Katı Cisimler

Hızlı Formül Tablosu

KPSS Genel Yetenek matematiğinin geometri ayağında sıra katı cisimlere geldi. Önceki derste çember ve daireyi kapattık; şimdi bir boyut daha yukarı çıkıyoruz. Katı cisimler üç boyutludur; yani hacimleri vardır. ÖSYM'nin söyleyişiyle "son bölüm"; katı cisim ve analitik geometri son iki konudur ve ÖSYM buradan genellikle bir soruyu tercih eder. Bu nedenle formülleri ve ayırımı iyi oturtmak, geometri netini tamamlamak için şarttır.

Üç Boyutlu Cisim Nedir?

Üç boyut derken en, boy ve yükseklikten söz ediyoruz. Bir kağıdın iki boyutu vardır (alan); ama bir kitap, küp veya top üç boyutludur (hacim). Hacim, cismin içinde kapladığı yerin ölçüsüdür ve birimi uzunluk³'tür (cm³, dm³, m³). Yüzey alanı ise cismin dışını örten tüm yüzeylerin toplam alanıdır ve birimi uzunluk²'dir.

Prizma Nedir?

Tabanları birbirine eşit ve paralel iki çokgen olan, yan yüzeyleri dikdörtgen olan üç boyutlu cisimlere prizma denir. Taban şekline göre prizma adlandırılır: üçgen prizma, kare prizma, dikdörtgenler prizması, altıgen prizma... Dairesel taban için aynı tanım geçerlidir; o zaman cisim silindir adını alır (aslında silindir dairesel dik prizmadır).

Prizmanın Temel Elemanları

• Taban: Alt ve üst taban birbirine eştir ve paraleldir. Tabanın alanı, hacim formülünde belirleyicidir.
• Yükseklik (h): İki taban arasındaki dik uzaklıktır. Dik prizmada yükseklik = yan ayrıt; eğik prizmada yükseklik ile yan ayrıt farklıdır.
• Yan yüzey: Dik prizmada dikdörtgenlerden oluşur; her yan yüzeyin bir kenarı tabanın bir kenarı, diğer kenarı yüksekliktir.
• Ayrıtlar, yüzler, köşeler: Euler formülü: K + Y − A = 2 (köşeler + yüzler − ayrıtlar = 2). Örneğin küpte 8 + 6 − 12 = 2.

Genel Hacim Formülü: V = Taban · Yükseklik

Bir prizmanın hacmini bulmak için taban alanını hesaplayıp yüksekliğe çarpmanız yeterlidir:

• V = Taban Alanı · Yükseklik
• Bu formül tüm prizma çeşitleri için geçerlidir: üçgen, kare, dikdörtgen, altıgen, daire (silindir)...
• Piramit ve koni prizmanın 1/3'üdür. Bunu bir sonraki bölümde göreceğiz.

Yan Yüzey Alanı

Bir dik prizmanın yan yüzey alanı, taban çevresi × yükseklik'tir. Çünkü yan yüzey, açılımda dikdörtgen olur: bir kenarı taban çevresi, diğer kenarı yükseklik. Toplam yüzey alanı = 2 × taban alanı + yan yüzey alanı.

Adım Adım Örnek 1 (Üçgen Prizma Hacmi)

Soru: Tabanı dik kenarları 3 cm ve 4 cm olan dik üçgen, yüksekliği 10 cm olan üçgen prizmanın hacmi kaç cm³?

1. Taban alanı = (3 · 4) / 2 = 6 cm².
2. V = Taban · Yükseklik = 6 · 10 = 60 cm³.
3. Kontrol: Taban üçgeninin alanı doğru (dik üçgen alanı = dikkenarlar çarpımı / 2); yükseklik 10 cm; 6 · 10 = 60 ✔.

Adım Adım Örnek 2 (Altıgen Prizma Hacmi)

Soru: Bir kenarı 2 cm olan düzgün altıgen tabanlı, yüksekliği 5 cm olan prizmanın hacmi nedir?

1. Düzgün altıgen alanı = 6 · (a²√3)/4 = (3√3/2) · a².
2. a = 2 iken alan = (3√3/2) · 4 = 6√3 cm².
3. V = 6√3 · 5 = 30√3 cm³.
4. Kontrol: Altıgen 6 eşkenar üçgene ayrılır; her birinin alanı (4√3)/4 = √3; toplam 6√3 ✔.

