tek dereceli terimin işareti değişir
1/x₁, 1/x₂	Katsayıların yeri tersine çevrilir: ax² + bx + c = 0 → cx² + bx + a = 0

Yöntem 2: Vieta (Alternatif Kısa Yol)

Yeni T ve Ç’yi, asıl T ve Ç cinsinden yaz:

Yeni kökler x₁ + k ve x₂ + k için: T_yeni = T + 2k, Ç_yeni = Ç + k · T + k².
Yeni kökler k · x₁ ve k · x₂ için: T_yeni = k · T, Ç_yeni = k² · Ç.
Yeni kökler 1/x₁ ve 1/x₂ için: T_yeni = T/Ç, Ç_yeni = 1/Ç.

Örnek 1 (Kayma)

Soru: x² - 5x + 6 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂’dir. Kökleri x₁ + 2 ve x₂ + 2 olan denklem nedir?

x yerine (x - 2) yazılır:

(x - 2)² - 5(x - 2) + 6 = 0.
Aç: (x² - 4x + 4) - (5x - 10) + 6 = 0 → x² - 9x + 20 = 0.
Doğrulama: Asıl denklemin kökleri (x - 2)(x - 3) = 0 → 2 ve 3. Yeni kökler 4 ve 5. Onların denklemi (x - 4)(x - 5) = x² - 9x + 20. ✓

Örnek 2 (Ölçekleme)

Soru: x² - 3x + 1 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂’dir. Kökleri 2x₁ ve 2x₂ olan denklemi yazınız.

x yerine x/2 yazılır:

(x/2)² - 3 · (x/2) + 1 = 0 → x²/4 - 3x/2 + 1 = 0.
Tümünü 4 ile çarp: x² - 6x + 4 = 0.

Vieta ile doğrulama: Asılda T = 3, Ç = 1. Yeni T = 2 · 3 = 6, yeni Ç = 4 · 1 = 4. Yeni denklem x² - 6x + 4 = 0. ✓

Örnek 3 (Terslerin Denklemi)

Soru: 2x² - 5x + 3 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂’dir. Kökleri 1/x₁ ve 1/x₂ olan denklemi yazınız.

Katsayılar yer değiştirir: a = 2, b = -5, c = 3 → yeni denklem 3x² - 5x + 2 = 0.
Doğrulama: Asılda T = 5/2, Ç = 3/2. Yeni T = T/Ç = (5/2) / (3/2) = 5/3, yeni Ç = 1/Ç = 2/3. Monik denklem x² - (5/3)x + 2/3 = 0. Tümünü 3 ile çarpınca 3x² - 5x + 2 = 0. ✓

Örnek 4 (İşaret Değişikliği)

Soru: x² - 4x + 3 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂’dir. Kökleri -x₁ ve -x₂ olan denklemi yazınız.

x yerine (-x) yazılır; pratikte tek dereceli terimin işareti değişir:

(-x)² - 4(-x) + 3 = 0 → x² + 4x + 3 = 0.
Doğrulama: Asıl kökler 1 ve 3; yeni kökler -1 ve -3. Onların denklemi (x + 1)(x + 3) = x² + 4x + 3 ✓.

Örnek 5 (Birleşik Dönüşüm: Kayma + Ölçek)

Soru: x² - 2x - 3 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂’dir. Kökleri (2x₁ + 1) ve (2x₂ + 1) olan denklemi yazınız.

Yeni kök y = 2x + 1 → x = (y - 1)/2. Asıl denkleme yazılır:

((y - 1)/2)² - 2 · (y - 1)/2 - 3 = 0.
(y - 1)²/4 - (y - 1) - 3 = 0. Tümünü 4 ile çarp: (y - 1)² - 4(y - 1) - 12 = 0.
Aç: y² - 2y + 1 - 4y + 4 - 12 = y² - 6y - 7 = 0.
y’yi x’e çevir: x² - 6x - 7 = 0.
Doğrulama: Asıl kökler x₁ = 3, x₂ = -1. Yeni kökler 2·3+1 = 7 ve 2·(-1)+1 = -1. (x - 7)(x + 1) = x² - 6x - 7 ✓.

Dikkat: Kaymada işaret yönü önemlidir. "Kökler asıl köklerin 2 fazlası" dendiğinde yeni kök = x + 2; yani x yerine (x - 2) yazılır (ters işaret). Öğrencilerin en çok karıştırdığı nokta budur: yeni-asıl dönüşüm yönü, yerine koymada tersine işler.

7. Köklerin İşareti ve Kök Koşulları

Parametreli bir denklemde "iki kökü de pozitif olsun", "kökler zıt işaretli olsun" gibi koşullar, yalnızca T ve Ç’nin işaretlerine bakarak çözülür. Asıl kökleri bulmaya hiç gerek kalmaz.

Koşul Tablosu

Kök Durumu	Δ	T = -b/a	Ç = c/a
İki farklı pozitif	Δ > 0	T > 0	Ç > 0
İki farklı negatif	Δ > 0	T < 0	Ç > 0
Zıt işaretli (biri +, biri -)	Δ > 0 (otomatik sağlanır)	Koşul yok (işareti mutlak değerlerine göre)	Ç < 0
Köklerden biri 0	—	—	Ç = 0 (yani c = 0)
Reel kök yok	Δ < 0	—	—
Çift katlı (eşit) kök	Δ = 0	—	—
Simetrik (x₁ = -x₂)	Δ > 0	T = 0 (yani b = 0)	Ç < 0

Neden Bu Üç İşaret?

Çarpım (Ç) işareti: İki pozitif sayının çarpımı da iki negatif sayının çarpımı da pozitiftir. Zıt işaretli iki sayının çarpımı ise negatiftir. Yani Ç > 0 ⇔ iki kök aynı işaretli, Ç < 0 ⇔ kökler zıt işaretli.

Toplam (T) işareti: Aynı işaretli köklerde toplamın işareti, köklerin ortak işaretini verir. İki pozitif → T > 0, iki negatif → T < 0.

Diskriminant (Δ): İki farklı reel kök istendiğinde Δ > 0, iki kök reel olsun yeter denirse Δ ≥ 0 yazılır. Zıt işaretli durumda Ç < 0 olduğu için Δ her zaman pozitiftir; ayrıca Δ şartı yazmaya gerek yoktur.

Örnek 1 (Zıt İşaretli Kökler)

Soru: (m + 1)x² - 3x + (m - 5) = 0 denkleminin kökleri zıt işaretli ise m hangi aralıktadır?

Baş katsayı şartı: m + 1 ≠ 0 → m ≠ -1.
Ç < 0: c/a = (m - 5) / (m + 1) < 0.
Rasyonel eşitsizlik: pay ve payda farklı işaretli olacak → -1 < m < 5.
Cevap: m ∈ (-1, 5).

Örnek 2 (Köklerden Biri Sıfır)

Soru: x² - 4x + (k - 6) = 0 denkleminin köklerinden biri 0 ise diğer kök kaçtır?

Bir kök 0 ise Ç = 0 → k - 6 = 0 → k = 6.
Denklem x² - 4x = 0 → x(x - 4) = 0 → kökler 0 ve 4.
Diğer kök: 4.

Örnek 3 (İki Negatif Kök)

Soru: x² + 5x + (m - 2) = 0 denkleminin her iki kökü de negatif ise m hangi aralıktadır?

T = -5 < 0 ✓ (sabit, zaten sağlanır).
Ç = m - 2 > 0 → m > 2.
Δ ≥ 0: 25 - 4(m - 2) ≥ 0 → 33 - 4m ≥ 0 → m ≤ 33/4.
Kesişim: 2 < m ≤ 33/4.
Cevap: m ∈ (2, 33/4].

Örnek 4 (Simetrik Kökler)

Soru: x² + (m - 3)x + 4 = 0 denkleminin kökleri simetrik (x₁ = -x₂) ise m değeri kaçtır? Kökleri de bulunuz.

Simetrik kök için T = 0 → -(m - 3) = 0 → m = 3.
m = 3 için denklem: x² + 4 = 0 → Δ = -16 < 0.
Reel simetrik kök yoktur; soruda "reel kök" şartı olsaydı bu denklem uygun olmazdı.
Uyarı: Simetrik kökler için Ç < 0 da şarttır. Burada Ç = 4 > 0 olduğu için reel simetrik köke ulaşılamaz. Parametreli sorularda iki şartı (T = 0 ve Ç < 0) birlikte kontrol et.

Örnek 5 (Tek Negatif Kök)

Soru: x² - (m + 2)x + (3m - 3) = 0 denkleminin bir kökü pozitif, diğeri negatif ise m hangi aralıktadır?

Zıt işaretli kök için Ç < 0: 3m - 3 < 0 → m < 1.
Δ şartı otomatik sağlanır (Ç < 0 iken Δ > 0 olur).
Cevap: m ∈ (-∞, 1).

AYT İpucu: Kök koşul sorularında üç soruyu sırayla kendine sor: (1) Kök reel olsun mu (Δ ≥ 0 mı, yoksa koşul yok mu?), (2) Kök işaretleri aynı mı farklı mı (Ç > 0 / Ç < 0)?, (3) Aynı işaretliyse hangisi (T işareti)? Bu üçlü kontrol, her kök koşulu problemini çözer.

8. Ortak Kök, Çift Katlı Kök ve Özel Durumlar

Bu bölümde AYT’de sık sorulan üç özel durumu ele alacağız: iki denklemin ortak kökü, çift katlı kök (Δ = 0) ve köklerin bir k sayısına göre konumu.

Ortak Kök Bulma (Eliminasyon)

İki denklemi de sağlayan bir kök aranıyorsa, denklemler taraf tarafa çıkarılır. İki ikinci derece denklem aynı baş katsayıya sahipse x² terimleri sadeleşir ve geriye birinci derecede bir denklem kalır. Bu denklemin çözümü ortak kök adayıdır. Bulunan değer iki orijinal denklemi de sağlıyorsa ortak kök olarak kabul edilir.

