Çokgenler ve Dörtgenler — Konu Anlatımı

İçindekiler (8 bölüm)

1Çokgen Kavramı ve Temel Tanımlar

Üçgenler konusunu bitirdik, şimdi geometri yolculuğumuzun ikinci büyük durağına geliyoruz: çokgenler ve dörtgenler. KPSS Genel Yetenek matematiğinde bu bölümden her yıl 1-2 soru gelmektedir. Konu hem kendi başına sorulur hem de üçgen, çember ve analitik geometri sorularının iskeleti olarak karşımıza çıkar. Bu nedenle çokgen özelliklerini ezberlemek değil, türetebilmek asıl hedeftir.

Çokgen Nedir?

Düzlemde en az üç doğru parçasının uç uca eklenerek oluşturduğu kapalı düzlemsel şekle çokgen denir. Her doğru parçası çokgenin bir kenarı, iki kenarın birleştiği nokta ise bir köşesidir. n kenarlı çokgene n-gen denir:

3 kenar → üçgen
4 kenar → dörtgen
5 kenar → beşgen
6 kenar → altıgen
7 kenar → yedigen, 8 kenar → sekizgen, 10 kenar → ongen…

Konveks (Dış Bükey) ve Konkav (İç Bükey) Çokgen

Bir çokgenin bütün iç açıları 180°'den küçük ise konveks (dış bükey), en az bir iç açısı 180°'den büyük ise konkav (iç bükey) olarak adlandırılır. Pratik bir test: çokgenin herhangi iki köşesini birleştiren doğru parçası her zaman çokgenin içinde kalıyorsa konvekstir. KPSS sorularında aksi belirtilmedikçe çokgen konveks kabul edilir.

Kenar, Köşe ve Köşegen

Kenar: Ardışık iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır. n-genin n tane kenarı vardır.
Köşe: İki kenarın kesiştiği noktadır. n-genin n tane köşesi vardır.
Köşegen: Ardışık olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır. Bir köşeden (n−3) köşegen çıkar; toplam köşegen sayısı n(n−3)/2.

Adım Adım Örnek 1 (Kenar Sayısı Tanıma)

Soru: Bir çokgenin 20 köşesi varsa kaç kenarı vardır?

Bir çokgende köşe sayısı = kenar sayısı.
Köşe = 20 ⇒ kenar = 20.
Kontrol: Her kenar iki köşe birleştirir; her köşe iki kenarda ortaktır; eşitlik doğrulanır ✔.

Adım Adım Örnek 2 (Konveks mi Konkav mı?)

Soru: İç açıları 100°, 120°, 140°, 130°, 50° olan bir beşgen konveks midir?

Konveks için tüm iç açılar < 180° olmalıdır.
Verilen açılar: 100, 120, 140, 130, 50 — hepsi 180'den küçük.
Toplam: 100 + 120 + 140 + 130 + 50 = 540. Beşgen iç açılar toplamı (5−2)·180 = 540 ✔.
Sonuç: konvekstir.

KPSS İpucu: Çokgen sorularında ilk refleksiniz "n kaçtır?" sorusunu yanıtlamak olsun. Kenar/köşe/köşegen sayısı verilmişse n'yi çekip (n−2)·180 formülüne yerleştirin. "Düzgün" ifadesi varsa bir iç açı (n−2)·180/n ya da 180−360/n olarak kısaltın. Soruda "köşegen" geçiyorsa n(n−3)/2 formülü neredeyse her zaman işe yarar. Konveks/konkav ayrımı KPSS'de nadiren sorulur; pratik olarak tüm sorular konvekstir.

2İç Açılar Toplamı ve Dış Açılar Toplamı

Çokgen sorularının omurgası iç açı ve dış açı hesaplarıdır. Bu iki temel formülü ezberlemek yerine nasıl türetildiğini bilirseniz her soruyu tek adımda çözebilirsiniz.

İç Açılar Toplamı: (n−2)·180°

n kenarlı bir konveks çokgenin iç açılarının toplamı:

İç açılar toplamı = (n − 2) · 180°

Neden? Çokgenin bir köşesinden çizilen köşegenlerle çokgen (n−2) tane üçgene ayrılır. Her üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan toplam (n−2)·180 çıkar.

Çokgen	n	İç açılar toplamı
Üçgen	3	180°
Dörtgen	4	360°
Beşgen	5	540°
Altıgen	6	720°
Yedigen	7	900°
Sekizgen	8	1080°

Dış Açılar Toplamı: 360°

Her konveks çokgende, bir köşedeki iç açı ile dış açı bütünlerdir (toplamı 180°). Her köşenin iç + dış = 180 olduğundan n köşede toplam 180n. İç açı toplamı (n−2)·180 olduğuna göre:

Dış açı toplamı = 180n − (n−2)·180 = 180n − 180n + 360 = 360°

Yani kenar sayısından bağımsız olarak her konveks çokgenin dış açıları toplamı 360°'dir.

Adım Adım Örnek 1 (İç Açılar Toplamı)

Soru: Bir yedigenin iç açılarının toplamı kaç derecedir?

(n−2)·180 formülünü yaz; n = 7.
(7−2)·180 = 5·180 = 900°.
Kontrol: Yedigen bir köşesinden 4 köşegen çizilince 5 üçgene bölünür; 5·180 = 900 ✔.

Adım Adım Örnek 2 (Kenar Sayısını Bulma)

Soru: İç açıları toplamı 1260° olan çokgen kaç kenarlıdır?

(n−2)·180 = 1260.
n−2 = 1260/180 = 7.
n = 9 (dokuzgen).
Kontrol: (9−2)·180 = 7·180 = 1260 ✔.

Adım Adım Örnek 3 (Dış Açı → Kenar Sayısı)

Soru: Bir düzgün çokgende bir dış açı 24° ise kaç kenarlıdır?

Düzgün çokgende bir dış açı = 360/n.
360/n = 24 ⇒ n = 360/24 = 15 (onbeşgen).
Kontrol: 15·24 = 360 (dış açılar toplamı) ✔.

Adım Adım Örnek 4 (Eksik Açıyı Tamamlama)

Soru: Bir beşgenin dört iç açısı 100°, 110°, 120°, 130° ise beşinci açı kaç derecedir?

Beşgen iç açılar toplamı: (5−2)·180 = 540.
Verilenler toplamı: 100 + 110 + 120 + 130 = 460.
Beşinci açı = 540 − 460 = 80°.
Kontrol: 100+110+120+130+80 = 540 ✔.

KPSS İpucu: İç açılar toplamı sorularında (n−2)·180 = verilen toplam denklemini 180'e bölerek n'yi hızlıca bulun. Dış açıların toplamı daima 360'dır; kenar sayısına bağlı değildir — bu bilgi pek çok soruyu kısayola çevirir. Düzgün çokgende bir dış açı = 360/n ve bir iç açı + bir dış açı = 180 olduğundan "bir iç açısı 150 olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır?" sorusu 180−150 = 30 ⇒ n = 360/30 = 12 şeklinde üç adımda biter.

3Düzgün Çokgen ve Köşegen Sayısı

Çokgenler içinde en sık karşılaşılan özel tip düzgün çokgendir. Tüm kenarları ve tüm iç açıları eşit olan konveks çokgene düzgün çokgen denir. Eşkenar üçgen, kare ve düzgün altıgen KPSS sorularının favorileridir.

Düzgün Çokgende Bir İç Açı

n kenarlı düzgün çokgenin tüm iç açıları eşit olduğundan bir iç açı:

Bir iç açı = (n − 2) · 180 / n

Türetme: iç açılar toplamı (n−2)·180'dir ve n tane eşit açıya bölündüğünde formül çıkar.

Düzgün Çokgende Bir Dış Açı

Dış açılar toplamı 360° ve tüm dış açılar eşit olduğundan:

Bir dış açı = 360 / n

Pratik kontrol: bir iç açı + bir dış açı = 180 olmalıdır.

Köşegen Sayısı Formülü

n kenarlı bir çokgende bir köşeden çizilebilecek köşegen sayısı (n−3)'tür (kendisi ve iki komşu köşe hariç). Toplam köşegen sayısı hesaplanırken her köşegen iki köşeden sayılacağından 2'ye bölünür:

Toplam köşegen sayısı = n(n − 3) / 2

n	Bir köşeden	Toplam köşegen
4 (dörtgen)	1	2
5 (beşgen)	2	5
6 (altıgen)	3	9
8 (sekizgen)	5	20
10 (ongen)	7	35

Adım Adım Örnek 1 (Düzgün Altıgen İç Açı)

Soru: Düzgün altıgende bir iç açı kaç derecedir?

(n−2)·180/n; n = 6.
(6−2)·180/6 = 4·180/6 = 720/6 = 120°.
Kontrol: Bir dış açı = 360/6 = 60; iç + dış = 120 + 60 = 180 ✔.

Adım Adım Örnek 2 (Düzgün Çokgende Açıdan n'ye)

Soru: Bir iç açısı 150° olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır?

İç açı 150 ise dış açı 180−150 = 30.
360/n = 30 ⇒ n = 360/30.
n = 12 (düzgün onikigen).
Kontrol: (12−2)·180/12 = 10·180/12 = 1800/12 = 150 ✔.

Adım Adım Örnek 3 (Köşegen Sayısı)

Soru: Bir onikigende toplam kaç köşegen çizilebilir?

n(n−3)/2 formülünü yaz; n = 12.
12·(12−3)/2 = 12·9/2 = 108/2.
Köşegen sayısı = 54.
Kontrol: Bir köşeden (12−3) = 9 köşegen; 12 köşe · 9 / 2 (çift sayım) = 54 ✔.

Adım Adım Örnek 4 (Köşegen Sayısından n'ye)

Soru: Bir köşeden 6 köşegen çizilen çokgen kaç kenarlıdır?

Bir köşeden çizilen köşegen sayısı n−3.
n−3 = 6 ⇒ n = 9 (dokuzgen).
Kontrol: 9 köşe − 3 (kendisi ve iki komşu) = 6 ✔.