Dikdörtgenler prizması, günlük hayatta en sık karşılaştığımız katı cisimdir: kitap, kutu, oda, tuğla... Tabanı dikdörtgen olan dik prizmadır. Küp ise dikdörtgenler prizmasının tüm ayrıtları eşit olan özel halidir. ÖSYM KPSS soruları, bu iki cisim üzerinden yüzey alanı, hacim veya köşegen hesabı yaptırır.

Dikdörtgenler Prizması

Ayrıtları a (en), b (boy), c (yükseklik) olan bir dikdörtgenler prizmasında:

• Hacim: V = a · b · c
• Yüzey alanı: A = 2(ab + bc + ac) — üç farklı dikdörtgenin her birinin iki adet olduğu düşünülür.
• Cisim köşegeni: k = √(a² + b² + c²) — iki kere Pisagor uygulanır.
• Taban köşegeni (yüz köşegeni): √(a² + b²) gibi iki boyutlu Pisagor.
• Ayrıt sayısı: 12 (dörder tane 3 farklı uzunlukta). Köşe sayısı: 8. Yüz sayısı: 6.

Küp (Özel Dikdörtgenler Prizması)

Ayrıtı a olan küpte tüm ayrıtlar birbirine eşittir. Dolayısıyla dikdörtgenler prizması formüllerinde a = b = c yazılır:

• Hacim: V = a³
• Yüzey alanı: A = 6a² (6 eş karenin alanı)
• Cisim köşegeni: k = a√3
• Yüz köşegeni: a√2

Adım Adım Örnek 1 (Yüzey Alanı)

Soru: Ayrıtları 3 cm, 4 cm ve 5 cm olan dikdörtgenler prizmasının yüzey alanı kaç cm²?

1. A = 2(ab + bc + ac).
2. A = 2(3·4 + 4·5 + 3·5) = 2(12 + 20 + 15) = 2 · 47.
3. A = 94 cm².
4. Kontrol: Hacim = 3·4·5 = 60 cm³. Alan/hacim oranı 94/60 ≈ 1,57, makul ✔.

Adım Adım Örnek 2 (Cisim Köşegeni)

Soru: Ayrıtları 2, 3, 6 olan dikdörtgenler prizmasının cisim köşegeni kaçtır?

1. k = √(a² + b² + c²).
2. k = √(4 + 9 + 36) = √49 = 7.
3. Kontrol: 2-3-6 Pisagor'da √49 = 7 tam sayıdır; uygun bir üçlüdür ✔.

Adım Adım Örnek 3 (Küp Hacim ve Alan)

Soru: Bir küpün yüzey alanı 150 cm²'dir. Bu küpün hacmi kaç cm³?

1. 6a² = 150 ⇒ a² = 25 ⇒ a = 5 cm.
2. V = a³ = 5³ = 125 cm³.
3. Kontrol: a = 5 iken 6 · 25 = 150 ✔; 125 cm³ doğrudur.

Adım Adım Örnek 4 (Küp Köşegeni)

Soru: Ayrıtı 4 cm olan küpün cisim köşegeni kaç cm?

1. k = a√3 = 4√3 cm.
2. Sayısal: 4 · 1,732 ≈ 6,93 cm.
3. Kontrol: Küp içinde en uzun doğru parçası cisim köşegeni olmalı; yüz köşegeni 4√2 ≈ 5,66 < 6,93 ✔.

Küp Açınımı

Bir küpü kenarlarından keserek düzleme serdiğinizde 6 eş kareden oluşan bir şekil elde edersiniz. Küpün 11 farklı geçerli açınımı vardır; aşağıda bunlardan biri olan "artı" dizilişi görülmektedir:

Küpün Boyanması / Parçalara Ayrılması

KPSS'de klasik sorulardan biri: "Ayrıtı n olan bir küp n³ küçük birim küpe ayrılıp dış yüzey boyanıyor. Kaç küçük küp hiç boyanmamıştır? Kaç küpün sadece bir yüzü boyalıdır?" Çözüm mantığı:

• Hiç boyanmamış: İç kısımdaki (n−2)³ küp.
• Sadece 1 yüz boyalı: 6 · (n−2)² (her yüzün iç kısmındaki küpler).
• Sadece 2 yüz boyalı (ayrıtta): 12 · (n−2).
• 3 yüz boyalı (köşede): 8 adet (küpün 8 köşesi).

Tabanları eş ve paralel iki daire olan, yan yüzeyi dikdörtgen şeklinde açılan katı cisme silindir denir. Aslında silindir, tabanı daire olan dik prizmanın özel adıdır. Günlük hayatta kutu, boru, kola kutusu, çeşme gibi nesneler silindir şeklindedir. ÖSYM KPSS sorularında silindir, hem tek başına hem de koni ve küre ile karşılaştırmalı olarak sık sorulur.