Örnek: x² - 5x + 6 = 0 ve x² - 4x + 3 = 0 denklemlerinin ortak kökünü bulalım.

Birinciden ikinciyi çıkar: -x + 3 = 0 → x = 3.
Birinci denklem için: 9 - 15 + 6 = 0 ✓
İkinci denklem için: 9 - 12 + 3 = 0 ✓
Ortak kök: 3.

Eliminasyonla bulunan değer her zaman adaydır; iki denklemin de sağlandığını doğrulamak şarttır. Aşağıdaki örnekte ortak kök yoktur:

Örnek: x² + 3x - 10 = 0 ve x² - 2x - 15 = 0 için eliminasyon yapınca 5x + 5 = 0 → x = -1 bulunur. Birinci denklem için 1 - 3 - 10 = -12 ≠ 0 olduğundan aday kök sağlanmaz; bu iki denklemin ortak kökü yoktur (gerçek kökler: 2 ve -5 ile 5 ve -3 olmak üzere kesişmezler).

Çift Katlı Kök (Δ = 0)

Bir denklemin tek kökü olması, köklerin eşit olması anlamına gelir: x₁ = x₂ = -b/(2a).

Örnek: (m - 2)x² - 6x + 3 = 0 denkleminin çift katlı kökü varsa m ve kök değerini bulunuz.

a ≠ 0 → m ≠ 2.
Δ = (-6)² - 4(m - 2) · 3 = 36 - 12m + 24 = 60 - 12m.
Δ = 0 → 60 - 12m = 0 → m = 5.
m = 5 için denklem: 3x² - 6x + 3 = 0 → x² - 2x + 1 = 0 → (x - 1)² = 0 → çift katlı kök: x = 1.

Kökün Bir Sayıya Göre Konumu

f(x) = ax² + bx + c ve k reel bir sayı olsun. Köklerin x₁ ve x₂ olduğunu varsayıp k sayısının konumuna bakılır:

Durum	Kontrol
k iki kökün arasında	a · f(k) < 0
k iki kökün dışında (ikisinden de büyük veya küçük)	a · f(k) > 0
k bir kök	f(k) = 0

Örnek: f(x) = x² - 5x + 4 için 3 sayısı köklerin arasında mıdır?

f(3) = 9 - 15 + 4 = -2.
a = 1 > 0; a · f(3) = -2 < 0 → 3 sayısı iki kökün arasındadır. ✓
Doğrulama: Kökler 1 ve 4; 3 bu iki değerin arasında. ✓

Parametreli Ortak Kök Sorusu

Örnek: x² + ax + 6 = 0 ve x² + x + b = 0 denklemlerinin ortak kökü 2 olduğuna göre a + b değeri kaçtır?

x = 2 her iki denklemi de sağlar.
Birinci denklem: 4 + 2a + 6 = 0 → 2a = -10 → a = -5.
İkinci denklem: 4 + 2 + b = 0 → b = -6.
a + b = -5 + (-6) = -11.

Karmaşık Sayılarda Kökler

Δ < 0 olduğunda reel kök yoktur, ancak karmaşık sayılar kümesinde iki eşlenik karmaşık kök vardır:

x_1,2 = (-b ± i√|Δ|) / (2a)

Örnek: x² - 4x + 13 = 0 denkleminin karmaşık köklerini bulalım.

Δ = 16 - 52 = -36.
x = (4 ± i · 6) / 2 = 2 ± 3i.
Kökler: 2 + 3i ve 2 - 3i.

Dikkat: Eliminasyonla bulunan aday kökü her iki denklemde mutlaka doğrula. Lineer kalıntının kökü, iki denklemden en fazla birinde sağlanmış olabilir; bu durumda ortak kök yoktur. Yine "çift katlı kök" deyimi "aynı değerdeki iki kök" demektir; kök sayısı yine ikidir ama değer tekdir.

TestBuraya kadar öğrendiklerini şimdi test et

9. İkinci Dereceye İndirgenebilen Denklemler ve Sistemler

AYT’de doğrudan ikinci derece yerine, değişken değişikliği ile ikinci dereceye indirgenen denklemler veya iki denklemli küçük sistemler de sık sorulur. Bu bölümde iki tipik yapıyı ele alacağız.

Bikuadratik Denklem

ax⁴ + bx² + c = 0 biçimindeki denklemler, t = x² dönüşümü ile at² + bt + c = 0 biçimine gelir. Bulunan her t değeri için x = ±√t alınır.

Örnek: x⁴ - 5x² + 4 = 0 denklemini çözünüz.

t = x² dönüşümü: t² - 5t + 4 = 0.
Çarpanlara ayır: (t - 1)(t - 4) = 0 → t = 1 veya t = 4.
t = 1 ise x = ±1; t = 4 ise x = ±2.
Çözüm kümesi: {-2, -1, 1, 2}.

İkinci Dereceden Denklem Sistemi (Bir Lineer + Bir İkinci Derece)

Sistem: y = mx + n (lineer) ve ax² + bx + c = y (ikinci derece) verildiğinde yerine koyma yapılır. Lineer denklemden y çekilip ikinci derece denkleme yazılır; x için ikinci derece denklem çözülür.

Örnek: Aşağıdaki sistemi çözünüz:

y = x + 1 | y = x² - 3x + 4

Eşitliklerden: x + 1 = x² - 3x + 4.
Düzenle: x² - 4x + 3 = 0.
Çarpanlara ayır: (x - 1)(x - 3) = 0 → x = 1 veya x = 3.
y değerleri: x = 1 → y = 2; x = 3 → y = 4.
Çözüm kümesi: {(1, 2), (3, 4)}.

Simetrik Sistem (Kök-Katsayı ile Çözüm)

İki bilinmeyenin toplamı T = x + y ve çarpımı Ç = x · y verildiğinde, x ve y bir ikinci derece denklemin kökleri gibi davranır: t² - T · t + Ç = 0.

Örnek: x + y = 7 ve x · y = 12 olduğuna göre x ve y değerlerini bulunuz.

x ve y, t² - 7t + 12 = 0 denkleminin kökleridir.
Çarpanlara ayır: (t - 3)(t - 4) = 0 → t = 3 veya t = 4.
Dolayısıyla (x, y) çifti {(3, 4), (4, 3)} olabilir.

Kök İçeren Denklem

√x = t dönüşümü (t ≥ 0) ile bazı denklemler ikinci dereceye iner. Çözüm sonunda t ≥ 0 şartının sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek gerekir.

Örnek: x + √x - 6 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

t = √x, t ≥ 0. Bu durumda x = t².
Denklem: t² + t - 6 = 0.
Çarpanlara ayır: (t + 3)(t - 2) = 0 → t = -3 veya t = 2.
t ≥ 0 şartından t = -3 elenir; t = 2 kalır.
x = t² = 4. Çözüm kümesi: {4}.

Dikkat: Kök veya kesir içeren denklemlerde değişken değişikliği sonrası bulunan değerlerin orijinal denklemi sağlayıp sağlamadığını kontrol et. Kök içeren denklemde √ işareti pozitif tanımlanır; negatif çıkan t değerleri elenir. Aynı şekilde paydada bilinmeyen olan denklemlerde, paydayı sıfır yapan değerler çözüm kümesinden çıkarılır.

10. AYT Tipi Zincirli Örnekler

Aşağıdaki beş örnek AYT kalıbında hazırlanmıştır. Her birinde Vieta, kök dönüşümü, kök koşulu veya denklem yazma birlikte kullanılır. Kağıt üzerinde her adımı takip etmen önerilir.

Örnek 1 (Çarpanlara Ayırma + Vieta Doğrulama)

Soru: x² - 7x + 12 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olmak üzere x₁² + x₂² kaçtır?

Çarpanlara ayır: (x - 3)(x - 4) = 0 → kökler 3 ve 4.
Vieta’dan: T = 7, Ç = 12.
x₁² + x₂² = T² - 2Ç = 49 - 24 = 25.
Doğrulama: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 ✓
Cevap: 25.

Örnek 2 (Diskriminant + Reel Kök Aralığı)

Soru: x² - (m - 1)x + (m + 2) = 0 denkleminin birbirinden farklı iki reel kökü olması için m hangi aralıkta olmalıdır?

Farklı iki reel kök şartı: Δ > 0.
Δ = (m - 1)² - 4(m + 2) = m² - 2m + 1 - 4m - 8 = m² - 6m - 7.
m² - 6m - 7 > 0 → (m - 7)(m + 1) > 0.
İşaret tablosu: m < -1 veya m > 7.
Cevap: m ∈ (-∞, -1) ∪ (7, +∞).

Örnek 3 (Vieta + Kök Kuvvetleri)

Soru: x² - 5x + 3 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olmak üzere x₁² + x₂² değerini bulunuz.

Vieta: T = 5, Ç = 3.
x₁² + x₂² = T² - 2Ç = 25 - 6 = 19.
Cevap: 19.

Örnek 4 (Kök Dönüşümü ile Yeni Denklem)

Soru: x² - 6x + 5 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂’dir. Kökleri (x₁ + 2) ve (x₂ + 2) olan ikinci derece denklemi yazınız.

Yeni kökler asıl köklerin 2 fazlası → asıl denklemde x yerine (x - 2) yaz.
(x - 2)² - 6(x - 2) + 5 = 0.
Aç: (x² - 4x + 4) - (6x - 12) + 5 = x² - 10x + 21 = 0.
Doğrulama: Asılda (x - 1)(x - 5) = 0 → kökler 1 ve 5; yeni kökler 3 ve 7; onların denklemi (x - 3)(x - 7) = x² - 10x + 21. ✓
Cevap: x² - 10x + 21 = 0.

Örnek 5 (İki Pozitif Kök Koşulu)

Soru: x² - (m + 1)x + (m - 3) = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olmak üzere her ikisi de pozitif ise m’nin alacağı değerler aralığı nedir?