Düzgün Altıgen Özel Formülleri

Düzgün altıgen, KPSS'de en sık çıkan düzgün çokgendir. Kenar uzunluğu a olan düzgün altıgen için:

Bir iç açı = 120°; bir dış açı = 60°.
Alan = (3√3 / 2) · a².
Uzun köşegen (karşılıklı iki köşe, merkezden geçer) = 2a.
Kısa köşegen (bir köşe atlayarak) = a√3.
Merkezden çizilen yarıçap = kenar uzunluğuna eşittir: R = a.

Türetme (6 eşkenar üçgen mantığı): Düzgün altıgenin merkezinden köşelere çizilen doğru parçaları altıgeni 6 tane eşkenar üçgene böler. Merkezdeki açılar 360/6 = 60° ve yarıçap kenara eşit olduğundan oluşan üçgenler eşkenardır. Bir eşkenar üçgenin alanı (a²√3)/4 olduğundan düzgün altıgenin alanı 6·(a²√3)/4 = (3√3/2)·a² olarak bulunur. Uzun köşegen iki eşkenar üçgen tabanını birleştirdiğinden 2a'dır.

Adım Adım Örnek 5 (Düzgün Altıgen Alanı)

Soru: Bir kenarı 4 cm olan düzgün altıgenin alanı kaç cm²'dir?

Alan = (3√3 / 2) · a²; a = 4.
Alan = (3√3 / 2) · 16 = 24√3.
Alan = 24√3 cm² ≈ 41,57.
Kontrol: 6 eşkenar üçgen; her birinin alanı (4²·√3)/4 = 4√3; toplam 6·4√3 = 24√3 ✔.

KPSS İpucu: Düzgün çokgen sorularında önce dış açıya bakın; 360/n çok daha hızlıdır. İç açıya ihtiyaç varsa 180 − (360/n) şeklinde yazın. Köşegen sayısında n(n−3)/2 formülü bir ikinci dereceden denklem doğurur (n²−3n−2K = 0); köşegen sayısı verilip n istenirse çözüme tek pozitif kökü alın. Düzgün altıgenin bir iç açısı 120, düzgün beşgenin 108, düzgün sekizgenin 135 olduğunu ezberlemek soruların büyük kısmını anında çözdürür.

4Dörtgen ve Paralelkenar

Dörtgen, dört kenarlı çokgendir ve KPSS geometri sorularının büyük kısmı özel dörtgenler üzerinde kurulur. Tüm dörtgenlerin ortak özelliği iç açılar toplamının 360° olmasıdır. Bu bölümden başlayarak özel dörtgenleri tek tek ele alacağız; ilk sırada en genel olan paralelkenar var.

Genel Dörtgen Özellikleri

4 kenar, 4 köşe, 2 köşegen.
İç açılar toplamı = (4−2)·180 = 360°.
Dış açılar toplamı = 360°.
Bir köşegen dörtgeni iki üçgene ayırır; 2·180 = 360 doğrulanır.
Kirişdörtgen (çembere çizili): karşılıklı iki iç açının toplamı 180°.

Adım Adım Örnek — Kirişdörtgen (KPSS Kalıbı)

Soru: Bir çembere içten çizilmiş ABCD kirişdörtgeninde A = 85° ve B = 100° ise C ve D açıları kaç derecedir?

Kirişdörtgende karşılıklı iki iç açının toplamı 180°'dir: A + C = 180 ve B + D = 180.
C = 180 − A = 180 − 85 = 95°.
D = 180 − B = 180 − 100 = 80°.
Kontrol: A + B + C + D = 85 + 100 + 95 + 80 = 360 ✔ (dörtgen iç açılar toplamı).

Paralelkenar Diyagramı

Paralelkenar Tanımı ve Özellikleri

Paralelkenar: karşılıklı kenarları birbirine paralel olan dörtgendir. Öne çıkan özellikleri:

Karşılıklı kenarlar paralel ve eşit.
Karşılıklı açılar eşit; ardışık açılar bütünler (toplamları 180°).
Köşegenler birbirini ortalar (ama genelde eşit değildir, dik değildir).
Her köşegen paralelkenarı iki eş (alanca) üçgene böler; iki köşegen 4 eş alanlı üçgene böler.
Köşegenlerin kareleri toplamı = kenarların kareleri toplamının 2 katı: e² + f² = 2(a²+b²).

Paralelkenar Alan ve Çevre Formülleri

Kenarları a ve b, a kenarına ait yükseklik h_a ise:

Çevre = 2(a+b)
Alan = a · h_a (taban × yükseklik)
Aynı zamanda: Alan = a·b·sinθ (θ iki kenar arasındaki açı).
Köşegenler cinsinden: Alan = (1/2)·e·f·sinα (α köşegenler arası açı).

Adım Adım Örnek 1 (Paralelkenar Alanı)

Soru: Bir paralelkenarın bir kenarı 12 cm, bu kenara ait yüksekliği 5 cm ise alanı kaç cm²'dir?

Alan = taban · yükseklik.
Alan = 12 · 5 = 60 cm².
Kontrol: Paralelkenarı köşegeniyle iki üçgene böldüğünüzde her bir üçgenin alanı 30; toplam 60 ✔.

Adım Adım Örnek 2 (Ardışık Açı)

Soru: Bir paralelkenarın dar açısı 70° ise geniş açısı kaç derecedir?

Ardışık açılar bütünler: 70 + geniş = 180.
Geniş açı = 180 − 70 = 110°.
Kontrol: Karşılıklı iki dar açı = 70, karşılıklı iki geniş açı = 110; toplam 2·70+2·110 = 360 ✔.

Adım Adım Örnek 3 (Köşegen Paralelkenar)

Soru: Bir paralelkenarın kenarları 5 ve 7, bir köşegeni 6 ise diğer köşegenin uzunluğu kaçtır?

Köşegen kareleri bağıntısı: e² + f² = 2(a² + b²).
2(25 + 49) = 2·74 = 148.
6² + f² = 148 ⇒ 36 + f² = 148 ⇒ f² = 112.
f = √112 = 4√7 ≈ 10,58.
Kontrol: 36 + 112 = 148 ✔.

Adım Adım Örnek 4 (Köşegen Alanı Dörde Böler)

Soru: Alanı 48 cm² olan bir paralelkenarın iki köşegeni çizildiğinde oluşan 4 üçgenin her birinin alanı kaç cm²'dir?

Köşegenler paralelkenarı 4 eş alanlı üçgene böler.
Her üçgenin alanı = 48 / 4 = 12 cm².
Kontrol: 4 · 12 = 48 ✔.

KPSS İpucu: Paralelkenarı tanımak için üç hızlı test var: karşılıklı kenarlar eşit mi? "evet" ise paralelkenar; ardışık açılar bütünler mi? "evet" ise paralelkenar; köşegenler birbirini ortalıyor mu? "evet" ise paralelkenar. Sorularda "ABCD paralelkenar" ifadesi verildiğinde hemen A+B = 180 yazın ve B = D, A = C eşitliklerini kenara not edin. Köşegen soruları için |AC|²+|BD|² = 2(a²+b²) formülü sıkça işe yarar; ezbere alın.

Buraya kadar öğrendiklerini test et

5Eşkenar Dörtgen, Dikdörtgen ve Kare

Paralelkenarın özel üç alt kümesi vardır: eşkenar dörtgen (tüm kenarları eşit paralelkenar), dikdörtgen (tüm açıları 90 olan paralelkenar) ve kare (her ikisi birden). Aralarındaki hiyerarşi önemlidir: kare ⊂ eşkenar dörtgen ⊂ paralelkenar; kare ⊂ dikdörtgen ⊂ paralelkenar.

Şekil Karşılaştırması (Diyagramlar)

Eşkenar Dörtgen (Rhombus)

Tüm kenarları eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir. Özellikleri:

Dört kenarı eşit: a = b = c = d.
Karşılıklı açılar eşit, ardışık açılar bütünler.
Köşegenleri birbirini dik olarak ortalar; bu en ayırt edici özelliktir.
Her köşegen köşelerdeki iç açıları ikiye böler (açıortaydır).
Köşegenleri eşit değildir (eşit olsaydı kare olurdu).
Çevre = 4a (kenarı a olarak).
Alan = (e · f) / 2 (köşegenler çarpımının yarısı) = a · h (kenar × yükseklik).

Dikdörtgen

Tüm iç açıları 90° olan paralelkenara dikdörtgen denir. Özellikleri:

Karşılıklı kenarlar eşit ve paralel: a, a, b, b.
Dört açı da 90°.
Köşegenleri eşit uzunlukta ve birbirini ortalar (ama dik değildirler, aksi halde kare olurdu).
Köşegen uzunluğu Pisagor ile: e = √(a² + b²).
Çevre = 2(a+b).
Alan = a · b.

Kare

Hem eşkenar dörtgen hem dikdörtgen olan en özel dörtgendir. Özellikleri:

Dört kenarı eşit: a.
Dört açısı 90°.
Köşegenleri eşit, birbirini dik olarak ortalar ve her köşeyi 45 + 45'e böler.
Köşegen uzunluğu e = a√2.
Çevre = 4a.
Alan = a² = e²/2.

Adım Adım Örnek 1 (Eşkenar Dörtgen Alanı)

Soru: Köşegenleri 8 cm ve 6 cm olan eşkenar dörtgenin alanı kaç cm²'dir?

Alan = (e · f)/2.
Alan = (8 · 6)/2 = 48/2 = 24 cm².
Kontrol: Köşegenler dörtgeni 4 eş dik üçgene böler; her dik üçgenin dik kenarları 4 ve 3, alanı 6. Toplam 4·6 = 24 ✔.

Adım Adım Örnek 2 (Eşkenar Dörtgen Kenarı)

Soru: Köşegenleri 8 cm ve 6 cm olan eşkenar dörtgenin bir kenarı kaç cm'dir?

Köşegenler dik ve birbirini ortaladığından yarı-köşegenler 4 ve 3.
Kenar Pisagor ile: a = √(4² + 3²) = √25.
a = 5 cm.
Kontrol: 3-4-5 Pisagor üçlüsü ✔.