Silindir Temel Elemanları

• Yarıçap (r): Taban dairesinin yarıçapı.
• Yükseklik (h): İki taban dairesi arasındaki dik mesafe.
• Yan yüzey: Açıldığında dikdörtgen olur; bir kenarı taban çevresi (2πr), diğer kenarı yüksekliktir (h).
• Taban: Bir silindirde iki daire tabanı vardır; her birinin alanı πr².

Hacim Formülü: V = πr²h

Silindirin hacmi, prizmanın genel formülü olan taban alanı × yükseklik'ten türetilir. Taban bir daire olduğundan alan πr², yükseklik h'dir:

• V = πr² · h
• Birim: r cm, h cm ise hacim cm³.
• π, soruda aksi söylenmedikçe sembol olarak kalır.

Yüzey Alanı Formülü: A = 2πr² + 2πrh

Silindirin dış yüzeyi üç parçadan oluşur: alt taban (daire), üst taban (daire), yan yüzey (dikdörtgen):

• Alt taban alanı = πr²
• Üst taban alanı = πr²
• Yan yüzey alanı = taban çevresi × yükseklik = 2πr · h
• Toplam yüzey: A = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h)
• Sadece yan yüzey (örneğin kapaksız kap): 2πrh
• Alt tabanı olup üstü açık (su deposu): πr² + 2πrh

Silindirin Açınımı

Bir silindiri ambalaj kağıdı gibi açtığınızda şu üç parçayı görürsünüz: iki daire (taban ve üst) + bir dikdörtgen (yan yüzey). Dikdörtgenin bir kenarı taban çevresine (2πr) eşittir; diğer kenarı yüksekliğe (h) eşittir.

Adım Adım Örnek 1 (Hacim)

Soru: Yarıçapı 3 cm, yüksekliği 10 cm olan silindirin hacmi kaç cm³?

1. V = πr²h = π(9)(10) = 90π cm³.
2. Kontrol: r = 3 iken taban alanı = 9π; 9π · 10 = 90π ✔. π ≈ 3,14 ⇒ yaklaşık 282,7 cm³, mantıklı.

Adım Adım Örnek 2 (Yüzey Alanı)

Soru: Yarıçapı 5 cm, yüksekliği 7 cm olan silindirin toplam yüzey alanı kaçtır?

1. A = 2πr(r + h) = 2π(5)(5 + 7) = 2π(5)(12).
2. A = 120π cm².
3. Kontrol: İki taban = 2 · 25π = 50π; yan yüzey = 2π(5)(7) = 70π; toplam 50π + 70π = 120π ✔.

Adım Adım Örnek 3 (Verilen Hacim, Yarıçap Bul)

Soru: Yüksekliği 4 cm olan silindirin hacmi 36π cm³ ise yarıçapı kaçtır?

1. πr²(4) = 36π ⇒ r² = 9.
2. r = 3 cm.
3. Kontrol: π(9)(4) = 36π ✔.

Adım Adım Örnek 4 (Yan Yüzey Açınımı)

Soru: Bir silindirin yan yüzeyi açıldığında uzun kenarı 12π cm, kısa kenarı 5 cm olan bir dikdörtgen elde ediliyor. Silindirin hacmi kaçtır?

1. Uzun kenar = taban çevresi = 2πr = 12π ⇒ r = 6 cm.
2. Kısa kenar = yükseklik = 5 cm.
3. V = πr²h = π(36)(5) = 180π cm³.
4. Kontrol: r = 6 iken taban çevresi 12π ✔; yan alan 60π.

Tabanı çokgen, tepe noktasında tüm yan ayrıtları birleşen üçgen yüzlerden oluşan katı cisme piramit denir. Mısır piramitleri en bilinen örnektir (kare tabanlı piramit). Taban şekline göre üçgen piramit (tetrahedron), kare piramit, altıgen piramit gibi adlar alır. KPSS'de en sık kare tabanlı düzgün piramit sorulur.

Piramit Temel Elemanları

• Taban: Bir çokgen (üçgen, kare, altıgen vb.).
• Tepe noktası: Tüm yan ayrıtların birleştiği tek nokta.
• Yükseklik (h): Tepe noktasından taban düzlemine indirilen dik.
• Yan ayrıt: Tepeden tabanın köşelerine giden doğru parçası.
• Apotem (a): Tepeden tabanın kenar ortasına inen yan yüzey yüksekliği (düzgün piramitte).
• Yan yüz: Tabanın bir kenarı ile tepe noktasının oluşturduğu üçgen.