Δ ≥ 0 kontrolü: (m + 1)² - 4(m - 3) = m² + 2m + 1 - 4m + 12 = m² - 2m + 13. Bu ifadenin diskriminantı 4 - 52 = -48 < 0 ve baş katsayı 1 > 0 olduğundan her m için değeri pozitiftir. Δ şartı tüm m’ler için sağlanır.
T > 0: m + 1 > 0 → m > -1.
Ç > 0: m - 3 > 0 → m > 3.
Üç koşulun kesişimi: m > 3.
Cevap: m ∈ (3, +∞).

Örnek 6 (Kök Toplam-Çarpım Karması)

Soru: x² - 8x + 15 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂’dir. (x₁ + 3)(x₂ + 3) ifadesinin değeri kaçtır?

İfadeyi aç: x₁ x₂ + 3(x₁ + x₂) + 9 = Ç + 3T + 9.
Vieta: T = 8, Ç = 15.
Sonuç: 15 + 24 + 9 = 48.
Doğrulama: Asıl kökler 3 ve 5. (3 + 3)(5 + 3) = 6 · 8 = 48 ✓.
Cevap: 48.

Örnek 7 (Kök Sistemi)

Soru: x + y = 10 ve x · y = 21 olduğuna göre x² + y² kaçtır?

x ve y, t² - 10t + 21 = 0 denkleminin kökleri gibi davranır.
x² + y² = (x + y)² - 2xy = T² - 2Ç = 100 - 42 = 58.
Cevap: 58.

AYT İpucu: Karmaşık görünen soruların büyük çoğunluğu, "T ve Ç’yi katsayıdan yaz, istenen ifadeyi T ve Ç cinsine çevir" refleksiyle iki satırda biter. Kökleri hiç aramadan çözebileceğin sorularda köke geri dönme.

11. ✓ Özet ve Sınav Stratejisi

Bu bölümde konunun tamamını kısa bir başvuru kartına dönüştürüyoruz. AYT öncesi son tekrarda yalnızca bu özeti okumak yeterlidir.

✓ Özet: 2. Dereceden Denklemin Yapısı

Genel form: ax² + bx + c = 0, a ≠ 0.
Eksik formlar: b = 0 için ax² + c = 0 (x = ±√(-c/a)); c = 0 için ax² + bx = 0 (x = 0 ve -b/a).

✓ Özet: Çözüm Yöntemleri

Önce çarpanlara ayırmayı dene (toplam-çarpım arayışı veya çapraz çarpma).
Olmazsa diskriminant formülü: Δ = b² - 4ac, x = (-b ± √Δ) / (2a).
Δ > 0: iki farklı reel kök; Δ = 0: çift katlı tek kök; Δ < 0: reel kök yok.
a + b + c = 0 ise 1 köktür, diğer kök c/a; a - b + c = 0 ise -1 köktür, diğer kök -c/a.

✓ Özet: Vieta Bağıntıları

T = x₁ + x₂ = -b/a; Ç = x₁ · x₂ = c/a.
x₁² + x₂² = T² - 2Ç.
x₁³ + x₂³ = T³ - 3Ç · T.
1/x₁ + 1/x₂ = T/Ç.
|x₁ - x₂| = √Δ / |a|.

✓ Özet: Verilen Köklerden Denklem

Monik form: x² - Tx + Ç = 0.
Reel katsayılı denklemde karmaşık kök a + bi verilmişse diğeri a - bi’dir; T = 2a, Ç = a² + b².

✓ Özet: Kök Dönüşümleri

Yeni kökler x₁ + k, x₂ + k → asıl denklemde x yerine (x - k).
Yeni kökler k · x₁, k · x₂ → asıl denklemde x yerine (x / k).
Yeni kökler 1/x₁, 1/x₂ → katsayıların yeri tersine: ax² + bx + c → cx² + bx + a.

✓ Özet: Kök Koşulları

İki pozitif kök: Δ ≥ 0, T > 0, Ç > 0.
İki negatif kök: Δ ≥ 0, T < 0, Ç > 0.
Zıt işaretli kök: Ç < 0 (Δ > 0 otomatik).
Köklerden biri sıfır: c = 0.
Simetrik kök (x₁ = -x₂): b = 0 ve Ç < 0.
Çift katlı kök: Δ = 0, kök -b/(2a).
Reel kök yok: Δ < 0.

Sık Yapılan Hatalar

Baş katsayı ihmali: Vieta’da T = -b/a ve Ç = c/a’dır; a’yı bölmek unutulursa tüm hesaplar yanlış çıkar. Özellikle a ≠ 1 olan denklemlerde dikkat et.
Δ işareti karışıklığı: Δ = b² - 4ac’de eksi işaretli c değerleri varsa (örn. c = -3), 4ac değeri negatif olacağından Δ artar; -4 · 1 · (-3) = +12 gibi işaret hesabı yap.
Simetrik kök ile eşit kök karışması: Simetrik kök (x₁ = -x₂) için b = 0; eşit kök (x₁ = x₂) için Δ = 0. Bu ikisi farklı koşullardır.
Kayma yönü: "Kökler asıl köklerin 3 fazlası" → x yerine (x - 3) yaz (ters işaret). Aynı yönde işaret yazmak en sık hatadır.
Δ < 0 yanlış yorumu: Reel kök yok demek "çözüm kümesi boştur" demek değil; karmaşık sayılarda iki eşlenik kök vardır. Soruda reel küme isteniyorsa Ç = ∅ yaz, isteniyorsa karmaşık köklere geç.
Kök sayısı hatalı sayımı: Δ = 0 olduğunda tek kök vardır; kök sayısı iki sayılmaz. "Denklemin iki katlı tek kökü" ifadesi tek bir reel değeri temsil eder.

Sınav Stratejisi

İlk kontrol: Parametreli bir denklemde x²’nin katsayısı sıfır olmamalı (a ≠ 0).
Kök aramadan çöz: "x₁² + x₂²", "|x₁ - x₂|" gibi ifadelerde doğrudan T ve Ç cinsine geç.
Kayma dönüşümleri: "Kökler asıl köklerin 2 fazlası" → x yerine (x - 2) yaz.
İşaret koşulu: Ç işareti kök işaretlerinin aynı mı zıt mı olduğunu, T işareti ise aynıysa hangi yönde olduğunu söyler.
Katsayılar toplamı kısayolu: a + b + c = 0 ise 1 köktür; a - b + c = 0 ise -1 köktür.
Çift katlı kök: Δ = 0 şartından m bulunur, kök -b/(2a)’dır.

AYT İpucu: 2. dereceden denklemler konusu, parabol ve ikinci derece eşitsizlikler başlıklarının girişidir. Bu konuyu sağlam öğrenen aday, sonraki iki başlığın yarısını otomatik kazanır. Sınav öncesi bu başlık altındaki ✓ özet kartlarını birkaç dakika gözden geçirmek, Vieta ve kök koşulu reflekslerini taze tutar.

Bu Makaleden

Anahtar Bilgiler

Bir denklemin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olabilmesi için ax² + bx + c = 0 biçiminde yazılabilmesi ve a ≠ 0 olması gerekir. a = 0 durumunda denklem birinci dereceye iner; bu nedenle parametreli sorularda ilk kontrol a katsayısının sıfır olmama şartıdır.
Eksik ikinci derece denklemler iki alt forma ayrılır: b = 0 durumunda ax² + c = 0 (kökler ±√(-c/a)), c = 0 durumunda ax² + bx = 0 (kökler 0 ve -b/a). Eksik denklemler diskriminant yerine doğrudan çözülür.
Çözüm yöntemleri sırası: önce çarpanlara ayırma denenir, olmazsa tam kareye tamamlama ya da diskriminant formülü x = (-b ± √Δ) / (2a) uygulanır. Bu sıralama, sınavda hız kazandırır.
Diskriminant Δ = b² - 4ac’dir. Δ > 0 ise iki farklı reel kök, Δ = 0 ise çift katlı (aynı) tek reel kök, Δ < 0 ise reel kök bulunmaz (karmaşık kök çifti). Kök sayısı ve tipi bu tek değerle belirlenir.
Kök-Katsayı İlişkileri (Vieta): ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olmak üzere x₁ + x₂ = -b/a ve x₁ · x₂ = c/a’dır. Bu iki bağıntı, kökleri bulmadan kökler üzerindeki her soruyu çözmenin anahtarıdır.
Sık kullanılan türev formüller: x₁² + x₂² = T² - 2Ç, x₁³ + x₂³ = T³ - 3Ç·T, 1/x₁ + 1/x₂ = T/Ç, 1/x₁² + 1/x₂² = (T² - 2Ç)/Ç², |x₁ - x₂| = √Δ / |a|. Burada T = x₁ + x₂ (toplam), Ç = x₁ · x₂ (çarpım).
Kökleri x₁ ve x₂ olan ikinci derece denklem x² - (x₁ + x₂)x + x₁ · x₂ = 0 biçiminde yazılır; yani x² - Tx + Ç = 0. Bu, kökler verildiğinde denklem kurmanın standart formülüdür.
Kök dönüşümü kuralları: yeni kökler x₁ + k, x₂ + k ise asıl denklemde x yerine (x - k) yazılır; yeni kökler k·x₁, k·x₂ ise x yerine x/k yazılır; yeni kökler 1/x₁, 1/x₂ ise asıl denklemin katsayılarının yerleri ters çevrilerek cx² + bx + a = 0 yazılır.
Kök işaret koşulları: iki pozitif kök için Δ ≥ 0, T > 0, Ç > 0; iki negatif kök için Δ ≥ 0, T < 0, Ç > 0; zıt işaretli kökler için Ç < 0 (Δ > 0 otomatik sağlanır); köklerden biri 0 için c = 0 ve diğer kök -b/a’dır.
Katsayılar arası özel ilişkiler: a + b + c = 0 ise x = 1 bir köktür ve diğer kök c/a’dır; a - b + c = 0 ise x = -1 bir köktür ve diğer kök -c/a’dır. Bu iki kısa yol, sınavda kök aramayı dakikalarca kısaltır.
Δ = 0 durumunda (çift katlı kök) denklem tam kare açılıma sahiptir: a(x + b/(2a))² = 0 ve tek kök x = -b/(2a)’dır. Parametreli denklemin tek kökü sorulan sorularda Δ = 0 şartı çözümün ilk adımıdır.
İki denklemin ortak kökü varsa kök her iki denklemi de sağlar; denklemler taraf tarafa çıkarılarak (elemasyon) kök aranır. Ortak kök sorularında ikinci derece denklemin doğrudan çözümünü aramak yerine eliminasyon hızlıdır.
Kökün bir k sayısına göre konumu: f(x) = ax² + bx + c için a · f(k) > 0 ise k sayısı iki kök dışında (ikisinden de büyük veya ikisinden de küçük), a · f(k) < 0 ise k sayısı iki kökün arasındadır. Bu işaret testi parametreli aralık sorularında kullanılır.
Simetrik kök soruları (x₁ + x₂ = 0 veya x₁ = -x₂): birinci derece katsayı sıfırdır (b = 0). Eşit kök soruları (x₁ = x₂): diskriminant sıfırdır (Δ = 0). Bu iki özel durum, parametreli sorularda hızlı eleme yapar.

