Diziler

Bir dizi, tanım kümesi pozitif tam sayılar (ℕ⁺ = {1, 2, 3, 4, ...}), değer kümesi reel sayılar olan özel bir fonksiyondur. Fonksiyonlardan tek farkı tanım kümesinin daraltılmış olmasıdır.

Fonksiyondan Diziye Geçiş

Fonksiyonda f(x) = x² + 4 gösteriminde x herhangi bir reel sayı olabilir: f(2) = 8, f(-1) = 5, f(1/2) = 4.25. Ama aynı kural bir dizi olarak yazıldığında x yerine n gelir:

aₙ = n² + 4

Burada n yalnızca pozitif tam sayıdır. a₁ = 5, a₂ = 8, a₃ = 13, a₁₀ = 104 gibi değerler üretilir; a(2.5) veya a(-1) sorulmaz, çünkü tanım kümesinde değildirler.

Notasyon Sözlüğü

• aₙ: Dizinin n. terimi (n'e bağlı değer).
• Genel terim: aₙ'in n cinsinden formülü. Örn. aₙ = 2n + 1 formülü dizinin kuralıdır.
• İndis: aₙ'de altında duran n sayısına denir. a₇'nin indisi 7'dir.
• Terimler: a₁ (birinci terim), a₂ (ikinci terim), a₃ (üçüncü terim), ...
• Dizi gösterimi: {aₙ} veya sadece (aₙ) biçiminde yazılır. Sınavda yaygın biçim (aₙ) = (n² + 1)'dir.

Örnek 1 — Terim Hesabı

aₙ = 3n - 2 dizisinin ilk beş terimini ve a₂₀'yi bulalım.

• a₁ = 3·1 - 2 = 1
• a₂ = 3·2 - 2 = 4
• a₃ = 3·3 - 2 = 7
• a₄ = 3·4 - 2 = 10
• a₅ = 3·5 - 2 = 13
• a₂₀ = 3·20 - 2 = 58

Terimler 1, 4, 7, 10, 13, ... biçiminde üçer üçer artarak gidiyor. Bu özellikten birazdan aritmetik dizi olarak bahsedeceğiz.

Bir İfade Dizi mi Değil mi?

Bir ifadenin dizi sayılması için tanım kümesindeki tüm değerler (1, 2, 3, ...) için tanımlı olması gerekir. Tanımsızlık yapan değer pozitif tam sayıya eşitse bu ifade dizi değildir.

• aₙ = n/(n - 3): n = 3 için payda sıfır; 3 pozitif tam sayı olduğundan dizi değildir.
• aₙ = n/(2n - 5): 2n - 5 = 0 için n = 5/2; tam sayı olmadığından hiçbir n değeri tanımsızlık yapmaz. Dizidir.
• aₙ = √(n - 4): n = 1, 2, 3 için kök içi negatif; dizi değildir.
• aₙ = log(n - 3): n = 1, 2, 3 için log içi ≤ 0; dizi değildir.

Bazı dizi türleri sınavda doğrudan kalıp oluşturur; tanıdığınızda hemen çözüme geçersiniz.

Sabit Dizi

Bütün terimleri aynı sayıya eşit olan dizidir: aₙ = c (c reel sayı). Sabit dizi hem aritmetiktir (ortak fark 0) hem geometriktir (ortak çarpan 1). Birazdan göreceğimiz gibi bu çift özellik ancak sabit dizilere özgüdür.

Parçalı (Tanımlı) Dizi

Farklı n aralıklarında farklı formüller kullanan dizilerdir. Örnek:

aₙ = { n² + 1, n tek ise; 2n - 3, n çift ise }

• a₁ = 1² + 1 = 2 (n = 1 tek)
• a₂ = 2·2 - 3 = 1 (n = 2 çift)
• a₃ = 3² + 1 = 10 (n = 3 tek)
• a₄ = 2·4 - 3 = 5 (n = 4 çift)

Üçgensel Sayı Dizisi

1, 3, 6, 10, 15, ... biçiminde ilerler; genel terimi aₙ = n(n+1)/2'dir. Her terim, 1'den n'e kadar sayıların toplamına eşittir. Geometride üçgen biçiminde dizilmiş nokta sayılarıyla görsellenir: 1, 1+2, 1+2+3, ...

Kare Sayı Dizisi

1, 4, 9, 16, 25, ... biçimindedir; genel terimi aₙ = n²'dir. Her terim, kenarı n birim olan bir karedeki nokta sayısına karşılık gelir.

Fibonacci Dizisi

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... biçimindedir. Kuralı: aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ, a₁ = 1, a₂ = 1. Her terim, kendinden önceki iki terimin toplamıdır. Rekürsif dizilerin klasik örneğidir; biyolojide (tavşan popülasyonu), sanat ve mimaride (altın oran) karşınıza çıkar.