Hacim Formülü: V = Taban · h / 3

Bir piramit, aynı tabana ve yüksekliğe sahip prizmanın hacminin tam 1/3'üdür. Bu, her piramit için geçerli bir hacim kuralıdır:

• V = (Taban Alanı · Yükseklik) / 3
• Kare piramitte: V = (a² · h) / 3 (a = taban kenarı).
• Üçgen piramitte: V = (taban üçgen alanı · h) / 3.

Yüzey Alanı

Piramitin yüzey alanı = taban alanı + yan yüz alanları toplamı. Düzgün piramitte yan yüzler eşit ikizkenar üçgendir, her birinin alanı = (taban kenarı · apotem) / 2. Kare piramitte 4 adet eşit yan üçgen bulunur.

Düzgün Piramit ve Apotem İlişkisi

Tabanı düzgün çokgen, tepesi taban merkezinin tam üstünde olan piramide düzgün piramit denir. Tabanın apotemi t (merkezden kenar ortasına olan uzaklık), yüksekliği h ise yan apotem a şöyle bulunur:

• a² = h² + t²
• Yan ayrıt uzunluğu ise: y² = h² + R² (R = taban çevrel çemberinin yarıçapı, yani merkezden köşeye uzaklık).

Adım Adım Örnek 1 (Kare Piramit Hacmi)

Soru: Taban kenarı 6 cm, yüksekliği 5 cm olan kare piramitin hacmi kaç cm³?

1. Taban alanı = 6² = 36 cm².
2. V = (36 · 5) / 3 = 180/3 = 60 cm³.
3. Kontrol: Aynı tabanlı ve yüksekli kare prizmanın hacmi 180 olurdu; piramit onun 1/3'ü: 60 ✔.

Adım Adım Örnek 2 (Yan Apotem Bulma)

Soru: Taban kenarı 8 cm, yüksekliği 3 cm olan kare piramitte yan apotem kaçtır?

1. Kare tabanda apotem t = kenar/2 = 8/2 = 4 cm.
2. a² = h² + t² = 9 + 16 = 25.
3. a = 5 cm.
4. Kontrol: 3-4-5 Pisagor üçlüsü ✔.

Adım Adım Örnek 3 (Yüzey Alanı)

Soru: Taban kenarı 6 cm, yan apotemi 5 cm olan kare piramitin toplam yüzey alanı?

1. Taban alanı = 36 cm².
2. Bir yan üçgen alanı = (6 · 5)/2 = 15 cm²; 4 yan üçgen = 60 cm².
3. Toplam = 36 + 60 = 96 cm².
4. Kontrol: Dört eş üçgen + taban; formül doğrulandı ✔.

Adım Adım Örnek 4 (Yüksekliği Bulma)

Soru: Taban kenarı 10 cm olan kare piramitin hacmi 200 cm³. Yüksekliği kaçtır?

1. V = (a² · h)/3 ⇒ 200 = (100 · h)/3.
2. 600 = 100h ⇒ h = 6 cm.
3. Kontrol: (100 · 6)/3 = 200 ✔.

Adım Adım Örnek 5 (Kesik Kare Piramit)

Soru: Büyük taban kenarı 6 cm, küçük (üst) taban kenarı 3 cm, aradaki yükseklik 4 cm olan kesik kare piramitin hacmi kaç cm³?

1. Kesik piramit hacim formülü: V = h(T₁ + T₂ + √(T₁·T₂))/3 (T₁, T₂ alt ve üst taban alanları).
2. T₁ = 6² = 36; T₂ = 3² = 9; √(36 · 9) = √324 = 18.
3. V = 4(36 + 9 + 18)/3 = 4 · 63/3 = 84 cm³.
4. Kontrol: Büyük piramit tabana indirildiğinde toplam yüksekliği 8 cm (benzerlikten), büyük V = 36·8/3 = 96; küçük (üst) V = 9·4/3 = 12; fark 96 − 12 = 84 ✔.

Tabanı daire, tepesi bir noktada toplanan katı cisme koni denir. Koni, aslında tabanı daire olan piramidin özel adıdır. Külah, huni, bazı çatı şekilleri koni örnekleridir. ÖSYM KPSS sorularında koni; silindir ve küre ile birlikte karşılaştırmalı sorularda sıkça kullanılır.