Öğrendiklerini Pekiştir

Bu konuda kendini sına

Sıkça Sorulanlar

Bu konuda merak edilenler

2. Dereceden Denklemler konusu AYT sınavında çıkar mı?

Evet, 2. Dereceden Denklemler konusu AYT sınav müfredatında yer almaktadır. SoruCozme'de bu konuya özel test soruları ve konu anlatımı bulunmaktadır.

2. Dereceden Denklemler konusunda test çözebilir miyim?

Evet, 2. Dereceden Denklemler konusunda SoruCozme platformunda ücretsiz test soruları mevcuttur. Konu anlatımını okuduktan sonra hemen test çözerek öğrendiğinizi pekiştirebilirsiniz.

SoruCozme'de kaç soru ve kaç konu var?

SoruCozme platformunda 13.700+ soru ve 323 konu bulunmaktadır. KPSS, DGS, YDS, TYT, Ehliyet, İngilizce ve Açık Öğretim sınavlarına yönelik tüm içerikler ücretsizdir.

İçindekiler · 11 Bölüm

1. 2. Dereceden Denklemin Tanımı ve Eksik Formlar

a, b, c gerçel sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere

a x² + b x + c = 0

a ≠ 0 Koşulu Neden Vardır?

Eksik Formlar

ax² + bx + c = 0 ifadesinde b veya c katsayısı sıfır olabilir. Bu eksik formlar diskriminant kullanmadan doğrudan çözülür.

Form	Denklem	Kökler
Tam form	ax² + bx + c = 0	Diskriminant formülü ile
b = 0	ax² + c = 0	x = ±√(-c/a) (kare kök altı negatif değilse)
c = 0	ax² + bx = 0	x(ax + b) = 0 → x = 0 ve x = -b/a
b = 0, c = 0	ax² = 0	x = 0 (çift katlı)

Hangi İfadeler İkinci Dereceden Denklemdir?

x’in en büyük üssünün 2 olması gerekir ve katsayısı sıfırdan farklı olmalıdır. Aşağıdaki örnekleri karşılaştıralım:

x² - 9 = 0 → 2. derecedendir (b = 0 eksik form).
2x² - 4x = 0 → 2. derecedendir (c = 0 eksik form).
x³ + x² - 5 = 0 → 3. derecedendir, 2. dereceden DEĞİLDİR.
2^x + 3 = 0 → Üstel denklemdir; x üs konumundadır, 2. dereceden değildir.
√x + 1 = 0 → Kesirli üs içerir, polinom bile değildir.

Parametreli Derece Soruları

"(a + 2)x³ + (n - 4)x² + 5x - 1 = 0 ifadesi 2. dereceden bir bilinmeyenli denklemdir. a + n kaçtır?" tipi sorularda sırayla iki koşul uygulanır:

x³’ün katsayısı 0 olmalı: a + 2 = 0 → a = -2. Bu sayede üçüncü dereceli terim kaybolur.
x²’nin katsayısı 0’dan farklı olmalı: n - 4 ≠ 0 → n ≠ 4. Soruda özel bir değer verilmemişse bu aralık yeterlidir; bazı sorularda "n doğal sayıdır, sabit terim 6 olsun" gibi ek koşullarla n tekilleştirilir.

Denklem Tipleri ve İkinci Dereceye İndirgenebilen İfadeler

Bazı denklemler ilk bakışta ikinci dereceden görünmez, ancak uygun bir değişken değişikliği ile ikinci dereceye indirgenir:

Bikuadratik denklem: ax⁴ + bx² + c = 0. t = x² dönüşümü ile at² + bt + c = 0 olur. Kökler bulunduktan sonra x = ±√t ile asıl köklere dönülür.
Kök içeren denklem: √x = t dönüşümü ile bazı sorular ikinci dereceye inebilir (örneğin x - 5√x + 6 = 0 → t² - 5t + 6 = 0).
Paydada değişken içeren denklem: Önce paydayı atıp (pay ve payda aynı ise sadeleştirip) yeni denklemi yazmak gerekir; pay ve paydanın sıfır yaptığı değerler çözüm kümesinden çıkarılır.

Çözüm Kümesi Kavramı

İkinci dereceden bir denklemin reel sayılardaki çözüm kümesi Ç ile gösterilir. Aşağıda tipik örnekler vardır:

x² - 9 = 0 için Ç = {-3, 3}.
x² + 1 = 0 için Ç = ∅ (reel sayılarda kök yok).
x² - 2x + 1 = 0 için Ç = {1} (çift katlı kök, kümede tek eleman).

2. Çarpanlara Ayırarak Çözüm

Temel Yaklaşım

a = 1 olduğunda (yani x² + bx + c = 0 formunda) aranan iki sayı şunları sağlar:

Toplamı = b, Çarpımı = c

Bulunan iki sayıya sırasıyla m ve n denirse denklem (x + m)(x + n) = 0 biçimine gelir; kökler x = -m ve x = -n olur. (Dikkat: işaret terslenir, çünkü çarpanda "+m" sabit, köklerde "-m".)

Çözüm Örneği 1 (a = 1)

Denklem: x² - 5x + 6 = 0

Aranan iki sayı: toplamı -5, çarpımı 6 → -2 ve -3.
Çarpanlı yazım: (x - 2)(x - 3) = 0.
Her çarpanı sıfıra eşitle: x - 2 = 0 ya da x - 3 = 0.
Kökler: x₁ = 2, x₂ = 3. Çözüm kümesi: {2, 3}.

Çözüm Örneği 2 (a ≠ 1, Çapraz Çarpma)

Denklem: 2x² - 7x + 3 = 0

Çapraz yazım:
2x → katsayı 2
1x → katsayı 1
Çaprazlar: 2 · (-3) + 1 · (-1) = -6 - 1 = -7 ✓
Çarpanlı yazım: (2x - 1)(x - 3) = 0.
Kökler: x₁ = 1/2, x₂ = 3.

Eksik Formların Çarpanlara Ayrılışı

x² - 9 = 0: İki kare farkı → (x - 3)(x + 3) = 0 → x = ±3.
x² + 4x = 0: Ortak çarpan → x(x + 4) = 0 → x = 0 veya x = -4.
x² + 6x + 9 = 0: Tam kare → (x + 3)² = 0 → x = -3 (çift katlı).

a + b + c = 0 Kısayolu

ax² + bx + c = 0 denkleminde katsayılar toplamı sıfırsa (a + b + c = 0), denklem x = 1 için sağlanır, yani 1 her zaman bir köktür. Bu durumda diğer kök Vieta’dan x₂ = c/a olur.

Örnek: 3x² - 7x + 4 = 0. 3 + (-7) + 4 = 0 olduğundan x₁ = 1. Diğer kök x₂ = c/a = 4/3.

a - b + c = 0 Kısayolu

a - b + c = 0 ise denklem x = -1 için sağlanır, yani -1 her zaman bir köktür. Diğer kök x₂ = -c/a.

Örnek: 2x² + 5x + 3 = 0. 2 - 5 + 3 = 0 olduğundan x₁ = -1. Diğer kök x₂ = -c/a = -3/2.

Çapraz Çarpma Kısa Notu

a ≠ 1 olduğunda çapraz çarpma yöntemi sistematik bir yoldur:

ax² ifadesini iki çarpanın çarpımı olarak yaz (örn. 2x² = 2x · x).
Sabit terimi iki çarpanın çarpımı olarak yaz (örn. 3 = 1 · 3 veya -1 · -3).
Çapraz çarpımların toplamı b katsayısını verecek şekilde eşleştir.
Uygun eşleşme bulunduğunda (ax + p)(x + q) yazılır ve kökler -p/a ve -q olur.

Ek Örnekler

Örnek: 3x² + 5x - 2 = 0

3 + 5 + (-2) = 6 ≠ 0 ve 3 - 5 + (-2) = -4 ≠ 0. Kısayollar işe yaramaz.
Çapraz çarpma: (3x - 1)(x + 2) = 3x² + 6x - x - 2 = 3x² + 5x - 2 ✓.
Kökler: x = 1/3 ve x = -2.

Örnek: x² + 7x = 0

Eksik form (c = 0). Ortak çarpan: x(x + 7) = 0.
Kökler: x = 0 ve x = -7.

Örnek: 4x² - 25 = 0

İki kare farkı: (2x - 5)(2x + 5) = 0.
Kökler: x = 5/2 ve x = -5/2.

3. Tam Kareye Tamamlama ve Diskriminant Formülü

Çarpanlara ayrılamayan denklemler için iki sistemli yöntem vardır: tam kareye tamamlama ve bunun genel sonucu olan diskriminant formülü.