Adım Adım Örnek 3 (Dikdörtgen Köşegeni)

Soru: Kenarları 6 cm ve 8 cm olan dikdörtgenin köşegen uzunluğu kaç cm'dir?

e = √(a² + b²).
e = √(36 + 64) = √100.
e = 10 cm.
Kontrol: 6-8-10 Pisagor üçlüsü; dikdörtgen köşegeni iki köşegen dik üçgenin hipotenüsüdür ✔.

Adım Adım Örnek 4 (Kare Köşegeni)

Soru: Bir karenin köşegeni 10√2 cm ise alanı kaç cm²'dir?

Kare köşegeni: e = a√2 ⇒ a = e/√2 = 10√2 / √2 = 10.
Alan = a² = 10² = 100 cm².
Kontrol: Alan = e²/2 = (10√2)²/2 = 200/2 = 100 ✔.

Adım Adım Örnek 5 (Karma — Dikdörtgenin İçine Çizili Kare)

Soru: Çevresi 40 cm olan bir karenin alanı kaç cm²'dir?

4a = 40 ⇒ a = 10.
Alan = 10² = 100 cm².
Kontrol: Çevre = 4·10 = 40 ✔.

KPSS İpucu: Eşkenar dörtgen ve deltoid alan formülü aynıdır: e·f/2. Dikdörtgende köşegenler eşittir ama dik değildir; eşkenar dörtgende dik ama eşit değildir; karede hem eşit hem dik. Sınavda köşegen dik mi, eşit mi? sorusu tipi ayırt ettirir. Kare alanını köşegenle veren e²/2 formülü ve köşegeni kenarla veren a√2 bağıntısı her sınavda en az bir kez iş görür. Dikdörtgen köşegeninin Pisagor üçlülerine (3-4-5, 6-8-10, 5-12-13, 8-15-17) denk geldiği durumlar KPSS'nin favorisidir; bu üçlüleri mutlaka ezberleyin.

6Yamuk ve Özel Yamuklar

Yamuk, yalnız bir çift kenarı paralel olan dörtgendir. Paralel olan kenarlar tabanlar (a ve b), aralarındaki dik uzaklık yükseklik (h), paralel olmayan kenarlar yan kenarlar'dır. Yamuk, paralelkenar olmayan en genel dörtgen ailesidir.

Yamuk Diyagramı

Yamuk Temel Formülleri

Alan = (a + b) · h / 2 (tabanların toplamı × yükseklik / 2).
Orta taban (yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçası) = (a + b)/2; her iki tabana paralel ve uzunluğu tabanlar ortalamasına eşittir.
İç açılar toplamı 360°. Paralel kenarlar arasındaki yan kenarlarda ardışık açılar bütünlerdir: A + D = B + C = 180.

İkizkenar Yamuk

Paralel olmayan iki kenarı eşit olan yamuktur. Özellikleri:

Yan kenarlar eşit: |AD| = |BC|.
Taban açıları eşit: A = B, C = D.
Köşegenler eşit: |AC| = |BD|.
Bir simetri ekseni vardır (tabanların orta dikmesi).
Çembere çizilebilir (kirişdörtgendir); karşılıklı iki iç açının toplamı 180°.

Dik Yamuk

Yan kenarlardan biri tabanlara dik olan yamuktur. Özellikleri:

Bir yan kenar hem yüksekliktir; böylece h doğrudan verilmiş olur.
İki iç açı 90°'dir.
Dik üçgenler kolayca belirir; Pisagor ile diğer kenar hesabı doğrudan yapılır.

Adım Adım Örnek 1 (Yamuk Alanı)

Soru: Paralel kenarları 8 cm ve 12 cm, yüksekliği 5 cm olan yamuğun alanı kaç cm²'dir?

Alan = (a + b) · h / 2.
Alan = (8 + 12) · 5 / 2 = 20 · 5 / 2 = 100/2.
Alan = 50 cm².
Kontrol: Orta taban = (8+12)/2 = 10; alan = orta taban · yükseklik = 10·5 = 50 ✔.

Adım Adım Örnek 2 (Orta Taban)

Soru: Bir yamuğun paralel kenarları 14 cm ve 22 cm ise orta tabanı kaç cm'dir?

Orta taban = (a + b)/2.
Orta taban = (14 + 22)/2 = 36/2.
Orta taban = 18 cm.
Kontrol: İki tabanın aritmetik ortalamasıdır; 14 ile 22 arasında 18 olması makul ✔.

Adım Adım Örnek 3 (Dik Yamuk Alanı)

Soru: ABCD dik yamuğunda AB || CD, AB = 10 cm, CD = 6 cm, AD ⊥ AB ve AD = 4 cm. Alan kaçtır?

AD dik kenar olduğundan yükseklik h = 4.
Alan = (a + b)·h/2 = (10 + 6)·4/2.
Alan = 16 · 4 / 2 = 64/2 = 32 cm².
Kontrol: Dik kenar yükseklik rolünde; orta taban 8, alan 8·4 = 32 ✔.

Adım Adım Örnek 4 (İkizkenar Yamuk Köşegen)

Soru: İkizkenar yamukta bir köşegen 13 cm ise diğer köşegen kaç cm'dir?

İkizkenar yamukta köşegenler eşittir.
Diğer köşegen = 13 cm.
Kontrol: Simetri ekseni iki köşegeni birbirinin eşleniği yapar ✔.

Adım Adım Örnek 5 (Yan Kenar Pisagor)

Soru: İkizkenar yamukta tabanlar 10 ve 18, yükseklik 3√3 ise bir yan kenar kaçtır?

Büyük tabandan küçük tabanı çıkar: 18 − 10 = 8. Simetri gereği yanlara düşen parçalar 4'er.
Yan kenar Pisagor: yan = √(4² + (3√3)²) = √(16 + 27) = √43.
Yan kenar = √43 cm ≈ 6,56.
Kontrol: Yamuktan büyük tabana yüksek indirildiğinde oluşan dik üçgenin dik kenarları 4 ve 3√3, hipotenüs yan kenar; 16 + 27 = 43 ✔.

KPSS İpucu: Yamuk sorularında ilk hamleniz küçük tabandan büyük tabana iki dik inmek olsun. Böylece yamuk; bir dikdörtgen ve iki dik üçgene ayrılır. İkizkenar yamukta bu üçgenler eştir; dik yamukta biri sıfıra iner. Alan formülünü (a+b)·h/2 şeklinde ezberlemek yerine orta taban × yükseklik olarak hatırlamak çoğu soruda bir adım kısaltır. Köşegenleri dik olan yamukta alan = e·f/2'dir (deltoid/eşkenar dörtgen gibi).

7Deltoid (Uçurtma)

Deltoid (veya uçurtma); ardışık ikişer kenarı eşit olan dörtgendir. Simetri ekseni bir köşegendir ve dörtgen bu eksen etrafında katlanınca iki parça üst üste oturur. KPSS sorularında sık görülen ancak formülü en kolay hatırlananlardan biridir.

Deltoid Diyagramı

Deltoid Özellikleri

İki çift ardışık kenar eşit: |AB| = |AD| ve |CB| = |CD|, ancak |AB| ≠ |CB| (eşit olsaydı eşkenar dörtgen olurdu).
Bir köşegen (simetri ekseni) diğerini dik olarak ortalar; ancak kendisi ortalanmaz.
Simetri ekseni olan köşegen karşılıklı iki iç açıyı (uçları) ikiye böler.
Karşılıklı iki iç açı eşittir (diğer iki köşe için).
İç açılar toplamı 360° (tüm dörtgenler gibi).

Deltoid Alan ve Çevre

Çevre = 2(a + b) (a kısa, b uzun kenar çifti).
Alan = (e · f) / 2 (köşegenlerin çarpımının yarısı).

Eşkenar Dörtgen, Deltoid ve Kare Karşılaştırması

Üçünün de alan formülü e·f/2'dir; çünkü köşegenler birbirine diktir. Farkları köşegenlerin ortalanma/eşitliklerindedir:

Şekil	Köşegenler dik	Karşılıklı ortalar	Eşit uzunlukta
Kare	Evet	Evet (her ikisi)	Evet
Eşkenar dörtgen	Evet	Evet (her ikisi)	Hayır
Deltoid	Evet	Yalnız biri (simetri ekseni diğerini)	Hayır

Adım Adım Örnek 1 (Deltoid Alanı)

Soru: Köşegenleri 10 cm ve 14 cm olan deltoidin alanı kaç cm²'dir?

Alan = (e · f)/2.
Alan = (10 · 14)/2 = 140/2.
Alan = 70 cm².
Kontrol: Köşegenler 4 dik üçgen oluşturur; simetrik çiftlerin toplamı bütün alanı verir ✔.

Adım Adım Örnek 2 (Deltoid Çevresi)

Soru: Bir deltoidde kısa kenarlar 5 cm, uzun kenarlar 9 cm ise çevresi kaç cm'dir?

Çevre = 2(a + b).
Çevre = 2(5 + 9) = 2 · 14.
Çevre = 28 cm.
Kontrol: 2 kısa + 2 uzun = 10 + 18 = 28 ✔.

Adım Adım Örnek 3 (Deltoid İçindeki Dik Üçgenler)

Soru: ABCD deltoidinde AC köşegeni BD'yi E noktasında dik olarak ortalar. |BE| = 3, |AE| = 4, |EC| = 12 ise |AB| ve |BC| kaçtır?

AEB dik üçgen: |AB|² = |AE|² + |BE|² = 16 + 9 = 25 ⇒ |AB| = 5.
BEC dik üçgen: |BC|² = |BE|² + |EC|² = 9 + 144 = 153 ⇒ |BC| = √153 = 3√17 ≈ 12,37.
Kontrol: Deltoid tanımı — |AB| = |AD| = 5 ve |BC| = |DC| = 3√17 olması gerekir ✔.

Adım Adım Örnek 4 (Alan → Köşegen)

Soru: Alanı 60 cm², bir köşegeni 8 cm olan deltoidin diğer köşegeni kaç cm'dir?

Alan = e·f/2 ⇒ 60 = 8·f/2 = 4f.
f = 60/4 = 15 cm.
Kontrol: 8 · 15 / 2 = 120/2 = 60 ✔.