Koni Temel Elemanları

• Yarıçap (r): Taban dairesinin yarıçapı.
• Yükseklik (h): Tepe noktasından taban düzlemine inen dik.
• Yan ayrıt (ana doğru, l): Tepe noktasından taban çemberi üzerindeki herhangi bir noktaya giden doğru parçası.
• Tepe noktası: Tüm yan ayrıtların birleştiği tek nokta.

Yan Ayrıt Bağıntısı: l = √(r² + h²)

Koninin tepe noktasını, taban merkezi ve taban üzerindeki bir nokta ile birleştirdiğinizde bir dik üçgen oluşur: dik kenarları r ve h, hipotenüsü yan ayrıt l. Dolayısıyla:

• l² = r² + h² (Pisagor bağıntısı)
• Örn. r = 3, h = 4 ise l = 5.

Hacim Formülü: V = πr²h / 3

Koni, aynı r ve h'ye sahip silindirin hacminin 1/3'üne eşittir:

• V = (πr² · h) / 3
• V_silindir = πr²h, V_koni = πr²h/3 ⇒ V_silindir/V_koni = 3.

Yan Yüzey Alanı: πr·l

Koninin yan yüzeyini tepeden kesip açtığınızda bir daire dilimi elde edersiniz. Bu dilimin yarıçapı yan ayrıt l, yay uzunluğu ise taban çevresi 2πr'dir. Yan yüzey alanı:

• Yan yüzey = πr · l
• Toplam yüzey: A = πr² + πr·l = πr(r + l)

Koninin Açınımı: Daire Dilimi

Yan yüzey açıldığında oluşan daire diliminin merkez açısı α şöyle bulunur: Dilimin yayı = 2πr (taban çevresi), dilim yarıçapı = l. Tam daire çevresi 2πl'dir. Oran: α/360 = r/l. Yani α = 360 · r/l.

Adım Adım Örnek 1 (Hacim)

Soru: Yarıçapı 3 cm, yüksekliği 8 cm olan koninin hacmi?

1. V = πr²h/3 = π(9)(8)/3 = 72π/3.
2. V = 24π cm³.
3. Kontrol: Aynı r ve h silindir 72π; koni onun 1/3'ü ✔.

Adım Adım Örnek 2 (Yan Ayrıt ve Yan Yüzey)

Soru: r = 6 cm, h = 8 cm olan koninin yan ayrıtı ve yan yüzey alanı nedir?

1. l = √(36 + 64) = √100 = 10 cm.
2. Yan yüzey = πr·l = π(6)(10) = 60π cm².
3. Kontrol: 6-8-10 Pisagor üçlüsü ✔.

Adım Adım Örnek 3 (Toplam Yüzey)

Soru: r = 5, l = 13 olan koninin toplam yüzey alanı nedir?

1. A = πr(r + l) = π(5)(5 + 13) = π(5)(18).
2. A = 90π cm².
3. Kontrol: Taban 25π + yan 65π = 90π ✔.

Adım Adım Örnek 4 (Açınım Açısı)

Soru: r = 4 cm, l = 12 cm olan koninin yan yüzeyi açıldığında elde edilen daire diliminin merkez açısı kaç derecedir?

1. α = 360 · r/l = 360 · 4/12.
2. α = 360/3 = 120°.
3. Kontrol: Dilim yayı = 2π(4) = 8π; tam daire 2π(12) = 24π. Oran 8π/24π = 1/3 ⇒ 360/3 = 120 ✔.

Uzayda sabit bir M noktasına eşit uzaklıkta bulunan tüm noktaların oluşturduğu yüzeye küre yüzeyi, bu yüzeyin sınırladığı cisme küre denir. Küre, düzlemdeki daire kavramının üç boyutlu karşılığıdır. Futbol topu, dünya, portakal gibi cisimler küreye örnektir. KPSS sorularında küre; yüzey alanı, hacim, yarıküre ve küre + silindir/koni kompozit problemlerinde kullanılır.

Küre Temel Elemanları

• Merkez (M): Tüm yüzey noktalarına eşit uzaklıktaki tek nokta.
• Yarıçap (r): Merkezden küre yüzeyi üzerindeki bir noktaya olan uzaklık.
• Çap (d): Merkezden geçen ve iki ucu yüzey üzerinde olan doğru parçası; d = 2r.
• Büyük çember: Küreyi merkezinden geçen bir düzlem keserse kesit bir büyük çemberdir; yarıçapı r.