Tam Kareye Tamamlama Adımları

Denklemi a ile böl: x² + (b/a)x + (c/a) = 0.
Sabiti karşıya at: x² + (b/a)x = -c/a.
(b/(2a))²’yi iki tarafa ekle: x² + (b/a)x + (b/(2a))² = (b/(2a))² - c/a.
Sol taraf tam kare olur: (x + b/(2a))² = (b² - 4ac) / (4a²).
Kare kök al: x + b/(2a) = ±√(b² - 4ac) / (2a).
x’i yalnız bırak: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).

Elde edilen ifade, diskriminant (çözüm) formülü’dür.

Diskriminant Formülü

Δ = b² - 4ac
x_1,2 = (-b ± √Δ) / (2a)

Diskriminantın Yorumu

Δ Durumu	Reel Kök Sayısı	Kök Tipi
Δ > 0	2	İki farklı reel kök (x₁ ≠ x₂)
Δ = 0	1	Çift katlı reel kök, x = -b/(2a)
Δ < 0	0	Reel kök yok; iki karmaşık kök (eşlenik)

Δ > 0 Örneği

Denklem: 2x² - 3x - 2 = 0

Δ = (-3)² - 4 · 2 · (-2) = 9 + 16 = 25.
Δ > 0 olduğundan iki farklı reel kök vardır.
x = (3 ± 5) / 4 → x₁ = 2, x₂ = -1/2.

Δ = 0 Örneği

Denklem: x² - 6x + 9 = 0

Δ = (-6)² - 4 · 1 · 9 = 36 - 36 = 0.
Tek kök: x = -b/(2a) = 6/2 = 3 (çift katlı).
Doğrulama: (x - 3)² = 0 → aynı sonuç.

Δ < 0 Örneği

Denklem: x² + x + 2 = 0

Δ = 1 - 8 = -7.
Δ < 0 olduğundan reel kök yoktur.
Karmaşık kökler x = (-1 ± i√7) / 2 biçimindedir.

Parametreli Denklemde Kök Sayısı Sorusu

Örnek: x² - 4x + (m - 1) = 0 denkleminin çift katlı kökü olması için m kaç olmalıdır?

Çift katlı kök şartı: Δ = 0.
Δ = (-4)² - 4 · 1 · (m - 1) = 16 - 4m + 4 = 20 - 4m.
20 - 4m = 0 → m = 5.
m = 5 için denklem x² - 4x + 4 = 0 = (x - 2)² → x = 2 (çift katlı). ✓

Farklı İki Reel Kök Aralığı

Örnek: x² - 2x + m = 0 denkleminin iki farklı reel kökü olması için m hangi aralıktadır?

Farklı iki reel kök şartı: Δ > 0.
Δ = (-2)² - 4m = 4 - 4m.
4 - 4m > 0 → m < 1.
Cevap: m ∈ (-∞, 1).

Diskriminant Notu

4. Kök-Katsayı İlişkileri (Vieta)

Temel İki Bağıntı

x₁ + x₂ = -b/a | x₁ · x₂ = c/a

Bundan sonra T = x₁ + x₂ (toplam) ve Ç = x₁ · x₂ (çarpım) notasyonunu kullanacağız.

Türev Bağıntılar Tablosu

İfade	T ve Ç Cinsinden
x₁² + x₂²	T² - 2Ç
x₁³ + x₂³	T³ - 3Ç · T
1/x₁ + 1/x₂	T / Ç
1/x₁² + 1/x₂²	(T² - 2Ç) / Ç²
x₁/x₂ + x₂/x₁	(T² - 2Ç) / Ç
(x₁ - x₂)²	T² - 4Ç
\|x₁ - x₂\|	√Δ / \|a\| (veya √(T² - 4Ç))

Bağıntıların Türetilmesi

x₁² + x₂² ifadesini ele alalım:

(x₁ + x₂)² = x₁² + 2 x₁ x₂ + x₂²
x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² - 2 x₁ x₂ = T² - 2Ç

Benzer biçimde x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)(x₁² - x₁ x₂ + x₂²) = T · (T² - 3Ç) = T³ - 3Ç · T.

Uygulama Örneği 1

Soru: 2x² - 10x + 6 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂’dir. 1/x₁ + 1/x₂ değeri kaçtır?

T = -b/a = 10/2 = 5; Ç = c/a = 6/2 = 3.
1/x₁ + 1/x₂ = T/Ç = 5/3.

Uygulama Örneği 2

Soru: x² + 3x - 1 = 0 denkleminin kökleri için x₁² + x₂² = ?

T = -3, Ç = -1.
x₁² + x₂² = T² - 2Ç = 9 - 2 · (-1) = 9 + 2 = 11.

Uygulama Örneği 3 (Kök Farkı)

Soru: 3x² - 12x + 9 = 0 denkleminin köklerinin farkının mutlak değeri kaçtır?

Δ = (-12)² - 4 · 3 · 9 = 144 - 108 = 36.
|x₁ - x₂| = √Δ / |a| = 6 / 3 = 2.

Uygulama Örneği 4 (Küp Toplamı)

Soru: x² - 4x + 2 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olmak üzere x₁³ + x₂³ değerini bulunuz.

Vieta: T = 4, Ç = 2.
x₁³ + x₂³ = T³ - 3Ç · T = 64 - 3 · 2 · 4 = 64 - 24 = 40.
Cevap: 40.

Uygulama Örneği 5 (Ters Toplamı)

Soru: 4x² + 8x + 3 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olmak üzere 1/x₁² + 1/x₂² değerini bulunuz.

T = -b/a = -8/4 = -2, Ç = c/a = 3/4.
1/x₁² + 1/x₂² = (T² - 2Ç) / Ç².
T² - 2Ç = 4 - 3/2 = 5/2. Ç² = 9/16.
Sonuç: (5/2) / (9/16) = (5/2) · (16/9) = 80/18 = 40/9.
Cevap: 40/9.

Uygulama Örneği 6 (Oran Toplamı)

Soru: x² - 6x + 4 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olmak üzere x₁/x₂ + x₂/x₁ değerini bulunuz.

T = 6, Ç = 4.
x₁/x₂ + x₂/x₁ = (x₁² + x₂²) / (x₁ x₂) = (T² - 2Ç) / Ç.
(36 - 8) / 4 = 28/4 = 7.
Cevap: 7.

Uygulama Örneği 7 (Parametre Bulma)

Soru: x² + (m + 1)x + 2m = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ ise 1/x₁ + 1/x₂ = -2 olacak şekilde m kaçtır?

T = -(m + 1), Ç = 2m.
1/x₁ + 1/x₂ = T/Ç = -(m + 1) / (2m) = -2.
Eşitlikten: -(m + 1) = -4m → 3m = 1 → m = 1/3.
Cevap: m = 1/3.

TestBuraya kadar öğrendiklerini şimdi test et

5. Verilen Köklerden Denklem Yazma

Bir ikinci dereceden denklemin kökleri verilmişse, bu köklere sahip denklem tek bir formülle yazılır.

Temel Formül

x² - (x₁ + x₂) x + x₁ · x₂ = 0

Yani x² - T · x + Ç = 0 şeklindedir. Bu form monik denklemdir (baş katsayı 1). Eğer sorunun istediği baş katsayı farklıysa tüm denklem o katsayı ile çarpılır.

Formülün Çıkışı

Kökleri x₁ ve x₂ olan denklem (x - x₁)(x - x₂) = 0 şeklinde yazılır. Dağıtınca:

(x - x₁)(x - x₂) = x² - x₂ x - x₁ x + x₁ x₂ = x² - (x₁ + x₂) x + x₁ x₂

Böylece T = x₁ + x₂ ve Ç = x₁ x₂ aracılığıyla denklem kurulur.

Uygulama Örneği 1

Soru: Kökleri 4 ve -3 olan ikinci dereceden denklemi yazınız.

T = 4 + (-3) = 1, Ç = 4 · (-3) = -12.
Denklem: x² - 1 · x + (-12) = 0 → x² - x - 12 = 0.

Uygulama Örneği 2 (İki Köklü)

Soru: Kökleri 2 + √3 ve 2 - √3 olan denklemi yazınız.

T = (2 + √3) + (2 - √3) = 4.
Ç = (2 + √3)(2 - √3) = 4 - 3 = 1.
Denklem: x² - 4x + 1 = 0.

Uygulama Örneği 3 (Kökler Dolaylı Verilmiş)

Soru: Kökleri toplamı 7, çarpımı 10 olan ikinci dereceden denklemi yazınız ve köklerini bulunuz.

Denklem: x² - 7x + 10 = 0.
Çarpanlara ayır: (x - 2)(x - 5) = 0 → kökler 2 ve 5.

Uygulama Örneği 4 (Başka Bir Denklemin Köklerinden)

Soru: 2x² - 8x + 6 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂’dir. Kökleri (x₁ + x₂) ve (x₁ · x₂) olan yeni ikinci dereceden denklemi yazınız.

Asıl denklemde Vieta: T = 8/2 = 4, Ç = 6/2 = 3.
Yeni kökler: x₁ + x₂ = 4 ve x₁ · x₂ = 3.
Yeni T_yeni = 4 + 3 = 7, Ç_yeni = 4 · 3 = 12.
Yeni denklem: x² - 7x + 12 = 0.

Uygulama Örneği 5 (İstenen Baş Katsayı)

Soru: Kökleri 1/3 ve -1/2 olan ve baş katsayısı 6 olan ikinci dereceden denklemi yazınız.

T = 1/3 + (-1/2) = 2/6 - 3/6 = -1/6.
Ç = (1/3)(-1/2) = -1/6.
Monik denklem: x² - (-1/6)x + (-1/6) = x² + x/6 - 1/6 = 0.
Baş katsayı 6 için tümünü 6 ile çarp: 6x² + x - 1 = 0.
Doğrulama: Çarpanlara ayır → (3x - 1)(2x + 1) = 6x² + 3x - 2x - 1 = 6x² + x - 1 ✓; kökler 1/3 ve -1/2. ✓

Verilen Köklerin Monik Denklemden Genel Denkleme Geçişi

x² - Tx + Ç = 0 monik denklemdir (baş katsayısı 1). Sorunun istediği farklı bir baş katsayı varsa tümünü o sabitle çarp:

Baş katsayı 2 → 2x² - 2Tx + 2Ç = 0.
Baş katsayı -1 → -x² + Tx - Ç = 0 (yani işaretler terslenir).
Kökleri paydalı gelen denklemlerde tüm katsayılar uygun sabitle çarpılarak tam sayı katsayılı denklem elde edilebilir.