KPSS İpucu: Deltoidi diğer dörtgenlerden ayırt etmek için "ardışık ikişer kenar eşit mi?" sorusunu sorun. Alan formülünü e·f/2 olarak hatırlamanın en kolay yolu: deltoid simetri ekseni kesilerek iki üçgene ayrılır ve her birinin tabanı aynı köşegen, yükseklikleri karşı köşegenin yarıları. Sık soru kalıbı: bir deltoid bir dikdörtgenin içine yerleştirilmiş, gölgeli alan ne kadar? Cevap çoğunlukla dikdörtgen alanının yarısıdır; çünkü deltoid köşegenleri dikdörtgenin kenarlarına paraleldir.

8KPSS Çokgen ve Dörtgen Soru Tipleri — Çözüm Stratejisi

KPSS Genel Yetenek sınavında çokgenler ve dörtgenler bölümünden çıkan soruları sekiz ana kategoriye ayırabiliriz. Bu kategorileri tanımak sizi hazır bir çözüm stratejisine götürür ve sınavda zaman kazandırır.

1. İç/Dış Açı ve Kenar Sayısı Soruları

Verilenler: iç açı toplamı, bir iç açı ya da bir dış açı. İstenen: kenar sayısı veya diğer açı.

(n−2)·180 = verilen toplam ⇒ n = verilen/180 + 2.
Düzgün çokgende: bir dış açı = 360/n; bir iç açı = 180 − 360/n.

2. Köşegen Sayısı Soruları

n(n−3)/2 formülü; ya doğrudan sayıyı ya da n'yi ikinci dereceden denklemle bulun.

3. Dörtgen İç Açı Soruları

Toplam 360° kuralı. Özel dörtgenlerde (paralelkenar, eşkenar dörtgen, kare) karşılıklı açılar eşit, ardışık bütünler.

4. Paralelkenar/Eşkenar Dörtgen/Dikdörtgen/Kare Alan Soruları

Paralelkenar: a·h
Eşkenar dörtgen: e·f/2
Dikdörtgen: a·b
Kare: a² = e²/2

5. Yamuk Alanı ve Orta Taban Soruları

Alan = (a+b)·h/2; orta taban = (a+b)/2. Dik yamuk ve ikizkenar yamuk özel durumları ayırt edin.

6. Deltoid Soruları

Alan = e·f/2; köşegenlerden biri diğerini dik ortalar. Pisagor ile kenarlar bulunur.

7. Köşegen Uzunluğu Soruları

Dikdörtgen: e = √(a²+b²).
Kare: e = a√2.
Paralelkenar: e² + f² = 2(a²+b²).

8. Gölgeli Alan ve Karma Sorular

Genelde bir dörtgenin içine çizilmiş başka bir dörtgen ya da üçgenin alanı istenir. Büyük şekil − küçük şekil veya parçaları toplama stratejisi ile çözülür.

9. Yıldız (Pentagram) Uç Açıları Toplamı

KPSS'de arada çıkan özel bir kalıp: n köşeli (n ≥ 5) bir yıldızın uç noktalarındaki açıların toplamı:

Uç açıları toplamı = (n − 4) · 180°

Pentagram (5 köşeli yıldız): (5−4)·180 = 180°; düzgünse her uç açı 180/5 = 36°.
6 köşeli yıldız: (6−4)·180 = 360°.
7 köşeli yıldız: (7−4)·180 = 540°.

Adım Adım Örnek — Pentagram Uç Açısı

Soru: Düzgün beş köşeli bir yıldızın (pentagram) uç noktalarındaki açıların toplamı ve bir uç açısı kaç derecedir?

Toplam = (n−4)·180; n = 5 ⇒ (5−4)·180 = 180°.
Düzgün yıldızda tüm uç açılar eşit: bir uç = 180/5 = 36°.
Kontrol: Pentagram iç beşgeninden dış üçgenler ayrılır; dış açı üçgenlerinin iki tabana tamamlayıcı açılarından 36 doğrulanır ✔.

Adım Adım Örnek 1 (Karma — Kare İçindeki Deltoid)

Soru: Bir kenarı 8 cm olan ABCD karesinin AB kenarının orta noktası M, AD kenarının orta noktası N'dir. M, C, N noktalarıyla A köşesi birleştirilince oluşan AMCN deltoidinin alanı kaç cm²'dir?

Köşe koordinatları: A(0,0), M(4,0), C(8,8), N(0,4).
Köşegen 1 (AC): A(0,0)→C(8,8) → uzunluk = 8√2.
Köşegen 2 (MN): M(4,0)→N(0,4) → uzunluk = 4√2.
AMCN bir deltoid (AM=AN=4, CM=CN=√(16+64)=4√5). Köşegenleri dik kesişir.
Alan = e·f/2 = (8√2)·(4√2)/2 = 64/2 = 32 cm².
Kontrol: Kare alanı 64; deltoid karenin yarısını kaplar (AMC üçgeni 16, ACN üçgeni 16, toplam 32) ✔.

Adım Adım Örnek 2 (Düzgün Sekizgen Açı)

Soru: Düzgün sekizgende bir iç açı kaç derecedir?

Bir iç açı = (n−2)·180/n; n = 8.
(8−2)·180/8 = 6·180/8 = 1080/8 = 135°.
Kontrol: Bir dış açı = 360/8 = 45; iç + dış = 135 + 45 = 180 ✔.

Adım Adım Örnek 3 (Dikdörtgen — Pisagor Üçlüsü)

Soru: Bir dikdörtgenin kenarları 5 cm ve 12 cm ise köşegen uzunluğu kaç cm'dir?

Köşegen = √(a²+b²) = √(25+144) = √169.
Köşegen = 13 cm.
Kontrol: 5-12-13 Pisagor üçlüsü ✔.

Adım Adım Örnek 4 (Karma Yamuk Soru)

Soru: Taban uzunlukları 6 cm ve 10 cm, yüksekliği 4 cm olan yamuğun alanı kaç cm²'dir ve orta tabanı kaçtır?

Alan = (6+10)·4/2 = 16·4/2 = 32.
Orta taban = (6+10)/2 = 8.
Sonuç: Alan 32 cm², orta taban 8 cm.
Kontrol: Orta taban · yükseklik = 8·4 = 32 ✔.

Adım Adım Örnek 5 (Köşegen Sayısı → n)

Soru: Bir çokgenin köşegen sayısı 35'tir. Bu çokgen kaç kenarlıdır?

n(n−3)/2 = 35 ⇒ n(n−3) = 70.
n² − 3n − 70 = 0.
Çarpanlara ayırma: (n−10)(n+7) = 0 ⇒ n = 10 (pozitif kök).
Sonuç: 10 kenarlı (ongen).
Kontrol: 10·7/2 = 35 ✔.

Çözüm Stratejisi — Üç Adımlık Kontrol Listesi

Şekli çiz ve verileri işaretle. Kenar uzunlukları, açılar ve köşegenleri kağıda dökün.
Tipini belirle. Düzgün mü, değil mi? Paralelkenar mı, deltoid mi, yamuk mu? Tip doğru formülü getirir.
Formülü uygula ve sağlama yap. (n−2)·180, e·f/2, a·b, a·h, (a+b)·h/2 ailelerinden hangisi olduğunu sorunun tipi söyler.

Sprint Özet Kartı — Tüm Formüller Tek Tabloda

Sınav öncesi son tekrar için tüm dörtgen ve çokgen formüllerini tek tabloda topladık. Bu tabloyu ezberleyen aday, çokgen-dörtgen sorularının %90'ını hızlıca çözebilir.

Şekil	Çevre	Alan	Köşegen / Ek Bağıntı
Paralelkenar	2(a+b)	a·h = a·b·sinθ	e²+f² = 2(a²+b²)
Eşkenar dörtgen	4a	e·f/2 = a·h	Köşegenler dik ortalar
Dikdörtgen	2(a+b)	a·b	e = √(a²+b²); eşit, ortalar
Kare	4a	a² = e²/2	e = a√2; eşit, dik, ortalar
Yamuk	a+b+c+d	(a+b)·h/2	Orta taban = (a+b)/2
Deltoid	2(a+b)	e·f/2	Bir köşegen diğerini dik ortalar
Düzgün altıgen	6a	(3√3/2)·a²	Uzun köşegen = 2a; kısa köşegen = a√3

Genel çokgen formülleri:

İç açılar toplamı: (n−2)·180°
Dış açılar toplamı: 360° (n'den bağımsız)
Düzgün çokgende bir iç açı: (n−2)·180/n; bir dış açı: 360/n
Köşegen sayısı: n(n−3)/2; bir köşeden: n−3
n köşeli yıldız uç açıları toplamı: (n−4)·180° (pentagram = 180°)

KPSS İpucu: Çokgen-dörtgen sorularının büyük bölümünü Pisagor üçlüleri (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25) ve özel dörtgen alan formülleri çözdürür. Sınavda soru şekli çizilmemişse mutlaka kendiniz bir kroki çizin; ÖSYM "şekil çizilmemiştir" ifadesini bilinçli kullanır, bu uyarıyı hafife almayın. Gölgeli alan sorularında "büyük şekil − çıkarılan parça" veya "eş parçalara bölerek ölçü bulmak" iki ana stratejidir. Son olarak, bir dörtgenin hangi özel dörtgen olduğu belirtilmemişse yalnız genel dörtgen özelliklerini (iç açılar toplamı 360) kullanın; paralelkenar varsaymak hatalı çözüme götürür.