Hacim Formülü: V = 4πr³/3

Kürenin hacim formülü ezberlenmesi gereken temel bir sabittir:

• V = (4/3) · π · r³
• Yarıküre hacmi: V_yarı = (2/3)πr³
• Bir silindire tam sığan kürenin (yani yükseklik = 2r olan silindir) hacmi, silindir hacminin 2/3'üdür.

Yüzey Alanı Formülü: A = 4πr²

Küre yüzeyinin alanı:

• A = 4πr²
• Bu, aynı yarıçaplı dairenin alanının (πr²) tam 4 katıdır.
• Yarıküre yüzeyi (sadece yuvarlak kısım) = 2πr².
• Yarıküre toplam yüzeyi (yuvarlak + taban dairesi) = 2πr² + πr² = 3πr².

Küre-Silindir-Koni Hacim İlişkisi (Arşimet)

Aynı yarıçaplı ve yüksekliği 2r olan bir silindir düşünelim. İçine tam sığan küre ve aynı r'li ve h = 2r olan koni hacimleri şöyle oran verir:

• V_silindir = πr²(2r) = 2πr³
• V_küre = (4/3)πr³
• V_koni = πr²(2r)/3 = (2/3)πr³
• Oran: V_silindir : V_küre : V_koni = 3 : 2 : 1

Bu, Arşimet'in kendi mezar taşına kazıttırdığı meşhur oranıdır. KPSS'de hacim karşılaştırma sorularında çok işe yarar.

Adım Adım Örnek 1 (Hacim)

Soru: Yarıçapı 3 cm olan kürenin hacmi nedir?

1. V = (4/3)πr³ = (4/3)π(27).
2. V = 36π cm³.
3. Kontrol: r³ = 27 doğru; (4/3)(27) = 36 ✔.

Adım Adım Örnek 2 (Yüzey Alanı)

Soru: Yarıçapı 5 cm olan kürenin yüzey alanı?

1. A = 4πr² = 4π(25).
2. A = 100π cm².
3. Kontrol: Aynı yarıçaplı daire alanı 25π; küre yüzeyi onun 4 katı = 100π ✔.

Adım Adım Örnek 3 (Yarıküre)

Soru: Yarıçapı 6 cm olan yarıkürenin toplam yüzey alanı?

1. Yuvarlak kısım = 2πr² = 2π(36) = 72π.
2. Alt daire tabanı = πr² = 36π.
3. Toplam = 108π cm² (ya da 3πr² = 3 · 36π = 108π).
4. Kontrol: Formül 3πr² doğrulandı ✔.

Adım Adım Örnek 4 (Hacim → Yarıçap)

Soru: Hacmi 288π cm³ olan kürenin yarıçapı kaçtır?

1. (4/3)πr³ = 288π ⇒ r³ = 288 · 3/4 = 216.
2. r = 6 cm.
3. Kontrol: 6³ = 216 ✔; (4/3)(216) = 288 ✔.

Adım Adım Örnek 5 (Küre → Silindire Dökme)

Soru: Yarıçapı 3 cm olan küre eritilip yarıçapı 3 cm olan silindir şeklinde dondurulursa silindirin yüksekliği kaç cm olur?

1. V_küre = (4/3)π(27) = 36π cm³.
2. V_silindir = π(9)h = 36π ⇒ 9h = 36.
3. h = 4 cm.
4. Kontrol: π(9)(4) = 36π = küre hacmi ✔.

KPSS katı cisim sorularının son ayağı, birden çok cismin bir arada geldiği veya benzer katıların oran karşılaştırmasının yapıldığı problemlerdir. Bu bölümde benzer katılar kuralını, açınım şekillerini ve kompozit cisimleri (iki cismin toplamı / farkı) ele alacağız.

Benzer Katılar: k, k², k³ Kuralı

İki katı cisim benzer ise (aynı şekli korur, sadece büyüklüğü farklıdır) boyut oranı k ise:

• Uzunluk (ayrıt, yarıçap, yükseklik) oranı: k
• Yüzey alanı oranı: k²
• Hacim oranı: k³

Örn. ayrıtları 1:3 olan iki küpün yüzey alanları 1:9, hacimleri 1:27 oranındadır. Bir küpün ayrıtı 2 katına çıkarsa yüzey 4 katına, hacim 8 katına çıkar.