Örneğin kökleri 1/3 ve 1/2 olan monik denklem x² - (5/6)x + 1/6 = 0’dır; tümünü 6 ile çarpınca 6x² - 5x + 1 = 0 çıkar.

Kök Toplamı-Çarpımı Üzerinden Formül Türetmek

Aşağıdaki bağıntı AYT’nin formülleştirilmiş kalıbıdır:

Kökler toplamı: T | Kökler çarpımı: Ç ⇒ Denklem: x² - Tx + Ç = 0

Karmaşık Eşlenik Kökler

Reel katsayılı bir ikinci derece denklemin karmaşık köklerinden biri (a + b·i) ise diğeri de mutlaka eşleniği (a - b·i)’dir. Bu durumda T = 2a, Ç = a² + b² olur ve denklem:

x² - 2a · x + (a² + b²) = 0

Örnek: Köklerinden biri 3 + 2i olan reel katsayılı denklemi yazınız.

Diğer kök: 3 - 2i.
T = 6, Ç = 3² + 2² = 9 + 4 = 13.
Denklem: x² - 6x + 13 = 0.

6. Kök Dönüşümü ile Yeni Denklem Yazma

Yöntem 1: Değişken Dönüşümü (En Hızlı)

Yeni kök y = f(x) biçimindeyse, bu eşitlikten x’i y cinsinden çek, asıl denkleme yaz, sonra y’yi yeniden x’e dönüştür.

Yeni Kökler	Asıl Denklemde x Yerine
x₁ + k, x₂ + k	(x - k) yaz
x₁ - k, x₂ - k	(x + k) yaz
k · x₁, k · x₂	(x / k) yaz
-x₁, -x₂	(-x) yaz; pratikte tek dereceli terimin işareti değişir
1/x₁, 1/x₂	Katsayıların yeri tersine çevrilir: ax² + bx + c = 0 → cx² + bx + a = 0

Yöntem 2: Vieta (Alternatif Kısa Yol)

Yeni T ve Ç’yi, asıl T ve Ç cinsinden yaz:

Yeni kökler x₁ + k ve x₂ + k için: T_yeni = T + 2k, Ç_yeni = Ç + k · T + k².
Yeni kökler k · x₁ ve k · x₂ için: T_yeni = k · T, Ç_yeni = k² · Ç.
Yeni kökler 1/x₁ ve 1/x₂ için: T_yeni = T/Ç, Ç_yeni = 1/Ç.

Örnek 1 (Kayma)

Soru: x² - 5x + 6 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂’dir. Kökleri x₁ + 2 ve x₂ + 2 olan denklem nedir?

x yerine (x - 2) yazılır:

(x - 2)² - 5(x - 2) + 6 = 0.
Aç: (x² - 4x + 4) - (5x - 10) + 6 = 0 → x² - 9x + 20 = 0.
Doğrulama: Asıl denklemin kökleri (x - 2)(x - 3) = 0 → 2 ve 3. Yeni kökler 4 ve 5. Onların denklemi (x - 4)(x - 5) = x² - 9x + 20. ✓

Örnek 2 (Ölçekleme)

Soru: x² - 3x + 1 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂’dir. Kökleri 2x₁ ve 2x₂ olan denklemi yazınız.

x yerine x/2 yazılır:

(x/2)² - 3 · (x/2) + 1 = 0 → x²/4 - 3x/2 + 1 = 0.
Tümünü 4 ile çarp: x² - 6x + 4 = 0.

Vieta ile doğrulama: Asılda T = 3, Ç = 1. Yeni T = 2 · 3 = 6, yeni Ç = 4 · 1 = 4. Yeni denklem x² - 6x + 4 = 0. ✓

Örnek 3 (Terslerin Denklemi)

Soru: 2x² - 5x + 3 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂’dir. Kökleri 1/x₁ ve 1/x₂ olan denklemi yazınız.

Katsayılar yer değiştirir: a = 2, b = -5, c = 3 → yeni denklem 3x² - 5x + 2 = 0.
Doğrulama: Asılda T = 5/2, Ç = 3/2. Yeni T = T/Ç = (5/2) / (3/2) = 5/3, yeni Ç = 1/Ç = 2/3. Monik denklem x² - (5/3)x + 2/3 = 0. Tümünü 3 ile çarpınca 3x² - 5x + 2 = 0. ✓

Örnek 4 (İşaret Değişikliği)

Soru: x² - 4x + 3 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂’dir. Kökleri -x₁ ve -x₂ olan denklemi yazınız.

x yerine (-x) yazılır; pratikte tek dereceli terimin işareti değişir:

(-x)² - 4(-x) + 3 = 0 → x² + 4x + 3 = 0.
Doğrulama: Asıl kökler 1 ve 3; yeni kökler -1 ve -3. Onların denklemi (x + 1)(x + 3) = x² + 4x + 3 ✓.

Örnek 5 (Birleşik Dönüşüm: Kayma + Ölçek)

Soru: x² - 2x - 3 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂’dir. Kökleri (2x₁ + 1) ve (2x₂ + 1) olan denklemi yazınız.

Yeni kök y = 2x + 1 → x = (y - 1)/2. Asıl denkleme yazılır:

((y - 1)/2)² - 2 · (y - 1)/2 - 3 = 0.
(y - 1)²/4 - (y - 1) - 3 = 0. Tümünü 4 ile çarp: (y - 1)² - 4(y - 1) - 12 = 0.
Aç: y² - 2y + 1 - 4y + 4 - 12 = y² - 6y - 7 = 0.
y’yi x’e çevir: x² - 6x - 7 = 0.
Doğrulama: Asıl kökler x₁ = 3, x₂ = -1. Yeni kökler 2·3+1 = 7 ve 2·(-1)+1 = -1. (x - 7)(x + 1) = x² - 6x - 7 ✓.

7. Köklerin İşareti ve Kök Koşulları

Koşul Tablosu

Kök Durumu	Δ	T = -b/a	Ç = c/a
İki farklı pozitif	Δ > 0	T > 0	Ç > 0
İki farklı negatif	Δ > 0	T < 0	Ç > 0
Zıt işaretli (biri +, biri -)	Δ > 0 (otomatik sağlanır)	Koşul yok (işareti mutlak değerlerine göre)	Ç < 0
Köklerden biri 0	—	—	Ç = 0 (yani c = 0)
Reel kök yok	Δ < 0	—	—
Çift katlı (eşit) kök	Δ = 0	—	—
Simetrik (x₁ = -x₂)	Δ > 0	T = 0 (yani b = 0)	Ç < 0

Neden Bu Üç İşaret?

Toplam (T) işareti: Aynı işaretli köklerde toplamın işareti, köklerin ortak işaretini verir. İki pozitif → T > 0, iki negatif → T < 0.

Örnek 1 (Zıt İşaretli Kökler)

Soru: (m + 1)x² - 3x + (m - 5) = 0 denkleminin kökleri zıt işaretli ise m hangi aralıktadır?

Baş katsayı şartı: m + 1 ≠ 0 → m ≠ -1.
Ç < 0: c/a = (m - 5) / (m + 1) < 0.
Rasyonel eşitsizlik: pay ve payda farklı işaretli olacak → -1 < m < 5.
Cevap: m ∈ (-1, 5).

Örnek 2 (Köklerden Biri Sıfır)

Soru: x² - 4x + (k - 6) = 0 denkleminin köklerinden biri 0 ise diğer kök kaçtır?

Bir kök 0 ise Ç = 0 → k - 6 = 0 → k = 6.
Denklem x² - 4x = 0 → x(x - 4) = 0 → kökler 0 ve 4.
Diğer kök: 4.

Örnek 3 (İki Negatif Kök)

Soru: x² + 5x + (m - 2) = 0 denkleminin her iki kökü de negatif ise m hangi aralıktadır?

T = -5 < 0 ✓ (sabit, zaten sağlanır).
Ç = m - 2 > 0 → m > 2.
Δ ≥ 0: 25 - 4(m - 2) ≥ 0 → 33 - 4m ≥ 0 → m ≤ 33/4.
Kesişim: 2 < m ≤ 33/4.
Cevap: m ∈ (2, 33/4].

Örnek 4 (Simetrik Kökler)

Soru: x² + (m - 3)x + 4 = 0 denkleminin kökleri simetrik (x₁ = -x₂) ise m değeri kaçtır? Kökleri de bulunuz.

Simetrik kök için T = 0 → -(m - 3) = 0 → m = 3.
m = 3 için denklem: x² + 4 = 0 → Δ = -16 < 0.
Reel simetrik kök yoktur; soruda "reel kök" şartı olsaydı bu denklem uygun olmazdı.
Uyarı: Simetrik kökler için Ç < 0 da şarttır. Burada Ç = 4 > 0 olduğu için reel simetrik köke ulaşılamaz. Parametreli sorularda iki şartı (T = 0 ve Ç < 0) birlikte kontrol et.

Örnek 5 (Tek Negatif Kök)

Soru: x² - (m + 2)x + (3m - 3) = 0 denkleminin bir kökü pozitif, diğeri negatif ise m hangi aralıktadır?

Zıt işaretli kök için Ç < 0: 3m - 3 < 0 → m < 1.
Δ şartı otomatik sağlanır (Ç < 0 iken Δ > 0 olur).
Cevap: m ∈ (-∞, 1).