Anahtar Bilgiler

Çokgen tanımı: En az üç doğru parçasının uç uca eklenerek oluşturduğu kapalı düzlemsel şekle çokgen denir. Kenar sayısı n olan çokgene n-gen denir: üçgen (3), dörtgen (4), beşgen (5), altıgen (6)…
Konveks ve iç bükey: Bütün iç açıları 180°'den küçük olan çokgen konveks (dış bükey), en az bir iç açısı 180°'den büyük olan çokgen konkav (iç bükey). KPSS sorularında aksi belirtilmedikçe çokgen konvekstir.
İç açılar toplamı: n kenarlı bir konveks çokgenin iç açılarının toplamı (n−2)·180°. Üçgende 180, dörtgende 360, beşgende 540, altıgende 720, yedigende 900, sekizgende 1080°. Çokgenin köşesinden köşegen çizerek (n−2) üçgene bölünmesinden türer.
Dış açılar toplamı: Kenar sayısına bağlı olmaksızın her konveks çokgende dış açıların toplamı 360°. Bir köşedeki iç açı + dış açı = 180° (bütünlerdir).
Düzgün çokgen: Tüm kenarları ve tüm iç açıları eşit olan konveks çokgene düzgün çokgen denir. Bir iç açı (n−2)·180/n, bir dış açı 360/n. Eşkenar üçgen, kare, düzgün altıgen bu ailedendir.
Köşegen sayısı: n kenarlı bir çokgende çizilebilecek toplam köşegen sayısı n(n−3)/2. Bir köşeden çizilen köşegen sayısı (n−3). Örnek: altıgende 6·3/2 = 9 köşegen.
Dörtgen iç açılar: Her dörtgenin iç açıları toplamı 360°. Dörtgen bir köşegeniyle iki üçgene ayrılır: 2·180 = 360. Kirişdörtgende (çembere çizili) karşılıklı iki açının toplamı 180°.
Paralelkenar: Karşılıklı kenarları paralel ve eşit, karşılıklı açıları eşit, ardışık açıları bütünler (toplam 180), köşegenleri birbirini ortalar. Alan = taban · yükseklik; aynı zamanda |AC|·|BD|·sinθ/2 köşegenlerle de yazılır.
Eşkenar dörtgen (rhombus): Tüm kenarları eşit paralelkenar. Köşegenleri birbirini dik olarak ortalar ve iç açıları iki eşit parçaya böler. Alan = (köşegenlerin çarpımı)/2 = e·f/2; aynı zamanda kenar·yükseklik.
Dikdörtgen: Tüm açıları 90° olan paralelkenar. Köşegenleri eşit uzunlukta ve birbirini ortalar. Alan = uzun kenar · kısa kenar = a·b; köşegen uzunluğu √(a2+b2).
Kare: Hem eşkenar dörtgen hem dikdörtgen olan en özel dörtgen. Tüm kenarları ve açıları eşit. Köşegenleri eşit, dik ve birbirini ortalar. Alan = a2; köşegen = a√2; alan = e2/2.
Yamuk: Yalnız bir çift kenarı paralel olan dörtgen. Paralel kenarlar tabanlar (a, b), aralarındaki dik uzaklık yükseklik (h). Alan = (a+b)·h/2. Orta taban = (a+b)/2.
İkizkenar ve dik yamuk: İkizkenar yamukta paralel olmayan kenarlar eşit, taban açıları eşit, köşegenleri eşit. Dik yamukta iki açı 90°. Köşegenler dik ise alan = e·f/2 (deltoiddeki gibi).
Deltoid (uçurtma): Ardışık ikişer kenarı eşit olan dörtgen (simetrili). Bir köşegeni diğerini dik olarak ortalar; bir çift karşılıklı açı eşittir. Alan = (köşegenlerin çarpımı)/2 = e·f/2.
Paralelkenarda ilave bağıntılar: Köşegenlerin kareleri toplamı = kenarların kareleri toplamının 2 katı: |AC|2+|BD|2 = 2(a2+b2). Köşegen çifti paralelkenarı 4 eş alanlı üçgene böler.
Doğruluk kontrolü: İç açı toplamını (n−2)·180 ile kontrol edin; beşgende 540, altıgende 720. Düzgün çokgende bir iç açı + bir dış açı = 180 olmalı. Paralelkenarda ardışık açılar bütünler, karşılıklılar eş olmalı. Yamukta a ≠ b (eşitlerse paralelkenar olurdu). Deltoid/eşkenar dörtgen/kare alanında köşegenler çarpımı 2'ye bölünür, unutmayın.

Bu Konuyu Test Et

Konu anlatımını okudun, şimdi öğrendiklerini test et!

Teste Başla

Sıkça Sorulan Sorular

Çokgenler ve Dörtgenler konusu KPSS sınavında çıkar mı?

Evet, Çokgenler ve Dörtgenler konusu KPSS sınav müfredatında yer almaktadır. SoruCozme'de bu konuya özel test soruları ve konu anlatımı bulunmaktadır.

Çokgenler ve Dörtgenler konusunda test çözebilir miyim?

Evet, Çokgenler ve Dörtgenler konusunda SoruCozme platformunda ücretsiz test soruları mevcuttur. Konu anlatımını okuduktan sonra hemen test çözerek öğrendiğinizi pekiştirebilirsiniz.

SoruCozme'de kaç soru ve kaç konu var?

SoruCozme platformunda 13.700+ soru ve 299 konu bulunmaktadır. KPSS, DGS, YDS, TYT, Ehliyet, İngilizce ve Açık Öğretim sınavlarına yönelik tüm içerikler ücretsizdir.

İçindekiler (8 bölüm)

1Çokgen Kavramı ve Temel Tanımlar

Çokgen Nedir?

3 kenar → üçgen
4 kenar → dörtgen
5 kenar → beşgen
6 kenar → altıgen
7 kenar → yedigen, 8 kenar → sekizgen, 10 kenar → ongen…

Konveks (Dış Bükey) ve Konkav (İç Bükey) Çokgen

Kenar, Köşe ve Köşegen

Kenar: Ardışık iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır. n-genin n tane kenarı vardır.
Köşe: İki kenarın kesiştiği noktadır. n-genin n tane köşesi vardır.
Köşegen: Ardışık olmayan iki köşeyi birleştiren doğru parçasıdır. Bir köşeden (n−3) köşegen çıkar; toplam köşegen sayısı n(n−3)/2.

Adım Adım Örnek 1 (Kenar Sayısı Tanıma)

Soru: Bir çokgenin 20 köşesi varsa kaç kenarı vardır?

Bir çokgende köşe sayısı = kenar sayısı.
Köşe = 20 ⇒ kenar = 20.
Kontrol: Her kenar iki köşe birleştirir; her köşe iki kenarda ortaktır; eşitlik doğrulanır ✔.

Adım Adım Örnek 2 (Konveks mi Konkav mı?)

Soru: İç açıları 100°, 120°, 140°, 130°, 50° olan bir beşgen konveks midir?

Konveks için tüm iç açılar < 180° olmalıdır.
Verilen açılar: 100, 120, 140, 130, 50 — hepsi 180'den küçük.
Toplam: 100 + 120 + 140 + 130 + 50 = 540. Beşgen iç açılar toplamı (5−2)·180 = 540 ✔.
Sonuç: konvekstir.

2İç Açılar Toplamı ve Dış Açılar Toplamı

Çokgen sorularının omurgası iç açı ve dış açı hesaplarıdır. Bu iki temel formülü ezberlemek yerine nasıl türetildiğini bilirseniz her soruyu tek adımda çözebilirsiniz.

İç Açılar Toplamı: (n−2)·180°

n kenarlı bir konveks çokgenin iç açılarının toplamı:

İç açılar toplamı = (n − 2) · 180°

Neden? Çokgenin bir köşesinden çizilen köşegenlerle çokgen (n−2) tane üçgene ayrılır. Her üçgenin iç açıları toplamı 180° olduğundan toplam (n−2)·180 çıkar.

Çokgen	n	İç açılar toplamı
Üçgen	3	180°
Dörtgen	4	360°
Beşgen	5	540°
Altıgen	6	720°
Yedigen	7	900°
Sekizgen	8	1080°

Dış Açılar Toplamı: 360°

Dış açı toplamı = 180n − (n−2)·180 = 180n − 180n + 360 = 360°

Yani kenar sayısından bağımsız olarak her konveks çokgenin dış açıları toplamı 360°'dir.

Adım Adım Örnek 1 (İç Açılar Toplamı)

Soru: Bir yedigenin iç açılarının toplamı kaç derecedir?

(n−2)·180 formülünü yaz; n = 7.
(7−2)·180 = 5·180 = 900°.
Kontrol: Yedigen bir köşesinden 4 köşegen çizilince 5 üçgene bölünür; 5·180 = 900 ✔.

Adım Adım Örnek 2 (Kenar Sayısını Bulma)

Soru: İç açıları toplamı 1260° olan çokgen kaç kenarlıdır?

(n−2)·180 = 1260.
n−2 = 1260/180 = 7.
n = 9 (dokuzgen).
Kontrol: (9−2)·180 = 7·180 = 1260 ✔.

Adım Adım Örnek 3 (Dış Açı → Kenar Sayısı)

Soru: Bir düzgün çokgende bir dış açı 24° ise kaç kenarlıdır?

Düzgün çokgende bir dış açı = 360/n.
360/n = 24 ⇒ n = 360/24 = 15 (onbeşgen).
Kontrol: 15·24 = 360 (dış açılar toplamı) ✔.

Adım Adım Örnek 4 (Eksik Açıyı Tamamlama)

Soru: Bir beşgenin dört iç açısı 100°, 110°, 120°, 130° ise beşinci açı kaç derecedir?

Beşgen iç açılar toplamı: (5−2)·180 = 540.
Verilenler toplamı: 100 + 110 + 120 + 130 = 460.
Beşinci açı = 540 − 460 = 80°.
Kontrol: 100+110+120+130+80 = 540 ✔.

3Düzgün Çokgen ve Köşegen Sayısı

Düzgün Çokgende Bir İç Açı

n kenarlı düzgün çokgenin tüm iç açıları eşit olduğundan bir iç açı:

Bir iç açı = (n − 2) · 180 / n

Türetme: iç açılar toplamı (n−2)·180'dir ve n tane eşit açıya bölündüğünde formül çıkar.

Düzgün Çokgende Bir Dış Açı

Dış açılar toplamı 360° ve tüm dış açılar eşit olduğundan:

Bir dış açı = 360 / n

Pratik kontrol: bir iç açı + bir dış açı = 180 olmalıdır.

Köşegen Sayısı Formülü

Toplam köşegen sayısı = n(n − 3) / 2

n	Bir köşeden	Toplam köşegen
4 (dörtgen)	1	2
5 (beşgen)	2	5
6 (altıgen)	3	9
8 (sekizgen)	5	20
10 (ongen)	7	35

Adım Adım Örnek 1 (Düzgün Altıgen İç Açı)

Soru: Düzgün altıgende bir iç açı kaç derecedir?