Açınım Şekilleri

• Küp açınımı: 6 eş kare, farklı diziliş şekillerinde (11 farklı geçerli açınım vardır).
• Dikdörtgenler prizması: 2 taban + 4 yan dikdörtgen.
• Silindir: 2 daire + 1 dikdörtgen (uzun kenarı 2πr, kısa kenarı h).
• Koni: 1 taban dairesi + 1 daire dilimi (dilim yarıçapı = l, yayı = 2πr).
• Düzgün kare piramit: 1 kare taban + 4 eş ikizkenar üçgen.
• Üçgen prizma: 2 üçgen taban + 3 dikdörtgen yan yüz.

Kompozit Cisimler

İki veya daha fazla temel katının birleşiminden/çıkarılmasından oluşan cisimlerdir. Strateji her zaman parçalara ayırmak'tır:

• Silindir + yarı küre: Su deposu; V_toplam = πr²h + (2/3)πr³.
• Silindir + koni: Kalem ucu; V_toplam = πr²h₁ + πr²h₂/3.
• Küp − silindir: Küpe delik açılmış; V = a³ − πr²h.
• Dikdörtgenler prizması − küre: Kutuya top sığdırma; V_kalan = abc − (4/3)πr³.

İç İçe Katılar

• Küpün içine en büyük küre: Kürenin yarıçapı = küp ayrıtının yarısı (r = a/2).
• Kürenin içine en büyük küp: Küpün cisim köşegeni = kürenin çapı (a√3 = 2r ⇒ a = 2r/√3).
• Silindirin içine en büyük küre: r_küre = r_silindir = h/2 (yükseklik çapa eşit).
• Koninin içine en büyük küre: Üçgen benzerliği ile çözülür, konunun detayında.

Adım Adım Örnek 1 (Benzer Küpler)

Soru: Bir küpün ayrıtı 2 katına çıkarılırsa hacmi kaç katına çıkar?

1. Benzerlik oranı k = 2.
2. Hacim oranı k³ = 8.
3. Yeni hacim eski hacmin 8 katıdır.
4. Kontrol: a = 1 iken V = 1; a = 2 iken V = 8. 8/1 = 8 ✔.

Adım Adım Örnek 2 (Benzer Küreler)

Soru: Yarıçapları 2 cm ve 6 cm olan iki kürenin yüzey alanları oranı?

1. Uzunluk oranı k = 2/6 = 1/3.
2. Yüzey alanı oranı k² = 1/9.
3. Cevap: 1/9.
4. Kontrol: 4π(4)/4π(36) = 4/36 = 1/9 ✔.

Adım Adım Örnek 3 (Kompozit Cisim)

Soru: Bir silindirin üstüne aynı yarıçaplı yarıküre oturtuluyor. Silindir yarıçapı 3 cm, yüksekliği 10 cm. Cismin toplam hacmi?

1. V_silindir = π(9)(10) = 90π cm³.
2. V_{yarı küre} = (2/3)π(27) = 18π cm³.
3. V_toplam = 90π + 18π = 108π cm³.
4. Kontrol: Yarı küre hacmi tam küre hacminin yarısı = 36π/2 = 18π ✔.

Adım Adım Örnek 4 (Küpün İçindeki Küre)

Soru: Ayrıtı 6 cm olan bir küpün içine tam sığan kürenin hacmi kaç cm³?

1. Küre yarıçapı = küp ayrıtı/2 = 6/2 = 3 cm.
2. V = (4/3)π(27) = 36π cm³.
3. Kontrol: Küre çapı 6 = küp ayrıtı ✔.

Adım Adım Örnek 5 (Eritme ve Yeni Cisim)

Soru: Yarıçapı 2 cm olan 8 eş küre eritilip büyük tek bir küre yapılıyor. Yeni kürenin yarıçapı kaçtır?

1. Tek küçük küre: V₁ = (4/3)π(8) = (32/3)π.
2. 8 küre toplamı: 8 · (32/3)π = (256/3)π.
3. Yeni küre: (4/3)πR³ = (256/3)π ⇒ R³ = 64 ⇒ R = 4 cm.
4. Kontrol: Benzerlik: 8 kat hacim ⇒ k³ = 8 ⇒ k = 2; R = 2 · 2 = 4 ✔.

ÖSYM'nin KPSS Genel Yetenek sınavında katı cisimlerden sorduğu sorular birkaç temel kalıp etrafında döner. Bu bölümde son 10 yılın en sık çıkan soru tiplerini sistematik olarak çözerek, sınavda karşınıza çıkacak formatı tanımayı amaçlıyoruz.

Soru Tipi 1: Dikdörtgenler Prizması / Küp — Yüzey Alanı / Hacim

En klasik tip. Üç ayrıt verilir, hacim veya yüzey alanı sorulur. Bazen ters: yüzey/hacim verilir, ayrıt istenir.