Örnek 2 — Fibonacci Ardışık Üç Terim

Fibonacci dizisinde ardışık üç terim 3x - 1, 4x + 2, 8x - 6 ise dizinin 10. terimi hangisidir?

Fibonacci kuralı gereği ortadaki terim, kendinden önceki iki terimin toplamına eşittir. Ardışık üç terim 5, 8, 13 biçiminde verildiğinde bu Fibonacci dizisinin parçasıdır; dizinin başından itibaren 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 biçiminde ilerlediğini yazarız. 5, 8, 13 terimleri dizinin 5, 6 ve 7. sırasına denk gelir; 10. terim ise 55'tir.

Eşit Diziler

(aₙ) ve (bₙ) iki dizinin tüm ardışık terimleri birbirine eşitse bu dizilere eşit diziler denir: a₁ = b₁, a₂ = b₂, ..., aₙ = bₙ, ... için. Genel terimler birebir aynı olmak zorunda değildir; sadece ürettikleri değerler eşleşmelidir. Örneğin (aₙ) = (n + 3) / (2n - 7) ile (bₙ) = (5n + 15) / (10n - 35) eşit dizilerdir (pay-payda 5'le genişletilmiş).

Uzun toplamları kısa yazmanın notasyonu sigma (Σ)'dır. AYT'de toplamlı dizi sorularının anahtarıdır.

Tanım

Σ_{k=1}^{n} aₖ ifadesi "k'ya sırayla 1, 2, 3, ..., n değerlerini verip aₖ'leri topla" demektir. Alt sınır başlangıç indisini, üst sınır bitiş indisini verir; değişken harfi k, j, i ne olursa olsun işlevi aynıdır.

Örnek 3 — Sigma Açılımı

Σ_{n=1}^{4} (2n + 3) toplamını bulalım.

• n = 1: 2·1 + 3 = 5
• n = 2: 2·2 + 3 = 7
• n = 3: 2·3 + 3 = 9
• n = 4: 2·4 + 3 = 11

Toplam = 5 + 7 + 9 + 11 = 32.

Sigma Kuralları

• Sabit toplamı: Σ_{k=1}^{n} c = n·c. İçeride k yoksa ve sadece sabit c varsa, terim sayısı kadar c toplanır.
• Toplamın doğrusallığı: Σ (aₖ + bₖ) = Σ aₖ + Σ bₖ ve Σ (aₖ - bₖ) = Σ aₖ - Σ bₖ.
• Sabit çarpan dışarı: Σ (c · aₖ) = c · Σ aₖ. Sabit katsayı sigma dışına alınabilir.
• Terim sayısı: Σ_{k=m}^{n}'deki terim sayısı (n - m + 1)'dir. Örn. k = 3'ten 7'ye kadar 5 terim vardır.

Sık Kullanılan Toplam Formülleri

Aşağıdaki formüller ezberlenmeli, dizi sorularında doğrudan uygulanır:

Toplam	Formül	Örnek (n=5)
1 + 2 + ... + n	n(n+1)/2	5·6/2 = 15
1² + 2² + ... + n²	n(n+1)(2n+1)/6	5·6·11/6 = 55
1³ + 2³ + ... + n³	[n(n+1)/2]²	15² = 225
Tek sayılar: 1 + 3 + ... + (2n-1)	n²	5² = 25
Çift sayılar: 2 + 4 + ... + 2n	n(n+1)	5·6 = 30

Örnek 4 — Genel Terim Toplam Biçiminde Verilmiş

Bir (aₙ) dizisinin genel terimi 1'den (2n-1)'e kadar olan sayıların toplamı olarak tanımlanıyor. a₄ + a₅'i bulalım.

1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) toplamı n tane ilk tek sayının toplamıdır: n². Yani aₙ = n².

a₄ = 16, a₅ = 25 ⟹ a₄ + a₅ = 41.

Ardışık iki teriminin farkı sabit olan dizilere aritmetik dizi denir. Bu sabit farka ortak fark denir ve d (bazı kaynaklarda r) harfiyle gösterilir.

Ortak Fark ve İlk Gözlem

Bir (aₙ) dizisi için aₙ₊₁ - aₙ = d her n pozitif tam sayısında sabit kalıyorsa dizi aritmetiktir. Örneğin 3, 10, 17, 24, 31, ... dizisinde her terim bir öncekinden 7 fazladır; dizi aritmetik, d = 7'dir. 51, 48, 45, 42, ... dizisinde ortak fark d = -3'tür; terimler azalır.

• d > 0 ise dizi artan,
• d < 0 ise dizi azalan,
• d = 0 ise dizi sabit'tir.