8. Ortak Kök, Çift Katlı Kök ve Özel Durumlar

Bu bölümde AYT’de sık sorulan üç özel durumu ele alacağız: iki denklemin ortak kökü, çift katlı kök (Δ = 0) ve köklerin bir k sayısına göre konumu.

Ortak Kök Bulma (Eliminasyon)

Örnek: x² - 5x + 6 = 0 ve x² - 4x + 3 = 0 denklemlerinin ortak kökünü bulalım.

Birinciden ikinciyi çıkar: -x + 3 = 0 → x = 3.
Birinci denklem için: 9 - 15 + 6 = 0 ✓
İkinci denklem için: 9 - 12 + 3 = 0 ✓
Ortak kök: 3.

Eliminasyonla bulunan değer her zaman adaydır; iki denklemin de sağlandığını doğrulamak şarttır. Aşağıdaki örnekte ortak kök yoktur:

Çift Katlı Kök (Δ = 0)

Bir denklemin tek kökü olması, köklerin eşit olması anlamına gelir: x₁ = x₂ = -b/(2a).

Örnek: (m - 2)x² - 6x + 3 = 0 denkleminin çift katlı kökü varsa m ve kök değerini bulunuz.

a ≠ 0 → m ≠ 2.
Δ = (-6)² - 4(m - 2) · 3 = 36 - 12m + 24 = 60 - 12m.
Δ = 0 → 60 - 12m = 0 → m = 5.
m = 5 için denklem: 3x² - 6x + 3 = 0 → x² - 2x + 1 = 0 → (x - 1)² = 0 → çift katlı kök: x = 1.

Kökün Bir Sayıya Göre Konumu

f(x) = ax² + bx + c ve k reel bir sayı olsun. Köklerin x₁ ve x₂ olduğunu varsayıp k sayısının konumuna bakılır:

Durum	Kontrol
k iki kökün arasında	a · f(k) < 0
k iki kökün dışında (ikisinden de büyük veya küçük)	a · f(k) > 0
k bir kök	f(k) = 0

Örnek: f(x) = x² - 5x + 4 için 3 sayısı köklerin arasında mıdır?

f(3) = 9 - 15 + 4 = -2.
a = 1 > 0; a · f(3) = -2 < 0 → 3 sayısı iki kökün arasındadır. ✓
Doğrulama: Kökler 1 ve 4; 3 bu iki değerin arasında. ✓

Parametreli Ortak Kök Sorusu

Örnek: x² + ax + 6 = 0 ve x² + x + b = 0 denklemlerinin ortak kökü 2 olduğuna göre a + b değeri kaçtır?

x = 2 her iki denklemi de sağlar.
Birinci denklem: 4 + 2a + 6 = 0 → 2a = -10 → a = -5.
İkinci denklem: 4 + 2 + b = 0 → b = -6.
a + b = -5 + (-6) = -11.

Karmaşık Sayılarda Kökler

Δ < 0 olduğunda reel kök yoktur, ancak karmaşık sayılar kümesinde iki eşlenik karmaşık kök vardır:

x_1,2 = (-b ± i√|Δ|) / (2a)

Örnek: x² - 4x + 13 = 0 denkleminin karmaşık köklerini bulalım.

Δ = 16 - 52 = -36.
x = (4 ± i · 6) / 2 = 2 ± 3i.
Kökler: 2 + 3i ve 2 - 3i.

TestBuraya kadar öğrendiklerini şimdi test et

9. İkinci Dereceye İndirgenebilen Denklemler ve Sistemler

Bikuadratik Denklem

ax⁴ + bx² + c = 0 biçimindeki denklemler, t = x² dönüşümü ile at² + bt + c = 0 biçimine gelir. Bulunan her t değeri için x = ±√t alınır.

Örnek: x⁴ - 5x² + 4 = 0 denklemini çözünüz.

t = x² dönüşümü: t² - 5t + 4 = 0.
Çarpanlara ayır: (t - 1)(t - 4) = 0 → t = 1 veya t = 4.
t = 1 ise x = ±1; t = 4 ise x = ±2.
Çözüm kümesi: {-2, -1, 1, 2}.

İkinci Dereceden Denklem Sistemi (Bir Lineer + Bir İkinci Derece)

Örnek: Aşağıdaki sistemi çözünüz:

y = x + 1 | y = x² - 3x + 4

Eşitliklerden: x + 1 = x² - 3x + 4.
Düzenle: x² - 4x + 3 = 0.
Çarpanlara ayır: (x - 1)(x - 3) = 0 → x = 1 veya x = 3.
y değerleri: x = 1 → y = 2; x = 3 → y = 4.
Çözüm kümesi: {(1, 2), (3, 4)}.

Simetrik Sistem (Kök-Katsayı ile Çözüm)

İki bilinmeyenin toplamı T = x + y ve çarpımı Ç = x · y verildiğinde, x ve y bir ikinci derece denklemin kökleri gibi davranır: t² - T · t + Ç = 0.

Örnek: x + y = 7 ve x · y = 12 olduğuna göre x ve y değerlerini bulunuz.

x ve y, t² - 7t + 12 = 0 denkleminin kökleridir.
Çarpanlara ayır: (t - 3)(t - 4) = 0 → t = 3 veya t = 4.
Dolayısıyla (x, y) çifti {(3, 4), (4, 3)} olabilir.

Kök İçeren Denklem

√x = t dönüşümü (t ≥ 0) ile bazı denklemler ikinci dereceye iner. Çözüm sonunda t ≥ 0 şartının sağlanıp sağlanmadığını kontrol etmek gerekir.

Örnek: x + √x - 6 = 0 denkleminin çözüm kümesini bulunuz.

t = √x, t ≥ 0. Bu durumda x = t².
Denklem: t² + t - 6 = 0.
Çarpanlara ayır: (t + 3)(t - 2) = 0 → t = -3 veya t = 2.
t ≥ 0 şartından t = -3 elenir; t = 2 kalır.
x = t² = 4. Çözüm kümesi: {4}.

10. AYT Tipi Zincirli Örnekler

Örnek 1 (Çarpanlara Ayırma + Vieta Doğrulama)

Soru: x² - 7x + 12 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olmak üzere x₁² + x₂² kaçtır?

Çarpanlara ayır: (x - 3)(x - 4) = 0 → kökler 3 ve 4.
Vieta’dan: T = 7, Ç = 12.
x₁² + x₂² = T² - 2Ç = 49 - 24 = 25.
Doğrulama: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 ✓
Cevap: 25.

Örnek 2 (Diskriminant + Reel Kök Aralığı)

Soru: x² - (m - 1)x + (m + 2) = 0 denkleminin birbirinden farklı iki reel kökü olması için m hangi aralıkta olmalıdır?

Farklı iki reel kök şartı: Δ > 0.
Δ = (m - 1)² - 4(m + 2) = m² - 2m + 1 - 4m - 8 = m² - 6m - 7.
m² - 6m - 7 > 0 → (m - 7)(m + 1) > 0.
İşaret tablosu: m < -1 veya m > 7.
Cevap: m ∈ (-∞, -1) ∪ (7, +∞).

Örnek 3 (Vieta + Kök Kuvvetleri)

Soru: x² - 5x + 3 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olmak üzere x₁² + x₂² değerini bulunuz.

Vieta: T = 5, Ç = 3.
x₁² + x₂² = T² - 2Ç = 25 - 6 = 19.
Cevap: 19.

Örnek 4 (Kök Dönüşümü ile Yeni Denklem)

Soru: x² - 6x + 5 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂’dir. Kökleri (x₁ + 2) ve (x₂ + 2) olan ikinci derece denklemi yazınız.

Yeni kökler asıl köklerin 2 fazlası → asıl denklemde x yerine (x - 2) yaz.
(x - 2)² - 6(x - 2) + 5 = 0.
Aç: (x² - 4x + 4) - (6x - 12) + 5 = x² - 10x + 21 = 0.
Doğrulama: Asılda (x - 1)(x - 5) = 0 → kökler 1 ve 5; yeni kökler 3 ve 7; onların denklemi (x - 3)(x - 7) = x² - 10x + 21. ✓
Cevap: x² - 10x + 21 = 0.

Örnek 5 (İki Pozitif Kök Koşulu)

Soru: x² - (m + 1)x + (m - 3) = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olmak üzere her ikisi de pozitif ise m’nin alacağı değerler aralığı nedir?

Δ ≥ 0 kontrolü: (m + 1)² - 4(m - 3) = m² + 2m + 1 - 4m + 12 = m² - 2m + 13. Bu ifadenin diskriminantı 4 - 52 = -48 < 0 ve baş katsayı 1 > 0 olduğundan her m için değeri pozitiftir. Δ şartı tüm m’ler için sağlanır.
T > 0: m + 1 > 0 → m > -1.
Ç > 0: m - 3 > 0 → m > 3.
Üç koşulun kesişimi: m > 3.
Cevap: m ∈ (3, +∞).

Örnek 6 (Kök Toplam-Çarpım Karması)

Soru: x² - 8x + 15 = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂’dir. (x₁ + 3)(x₂ + 3) ifadesinin değeri kaçtır?

İfadeyi aç: x₁ x₂ + 3(x₁ + x₂) + 9 = Ç + 3T + 9.
Vieta: T = 8, Ç = 15.
Sonuç: 15 + 24 + 9 = 48.
Doğrulama: Asıl kökler 3 ve 5. (3 + 3)(5 + 3) = 6 · 8 = 48 ✓.
Cevap: 48.

Örnek 7 (Kök Sistemi)

Soru: x + y = 10 ve x · y = 21 olduğuna göre x² + y² kaçtır?

x ve y, t² - 10t + 21 = 0 denkleminin kökleri gibi davranır.
x² + y² = (x + y)² - 2xy = T² - 2Ç = 100 - 42 = 58.
Cevap: 58.

11. ✓ Özet ve Sınav Stratejisi

Bu bölümde konunun tamamını kısa bir başvuru kartına dönüştürüyoruz. AYT öncesi son tekrarda yalnızca bu özeti okumak yeterlidir.