(n−2)·180/n; n = 6.
(6−2)·180/6 = 4·180/6 = 720/6 = 120°.
Kontrol: Bir dış açı = 360/6 = 60; iç + dış = 120 + 60 = 180 ✔.

Adım Adım Örnek 2 (Düzgün Çokgende Açıdan n'ye)

Soru: Bir iç açısı 150° olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır?

İç açı 150 ise dış açı 180−150 = 30.
360/n = 30 ⇒ n = 360/30.
n = 12 (düzgün onikigen).
Kontrol: (12−2)·180/12 = 10·180/12 = 1800/12 = 150 ✔.

Adım Adım Örnek 3 (Köşegen Sayısı)

Soru: Bir onikigende toplam kaç köşegen çizilebilir?

n(n−3)/2 formülünü yaz; n = 12.
12·(12−3)/2 = 12·9/2 = 108/2.
Köşegen sayısı = 54.
Kontrol: Bir köşeden (12−3) = 9 köşegen; 12 köşe · 9 / 2 (çift sayım) = 54 ✔.

Adım Adım Örnek 4 (Köşegen Sayısından n'ye)

Soru: Bir köşeden 6 köşegen çizilen çokgen kaç kenarlıdır?

Bir köşeden çizilen köşegen sayısı n−3.
n−3 = 6 ⇒ n = 9 (dokuzgen).
Kontrol: 9 köşe − 3 (kendisi ve iki komşu) = 6 ✔.

Düzgün Altıgen Özel Formülleri

Düzgün altıgen, KPSS'de en sık çıkan düzgün çokgendir. Kenar uzunluğu a olan düzgün altıgen için:

Bir iç açı = 120°; bir dış açı = 60°.
Alan = (3√3 / 2) · a².
Uzun köşegen (karşılıklı iki köşe, merkezden geçer) = 2a.
Kısa köşegen (bir köşe atlayarak) = a√3.
Merkezden çizilen yarıçap = kenar uzunluğuna eşittir: R = a.

Adım Adım Örnek 5 (Düzgün Altıgen Alanı)

Soru: Bir kenarı 4 cm olan düzgün altıgenin alanı kaç cm²'dir?

Alan = (3√3 / 2) · a²; a = 4.
Alan = (3√3 / 2) · 16 = 24√3.
Alan = 24√3 cm² ≈ 41,57.
Kontrol: 6 eşkenar üçgen; her birinin alanı (4²·√3)/4 = 4√3; toplam 6·4√3 = 24√3 ✔.

4Dörtgen ve Paralelkenar

Genel Dörtgen Özellikleri

4 kenar, 4 köşe, 2 köşegen.
İç açılar toplamı = (4−2)·180 = 360°.
Dış açılar toplamı = 360°.
Bir köşegen dörtgeni iki üçgene ayırır; 2·180 = 360 doğrulanır.
Kirişdörtgen (çembere çizili): karşılıklı iki iç açının toplamı 180°.

Adım Adım Örnek — Kirişdörtgen (KPSS Kalıbı)

Soru: Bir çembere içten çizilmiş ABCD kirişdörtgeninde A = 85° ve B = 100° ise C ve D açıları kaç derecedir?

Kirişdörtgende karşılıklı iki iç açının toplamı 180°'dir: A + C = 180 ve B + D = 180.
C = 180 − A = 180 − 85 = 95°.
D = 180 − B = 180 − 100 = 80°.
Kontrol: A + B + C + D = 85 + 100 + 95 + 80 = 360 ✔ (dörtgen iç açılar toplamı).

Paralelkenar Diyagramı

Paralelkenar Tanımı ve Özellikleri

Paralelkenar: karşılıklı kenarları birbirine paralel olan dörtgendir. Öne çıkan özellikleri:

Karşılıklı kenarlar paralel ve eşit.
Karşılıklı açılar eşit; ardışık açılar bütünler (toplamları 180°).
Köşegenler birbirini ortalar (ama genelde eşit değildir, dik değildir).
Her köşegen paralelkenarı iki eş (alanca) üçgene böler; iki köşegen 4 eş alanlı üçgene böler.
Köşegenlerin kareleri toplamı = kenarların kareleri toplamının 2 katı: e² + f² = 2(a²+b²).

Paralelkenar Alan ve Çevre Formülleri

Kenarları a ve b, a kenarına ait yükseklik h_a ise:

Çevre = 2(a+b)
Alan = a · h_a (taban × yükseklik)
Aynı zamanda: Alan = a·b·sinθ (θ iki kenar arasındaki açı).
Köşegenler cinsinden: Alan = (1/2)·e·f·sinα (α köşegenler arası açı).

Adım Adım Örnek 1 (Paralelkenar Alanı)

Soru: Bir paralelkenarın bir kenarı 12 cm, bu kenara ait yüksekliği 5 cm ise alanı kaç cm²'dir?

Alan = taban · yükseklik.
Alan = 12 · 5 = 60 cm².
Kontrol: Paralelkenarı köşegeniyle iki üçgene böldüğünüzde her bir üçgenin alanı 30; toplam 60 ✔.

Adım Adım Örnek 2 (Ardışık Açı)

Soru: Bir paralelkenarın dar açısı 70° ise geniş açısı kaç derecedir?

Ardışık açılar bütünler: 70 + geniş = 180.
Geniş açı = 180 − 70 = 110°.
Kontrol: Karşılıklı iki dar açı = 70, karşılıklı iki geniş açı = 110; toplam 2·70+2·110 = 360 ✔.

Adım Adım Örnek 3 (Köşegen Paralelkenar)

Soru: Bir paralelkenarın kenarları 5 ve 7, bir köşegeni 6 ise diğer köşegenin uzunluğu kaçtır?

Köşegen kareleri bağıntısı: e² + f² = 2(a² + b²).
2(25 + 49) = 2·74 = 148.
6² + f² = 148 ⇒ 36 + f² = 148 ⇒ f² = 112.
f = √112 = 4√7 ≈ 10,58.
Kontrol: 36 + 112 = 148 ✔.

Adım Adım Örnek 4 (Köşegen Alanı Dörde Böler)

Soru: Alanı 48 cm² olan bir paralelkenarın iki köşegeni çizildiğinde oluşan 4 üçgenin her birinin alanı kaç cm²'dir?

Köşegenler paralelkenarı 4 eş alanlı üçgene böler.
Her üçgenin alanı = 48 / 4 = 12 cm².
Kontrol: 4 · 12 = 48 ✔.

Buraya kadar öğrendiklerini test et

5Eşkenar Dörtgen, Dikdörtgen ve Kare

Şekil Karşılaştırması (Diyagramlar)

Eşkenar Dörtgen (Rhombus)

Tüm kenarları eşit olan paralelkenara eşkenar dörtgen denir. Özellikleri:

Dört kenarı eşit: a = b = c = d.
Karşılıklı açılar eşit, ardışık açılar bütünler.
Köşegenleri birbirini dik olarak ortalar; bu en ayırt edici özelliktir.
Her köşegen köşelerdeki iç açıları ikiye böler (açıortaydır).
Köşegenleri eşit değildir (eşit olsaydı kare olurdu).
Çevre = 4a (kenarı a olarak).
Alan = (e · f) / 2 (köşegenler çarpımının yarısı) = a · h (kenar × yükseklik).

Dikdörtgen

Tüm iç açıları 90° olan paralelkenara dikdörtgen denir. Özellikleri:

Karşılıklı kenarlar eşit ve paralel: a, a, b, b.
Dört açı da 90°.
Köşegenleri eşit uzunlukta ve birbirini ortalar (ama dik değildirler, aksi halde kare olurdu).
Köşegen uzunluğu Pisagor ile: e = √(a² + b²).
Çevre = 2(a+b).
Alan = a · b.

Kare

Hem eşkenar dörtgen hem dikdörtgen olan en özel dörtgendir. Özellikleri:

Dört kenarı eşit: a.
Dört açısı 90°.
Köşegenleri eşit, birbirini dik olarak ortalar ve her köşeyi 45 + 45'e böler.
Köşegen uzunluğu e = a√2.
Çevre = 4a.
Alan = a² = e²/2.

Adım Adım Örnek 1 (Eşkenar Dörtgen Alanı)

Soru: Köşegenleri 8 cm ve 6 cm olan eşkenar dörtgenin alanı kaç cm²'dir?

Alan = (e · f)/2.
Alan = (8 · 6)/2 = 48/2 = 24 cm².
Kontrol: Köşegenler dörtgeni 4 eş dik üçgene böler; her dik üçgenin dik kenarları 4 ve 3, alanı 6. Toplam 4·6 = 24 ✔.

Adım Adım Örnek 2 (Eşkenar Dörtgen Kenarı)

Soru: Köşegenleri 8 cm ve 6 cm olan eşkenar dörtgenin bir kenarı kaç cm'dir?

Köşegenler dik ve birbirini ortaladığından yarı-köşegenler 4 ve 3.
Kenar Pisagor ile: a = √(4² + 3²) = √25.
a = 5 cm.
Kontrol: 3-4-5 Pisagor üçlüsü ✔.

Adım Adım Örnek 3 (Dikdörtgen Köşegeni)

Soru: Kenarları 6 cm ve 8 cm olan dikdörtgenin köşegen uzunluğu kaç cm'dir?

e = √(a² + b²).
e = √(36 + 64) = √100.
e = 10 cm.
Kontrol: 6-8-10 Pisagor üçlüsü; dikdörtgen köşegeni iki köşegen dik üçgenin hipotenüsüdür ✔.

Adım Adım Örnek 4 (Kare Köşegeni)

Soru: Bir karenin köşegeni 10√2 cm ise alanı kaç cm²'dir?

Kare köşegeni: e = a√2 ⇒ a = e/√2 = 10√2 / √2 = 10.
Alan = a² = 10² = 100 cm².
Kontrol: Alan = e²/2 = (10√2)²/2 = 200/2 = 100 ✔.

Adım Adım Örnek 5 (Karma — Dikdörtgenin İçine Çizili Kare)

Soru: Çevresi 40 cm olan bir karenin alanı kaç cm²'dir?