Genel Terim Formülü

a₁'den başlayıp her adımda d kadar büyüyen bir dizide:

• a₁ = a₁
• a₂ = a₁ + d
• a₃ = a₁ + 2d
• a₄ = a₁ + 3d
• ...
• aₙ = a₁ + (n-1)·d

Aradaki k. terim üzerinden yazılımı: aₙ = aₖ + (n - k)·d. Her iki formül de aynı sonucu verir; hangisi elinizdeki bilgiye uyuyorsa onu kullanın. İki terim arasında ilişki kurarken büyük indisli olan daima sol tarafa yazılır.

Örnek 5 — a₁ ve d Bilinen Dizi

İlk terimi 3, ortak farkı 2 olan aritmetik dizinin 20. terimi nedir?

aₙ = a₁ + (n-1)·d ⟹ a₂₀ = 3 + 19·2 = 3 + 38 = 41.

Doğrulama: Dizi 3, 5, 7, 9, 11, ... biçiminde ilerler. 20. terim = 3 + 19·2 = 41. ✓

Örnek 6 — Verilen İki Terimle Ortak Farkı Bulma

Bir aritmetik dizide a₁₂ = 10, a₁₉ = 38 ise d kaçtır? A₅ kaçtır?

İki terim arasındaki ilişkiyi yazıyoruz: a₁₉ = a₁₂ + (19 - 12)·d ⟹ 38 = 10 + 7d ⟹ 28 = 7d ⟹ d = 4.

A₅'i A₁₂'den hesaplayalım: a₁₂ = a₅ + (12 - 5)·d ⟹ 10 = a₅ + 7·4 ⟹ 10 = a₅ + 28 ⟹ a₅ = -18.

Aritmetik Dizinin Simetri Özelliği

Aritmetik dizide indisleri toplamı eşit olan ikili terimlerin toplamları eşittir:

i + j = k + l ⟹ aᵢ + aⱼ = aₖ + aₗ

Üstelik bu toplam, ortalarındaki terimin iki katıdır: aᵢ + aⱼ = 2·a_{(i+j)/2} (i + j çift ise). Ardışık üç terimde (örn. aₖ₋₁, aₖ, aₖ₊₁) bu özellik:

2·aₖ = aₖ₋₁ + aₖ₊₁

biçiminde karşımıza çıkar. Yani ortadaki terim, komşularının aritmetik ortalamasıdır. Bu özellik AYT'deki "üç ardışık terim verildi, bilinmeyeni bul" sorularının standart yoludur.

Örnek 7 — Ardışık Üç Terim

Bir aritmetik dizinin ilk üç terimi 2x - y, 6y - 1, 12y - 2x olduğuna göre y kaçtır?

Ortadakinin iki katı kenardakilerin toplamına eşit: 2·(6y - 1) = (2x - y) + (12y - 2x) ⟹ 12y - 2 = 11y ⟹ y = 2.

Aritmetik Dizi Genel Terimi Tanıma

aₙ = a·n + b biçiminde yazılabilen (yani n'in birinci dereceden katsayılı olduğu) tüm diziler aritmetiktir. Ortak fark, n'in katsayısı a'ya eşittir. Örneğin aₙ = 4n + 2 aritmetiktir (d = 4), aₙ = -3n + 8 aritmetiktir (d = -3). Buna karşın aₙ = n² aritmetik değildir (1, 4, 9, 16, ... farklar 3, 5, 7, ...). aₙ = 3ⁿ de aritmetik değildir (3, 9, 27, 81, ...).

Bir aritmetik dizinin ilk n teriminin toplamı, ardışık sayıların toplamının genel formülünden gelir: terim sayısı çarpı ilk-son terim ortalaması.

Toplam Formülü

Sₙ = n · (a₁ + aₙ) / 2

Alternatif yazılış (aₙ = a₁ + (n-1)·d yerine konunca):

Sₙ = n · (2a₁ + (n-1)·d) / 2

İki yazılım aynıdır; hangisi bilgilerinize uyuyorsa onu kullanın. a₁ ve d biliniyorsa ikinci, a₁ ve aₙ biliniyorsa birinci yazılım daha hızlıdır.

Formülün Mantığı

Aritmetik dizide a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = a₃ + aₙ₋₂ = ... (simetri özelliği). Yani ilk-son terim toplamı her eşleşmede tekrar eder. n terim, n/2 çift oluşturur; her çift (a₁ + aₙ) değerine eşit. Bu mantık ardışık sayılar konusundan tanıdıktır.

Örnek 8 — İlk 16 Terim Toplamı

a₁ = 5, d = 4 olan aritmetik dizinin ilk 16 teriminin toplamı kaçtır?

Önce a₁₆'yı bulalım: a₁₆ = 5 + 15·4 = 5 + 60 = 65.

S₁₆ = 16 · (5 + 65) / 2 = 16 · 70 / 2 = 16 · 35 = 560.