✓ Özet: 2. Dereceden Denklemin Yapısı

Genel form: ax² + bx + c = 0, a ≠ 0.
Eksik formlar: b = 0 için ax² + c = 0 (x = ±√(-c/a)); c = 0 için ax² + bx = 0 (x = 0 ve -b/a).

✓ Özet: Çözüm Yöntemleri

Önce çarpanlara ayırmayı dene (toplam-çarpım arayışı veya çapraz çarpma).
Olmazsa diskriminant formülü: Δ = b² - 4ac, x = (-b ± √Δ) / (2a).
Δ > 0: iki farklı reel kök; Δ = 0: çift katlı tek kök; Δ < 0: reel kök yok.
a + b + c = 0 ise 1 köktür, diğer kök c/a; a - b + c = 0 ise -1 köktür, diğer kök -c/a.

✓ Özet: Vieta Bağıntıları

T = x₁ + x₂ = -b/a; Ç = x₁ · x₂ = c/a.
x₁² + x₂² = T² - 2Ç.
x₁³ + x₂³ = T³ - 3Ç · T.
1/x₁ + 1/x₂ = T/Ç.
|x₁ - x₂| = √Δ / |a|.

✓ Özet: Verilen Köklerden Denklem

Monik form: x² - Tx + Ç = 0.
Reel katsayılı denklemde karmaşık kök a + bi verilmişse diğeri a - bi’dir; T = 2a, Ç = a² + b².

✓ Özet: Kök Dönüşümleri

Yeni kökler x₁ + k, x₂ + k → asıl denklemde x yerine (x - k).
Yeni kökler k · x₁, k · x₂ → asıl denklemde x yerine (x / k).
Yeni kökler 1/x₁, 1/x₂ → katsayıların yeri tersine: ax² + bx + c → cx² + bx + a.

✓ Özet: Kök Koşulları

İki pozitif kök: Δ ≥ 0, T > 0, Ç > 0.
İki negatif kök: Δ ≥ 0, T < 0, Ç > 0.
Zıt işaretli kök: Ç < 0 (Δ > 0 otomatik).
Köklerden biri sıfır: c = 0.
Simetrik kök (x₁ = -x₂): b = 0 ve Ç < 0.
Çift katlı kök: Δ = 0, kök -b/(2a).
Reel kök yok: Δ < 0.

Sık Yapılan Hatalar

Baş katsayı ihmali: Vieta’da T = -b/a ve Ç = c/a’dır; a’yı bölmek unutulursa tüm hesaplar yanlış çıkar. Özellikle a ≠ 1 olan denklemlerde dikkat et.
Δ işareti karışıklığı: Δ = b² - 4ac’de eksi işaretli c değerleri varsa (örn. c = -3), 4ac değeri negatif olacağından Δ artar; -4 · 1 · (-3) = +12 gibi işaret hesabı yap.
Simetrik kök ile eşit kök karışması: Simetrik kök (x₁ = -x₂) için b = 0; eşit kök (x₁ = x₂) için Δ = 0. Bu ikisi farklı koşullardır.
Kayma yönü: "Kökler asıl köklerin 3 fazlası" → x yerine (x - 3) yaz (ters işaret). Aynı yönde işaret yazmak en sık hatadır.
Δ < 0 yanlış yorumu: Reel kök yok demek "çözüm kümesi boştur" demek değil; karmaşık sayılarda iki eşlenik kök vardır. Soruda reel küme isteniyorsa Ç = ∅ yaz, isteniyorsa karmaşık köklere geç.
Kök sayısı hatalı sayımı: Δ = 0 olduğunda tek kök vardır; kök sayısı iki sayılmaz. "Denklemin iki katlı tek kökü" ifadesi tek bir reel değeri temsil eder.

Sınav Stratejisi

İlk kontrol: Parametreli bir denklemde x²’nin katsayısı sıfır olmamalı (a ≠ 0).
Kök aramadan çöz: "x₁² + x₂²", "|x₁ - x₂|" gibi ifadelerde doğrudan T ve Ç cinsine geç.
Kayma dönüşümleri: "Kökler asıl köklerin 2 fazlası" → x yerine (x - 2) yaz.
İşaret koşulu: Ç işareti kök işaretlerinin aynı mı zıt mı olduğunu, T işareti ise aynıysa hangi yönde olduğunu söyler.
Katsayılar toplamı kısayolu: a + b + c = 0 ise 1 köktür; a - b + c = 0 ise -1 köktür.
Çift katlı kök: Δ = 0 şartından m bulunur, kök -b/(2a)’dır.

Bu Makaleden

Anahtar Bilgiler

Bir denklemin ikinci dereceden bir bilinmeyenli denklem olabilmesi için ax² + bx + c = 0 biçiminde yazılabilmesi ve a ≠ 0 olması gerekir. a = 0 durumunda denklem birinci dereceye iner; bu nedenle parametreli sorularda ilk kontrol a katsayısının sıfır olmama şartıdır.
Eksik ikinci derece denklemler iki alt forma ayrılır: b = 0 durumunda ax² + c = 0 (kökler ±√(-c/a)), c = 0 durumunda ax² + bx = 0 (kökler 0 ve -b/a). Eksik denklemler diskriminant yerine doğrudan çözülür.
Çözüm yöntemleri sırası: önce çarpanlara ayırma denenir, olmazsa tam kareye tamamlama ya da diskriminant formülü x = (-b ± √Δ) / (2a) uygulanır. Bu sıralama, sınavda hız kazandırır.
Diskriminant Δ = b² - 4ac’dir. Δ > 0 ise iki farklı reel kök, Δ = 0 ise çift katlı (aynı) tek reel kök, Δ < 0 ise reel kök bulunmaz (karmaşık kök çifti). Kök sayısı ve tipi bu tek değerle belirlenir.
Kök-Katsayı İlişkileri (Vieta): ax² + bx + c = 0 denkleminin kökleri x₁ ve x₂ olmak üzere x₁ + x₂ = -b/a ve x₁ · x₂ = c/a’dır. Bu iki bağıntı, kökleri bulmadan kökler üzerindeki her soruyu çözmenin anahtarıdır.
Sık kullanılan türev formüller: x₁² + x₂² = T² - 2Ç, x₁³ + x₂³ = T³ - 3Ç·T, 1/x₁ + 1/x₂ = T/Ç, 1/x₁² + 1/x₂² = (T² - 2Ç)/Ç², |x₁ - x₂| = √Δ / |a|. Burada T = x₁ + x₂ (toplam), Ç = x₁ · x₂ (çarpım).
Kökleri x₁ ve x₂ olan ikinci derece denklem x² - (x₁ + x₂)x + x₁ · x₂ = 0 biçiminde yazılır; yani x² - Tx + Ç = 0. Bu, kökler verildiğinde denklem kurmanın standart formülüdür.
Kök dönüşümü kuralları: yeni kökler x₁ + k, x₂ + k ise asıl denklemde x yerine (x - k) yazılır; yeni kökler k·x₁, k·x₂ ise x yerine x/k yazılır; yeni kökler 1/x₁, 1/x₂ ise asıl denklemin katsayılarının yerleri ters çevrilerek cx² + bx + a = 0 yazılır.
Kök işaret koşulları: iki pozitif kök için Δ ≥ 0, T > 0, Ç > 0; iki negatif kök için Δ ≥ 0, T < 0, Ç > 0; zıt işaretli kökler için Ç < 0 (Δ > 0 otomatik sağlanır); köklerden biri 0 için c = 0 ve diğer kök -b/a’dır.
Katsayılar arası özel ilişkiler: a + b + c = 0 ise x = 1 bir köktür ve diğer kök c/a’dır; a - b + c = 0 ise x = -1 bir köktür ve diğer kök -c/a’dır. Bu iki kısa yol, sınavda kök aramayı dakikalarca kısaltır.
Δ = 0 durumunda (çift katlı kök) denklem tam kare açılıma sahiptir: a(x + b/(2a))² = 0 ve tek kök x = -b/(2a)’dır. Parametreli denklemin tek kökü sorulan sorularda Δ = 0 şartı çözümün ilk adımıdır.
İki denklemin ortak kökü varsa kök her iki denklemi de sağlar; denklemler taraf tarafa çıkarılarak (elemasyon) kök aranır. Ortak kök sorularında ikinci derece denklemin doğrudan çözümünü aramak yerine eliminasyon hızlıdır.
Kökün bir k sayısına göre konumu: f(x) = ax² + bx + c için a · f(k) > 0 ise k sayısı iki kök dışında (ikisinden de büyük veya ikisinden de küçük), a · f(k) < 0 ise k sayısı iki kökün arasındadır. Bu işaret testi parametreli aralık sorularında kullanılır.
Simetrik kök soruları (x₁ + x₂ = 0 veya x₁ = -x₂): birinci derece katsayı sıfırdır (b = 0). Eşit kök soruları (x₁ = x₂): diskriminant sıfırdır (Δ = 0). Bu iki özel durum, parametreli sorularda hızlı eleme yapar.

Öğrendiklerini Pekiştir

Bu konuda kendini sına

Sıkça Sorulanlar

Bu konuda merak edilenler

2. Dereceden Denklemler konusu AYT sınavında çıkar mı?

Evet, 2. Dereceden Denklemler konusu AYT sınav müfredatında yer almaktadır. SoruCozme'de bu konuya özel test soruları ve konu anlatımı bulunmaktadır.

2. Dereceden Denklemler konusunda test çözebilir miyim?

Evet, 2. Dereceden Denklemler konusunda SoruCozme platformunda ücretsiz test soruları mevcuttur. Konu anlatımını okuduktan sonra hemen test çözerek öğrendiğinizi pekiştirebilirsiniz.

SoruCozme'de kaç soru ve kaç konu var?

SoruCozme platformunda 13.700+ soru ve 323 konu bulunmaktadır. KPSS, DGS, YDS, TYT, Ehliyet, İngilizce ve Açık Öğretim sınavlarına yönelik tüm içerikler ücretsizdir.