4a = 40 ⇒ a = 10.
Alan = 10² = 100 cm².
Kontrol: Çevre = 4·10 = 40 ✔.

6Yamuk ve Özel Yamuklar

Yamuk Diyagramı

Yamuk Temel Formülleri

Alan = (a + b) · h / 2 (tabanların toplamı × yükseklik / 2).
Orta taban (yan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçası) = (a + b)/2; her iki tabana paralel ve uzunluğu tabanlar ortalamasına eşittir.
İç açılar toplamı 360°. Paralel kenarlar arasındaki yan kenarlarda ardışık açılar bütünlerdir: A + D = B + C = 180.

İkizkenar Yamuk

Paralel olmayan iki kenarı eşit olan yamuktur. Özellikleri:

Yan kenarlar eşit: |AD| = |BC|.
Taban açıları eşit: A = B, C = D.
Köşegenler eşit: |AC| = |BD|.
Bir simetri ekseni vardır (tabanların orta dikmesi).
Çembere çizilebilir (kirişdörtgendir); karşılıklı iki iç açının toplamı 180°.

Dik Yamuk

Yan kenarlardan biri tabanlara dik olan yamuktur. Özellikleri:

Bir yan kenar hem yüksekliktir; böylece h doğrudan verilmiş olur.
İki iç açı 90°'dir.
Dik üçgenler kolayca belirir; Pisagor ile diğer kenar hesabı doğrudan yapılır.

Adım Adım Örnek 1 (Yamuk Alanı)

Soru: Paralel kenarları 8 cm ve 12 cm, yüksekliği 5 cm olan yamuğun alanı kaç cm²'dir?

Alan = (a + b) · h / 2.
Alan = (8 + 12) · 5 / 2 = 20 · 5 / 2 = 100/2.
Alan = 50 cm².
Kontrol: Orta taban = (8+12)/2 = 10; alan = orta taban · yükseklik = 10·5 = 50 ✔.

Adım Adım Örnek 2 (Orta Taban)

Soru: Bir yamuğun paralel kenarları 14 cm ve 22 cm ise orta tabanı kaç cm'dir?

Orta taban = (a + b)/2.
Orta taban = (14 + 22)/2 = 36/2.
Orta taban = 18 cm.
Kontrol: İki tabanın aritmetik ortalamasıdır; 14 ile 22 arasında 18 olması makul ✔.

Adım Adım Örnek 3 (Dik Yamuk Alanı)

Soru: ABCD dik yamuğunda AB || CD, AB = 10 cm, CD = 6 cm, AD ⊥ AB ve AD = 4 cm. Alan kaçtır?

AD dik kenar olduğundan yükseklik h = 4.
Alan = (a + b)·h/2 = (10 + 6)·4/2.
Alan = 16 · 4 / 2 = 64/2 = 32 cm².
Kontrol: Dik kenar yükseklik rolünde; orta taban 8, alan 8·4 = 32 ✔.

Adım Adım Örnek 4 (İkizkenar Yamuk Köşegen)

Soru: İkizkenar yamukta bir köşegen 13 cm ise diğer köşegen kaç cm'dir?

İkizkenar yamukta köşegenler eşittir.
Diğer köşegen = 13 cm.
Kontrol: Simetri ekseni iki köşegeni birbirinin eşleniği yapar ✔.

Adım Adım Örnek 5 (Yan Kenar Pisagor)

Soru: İkizkenar yamukta tabanlar 10 ve 18, yükseklik 3√3 ise bir yan kenar kaçtır?

Büyük tabandan küçük tabanı çıkar: 18 − 10 = 8. Simetri gereği yanlara düşen parçalar 4'er.
Yan kenar Pisagor: yan = √(4² + (3√3)²) = √(16 + 27) = √43.
Yan kenar = √43 cm ≈ 6,56.
Kontrol: Yamuktan büyük tabana yüksek indirildiğinde oluşan dik üçgenin dik kenarları 4 ve 3√3, hipotenüs yan kenar; 16 + 27 = 43 ✔.

7Deltoid (Uçurtma)

Deltoid Diyagramı

Deltoid Özellikleri

İki çift ardışık kenar eşit: |AB| = |AD| ve |CB| = |CD|, ancak |AB| ≠ |CB| (eşit olsaydı eşkenar dörtgen olurdu).
Bir köşegen (simetri ekseni) diğerini dik olarak ortalar; ancak kendisi ortalanmaz.
Simetri ekseni olan köşegen karşılıklı iki iç açıyı (uçları) ikiye böler.
Karşılıklı iki iç açı eşittir (diğer iki köşe için).
İç açılar toplamı 360° (tüm dörtgenler gibi).

Deltoid Alan ve Çevre

Çevre = 2(a + b) (a kısa, b uzun kenar çifti).
Alan = (e · f) / 2 (köşegenlerin çarpımının yarısı).

Eşkenar Dörtgen, Deltoid ve Kare Karşılaştırması

Üçünün de alan formülü e·f/2'dir; çünkü köşegenler birbirine diktir. Farkları köşegenlerin ortalanma/eşitliklerindedir:

Şekil	Köşegenler dik	Karşılıklı ortalar	Eşit uzunlukta
Kare	Evet	Evet (her ikisi)	Evet
Eşkenar dörtgen	Evet	Evet (her ikisi)	Hayır
Deltoid	Evet	Yalnız biri (simetri ekseni diğerini)	Hayır

Adım Adım Örnek 1 (Deltoid Alanı)

Soru: Köşegenleri 10 cm ve 14 cm olan deltoidin alanı kaç cm²'dir?

Alan = (e · f)/2.
Alan = (10 · 14)/2 = 140/2.
Alan = 70 cm².
Kontrol: Köşegenler 4 dik üçgen oluşturur; simetrik çiftlerin toplamı bütün alanı verir ✔.

Adım Adım Örnek 2 (Deltoid Çevresi)

Soru: Bir deltoidde kısa kenarlar 5 cm, uzun kenarlar 9 cm ise çevresi kaç cm'dir?

Çevre = 2(a + b).
Çevre = 2(5 + 9) = 2 · 14.
Çevre = 28 cm.
Kontrol: 2 kısa + 2 uzun = 10 + 18 = 28 ✔.

Adım Adım Örnek 3 (Deltoid İçindeki Dik Üçgenler)

Soru: ABCD deltoidinde AC köşegeni BD'yi E noktasında dik olarak ortalar. |BE| = 3, |AE| = 4, |EC| = 12 ise |AB| ve |BC| kaçtır?

AEB dik üçgen: |AB|² = |AE|² + |BE|² = 16 + 9 = 25 ⇒ |AB| = 5.
BEC dik üçgen: |BC|² = |BE|² + |EC|² = 9 + 144 = 153 ⇒ |BC| = √153 = 3√17 ≈ 12,37.
Kontrol: Deltoid tanımı — |AB| = |AD| = 5 ve |BC| = |DC| = 3√17 olması gerekir ✔.

Adım Adım Örnek 4 (Alan → Köşegen)

Soru: Alanı 60 cm², bir köşegeni 8 cm olan deltoidin diğer köşegeni kaç cm'dir?

Alan = e·f/2 ⇒ 60 = 8·f/2 = 4f.
f = 60/4 = 15 cm.
Kontrol: 8 · 15 / 2 = 120/2 = 60 ✔.

8KPSS Çokgen ve Dörtgen Soru Tipleri — Çözüm Stratejisi

1. İç/Dış Açı ve Kenar Sayısı Soruları

Verilenler: iç açı toplamı, bir iç açı ya da bir dış açı. İstenen: kenar sayısı veya diğer açı.

(n−2)·180 = verilen toplam ⇒ n = verilen/180 + 2.
Düzgün çokgende: bir dış açı = 360/n; bir iç açı = 180 − 360/n.

2. Köşegen Sayısı Soruları

n(n−3)/2 formülü; ya doğrudan sayıyı ya da n'yi ikinci dereceden denklemle bulun.

3. Dörtgen İç Açı Soruları

Toplam 360° kuralı. Özel dörtgenlerde (paralelkenar, eşkenar dörtgen, kare) karşılıklı açılar eşit, ardışık bütünler.

4. Paralelkenar/Eşkenar Dörtgen/Dikdörtgen/Kare Alan Soruları

Paralelkenar: a·h
Eşkenar dörtgen: e·f/2
Dikdörtgen: a·b
Kare: a² = e²/2

5. Yamuk Alanı ve Orta Taban Soruları

Alan = (a+b)·h/2; orta taban = (a+b)/2. Dik yamuk ve ikizkenar yamuk özel durumları ayırt edin.

6. Deltoid Soruları

Alan = e·f/2; köşegenlerden biri diğerini dik ortalar. Pisagor ile kenarlar bulunur.

7. Köşegen Uzunluğu Soruları

Dikdörtgen: e = √(a²+b²).
Kare: e = a√2.
Paralelkenar: e² + f² = 2(a²+b²).

8. Gölgeli Alan ve Karma Sorular

Genelde bir dörtgenin içine çizilmiş başka bir dörtgen ya da üçgenin alanı istenir. Büyük şekil − küçük şekil veya parçaları toplama stratejisi ile çözülür.

9. Yıldız (Pentagram) Uç Açıları Toplamı

KPSS'de arada çıkan özel bir kalıp: n köşeli (n ≥ 5) bir yıldızın uç noktalarındaki açıların toplamı:

Uç açıları toplamı = (n − 4) · 180°

Pentagram (5 köşeli yıldız): (5−4)·180 = 180°; düzgünse her uç açı 180/5 = 36°.
6 köşeli yıldız: (6−4)·180 = 360°.
7 köşeli yıldız: (7−4)·180 = 540°.

Adım Adım Örnek — Pentagram Uç Açısı

Soru: Düzgün beş köşeli bir yıldızın (pentagram) uç noktalarındaki açıların toplamı ve bir uç açısı kaç derecedir?

Toplam = (n−4)·180; n = 5 ⇒ (5−4)·180 = 180°.
Düzgün yıldızda tüm uç açılar eşit: bir uç = 180/5 = 36°.
Kontrol: Pentagram iç beşgeninden dış üçgenler ayrılır; dış açı üçgenlerinin iki tabana tamamlayıcı açılarından 36 doğrulanır ✔.