Doğrulama (ikinci formül): S₁₆ = 16 · (2·5 + 15·4) / 2 = 16 · (10 + 60) / 2 = 16 · 35 = 560. ✓

Örnek 9 — Aritmetik Simetri + Toplam

Bir aritmetik dizide a₇ = 10, a₁₁ = 18 ise ilk 20 terimin toplamı kaçtır?

a₁₁ = a₇ + 4d ⟹ 18 = 10 + 4d ⟹ d = 2. a₇ = a₁ + 6d ⟹ 10 = a₁ + 12 ⟹ a₁ = -2.

a₂₀ = a₁ + 19d = -2 + 19·2 = -2 + 38 = 36.

S₂₀ = 20 · (-2 + 36) / 2 = 20 · 34 / 2 = 20 · 17 = 340.

Uygulama — Borç Ödeme Taksiti

Bir banka borcu 12 ay boyunca her ay artan taksitle ödeniyor. İlk taksit 200 TL; her taksit bir öncekinden 20 TL fazla (aritmetik dizi, a₁ = 200, d = 20). Toplam borç kaç TL'dir?

a₁₂ = 200 + 11·20 = 420 TL (son taksit).

S₁₂ = 12 · (200 + 420) / 2 = 12 · 310 = 3720 TL.

Ortanca Terim ve Toplam

Terim sayısı tek ise ortanca terim tam ortadadır; toplam = terim sayısı · ortanca terim. Örn. 5, 8, 11, 14, 17 dizisinde ortanca 11, terim sayısı 5; toplam 5·11 = 55. Ortanca, ilk ve son terim ortalamasıdır: (5+17)/2 = 11.

Ardışık iki teriminin oranı sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Bu sabit orana ortak çarpan denir ve r harfiyle gösterilir.

Ortak Çarpan ve İlk Gözlem

Bir (aₙ) dizisi için aₙ₊₁ / aₙ = r her n'de sabit kalıyorsa dizi geometriktir (ve tüm terimler sıfırdan farklı olmalıdır). Örneğin 2, 6, 18, 54, 162, ... dizisinde her terim bir öncekinin 3 katıdır; r = 3. 80, 40, 20, 10, ... dizisinde r = 1/2'dir.

Genel Terim Formülü

a₁'den başlayıp her adımda r ile çarparak:

• a₁ = a₁
• a₂ = a₁ · r
• a₃ = a₁ · r²
• a₄ = a₁ · r³
• ...
• aₙ = a₁ · r^(n-1)

Aradaki k. terim üzerinden yazılımı: aₙ = aₖ · r^(n-k). Aritmetik formülünde toplam olan yer geometrikte çarpım, çıkarılan indis farkı ise üst olarak karşımıza çıkar.

Örnek 10 — Verilen İki Terimle r'yi Bulma

Bir geometrik dizide a₅ = 2, a₈ = 16 ise r kaçtır?

a₈ = a₅ · r^(8-5) ⟹ 16 = 2 · r³ ⟹ r³ = 8 ⟹ r = 2.

A₁₅ kaçtır? a₁₅ = a₈ · r^(15-8) = 16 · 2⁷ = 16 · 128 = 2⁴ · 2⁷ = 2¹¹ = 2048.

Geometrik Dizinin Simetri Özelliği

Geometrik dizide indisleri toplamı eşit olan ikili terimlerin çarpımları eşittir:

i + j = k + l ⟹ aᵢ · aⱼ = aₖ · aₗ

Özellikle i + j çift ise bu çarpım, ortalarındaki terimin karesine eşittir: aᵢ · aⱼ = (a_{(i+j)/2})². Ardışık üç terimde (pozitif terimli dizilerde):

aₖ² = aₖ₋₁ · aₖ₊₁

Yani ortadaki terim, komşularının geometrik ortalamasıdır: aₖ = √(aₖ₋₁ · aₖ₊₁). Bu, aritmetikteki 2aₖ = aₖ₋₁ + aₖ₊₁'in geometrik muadilidir.

Örnek 11 — Ardışık Üç Terim

Bir geometrik dizinin ardışık üç terimi x - 2, x + 1, x + 7 ise x kaçtır?

Ortadakinin karesi kenardakilerin çarpımına eşit: (x + 1)² = (x - 2)(x + 7).

x² + 2x + 1 = x² + 5x - 14

2x + 1 = 5x - 14 ⟹ 3x = 15 ⟹ x = 5.

Doğrulama: Terimler 3, 6, 12 olur; 6² = 36 ve 3·12 = 36. r = 2, geometrik dizi doğrulandı. ✓

Geometrik Dizi Artma/Azalma Durumu

• a₁ > 0 ve r > 1: artan geometrik dizi,
• a₁ > 0 ve 0 < r < 1: azalan geometrik dizi,
• r = 1: sabit dizi (tüm terimler a₁'e eşit),
• r < 0: terim işaretleri değişir, salınımlı dizi.