Soru Tipi 2: Silindir — Kutu / Boru / Depo

Yarıçap ve yükseklik verilir; hacim, yan yüzey, kapaklı/kapaksız yüzey alanı sorulur.

Soru Tipi 3: Piramit / Koni — "Üçe Bölünmesi" Sorusu

Piramidin prizmanın, koninin silindirin 1/3'ü olması ilişkisi kullanılır.

Soru Tipi 4: Küre — Eritme / Dondurma

Hacim korunur ilkesi üzerine kurulur.

Soru Tipi 5: Benzer Katılar — k², k³ Oranı

"Boyut n katına çıkarsa hacim kaç kata çıkar?" tarzı.

Soru Tipi 6: Kompozit Cisim — İki Şeklin Birleşimi

Silindir + yarıküre, küp − silindir gibi.

Soru Tipi 7: İç İçe Katılar — Küpte Küre, Silindirde Küre

Eşleşme ilişkisi: küpte çap = ayrıt; silindirde çap = 2r = h.

KPSS Tarzı Karma Örnek 1 (Küp Yüzey → Hacim)

Soru: Yüzey alanı 54 cm² olan küpün hacmi kaç cm³?

1. 6a² = 54 ⇒ a² = 9 ⇒ a = 3 cm.
2. V = 3³ = 27 cm³.
3. Kontrol: a = 3 iken 6 · 9 = 54 ✔.

KPSS Tarzı Karma Örnek 2 (Koni — Silindir İlişkisi)

Soru: Yarıçap ve yükseklik aynı olan bir silindirin içi su ile doldurulmuş. Su, aynı r ve h olan koniye boşaltılıyor. Koninin dolma oranı nedir?

1. V_silindir = πr²h, V_koni = πr²h/3.
2. Koninin hacmi silindirin 1/3'ü; yani silindirdeki su 3 koni doldurur.
3. Cevap: Su, 1 koniyi tamamen doldurur, silindirde 2/3'ü kalır.
4. Kontrol: Arşimet oranı 3:1 ✔.

KPSS Tarzı Karma Örnek 3 (Kompozit: Silindir + Yarıküre)

Soru: Alt kısmı silindir, üst kısmı yarıküre olan bir kabın yarıçapı 3 cm; silindir yüksekliği 5 cm. Kabın toplam hacmi?

1. V_silindir = π(9)(5) = 45π.
2. V_{yarı küre} = (2/3)π(27) = 18π.
3. V_toplam = 63π cm³.
4. Kontrol: Her iki parça da r = 3 kullanıyor, toplanabilir ✔.

Sık Yapılan Hatalar

• Piramit/koni hacminde /3 unutmak: V_piramit = taban × h / 3; V_koni = πr²h/3. Üçe bölmeyi asla atlamayın.
• Çap-yarıçap karışıklığı: Silindir/koni/küre sorularında "çap" dendiğinde önce yarıya bölün.
• Yan ayrıt ile yükseklik karıştırmak: Koni ve piramit sorularında bu iki kavram farklıdır; Pisagor ile ilişkili olurlar.
• Yarıküre yüzeyinde tabanı unutmak: Kapalı yarıküre yüzeyi 3πr² (yuvarlak 2πr² + taban πr²); açık yarıküre sadece 2πr².
• Benzerlikte oran üstleri: Alan k², hacim k³; bunu k²'yi alanla, k³'ü hacimle eşleştirerek ezberleyin.
• π değerini gerekmediğinde koymak: Soruda π = 3 gibi bir değer verilmedikçe π'yi sayıya çevirmeyin.
• Birim dönüşümü unutmak: cm ile dm karışık verilmişse önce aynı birime çevirin. 1 dm³ = 1000 cm³.
• Yüzey alanı ile hacim karıştırmak: Yüzey cm², hacim cm³. Sorunun sorduğu birim sonuca bakarak tespit edilebilir.

Sonuç: Katı Cisimler, Geometrinin Son Durağı

Katı cisimler, KPSS matematik netinin son halkasıdır. Temel formüller (prizma/silindir için T·h, piramit/koni için T·h/3, küre için 4πr³/3 ve 4πr²) ezberlendiğinde sorular rahatlıkla çözülür. Benzerlikte k²/k³ kuralı, Arşimet oranı (3:2:1) ve silindir-koni 3:1 ilişkisi kısa yolları açar. Bir sonraki konu analitik geometri'dir.