Adım Adım Örnek 1 (Karma — Kare İçindeki Deltoid)

Köşe koordinatları: A(0,0), M(4,0), C(8,8), N(0,4).
Köşegen 1 (AC): A(0,0)→C(8,8) → uzunluk = 8√2.
Köşegen 2 (MN): M(4,0)→N(0,4) → uzunluk = 4√2.
AMCN bir deltoid (AM=AN=4, CM=CN=√(16+64)=4√5). Köşegenleri dik kesişir.
Alan = e·f/2 = (8√2)·(4√2)/2 = 64/2 = 32 cm².
Kontrol: Kare alanı 64; deltoid karenin yarısını kaplar (AMC üçgeni 16, ACN üçgeni 16, toplam 32) ✔.

Adım Adım Örnek 2 (Düzgün Sekizgen Açı)

Soru: Düzgün sekizgende bir iç açı kaç derecedir?

Bir iç açı = (n−2)·180/n; n = 8.
(8−2)·180/8 = 6·180/8 = 1080/8 = 135°.
Kontrol: Bir dış açı = 360/8 = 45; iç + dış = 135 + 45 = 180 ✔.

Adım Adım Örnek 3 (Dikdörtgen — Pisagor Üçlüsü)

Soru: Bir dikdörtgenin kenarları 5 cm ve 12 cm ise köşegen uzunluğu kaç cm'dir?

Köşegen = √(a²+b²) = √(25+144) = √169.
Köşegen = 13 cm.
Kontrol: 5-12-13 Pisagor üçlüsü ✔.

Adım Adım Örnek 4 (Karma Yamuk Soru)

Soru: Taban uzunlukları 6 cm ve 10 cm, yüksekliği 4 cm olan yamuğun alanı kaç cm²'dir ve orta tabanı kaçtır?

Alan = (6+10)·4/2 = 16·4/2 = 32.
Orta taban = (6+10)/2 = 8.
Sonuç: Alan 32 cm², orta taban 8 cm.
Kontrol: Orta taban · yükseklik = 8·4 = 32 ✔.

Adım Adım Örnek 5 (Köşegen Sayısı → n)

Soru: Bir çokgenin köşegen sayısı 35'tir. Bu çokgen kaç kenarlıdır?

n(n−3)/2 = 35 ⇒ n(n−3) = 70.
n² − 3n − 70 = 0.
Çarpanlara ayırma: (n−10)(n+7) = 0 ⇒ n = 10 (pozitif kök).
Sonuç: 10 kenarlı (ongen).
Kontrol: 10·7/2 = 35 ✔.

Çözüm Stratejisi — Üç Adımlık Kontrol Listesi

Şekli çiz ve verileri işaretle. Kenar uzunlukları, açılar ve köşegenleri kağıda dökün.
Tipini belirle. Düzgün mü, değil mi? Paralelkenar mı, deltoid mi, yamuk mu? Tip doğru formülü getirir.
Formülü uygula ve sağlama yap. (n−2)·180, e·f/2, a·b, a·h, (a+b)·h/2 ailelerinden hangisi olduğunu sorunun tipi söyler.

Sprint Özet Kartı — Tüm Formüller Tek Tabloda

Sınav öncesi son tekrar için tüm dörtgen ve çokgen formüllerini tek tabloda topladık. Bu tabloyu ezberleyen aday, çokgen-dörtgen sorularının %90'ını hızlıca çözebilir.

Şekil	Çevre	Alan	Köşegen / Ek Bağıntı
Paralelkenar	2(a+b)	a·h = a·b·sinθ	e²+f² = 2(a²+b²)
Eşkenar dörtgen	4a	e·f/2 = a·h	Köşegenler dik ortalar
Dikdörtgen	2(a+b)	a·b	e = √(a²+b²); eşit, ortalar
Kare	4a	a² = e²/2	e = a√2; eşit, dik, ortalar
Yamuk	a+b+c+d	(a+b)·h/2	Orta taban = (a+b)/2
Deltoid	2(a+b)	e·f/2	Bir köşegen diğerini dik ortalar
Düzgün altıgen	6a	(3√3/2)·a²	Uzun köşegen = 2a; kısa köşegen = a√3

Genel çokgen formülleri:

İç açılar toplamı: (n−2)·180°
Dış açılar toplamı: 360° (n'den bağımsız)
Düzgün çokgende bir iç açı: (n−2)·180/n; bir dış açı: 360/n
Köşegen sayısı: n(n−3)/2; bir köşeden: n−3
n köşeli yıldız uç açıları toplamı: (n−4)·180° (pentagram = 180°)

Anahtar Bilgiler

Çokgen tanımı: En az üç doğru parçasının uç uca eklenerek oluşturduğu kapalı düzlemsel şekle çokgen denir. Kenar sayısı n olan çokgene n-gen denir: üçgen (3), dörtgen (4), beşgen (5), altıgen (6)…
Konveks ve iç bükey: Bütün iç açıları 180°'den küçük olan çokgen konveks (dış bükey), en az bir iç açısı 180°'den büyük olan çokgen konkav (iç bükey). KPSS sorularında aksi belirtilmedikçe çokgen konvekstir.
İç açılar toplamı: n kenarlı bir konveks çokgenin iç açılarının toplamı (n−2)·180°. Üçgende 180, dörtgende 360, beşgende 540, altıgende 720, yedigende 900, sekizgende 1080°. Çokgenin köşesinden köşegen çizerek (n−2) üçgene bölünmesinden türer.
Dış açılar toplamı: Kenar sayısına bağlı olmaksızın her konveks çokgende dış açıların toplamı 360°. Bir köşedeki iç açı + dış açı = 180° (bütünlerdir).
Düzgün çokgen: Tüm kenarları ve tüm iç açıları eşit olan konveks çokgene düzgün çokgen denir. Bir iç açı (n−2)·180/n, bir dış açı 360/n. Eşkenar üçgen, kare, düzgün altıgen bu ailedendir.
Köşegen sayısı: n kenarlı bir çokgende çizilebilecek toplam köşegen sayısı n(n−3)/2. Bir köşeden çizilen köşegen sayısı (n−3). Örnek: altıgende 6·3/2 = 9 köşegen.
Dörtgen iç açılar: Her dörtgenin iç açıları toplamı 360°. Dörtgen bir köşegeniyle iki üçgene ayrılır: 2·180 = 360. Kirişdörtgende (çembere çizili) karşılıklı iki açının toplamı 180°.
Paralelkenar: Karşılıklı kenarları paralel ve eşit, karşılıklı açıları eşit, ardışık açıları bütünler (toplam 180), köşegenleri birbirini ortalar. Alan = taban · yükseklik; aynı zamanda |AC|·|BD|·sinθ/2 köşegenlerle de yazılır.
Eşkenar dörtgen (rhombus): Tüm kenarları eşit paralelkenar. Köşegenleri birbirini dik olarak ortalar ve iç açıları iki eşit parçaya böler. Alan = (köşegenlerin çarpımı)/2 = e·f/2; aynı zamanda kenar·yükseklik.
Dikdörtgen: Tüm açıları 90° olan paralelkenar. Köşegenleri eşit uzunlukta ve birbirini ortalar. Alan = uzun kenar · kısa kenar = a·b; köşegen uzunluğu √(a2+b2).
Kare: Hem eşkenar dörtgen hem dikdörtgen olan en özel dörtgen. Tüm kenarları ve açıları eşit. Köşegenleri eşit, dik ve birbirini ortalar. Alan = a2; köşegen = a√2; alan = e2/2.
Yamuk: Yalnız bir çift kenarı paralel olan dörtgen. Paralel kenarlar tabanlar (a, b), aralarındaki dik uzaklık yükseklik (h). Alan = (a+b)·h/2. Orta taban = (a+b)/2.
İkizkenar ve dik yamuk: İkizkenar yamukta paralel olmayan kenarlar eşit, taban açıları eşit, köşegenleri eşit. Dik yamukta iki açı 90°. Köşegenler dik ise alan = e·f/2 (deltoiddeki gibi).
Deltoid (uçurtma): Ardışık ikişer kenarı eşit olan dörtgen (simetrili). Bir köşegeni diğerini dik olarak ortalar; bir çift karşılıklı açı eşittir. Alan = (köşegenlerin çarpımı)/2 = e·f/2.
Paralelkenarda ilave bağıntılar: Köşegenlerin kareleri toplamı = kenarların kareleri toplamının 2 katı: |AC|2+|BD|2 = 2(a2+b2). Köşegen çifti paralelkenarı 4 eş alanlı üçgene böler.
Doğruluk kontrolü: İç açı toplamını (n−2)·180 ile kontrol edin; beşgende 540, altıgende 720. Düzgün çokgende bir iç açı + bir dış açı = 180 olmalı. Paralelkenarda ardışık açılar bütünler, karşılıklılar eş olmalı. Yamukta a ≠ b (eşitlerse paralelkenar olurdu). Deltoid/eşkenar dörtgen/kare alanında köşegenler çarpımı 2'ye bölünür, unutmayın.

Bu Konuyu Test Et

Konu anlatımını okudun, şimdi öğrendiklerini test et!

Teste Başla

Sıkça Sorulan Sorular

Çokgenler ve Dörtgenler konusu KPSS sınavında çıkar mı?

Evet, Çokgenler ve Dörtgenler konusu KPSS sınav müfredatında yer almaktadır. SoruCozme'de bu konuya özel test soruları ve konu anlatımı bulunmaktadır.

Çokgenler ve Dörtgenler konusunda test çözebilir miyim?

Evet, Çokgenler ve Dörtgenler konusunda SoruCozme platformunda ücretsiz test soruları mevcuttur. Konu anlatımını okuduktan sonra hemen test çözerek öğrendiğinizi pekiştirebilirsiniz.

SoruCozme'de kaç soru ve kaç konu var?

SoruCozme platformunda 13.700+ soru ve 299 konu bulunmaktadır. KPSS, DGS, YDS, TYT, Ehliyet, İngilizce ve Açık Öğretim sınavlarına yönelik tüm içerikler ücretsizdir.