Geometrik Dizi Tanıma

aₙ = c · rⁿ ya da aₙ = c · r^(n + k) biçiminde yazılabilen diziler geometriktir. Örnek: aₙ = 24 · 2ⁿ geometriktir, r = 2. aₙ = 3 · (2/5)ⁿ geometriktir, r = 2/5. Karışık biçimler için a₂/a₁ hesaplanır; 24·2² / 24·2¹ = 2, ortak çarpan doğrulanır.

Geometrik dizinin toplamı aritmetikteki toplam kadar doğal değildir; formül ezberlenmelidir.

Formül

r ≠ 1 için:

Sₙ = a₁ · (1 - rⁿ) / (1 - r) = a₁ · (rⁿ - 1) / (r - 1)

İki yazılım birbirinin eksi ile genişletilmiş hâlidir:

• r > 1 ise (rⁿ - 1)/(r - 1) biçimi eksi sayılarla uğraştırmaz.
• 0 < r < 1 ise (1 - rⁿ)/(1 - r) biçimi daha pratiktir.
• r = 1 ise formül pay ve paydayı sıfıra götürür (0/0); bu durumda dizi sabit (aₙ = a₁) olduğundan Sₙ = n·a₁.

Formülün Mantığı

Sₙ = a₁ + a₁·r + a₁·r² + ... + a₁·r^(n-1). Her iki taraf r ile çarpılırsa: r·Sₙ = a₁·r + a₁·r² + ... + a₁·rⁿ. İki eşitlik taraf tarafa çıkarılır: Sₙ - r·Sₙ = a₁ - a₁·rⁿ. Sₙ·(1 - r) = a₁·(1 - rⁿ) ⟹ Sₙ = a₁·(1 - rⁿ)/(1 - r). Formül bu kısayoldan çıkar.

Örnek 12 — İlk 6 Terim Toplamı

a₁ = 4, r = 2 olan geometrik dizinin ilk 6 teriminin toplamı?

S₆ = 4 · (2⁶ - 1) / (2 - 1) = 4 · (64 - 1) / 1 = 4 · 63 = 252.

Doğrulama: Dizi 4, 8, 16, 32, 64, 128 biçiminde; toplam 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 252. ✓

Örnek 13 — Terim Sayısını Bulma

a₁ = 5, r = 2, Sₙ = 635 ise n = ?

635 = 5 · (2ⁿ - 1)/(2 - 1) ⟹ 635 = 5·(2ⁿ - 1) ⟹ 2ⁿ - 1 = 127 ⟹ 2ⁿ = 128 ⟹ n = 7.

İki Toplam Arasındaki Oran

Geometrik dizide S₁₆/S₈ oranı sorulduğunda pay-paydaya formülü uygulayıp a₁ ve ortak paydaları sadeleştirmek hızlı yol verir. 1 - r^16 = (1 - r⁸)(1 + r⁸) iki kare farkı açılımı kullanılır: S₁₆/S₈ = 1 + r⁸. Örneğin oran 257 ise r⁸ = 256 = 2⁸, yani r = 2.

Geometrik Dizide Çarpım (Pₙ)

İlk n terimin çarpımı Pₙ gösterimi genel olarak kullanılır. Aritmetikteki toplam mantığı burada çarpmaya dönüşür: Pₙ = a₁ⁿ · r^(0 + 1 + 2 + ... + (n-1)) = a₁ⁿ · r^(n(n-1)/2). Eşdeğer olarak Pₙ, ortanca terim veya ilk-son terim çarpımı üzerinden ifade edilebilir.

Sonsuz sayıda terimi olan bir geometrik dizide, terimler giderek küçüldüğünde (|r| < 1) toplam belirli bir değere yakınsar.

Formül

|r| < 1 olmak üzere:

S∞ = a₁ + a₁·r + a₁·r² + ... = a₁ / (1 - r)

Formül, sonlu toplam formülünden n → ∞ limiti alınarak elde edilir: 1 - rⁿ terimi |r| < 1 olduğunda rⁿ → 0'a gider, toplam a₁/(1 - r) değerine yakınsar.

Geçerlilik Koşulu

|r| ≥ 1 olduğunda sonsuz toplam bir değere yakınsamaz; toplam ıraksar (sonsuza veya salınıma gider). Örneğin r = 2 iken 1 + 2 + 4 + 8 + ... sonsuza gider; r = -1 iken 1 - 1 + 1 - 1 + ... belirli bir değere yerleşmez. Dolayısıyla S∞ formülünü kullanmadan önce |r| < 1 kontrolü şarttır.

Örnek 14 — Basit Sonsuz Toplam

6 + 2 + 2/3 + 2/9 + ... toplamını bulalım.

a₁ = 6, r = 2/6 = 1/3. |1/3| < 1 koşulu sağlanır. S∞ = 6 / (1 - 1/3) = 6 / (2/3) = 6 · 3/2 = 9.

Tekrarlayan Ondalık Kesirleri Kesire Çevirme

Sonsuz geometrik toplam, 0,333... veya 0,272727... gibi tekrarlayan ondalık kesirleri rasyonel sayıya çevirmenin en doğal yoludur.

Örnek 15 — 0,333... = ?

0,333... = 0,3 + 0,03 + 0,003 + ... = 3/10 + 3/100 + 3/1000 + ...

Bu bir geometrik toplamdır: a₁ = 3/10, r = 1/10. S∞ = (3/10) / (1 - 1/10) = (3/10) / (9/10) = 3/10 · 10/9 = 3/9 = 1/3.

Uygulama — Geometrik Küçülen Kareler

Bir kenarı a birim olan bir karenin içine, kenarları 1. karenin kenarlarının orta noktalarını birleştiren ikinci kare çizilir. İkinci karenin kenarı a/√2, alanı a²/2 olur (yani birinci karenin yarısı). İşlem sonsuz kez tekrarlanırsa, çizilen tüm karelerin alanları toplamı:

S∞ = a² / (1 - 1/2) = a² / (1/2) = 2a². Yani tüm alanların toplamı orijinal karenin iki katına yakınsar.

Bazı dizilerde genel terim doğrudan n'e bağlı bir formülle değil, önceki terimlerle ifade edilir. Bu tür dizilere rekürsif (yinelemeli) diziler denir.

Rekürsif Tanım Biçimleri

• Aritmetik: aₙ₊₁ = aₙ + k, a₁ = verilen (ortak fark k).
• Geometrik: aₙ₊₁ = aₙ · r, a₁ = verilen (ortak çarpan r).
• Fibonacci: aₙ₊₂ = aₙ₊₁ + aₙ, a₁ = a₂ = 1.
• Çoklu parçalı kural: aₙ₊₁, aₙ'in tek/çift olmasına göre farklı formülle hesaplanır.

Örnek 16 — Rekürsif Aritmetik

aₙ₊₁ = aₙ + n + 2 bağıntısı verilmiş ve a₇ = 13 ise a₁₈ kaçtır?

Tarama yöntemi: n = 7, 8, 9, ..., 17 için eşitliği yazıp taraf tarafa topluyoruz:

a₈ = a₇ + 9, a₉ = a₈ + 10, a₁₀ = a₉ + 11, ..., a₁₈ = a₁₇ + 19.

Alt alta toplandığında sol tarafta a₁₈ kalır, sağ tarafta a₇ ve 9 + 10 + 11 + ... + 19 toplamı çıkar. 9'dan 19'a kadar 11 terim, ortanca 14; toplam = 11 · 14 = 154.

a₁₈ = 13 + 154 = 167.

Örnek 17 — Parçalı Rekürsif ve Periyot

aₙ₊₁ = { 3aₙ - 1, aₙ tek ise; aₙ/2, aₙ çift ise } ve a₁ = 7 verilsin. a₁₀₀₃'ü bulalım.

Adım adım hesaplayalım:

• a₁ = 7 (tek) ⟹ a₂ = 3·7 - 1 = 20
• a₂ = 20 (çift) ⟹ a₃ = 10
• a₃ = 10 (çift) ⟹ a₄ = 5
• a₄ = 5 (tek) ⟹ a₅ = 14
• a₅ = 14 (çift) ⟹ a₆ = 7

a₆ = a₁ = 7. Demek ki periyot 5'tir; dizi her 5 adımda bir tekrar eder: 7, 20, 10, 5, 14, 7, 20, 10, 5, 14, ...

1003 ÷ 5 = 200 kalan 3. Yani a₁₀₀₃ = a₃ = 10.

Örnek 18 — Toplam Biçiminde Rekürsif

aₙ₊₁ = aₙ + n, a₁ = 0 ise genel terim nedir?

Aynı tarama: a₂ = a₁ + 1, a₃ = a₂ + 2, a₄ = a₃ + 3, ..., aₙ = aₙ₋₁ + (n-1). Taraf tarafa toplayınca aₙ = a₁ + (1 + 2 + 3 + ... + (n-1)) = 0 + (n-1)·n/2 = (n² - n)/2.

Genel terim: aₙ = (n² - n)/2.

Rekürsif Çarpım

aₙ₊₁ = k · aₙ · (f(n)) biçimindeki dizilerde taraf tarafa çarpma yapılır. Örn. aₙ₊₁ = ((n+4)/(n+1)) · aₙ, a₁ = 24 ise a₁₆'yı bulalım.

n = 1'den 15'e kadar eşitlikleri yazıp çarpalım: a₂/a₁ · a₃/a₂ · ... · a₁₆/a₁₅ = her çıkarım a_{n+1}/aₙ'i verir. Sol tarafta a₁₆/a₁ kalır. Sağ taraf: (5/2)(6/3)(7/4)...(19/16) = telescope biçiminde 5·6·7·...·19 / (2·3·4·...·16) = (19!/4!) / (16!/1!) = (16!·17·18·19)/(4·3·2·1·16!) = 17·18·19/24 = 5814/24... (bu soru kurgusunda teleskopik sadeleşme sonucunu veriyor).

Rekürsif sorularda yaklaşım aynıdır: eşitliği ardışık n'lerde yazıp toplama (additif kuralda) veya çarpma (multiplikatif kuralda) işlemi yapılır.

Üç ardışık terim arasındaki ilişki, orta terimi diğer ikisinin ortalaması olarak ifade eder. Bu kurallar iki farklı dizide farklı formüller verir.

Aritmetik Ortalama

a, b, c aritmetik dizi oluşturuyorsa b, a ve c'nin aritmetik ortalamasıdır:

b = (a + c) / 2 veya 2b = a + c

Geometri, fizik, kimya, istatistik gibi birçok alanda sıkça geçen bu ortalama, verilerin "merkezini" bulmak için kullanılır.

Geometrik Ortalama

a, b, c (a, c > 0) geometrik dizi oluşturuyorsa b, a ve c'nin geometrik ortalamasıdır:

b² = a · c veya b = √(a · c)

Büyüme oranı, faiz, nüfus gibi çarpımsal değişim problemlerinde ortalama hesaplamak için kullanılır.

İki Ortalama Arasındaki Eşitsizlik

Pozitif iki sayı için aritmetik ortalama geometrik ortalamadan daima büyük veya eşittir: (a + b)/2 ≥ √(ab). Eşitlik ancak a = b iken sağlanır. AYT'de doğrudan sorulmasa da bazı karşılaştırma sorularının arka planını oluşturur.

Örnek 19 — Balonların Yükseklikleri

Üç balonun yerden yükseklikleri x, y, z (x < y < z) geometrik dizi, toplam 28 metre. A balonu 3 m yukarı, B balonu 1 m yukarı, C balonu 5 m aşağı hareket ettiğinde yeni yükseklikler aritmetik dizi oluşturuyor. x kaçtır?

Çözüm:

Geometrik dizi: y² = x·z. Toplam: x + y + z = 28.

Yeni yükseklikler x + 3, y + 1, z - 5 aritmetik dizi: 2(y + 1) = (x + 3) + (z - 5) = x + z - 2. Yani 2y + 2 = (x + z) - 2 ⟹ x + z = 2y + 4.

x + z yerine 28 - y yazalım: 28 - y = 2y + 4 ⟹ 24 = 3y ⟹ y = 8.

Artık y = 8 ⟹ x·z = 64 ve x + z = 20. Çözüm: x ve z, t² - 20t + 64 = 0 denkleminin kökleri. Kökler (20 ± √(400 - 256))/2 = (20 ± 12)/2 = 16, 4. x < z olduğundan x = 4, z = 16.

x = 4 metre.

Doğrulama: 4, 8, 16 geometrik dizi (r = 2, 8² = 64 = 4·16). Yeni değerler 7, 9, 11 aritmetik dizi (d = 2, 2·9 = 18 = 7 + 11). ✓

Uygulama — Bileşik Faiz (Geometrik Dizi)

A lira yıllık %n bileşik faizle yatırılırsa her yılki bakiye geometrik dizi oluşturur: A, A·(1 + n/100), A·(1 + n/100)², .... Ortak çarpan r = 1 + n/100'dür. t yıl sonundaki bakiye A · (1 + n/100)ᵗ.

Uygulama — Nüfus Çoğalması

Bir bakteri kolonisi saatte iki katına çıkıyor. Başlangıçta 500 bakteri varsa 6 saat sonraki sayı? Dizi 500, 1000, 2000, 4000, 8000, 16000, 32000 biçimindedir (geometrik dizi, a₁ = 500, r = 2). a₇ = 500·2⁶ = 500·64 = 32.000 bakteri.

Uygulama — Alan/Hacim Küçülmesi

Kenarları her seferinde 2/3 oranında küçülen karelerde kenar uzunlukları geometrik dizidir (r = 2/3). Ancak alanlar için ortak çarpan (2/3)² = 4/9, hacimler için (2/3)³ = 8/27'dir. Bu fark gözden kaçan AYT tuzağıdır; "kenar oranı = r" saplantısından sıyrılın.

Örnek 20 — Kibrit Çöpü Örüntüsü

Bir örüntüde 1. şekilde 6, 2. şekilde 10, 3. şekilde 14 kibrit çöpü vardır; her şekilde bir önceki şekle 4 çöp eklenmiştir. 12. şekilde kaç kibrit çöpü vardır?

Aritmetik dizi: a₁ = 6, d = 4. Genel terim aₙ = 6 + (n-1)·4 = 4n + 2. a₁₂ = 4·12 + 2 = 50.

Bu bölümdeki örnekler, konuyu tüm yönleriyle tarayan AYT stili karma sorulardır.

Örnek 21 — Aritmetik Dizi + Toplam

Ortak farkı 8 olan bir aritmetik dizide a₁₀ + a₂₀ = 40 ise a₁₂ kaçtır?

Çözüm: a₁₀ + a₂₀'nin indisleri toplamı 30, yarısı 15. Simetri gereği bu toplam 2·a₁₅'e eşit: 2a₁₅ = 40 ⟹ a₁₅ = 20. a₁₂ = a₁₅ - 3d = 20 - 3·8 = 20 - 24 = -4.

Örnek 22 — Geometrik Dizi + Toplam

Bir geometrik dizinin ilk 16 teriminin toplamı, ilk 8 teriminin toplamının 257 katıysa r kaçtır?

Çözüm: S₁₆/S₈ = (1 - r¹⁶)/(1 - r⁸) = (1 - r⁸)(1 + r⁸)/(1 - r⁸) = 1 + r⁸. 1 + r⁸ = 257 ⟹ r⁸ = 256 = 2⁸ ⟹ r = 2.

Örnek 23 — Sigma Toplamı

Σ_{k=7}^{54} (√(k+9) - √(k+10)) toplamının değeri kaçtır?

Çözüm (teleskopik): Toplam açılır: (√16 - √17) + (√17 - √18) + (√18 - √19) + ... + (√63 - √64). Ara terimler birbirini götürür, yalnızca √16 = 4 ve -√64 = -8 kalır. Sonuç 4 - 8 = -4.

Örnek 24 — Sonsuz Geometrik + Kesirli Sayı

0,2727... sayısını kesir olarak yazın.

Çözüm: 0,2727... = 27/100 + 27/10000 + 27/1000000 + ... a₁ = 27/100, r = 1/100. S∞ = (27/100)/(1 - 1/100) = (27/100)/(99/100) = 27/99 = 3/11.

Örnek 25 — Sabit Dizi Şartı

a, 2a + 3, 3a - 2, b + 5 terimleri hem aritmetik hem geometrik dizi oluşturuyorsa b kaçtır?

Çözüm: Hem aritmetik hem geometrik olan tek dizi sabittir: tüm terimler eşit. 2a + 3 = 3a - 2 ⟹ a = 5. Terimler 2a + 3 = 13, 3a - 2 = 13. b + 5 de 13 olmalı: b = 8.

Örnek 26 — Aritmetik + Geometrik Tablo

Bir tabloda yatay satırlar aritmetik, dikey sütunlar geometrik dizi oluşturuyor. Satırın ilk terimi 1, beşinci terimi 9 ise ortak fark kaçtır? (Tabloda x ve y gibi boşluklar dolduruluyor.)

Çözüm: Aritmetik dizide a₅ = a₁ + 4d ⟹ 9 = 1 + 4d ⟹ d = 2. Satır: 1, 3, 5, 7, 9. Dikey sütunda başlangıç bilgilere göre geometrik dizi çözülür; tipik sonuç r = 3'tür. (Soru kurgusu detayına göre sabitlenir.)

Örnek 27 — Rekürsif + Kalem Problemi

Bir sınıftaki 6 öğrencinin kalemlikleri aritmetik dizi oluşturuyor; toplam 54 kalem var. En az kalemi olan öğrencide 4 kalem varsa en çok kalemi olan öğrencide kaç kalem vardır?

Çözüm: n = 6, a₁ = 4, S₆ = 54. S₆ = 6(a₁ + a₆)/2 ⟹ 54 = 3(4 + a₆) ⟹ a₆ + 4 = 18 ⟹ a₆ = 14.

Özet Strateji Hatırlatması

• Aritmetik dizi sorusunda iki terim veya a₁ + d verildiyse her şeyi a₁ cinsinden yaz.
• Geometrik dizide ardışık üç terim varsa aₖ² = aₖ₋₁ · aₖ₊₁ refleksini dene.
• İlk n terim toplamı soruldu mu? Aritmetikte Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2, geometrikte Sₙ = a₁(rⁿ - 1)/(r - 1).
• Sonsuz toplam? |r| < 1 kontrolü sonra S∞ = a₁/(1 - r).
• Rekürsif parçalı dizi uzak terim? Periyot yakala ve kalan üzerinden tabloya bak.
• Gerçek hayat modeli? Aritmetik (sabit eklenti) mi geometrik (sabit oran) mı olduğunu önce ayır.